第7章第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理

1、20092013年高考真題備選題庫(kù)第7章立體幾何第2節(jié)空間圖形的基本關(guān)系與公理考點(diǎn)平行關(guān)系與垂直關(guān)系的綜合問(wèn)題1 .（2013廣東，5分）設(shè)I為直線，a,B是兩個(gè)不同的平面.下列命題中正確的是（）A.若I/a,I/貝Uall3B.若I丄a,I丄3,貝Vall3C.若I丄a,I/3,貝Uall3D.若a丄3,Ila,VI丄3解析：本題主要考查線面關(guān)系知識(shí)，考查數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力.畫(huà)出一個(gè)長(zhǎng)方體ABCD-AiBiCiDi對(duì)于A,C1D1/平面ABBiAi,CiDi/平面ABCD，但平面ABBiAi與平面ABCD相交；對(duì)于C,BBi丄平面ABCD,BBi

2、/平面ADD1A1,但平面ABCD與平面ADD1A1相交；對(duì)于D，平面ABBiAi丄平面ABCD,CD/平面ABBiAi,但CD?平面ABCD.答案：B2. （2013浙江，5分）設(shè)m,n是兩條不同的直線，a,3是兩個(gè)不同的平面（）A.若m/a,n/a,貝Um/nB.若m/a,m/3,貝Uall3C.若m/n,m丄a,貝Un丄aD.若m/a,a丄3貝Um丄3解析：本題主要考查空間直線與平面平行和垂直的判定定理和性質(zhì)定理等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查考生的空間想象能力、推理論證能力，以及利用相關(guān)定理解決問(wèn)題的能力.逐一判斷可知，選項(xiàng)A中的m,n可以相交，也可以異面；選項(xiàng)B中的a與3可以相交；選項(xiàng)D中的m與

3、3的位置關(guān)系可以平行、相交、m在3內(nèi).答案：C3. （2013江蘇，14分）如圖，在三棱錐S-ABC中，平面SAB丄平面SBC,AB丄BC,AS=AB.過(guò)A作AF丄SB,垂足為F,點(diǎn)E,G分別是棱SA,SC的中點(diǎn).求證：（1）平面EFG/平面ABC；（2）BC丄SA.證明：本題考查直線與直線,直線與平面，平面與平面的位置關(guān)系，意在考查學(xué)生的空間想象能力和推理論證能力.因?yàn)锳S=AB,AF丄SB,垂足為F,所以F是SB的中點(diǎn).又因?yàn)镋是SA的中點(diǎn)，所以EF/AB.因?yàn)镋F?平面ABC,AB?平面ABC,所以EF/平面ABC.同理EG/平面ABC.又EFAEG=E,所以平面EFG/平面ABC.(2

4、)因?yàn)槠矫鍿AB丄平面SBC,且交線為SB,又AF?平面SAB,AF丄SB,所以AF丄平面SBC.因?yàn)锽C?平面SBC,所以AF丄BC.又因?yàn)锳B丄BC,AFAAB=A,AF,AB?平面SAB,所以BC丄平面SAB.因?yàn)镾A?平面SAB,所以BC丄SA4. (2013山東，12分)如圖，四棱錐P-ABCD中，AB丄AC,AB丄PA,AB/CD,AB=2CD,E,F,G,M,N分別為PB,AB,BC,PD,PC的中點(diǎn).(1) 求證：CE/平面PAD;(2) 求證：平面EFG丄平面EMN.證明：本題主要考查空間直線與平面、平面與平面間的位置關(guān)系，考查推理論證能力和空間想象能力.(1) 法一：取PA

5、的中點(diǎn)H，連接EH,DH.因?yàn)镋為PB的中點(diǎn)，1所以EH/AB,EH=2AB.1又AB/CD,CD=2AB,所以EH/CD,EH=CD,因此四邊形DCEH是平行四邊形.所以CE/DH.又DH?平面PAD,CE?平面PAD,因此CE/平面PAD.法二：連接CF.因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，1所以AF=2AB.1又CD=2AB,所以AF=CD.又AF/CD,所以四邊形AFCD為平行四邊形.因此CF/AD.又CF?平面FAD,所以CF/平面FAD.因?yàn)镋,F分別為FB,AB的中點(diǎn)，所以EF/FA.又EF?平面FAD,所以EF/平面FAD.因?yàn)镃FAEF=F,故平面CEF/平面FAD.又CE?平面CEF,所以

6、CE/平面FAD.因?yàn)镋,F分別為FB,AB的中點(diǎn)，所以EF/FA.又AB丄FA,所以AB丄EF.同理可證AB丄FG.又EFAFG=F,EF?平面EFG,FG?平面EFG,因此AB丄平面EFG.又M,N分別為PD,PC的中點(diǎn),所以MN/CD.又AB/CD,所以MN/AB,因此MN丄平面EFG.又MN?平面EMN,所以平面EFG丄平面EMN.5.(2013廣東，14分)如圖1，在邊長(zhǎng)為1的等邊三角形ABC中，D,E分別是AB,AC上的點(diǎn)，AD=AE,F是BC的中點(diǎn)，AF與DE交于點(diǎn)6.將厶ABF沿AF折起，得到如圖2所示的三棱錐A-BCF,(1)證明:DE/平面ABF;其中bc=¥.(

7、2)證明:CF丄平面當(dāng)AD2=3時(shí)，求三棱錐3F-DEG的體積Vf-deg.解：本題主要考查空間點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，同時(shí)考查空間想象能力與推理論證能力、運(yùn)算求解能力，難度適中.題目考查知識(shí)層次清晰，體現(xiàn)了廣東數(shù)學(xué)學(xué)科重視對(duì)重要知識(shí)與重要能力的考查，特別注重對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和基本技能的考查.(1)證明：在等邊三角形ABC中，AB=AC.VAD=AE,ADAE”DB=ECde/Be,DG/BF,如圖2,DG?平面BCF,DG/平面BCF.同理可證GE/平面BCF.DGAGE=G,.平面GDE/平面BCF,.DE/平面BCF.證明：在等邊三角形ABC中，F(xiàn)是BC的中點(diǎn),AF丄FC,11.BF=FC=2B

8、C=2.在圖2中，TBC=¥，.BC2=BF2+FC2,ZBFC=90°FC丄BF.BFAAF=F,.CF丄平面ABF.2 1TAD=3，ABD=3,AD:DB=2:1,在圖2中，AF丄FC,AF丄BF,.AF丄平面BCF,由(1)知平面GDE/平面BCF,.AF丄平面GDE.在等邊三角形ABC中，AF=23AB=23,1x/32211/，F(xiàn)G=AF=DG=BF=X=GE3 6，3323Szdge=DGEG=18,218Vf-deg=§S4dgeFG=.3324.l可能在3內(nèi)也可=CD,AC=BD,6.(2012浙江，5分）設(shè)l是直線，a,3是兩個(gè)不同的平面（)A

9、.若l/a,l/3,則all3B.若l/a,l丄3,則a丄3C.若a丄3,l丄a,則l丄3D.若a丄3,l/a,則l丄3解析：對(duì)于選項(xiàng)A，兩平面可能平行也可能相交；對(duì)于選項(xiàng)C,直線能平行于3;對(duì)于選項(xiàng)D，直線I可能在B內(nèi)或平行于B或與B相交.答案：B7.（2012安徽，5分）若四面體ABCD的三組對(duì)棱分別相等，即ABAD=BC,則（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的編號(hào)）. 四面體ABCD每組對(duì)棱相互垂直 四面體ABCD每個(gè)面的面積相等 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角之和大于90°而小于180° 連接四面體ABCD每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分 從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的

10、三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng)解析：錯(cuò)誤，當(dāng)AB=4,AC=3,AD=3時(shí)，AC與BD不垂直；正確，在ABC與ACDA中，AB=CD,AD=BC,AC=人。，故厶ABC180；正確，如圖所示，E、與ACDA全等；同理四面體的四個(gè)面都全等，故四面體ABCD每個(gè)面的面積相等；錯(cuò)誤，根據(jù)四面體的四個(gè)面都全等可得從四面體ABCD每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩夾角為一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角，故其和為F、G、H是所在邊的中點(diǎn)時(shí)，則四邊形EFGH為菱形，故EG與FH互相垂直平分，同理可得連接四面體ABCD的每組對(duì)棱中點(diǎn)的線段相互垂直平分；正確，因?yàn)锳D=BC,AB=CD,AC=BD,所以從四面體ABCD的頂點(diǎn)A出

11、發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可組成BCD,同理可得從四面體ABCD的每個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱的長(zhǎng)可作為一個(gè)三角形的三邊長(zhǎng).答案：&(2009江蘇，5分)設(shè)a和B為不重合的兩個(gè)平面，給出下列命題：(1) 若a內(nèi)的兩條相交直線分別平行于B內(nèi)的兩條直線，則a平行于3；(2) 若a外一條直線I與a內(nèi)的一條直線平行，則I和a平行；(3) 設(shè)a和3相交于直線I，若a內(nèi)有一條直線垂直于I，貝Ua和3垂直；(4) 直線I與a垂直的充分必要條件是I與a內(nèi)的兩條直線垂直.上面命題中，真命題.的序號(hào)(寫(xiě)出所有真命題的序號(hào)).解析：由面面平行的判定定理可知，(1)正確.由線面平行的判定定理可知，(2)正確.對(duì)來(lái)說(shuō)，I只垂直于a

12、和3的交線I，得不到I是a的垂線，故也得不出a丄3對(duì)(4)來(lái)說(shuō)，I只有和a內(nèi)的兩條相交直線垂直，才能得到I丄a也就是說(shuō)當(dāng)I垂直于a內(nèi)的兩條平行直線的話，I不垂直于a答案：(2)9.(2012江蘇，14分)如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，A1B1=A1C1,D,E分別是棱BC,CC1上的點(diǎn)(點(diǎn)D不同于點(diǎn)C)，且AD丄DE,F為B1C1的中點(diǎn).求證：(i)平面ADE丄平面BCCiBi；直線AiF/平面ADE.解：因?yàn)锳BCAiBiCi是直三棱柱，所以CCi丄平面ABC,又AD?平面ABC，所以CCi丄AD.又因?yàn)锳D丄DE,CCi,DE?平面BCCiBi,CCiHDE=E,所以AD丄平面BC

13、CiBi.又AD?平面ADE,所以平面ADE丄平面BCCiBi.因?yàn)锳iBi=AiCi,F為BiCi的中點(diǎn)，所以AiF_LBiCi.因?yàn)镃Ci丄平面AiBiCi，且AiF?平面AiBiCi,所以CCi丄AiF.又因?yàn)镃Ci,BiCi?平面BCCiBi,CCiHBiCi=Ci,所以AiF丄平面BCCiBi.由知AD丄平面BCCiBi，所以AiF/AD.又AD?平面ADE,AiF?平面ADE,所以AiF/平面ADE.iO.（20i2北京，i4分）如圖i，在RtABC中，/C=90°D,E分別為AC,AB的中點(diǎn),點(diǎn)F為線段CD上的一點(diǎn).將厶ADE沿DE折起到AiDE的位置,AiF丄CD，如

14、圖2.A0S使求證：DE/平面AiCB;求證：AiF丄BE;線段AiB上是否存在點(diǎn)Q,使AiC丄平面DEQ?說(shuō)明理由.解：證明：因?yàn)镈,E分別為AC,AB的中點(diǎn),所以DE/BC.又因?yàn)镈E?平面AiCB,所以DE/平面AiCB.證明：由已知得AC丄BC且DEIIBC,所以DE丄AC.所以DE丄AiD,DE丄CD.所以DE丄平面AiDC.而AiF?平面AiDC，所以DE丄AiF.又因?yàn)锳iF丄CD,所以AiF丄平面BCDE.所以AiF丄BE.線段AiB上存在點(diǎn)Q,使AiC丄平面DEQ.理由如下:如圖，分別取AiC,AiB的中點(diǎn)P,Q,則PQ/BC.又因?yàn)镈E/BC，所以DE/PQ.所以平面DEQ

15、即為平面DEP.由知，DE丄平面AiDC，所以DE丄AiC.又因?yàn)镻是等腰三角形DAiC底邊AiC的中點(diǎn),所以AiC丄DP.所以AiC丄平面DEP.從而AiC丄平面DEQ.故線段AiB上存在點(diǎn)Q,使得AiC丄平面DEQ.ii. (20ii天津，i3分)如圖，在四棱錐為平行四邊形，/ADC=45°AD=AC=i,面ABCD,PO=2,M為PD的中點(diǎn).(1) 證明PB/平面ACM;(2) 證明AD丄平面PAC;(3) 求直線AM與平面ABCD所成角的正切值.解：證明：連接BD,M0,在平行四邊形ABCD中，因?yàn)?為AC的中點(diǎn)，所以0為BD的中點(diǎn).又M為PD的中點(diǎn)，所以PB/MO.A因?yàn)镻

16、B?平面ACM,MO?平面ACM，所以PB/平面ACM.證明：因?yàn)?ADC=45°且AD=AC=1,所以/DAC=90°即AD丄AC又P0丄平面ABCD,AD?平面ABCD，所以P0丄AD.而ACnP0=O,所以AD丄平面PAC.1(3) 取DO中點(diǎn)N,連接MN,AN.因?yàn)镸為PD的中點(diǎn)，所以MN/PO,且MN=?PO=1.由PO丄平面ABCD，得MN丄平面ABCD，所以/MAN是直線AM與平面ABCD所成的角.在RtDAO中，AD=1,AO=舟，所以DO二甲.從而AN=DO=屮.在RtNM中，tan/MANMN_1_4.5AN=牙V，即直線AM與平面ABCD所成角的正切值

17、為4,55ABEG,GH，由于H為BCEF12. (2010安徽，13分)如圖，在多面體ABCDEF中，四邊形ABCD是正方形，AB=2EF=2,EF/AB,EF丄FB,/BFC=90°BF=FC,H為BC的中點(diǎn).(1)求證：FH/平面EDB;(2)求證：AC丄平面EDB;求四面體B-DEF的體積.解：(1)證明：設(shè)AC與BD交于點(diǎn)G,貝UG為AC的中點(diǎn).連接1的中點(diǎn)，故GH綊2AB.又EF綊1AB,AEF綊GH,四邊形EFHG為平行四邊形,EG/FH，而EG?平面EDB,.FH/平面EDB.證明：由四邊形ABCD為正方形，有AB丄BC.又EF/AB,.EF丄BC.而EF丄FB,.E

18、F丄平面BFC,.EF丄FH,AB丄FH.又BF=FC,H為BC的中點(diǎn)，F(xiàn)H丄BC.FH丄平面ABCD.FH丄AC.又FH/EG,.AC丄EG.又AC丄BD,EGnBD=G,AC丄平面EDB.(3) -.EF丄FB,/BFC=90°/-BF丄平面CDEF.BF為四面體B-DEF的高.-BC=AB=2,/BF=FC=2.又EF=1,Vb-def=3X1X1X-2X2=3.13. (2010遼寧，12分)如圖，棱柱ABCAiBiCi的側(cè)面BCCiBi是菱形，BiC±AiB.(1) 證明：平面ABiC丄平面AiBC仁(2) 設(shè)D是AiCi上的點(diǎn)，且AiB/平面BiCD，求AiD:DCi的值.解：證明：因?yàn)閭?cè)面BCCiBi是菱形，所以BiC丄BCi.又已知BiC丄AiB，且AiBABCi=B,所以BiC丄平面AiBCi.又BiC?平面ABiC,所以平面ABiC丄平面AiBCi.(2)如圖，設(shè)BCi交BiC于點(diǎn)E,連結(jié)DE,貝UDE是平面AiBCi與平面BiCD的交線.因?yàn)锳iB/平面BiCD，所以AiB/DE.