偏微分方程PDE-Ch1

1、1機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 偏微分方程課件主講：2機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 緒緒 論論 偏微分方程這門(mén)學(xué)科產(chǎn)生于十八世紀(jì)，歐拉的著作中最早提出了弦振動(dòng)的二階方程, 隨后不久, 法國(guó)數(shù)學(xué)家達(dá)朗貝爾也在他的著作論動(dòng)力學(xué)中提出了特殊的偏微分方程。這些著作當(dāng)時(shí)沒(méi)有引起多大注意。1746年，達(dá)朗貝爾在他的論文張緊的弦振動(dòng)時(shí)形成的曲線的研究中，提議證明無(wú)窮多種和正弦曲線不同的曲線是振動(dòng)的模式。這樣就由對(duì)弦振動(dòng)的研究開(kāi)創(chuàng)了偏微分方程這門(mén)學(xué)科。3機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 和歐拉同時(shí)代的瑞士數(shù)學(xué)家丹尼爾貝努利也研究了數(shù)學(xué)物理方面的問(wèn)題，提出了解彈性系振動(dòng)問(wèn)題的一般方法，對(duì)偏微分方程

2、的發(fā)展起了比較大的影響。拉格朗日也討論了一階偏微分方程，豐富了這門(mén)學(xué)科的內(nèi)容。 偏 微分方程得到迅速發(fā)展是在十九世紀(jì)，那時(shí)候，數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的研究繁榮起來(lái)了，許多數(shù)學(xué)家都對(duì)數(shù)學(xué)物理問(wèn)題的解決做出了貢獻(xiàn)。這里應(yīng)該提一提法國(guó)數(shù)學(xué)家傅立葉，他年輕的時(shí)候就是一個(gè)出色的數(shù)學(xué)學(xué)者。在從事熱流動(dòng)的研究中，寫(xiě)出了熱的解析理論，在文章中他提出了三維空間的熱方程，也就是一種偏微分方程。他的研究對(duì)偏微分方程的發(fā)展的影響是很大的。4機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 教材及參考資料教材及參考資料教教 材：材：偏微分方程(第三版) ，陳祖墀，高教出版社。參考書(shū)目：參考書(shū)目： 1. 數(shù)學(xué)物理方程(第二版),谷超豪、李大潛等

3、,高教出版社。 2. 現(xiàn)代偏微分方程導(dǎo)論, 陳恕行, 科學(xué)出版社。 3.偏微分方程講義(俄羅斯數(shù)學(xué)教材選譯)，高教出版社。5機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ),()(21nxxxuxu未知函數(shù)未知函數(shù)),(21nxxxx實(shí)自變量實(shí)自變量設(shè)設(shè)12(,)nxxxDuuuu 1.1.1 什么是偏微分方程什么是偏微分方程6機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 其中是F自變量x，未知函數(shù)u及u的有限多個(gè)偏導(dǎo)數(shù)的已知函數(shù). 例如關(guān)系式等都是偏微分方程. 7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.2. 偏微分方程的解偏微分方程的解 我們知道, 一個(gè)常微分方程如果有解, 就必有無(wú)窮多個(gè)解, 其表現(xiàn)形式是

4、依賴(lài)于一個(gè)或幾個(gè)任意常數(shù)常數(shù)的通解. 于是自然會(huì)想到偏微分方程的通解也會(huì)含有任意元素元素. 如果給定一個(gè)函數(shù) , 將它及它對(duì)自變量的各階偏導(dǎo)數(shù)代入方程(1.1.1), 能使(1.1.1)成為恒等式, 則稱(chēng)函數(shù)是偏微分方程(1.1.1)的解。( )ux8機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例. 后面我們可以求出偏微分方程 的0 xxyyuu()()uxyxy Q. E. F. 令人感到十分遺憾的是，在偏微分方程中, 除了少數(shù)幾個(gè)特別簡(jiǎn)單的例子以外, 求通解是很困難的. 而且即使求得了通解, 要想利用所給的伴隨條件將其表達(dá)式中的任意元素確定出來(lái), 也是一件不容易的事情, 甚至是不可能的. 通解為

5、其中 是任意二階可微函數(shù)。, 9機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.3. 1.1.3. 偏微分方程的階偏微分方程的階 在偏微分方程的研究中, “階”是一個(gè)非?；镜母拍? 所謂偏微分方程的階, 就是方程中實(shí)際所含未知函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)中的最高階數(shù)。前面例子前面例子：10機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.4. 線性偏微分方程線性偏微分方程 如果方程中關(guān)于未知函數(shù)及其各階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的, 則稱(chēng) 它為線性偏微分方程線性偏微分方程。例子： 在線性偏微分方程中, 不含有u及它的偏導(dǎo)數(shù)的項(xiàng)稱(chēng)為自由項(xiàng)自由項(xiàng); 當(dāng)自由項(xiàng)為零時(shí), 稱(chēng)方程為線性齊次方程線性齊次方程。當(dāng)自由項(xiàng)不為零時(shí), 稱(chēng)方程為線性

6、非齊次方程線性非齊次方程。11機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 一般的線性齊次偏微分方程可寫(xiě)為 0Lu 一般的線性非齊次偏微分方程可寫(xiě)為 12( ,)nLuf x xx其中L是u的某一線性偏微分算子線性偏微分算子。例如等等. 所謂線性算子線性算子, 是指對(duì)任意的函數(shù)u, v及常數(shù)c, 總有 (Laplace算子)12機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注：注：Lu可視為線性算子L作用在函數(shù)u上。例如 22222222212()nLuautxxx22222222212nuuuuatxxx22222212nxxx 22222212()nuuxxx 22222212nuuuxxx13機(jī)動(dòng) 目錄 上

7、頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由線性算子的定義，我們可得關(guān)于線性方程的如下疊加原理疊加原理. 定理定理. (1)若 是線性齊次方程 的解，則12,mu uu0Lu 也是它的解。(2)若 是線性非齊次方程 的解，則12,mu uuLuf12(1)mccc也是它的解。是 的解。1miiLuf(3)若 是線性非齊次方程 的解(i=1,2, , m)，則iuiLuf12muuuu14機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由于積分運(yùn)算也是一個(gè)線性運(yùn)算，故疊加原理還有下面的表現(xiàn)形式。( ; )uu x y( , )Ludyf x y dy(4) 若 ，其中 是自變量，而( , )Luf x y),(21nxxxx1

8、2(,)myy yy是參數(shù)，則( , )Ludyf x y dy( , )LUf x y dy( ; )Uudyu x y dy15機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.1.5. 非線性偏微分方程非線性偏微分方程 我們把不是線性偏微分方程的偏微分方程統(tǒng)稱(chēng)為非線性偏非線性偏微分方程微分方程。在非線性偏微分方程中， 如果關(guān)于未知函數(shù)的所有最高階偏導(dǎo)數(shù)都是線性的, 則稱(chēng)它為擬線性偏微分方程擬線性偏微分方程。 在擬線性偏微分方程中, 由最高階偏導(dǎo)數(shù)所組成的那一部分, 稱(chēng)為方程的主部主部; 若主部?jī)?nèi)的系數(shù)都是常數(shù)或是自變量的已知函數(shù), 這時(shí)方程被稱(chēng)為是半線性的半線性的。 16機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返

9、回 結(jié)束 對(duì)于既不是線性也不是擬線性的偏微分方程, 就稱(chēng)它為完全完全非線性偏微分方程非線性偏微分方程. 一般地, 我們又把擬線性偏微分方程及完全非線性偏微分方程, 統(tǒng)稱(chēng)為非線性偏微分方程非線性偏微分方程. 17機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 幾個(gè)經(jīng)典方程幾個(gè)經(jīng)典方程 例例1.1.1 弦振動(dòng)方程 彈性弦的振動(dòng)問(wèn)題,是一個(gè)很有意義而且十分重要的古典問(wèn)題。問(wèn)題問(wèn)題: 給定一根兩端固定的拉緊的具有彈性的、均勻的、非常柔軟的細(xì)線, 其長(zhǎng)為l, 在外力作用下在平衡位置附近作微小的橫振動(dòng), 求弦上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 18機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 我們可利用動(dòng)量定理來(lái)建立數(shù)學(xué)模型, 導(dǎo)出弦振動(dòng)弦振

10、動(dòng) 方程方程(略) (可參見(jiàn)任何一本數(shù)學(xué)物理方程教材，例如，姜禮尚，陳亞浙，數(shù)學(xué)物理方程講義，高等教育出版社)。022222xuatu無(wú)外力作用無(wú)外力作用22222( , )uuaf x ttx外力作用下外力作用下其中f(x, t)表示單位質(zhì)量在點(diǎn)x處時(shí)刻t所受的外力。 最后, 我們指出, 在上述弦振動(dòng)方程中只含有兩個(gè)自變量x和t, 一個(gè)自變量x表示位置, 另一個(gè)自變量t表示時(shí)間. 由于它描述的是弦的振動(dòng)或波動(dòng)現(xiàn)象, 而且又只含有一個(gè)空間變量x, 因而它又稱(chēng)為一維波動(dòng)方程一維波動(dòng)方程. 19機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 類(lèi)似地可導(dǎo)出二維波動(dòng)方程二維波動(dòng)方程和三維波動(dòng)方程三維波動(dòng)方程, 它

11、們2()( , , )ttxxyyua uuf x y t2()( , , , )ttxxyyzzua uuuf x y z t 二維波動(dòng)方程可視為薄膜的振動(dòng)所滿(mǎn)足的運(yùn)動(dòng)規(guī)律, 即在平面上放置一個(gè)框架, 對(duì)于固定在該框架上作微小橫振動(dòng)的薄膜上各點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律. 三維波動(dòng)方程表示的是聲波、電磁波的傳播所滿(mǎn)足的規(guī)律. 的形式分別為類(lèi)似地，我們可考慮函數(shù) 的n維波動(dòng)方程12( , )nuu x xx t20機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1.1.2 熱傳導(dǎo)方程 在三維空間中, 考察一均勻、各向同性的物體G, 假定其內(nèi)部有熱源, 并且與周?chē)橘|(zhì)有熱交換, 求物體內(nèi)部溫度的分布和變化規(guī)律。問(wèn)題問(wèn)題

12、:設(shè)函數(shù)u (x, y, z, t )為物體G在點(diǎn)(x, y, z)處時(shí)刻t的溫度, 求u所滿(mǎn)足的方程。 我們可利用能量守恒定律和富里葉(Fourier)熱傳導(dǎo)定律來(lái)建立數(shù)學(xué)模型, 導(dǎo)出熱傳導(dǎo)方程熱傳導(dǎo)方程 (略) 。21機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2()( , , , )txxyyzzua uuuf x y z t當(dāng)f0時(shí)表示熱源, 當(dāng)f0表示熱匯。如果物體內(nèi)無(wú)熱源或熱匯, 則溫度函數(shù)u (x, y, z, t )所滿(mǎn)足的方程是 在適當(dāng)情況下, 方程中描述空間坐標(biāo)的自變量數(shù)目可以減少. 例如當(dāng)物體是各向同性的均勻細(xì)桿時(shí), 如果它的側(cè)面不產(chǎn)生熱交換(即絕熱), 且在同一截面上溫度的分布

13、是相同的, 則溫度函數(shù)u僅與坐標(biāo)x及時(shí)間t有關(guān), 這時(shí)得到的就是一維熱傳導(dǎo)方程一維熱傳導(dǎo)方程20txxua u2()0txxyyzzua uuu(*)22機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果考慮的是一個(gè)薄片的熱傳導(dǎo), 當(dāng)它的側(cè)面絕熱時(shí), 便得到二維的熱傳導(dǎo)方程二維的熱傳導(dǎo)方程2()0txxyyua uu寫(xiě)成教材上的形式就是2tuau(1.1.3) 例例1.1.3 拉普拉斯(Laplace)方程 在前面所研究的溫度分布問(wèn)題中, 如果經(jīng)過(guò)相當(dāng)長(zhǎng)的時(shí)間以后, 物體內(nèi)各點(diǎn)的溫度隨時(shí)間的推移而發(fā)生的變化已不顯著, 這時(shí)我們就說(shuō)溫度分布趨于定常, 數(shù)學(xué)上可近似地用ut=0表示。這樣一來(lái)，熱傳導(dǎo)方程(*

14、)就變成23機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2()0txxyyzzua uuu(*)0 xxyyzzuuu它被稱(chēng)為三維Laplace方程。利用Laplace算子 ，三維Laplace方程寫(xiě)成222222xyz 0u 對(duì)于函數(shù) 的n維Laplace方程，利用12( , )nuu x xx t22222212nxxx Laplace算子 寫(xiě)成1 12 2ln0nx xx xx xuuuu (1.1.4) 類(lèi)似地, 若物體內(nèi)的熱源與時(shí)間t無(wú)關(guān)且溫度分布趨于定常時(shí), 我們可導(dǎo)出如下方程24機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 ( , , , )xxyyzzuuuf x y z t簡(jiǎn)記為我們稱(chēng)這個(gè)方程

15、為泊松(Poisson)方程. ( , , , )uf x y z t 25機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 二階線性方程的一般形式是其算子是2,11( )( )( )nnijii jiijiLaxb xc xx xx 26機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 27機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 28機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 正如我們?cè)谇懊嫠吹降模粋€(gè)偏微分方程和常微分方程一樣，通常有很多解. 因此我們需要給出某些附加條件某些附加條件來(lái)挑出其中的某個(gè)解. 另一方面，對(duì)于不同的物理現(xiàn)象, 可歸結(jié)為不同形式的偏微分方程，而同一個(gè)典型的方程又能代表某些物理過(guò)程的共同特點(diǎn). 如在研究空

16、間中的聲波和電磁波的傳播時(shí)都會(huì)出現(xiàn)三維波動(dòng)方程：2()0ttxxyyzzua uuu 我們知道, 方程建立以后, 目的就是要求出它的解. 但是, 僅有方程的解還不足以完全確定一個(gè)具體的物理過(guò)程, 因?yàn)閷?duì)于一個(gè)具體的物理過(guò)程, 除了方程本身之外還必須考慮該物理 1.2.1 定解條件與定解問(wèn)題定解條件與定解問(wèn)題29機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 過(guò)程的初始狀態(tài)以及它所滿(mǎn)足的外界條件，這些都是本段開(kāi)頭所提到的“某些附加條件某些附加條件”。 方程的解必須要滿(mǎn)足的事先給定的某些附加條件某些附加條件稱(chēng)為定解條定解條件件。 常見(jiàn)的定解條件有初始條件初始條件(也叫Cauchy 條件)和邊界條件邊界條件兩大

17、類(lèi), 相應(yīng)的定解問(wèn)題叫初值問(wèn)題初值問(wèn)題(或Cauchy問(wèn)題)和邊值問(wèn)題邊值問(wèn)題。 初值問(wèn)題或邊值問(wèn)題的解或稱(chēng)古典解古典解是指這樣的函數(shù): 它在區(qū)域的內(nèi)部具有方程中出現(xiàn)的一切連續(xù)偏微商,而本身在區(qū)域的閉包上連續(xù)(有時(shí)根據(jù)具體問(wèn)題的性質(zhì)或邊界條件的類(lèi)型,也要求有關(guān)的偏微商連續(xù)到邊界), 它滿(mǎn)足方程,并且當(dāng)時(shí)間變量趨于初始時(shí)刻時(shí)或空間變量趨于區(qū)域的邊界時(shí)它(有時(shí)及其有關(guān)的偏微商)連續(xù)地取到給定的初始值或邊界值。 若定解條件中既有初始條件又有邊界條件, 這時(shí)稱(chēng)定解問(wèn)題為初邊值問(wèn)題初邊值問(wèn)題或混合問(wèn)題混合問(wèn)題。30機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 注：注：關(guān)于初始條件的提法, 只有一種形式。 關(guān)于邊界

18、條件的提法, 通常有三種形式： 第三邊界條件第三邊界條件: 第一邊界條件第一邊界條件: 設(shè)微分方程中的未知函數(shù)u定義在區(qū)域 上， 的邊界是。u在上的值給定為已知函數(shù).u 具有這種邊界條件的定解問(wèn)題稱(chēng)為第一邊值問(wèn)題或狄利克雷(Dirichlet)邊值問(wèn)題。().uun第二邊界條件第二邊界條件: u在上的法向?qū)?shù)給定為已知函數(shù).un 帶有這種邊界條件的定解問(wèn)題稱(chēng)為第二邊值問(wèn)題或諾伊曼(Neumann)邊值問(wèn)題。 具有這種邊界條件的定解問(wèn)題稱(chēng)為第三邊值問(wèn)題或或魯賓(Robin) 邊值問(wèn)題。31機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 邊界條件邊界條件 初始條件初始條件 32機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)

19、束 例例1.2.233機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 34機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.2.2 定解問(wèn)題的適定性定解問(wèn)題的適定性 設(shè)u是一個(gè)定義在區(qū)域上的函數(shù), 在內(nèi)u及它出現(xiàn)在方程中的微商連續(xù)且滿(mǎn)足方程, 又設(shè)函數(shù)u以及出現(xiàn)在定解條件中的微商一直連續(xù)到的邊界, 并適合已給的定解條件, 那么, 我們稱(chēng)函數(shù)u是這個(gè)定解問(wèn)題的解. 我們把求一個(gè)方程在給定的定解條件下的解, 稱(chēng)做解定解問(wèn)題解定解問(wèn)題. 一個(gè)定解問(wèn)題, 如果滿(mǎn)足下列三個(gè)條件, 就稱(chēng)為是適定適定的: (1) 存在性：存在性：定解問(wèn)題至少存在一個(gè)解； (2) 惟一性：惟一性：定解問(wèn)題至多有一個(gè)解； (3) 穩(wěn)定性：穩(wěn)定性：當(dāng)

20、已知的定解條件在某種意義下作微小的變動(dòng)時(shí), 相應(yīng)的定解問(wèn)題的解也只作微小的變動(dòng)。35機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 36機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 37機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 由于偏微分方程是一門(mén)應(yīng)用性較強(qiáng)的學(xué)科, 當(dāng)我們利用它的理論和方法去解決某些實(shí)際問(wèn)題時(shí), 雖然定解問(wèn)題的適定性一時(shí)還得不到解決, 但經(jīng)過(guò)實(shí)踐檢驗(yàn), 結(jié)果還是可以采用的. 這時(shí)就沒(méi)有必要墨守先解決適定性方可求解的陳規(guī). 因?yàn)? 理論和實(shí)踐之間總有一些距離. 38機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 簡(jiǎn)史簡(jiǎn)史偏微分方程起源于18世紀(jì)，發(fā)展于19世紀(jì)，豐富于20世紀(jì)。39機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

21、40機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 41機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 42機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 43機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 44機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 45機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 46機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 47機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 48機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.3 二二階半線性方程的分類(lèi)與標(biāo)準(zhǔn)型階半線性方程的分類(lèi)與標(biāo)準(zhǔn)型 在前面的敘述中，我們分別討論了在前面的敘述中，我們分別討論了弦振動(dòng)方程弦振動(dòng)方程、熱傳導(dǎo)方熱傳導(dǎo)方程程與與拉普拉斯方程拉普拉斯方程。這三類(lèi)方程的形狀很特殊，它們是二階。這三類(lèi)

22、方程的形狀很特殊，它們是二階擬線性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一般形式的二階擬線性擬線性偏微分方程的三個(gè)典型代表。一般形式的二階擬線性偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對(duì)這三類(lèi)方程的偏微分方程之間的共性和差異，往往可以從對(duì)這三類(lèi)方程的研究中得到。由于擬線性方程的分類(lèi)依賴(lài)于它的具體解，所研究中得到。由于擬線性方程的分類(lèi)依賴(lài)于它的具體解，所以我們討論以我們討論擬線性方程的分類(lèi)擬線性方程的分類(lèi)。http:/ 二階擬線性偏微分方程分成三類(lèi)，為什么這樣分，有什么二階擬線性偏微分方程分成三類(lèi)，為什么這樣分，有什么好處好處, ,參見(jiàn)百度文庫(kù)參見(jiàn)百度文庫(kù)： 49機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.3.0

23、. 二階方程的特征二階方程的特征 (1)兩個(gè)自變量的情形兩個(gè)自變量的情形 一般的含有兩個(gè)自變量的二階半線性偏微分方程可寫(xiě)成如下形式: 其中a, b, c都是 x, y的已知函數(shù)，F(xiàn)是x, y , u , ux, uy的已知函數(shù). 設(shè)是xoy平面上的一條曲線, 它的參數(shù)表 示式為 在其上給定初始數(shù)據(jù) 2xxxyyyaubucuF 50機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這時(shí)就得到Cauchy問(wèn)題, . 一個(gè)十分自然的問(wèn)題是: 若在上給定了函數(shù)u及其一階偏導(dǎo)數(shù)的值, 能否利用這些值和方程來(lái)惟一確定函數(shù)的各二階偏導(dǎo)數(shù)在上的值. 20 xxxyyyaubucuF 于是我們得到初始數(shù)據(jù)之間的一個(gè)恒等式

24、從式可以看出, 在函數(shù) 中能任意給定的不超過(guò)兩個(gè).51機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 如果是Cauchy問(wèn)題 , 的解, 則沿著曲線可得到關(guān)于的線性方程組若的系數(shù)行列式52機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的非特征曲線, 若沿著曲線 則稱(chēng)曲線為方程的特征曲線特征曲線. 我們把關(guān)系式稱(chēng)為方程的特征方程特征方程, 方程也可寫(xiě)成 特征曲線的方程53機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 于是得到 這時(shí)特征方程就可寫(xiě)成 xydydx 如果偏微分方程是線性的或半線性的, 即已知函數(shù)則方程就是一個(gè)常微分方程. 54機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2)多個(gè)自變量的情形多個(gè)自變量的情形 一般的含有多個(gè)

25、自變量的二階半線性偏微分方程可寫(xiě)成如下形式: 1,1( , ,)ijnnijx xxxi ja uF x u uu 對(duì)于多個(gè)自變量的二階半線性偏微分方程的特征，我們不作詳細(xì)推導(dǎo)，有興趣的同學(xué)可參考華中師范大學(xué)偏微分方程教程電子教案。網(wǎng)址：http:/ 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 兩個(gè)自變量的二階半線性偏微分方程2xxxyyyaubucuF的特征方程：類(lèi)似地，多個(gè)自變量的二階半線性偏微分方程的特征方程：1,1( , ,)ijnnijx xxxi ja uF x u uu ,10niji jijGGaxx,10nijiji ja56機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 我們稱(chēng)方程或?yàn)槠⒎址匠痰奶?/p>

26、征方程特征方程; 稱(chēng)方程在點(diǎn) 處的解 為偏微分方程在點(diǎn)P的特征方向特征方向; 如果曲面S: G=0上每一點(diǎn)的法方向均為特征方向, 則稱(chēng)S: G=0為偏微分方程的特征曲面特征曲面.類(lèi)似地，多個(gè)自變量的二階半線性偏微分方程的特征方程：1,1( , ,)ijnnijx xxxi ja uF x u uu ,10niji jijGGaxx,10nijiji ja57機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例 對(duì)熱傳導(dǎo)方程 它的特征方程可寫(xiě)為 2222123()0a2221230Q. E. F.58機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.3.1 多個(gè)自變量的方程分類(lèi)多個(gè)自變量的方程分類(lèi)59機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè)

27、 下頁(yè) 返回 結(jié)束 60機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 61機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 62機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 63機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 64機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 1.3.2 兩個(gè)自變量的方程分類(lèi)兩個(gè)自變量的方程分類(lèi)65機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2212221111221111(2)aaaaa 22221212122211112222111111112()()aaaaaaaaa 2222121211221112221111()aaa aaaad66機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這是因?yàn)?7機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束

28、 xxxuuu()xxxxxuuu()()xxxxxxxxxxuuuuuu 222xxxxxxxxuuuuu ()xyxxyuuuxyxyyxxyxyxyuuuuuu yyyuuu()yyyyyuuu222yyyyyyyyuuuuu 代入(1.3.8)，得68機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2211(2)xxxxxxxxauuuuu 122()xyxyyxxyxyxyauuuuuu 2222(2)yyyyyyyyauuuuu 1( , , ,)0Fu u u 22111222(2)xxyyaaau 22111222(2)xxyyaaau 1112222()xxxyyxyyaaau *( ,

29、 , ,)Fu u u 0*11a*12a*22a*1112222( , , ,)0a ua ua uFu u u 69機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 *2211111222*12111222*22221112222()2xxyyxxxyyxyyxxyyaaaaaaaaaaaa （1.3.13）注意到（1.3.13）的第一個(gè)和第三個(gè)等式形式完全相同，因此，如果我們能選擇到方程2211122220 xxyyaaa （1.3.14）*11220,0.aa則式（1.3.11）的系數(shù)1( , ),x y2( , ),x y的兩個(gè)函數(shù)無(wú)關(guān)的解將變換取為1( , ),x y2( , )x y70機(jī)動(dòng)

30、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 這樣就達(dá)到了簡(jiǎn)化方程(1.3.8)的主部的目的。下面考察這種選取的可能性。將（1.3.14）的兩端除以 ，得y2111222()20 xxyaaa由隱函數(shù)求導(dǎo)，得xydydx 故（1.3.14）的求解轉(zhuǎn)化為下述常微分方程在(x, y)平面上的積分2211122220a dya dxdya dx（1.3.15）曲線問(wèn)題：2111222()20dydyaaadxdx（1.3.16）71機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 的特征線的特征線。很多時(shí)候, 人們說(shuō)到特征方程時(shí)往往不區(qū)分(1.3.14)和(1.3.15) 。2211122220 xxyyaaa （1.3.14）

31、2211122220a dya dxdya dx（1.3.15）設(shè) 是方程(1.3.15)的一族積分曲線，則( , )x yc( , )zx y是方程(1.3.15)的一個(gè)解。稱(chēng)方程(1.3.15)的積分曲線為方程(1.3.14)方程（1.3.14）稱(chēng)為方程(1.3.8)的特征特征方程方程。方程（1.3.15）有時(shí)也稱(chēng)為方程(1.3.8)的特征方程特征方程。我們有下面的結(jié)論。72機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xydydx Q. E. D.2211122220 xxyyaaa （1.3.14）2211122220a dya dxdya dx（1.3.15）73機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回

32、結(jié)束 74機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 75機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2111222()20dydyaaadxdx（1.3.16）76機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 77機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2211122220 xxyyaaa （1.3.14）2111222()20 xxyyaaa22121122121211221211112442xyaia aaai a aaaa78機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 2211122220 xxyyaaa （1.3.14）22121122121211221211112442xyaia aaai a aaaa21112112212()xyaai a aa 2111,2,121122121,2,()()()xxyyaiai a aai 22111,112,121,1122122,122,1122121,()xxyyyyaiaaa aaiaa aa 2211111211221212112212()xxyyyyaiaaa aaiaa aa 79機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 80機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 81機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 82機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 83機(jī)動(dòng) 目錄 上頁(yè) 下