第七章微分方程

1、22y'y1即ysin(xC)是原方程的解.該解含有一個任意常數(shù),與方程的階數(shù)相同，所以它是通解.dx即-dydx故積分得arcsinyxC1y2于是得ysinx(C)sin(xC)sin(xC).(2)證明:由于y'x1exdxCex故xy'yx(x1exdxCex)x(x1exdxC)xex,1y2,當y1，驗證是原方程解；當y1時,即yx(x1exdxC)是原方程的解.該解含有一個任意第一節(jié)微分方程的基本概念1多選：BD.2.填空：,_0_.3證明:(1)證明：因y'cos(xC)，故22cos(xC)sin(xC)10,切，稱y1是奇解.增注：如何解方程

2、？答：令P魚，原方程可以化為dx常數(shù)，與方程的階數(shù)相同，所以它是通解.4.解：由于y'C，故dy2dy21x()y1xC(Cx-)C10,dxdxC1又由于此微分方程是一階的，yCx含有一個任意常C1數(shù)，所以它是通解.將x0,y2代入通解中，解得C-,21特解為yx2.25.解：函數(shù)T(t)滿足的微分方程dTk(T20)(1)dt其中k(k0)為比例常數(shù).這就是物體冷卻的數(shù)學(xué)模型.根據(jù)題意，TT(t)還需滿足初始條件T|to100.(2)該初始條件是根據(jù)什么得到的？為什么？第二節(jié)可分離變量的微分方程與齊次方程2In|y|xG,從而yexC.求下列微分方程的通解：(1)解：分離變量得dy

3、2xdx,yeC1ex，記CeC1,則得到題設(shè)方程的通解y=Cex.(2)解：先合并dx及dy的各項，得y(x1)dy(y21)dx設(shè)y210,x10,分離變量得dx兩端積分dydx，得y21x112?ln|y21|In|x1|ln|G|,2222于是y1C1(x1)記CC1,則得到題設(shè)方程的通解y21C(x1)2.注：在用分離變量法解可分離變量的微分方程的過程中，我們在假定g(y)0的前提下，用它除方程兩邊，這樣得到兩端積分得業(yè)2xdx，即的通解，不包含使g(y)0的特解.但是，有時如果我們擴大任意常數(shù)C的取值范圍，則其失去的解仍包含在通解中.如該題中，我們得到的通解中應(yīng)該C0，但這樣方程就

4、失去特解y1，而如果允許C0，則y1仍包含在通解寸1C(x1)2中.2.解：原方程化為sin2xdxcos3ydy,11兩邊積分得cos2xsin3yC,231代入y(/§，得C,故滿足初始條件(刁)§的微分方程的解是3cos2x2sin3y3.3.解：由于yyo(x)2xxx令x0，由于o(x)是x的高階無窮小，故得dy_ydxx2，分離變量，兩邊積分，得In|y|x1C1,Cx1記Ce1則得到原方程的通解yCe,代入f(1)=1,得C=e從而，有1limf(x)limeexxx4.解：(1)微分方程化為M7(y兩邊積分得到方程的解是其中c是任意常數(shù).令t0,y1.610

5、7求得C4，則y(t)lim(2)xxeee.一年后大比目魚種群總重量是y(1)2.7107千克.(2)令y(t)810714e0.71t-)dyrdt,yMrMt，1Ce0.08875107,MJ074e0.71t，4107，得t1.95年.5解：根據(jù)物體冷卻的數(shù)學(xué)模型，有8107,k(T20),k0,dtT(0)37其中k0是常數(shù)分離變量并求解得20Cekt為求出k值，根據(jù)兩個小時后尸體溫度為35°C這一條件,k2有352017e，求得k0.063，于是溫度函數(shù)為T2017e0.063t10將T30代入上式求解t,有e0.063t，即得t8.4(小17時).于是，可以判定謀殺發(fā)生

6、在下午4點尸體被發(fā)現(xiàn)前的8.4小時，即8小時24分鐘，所以謀殺是在上午7點36分發(fā)生的.第三節(jié)齊次方程(1)解:方程改寫為dyytan#,dxxx令u-，有dux-tanusinu即xdxcosu1.求下列齊次微分方程的通解:cotudu兩邊積分,代回變量,dx(sinu0),得通解(2)解：方程可化為sinuCx,.y小sinCx.xC)22丫3xx12-x令yux，則有分離變量解之得原方程的通解為(3)解：方程改寫為dux-dxy2xyx2dydxdux-dxdu分離變量2.1u積分，得arcsinu23(uu1)2u1，Cx3,x3C.1(y)2xInex,1),代回變量，得通解arcs

7、in*Inex,yx也是方程的x解.、ydydu2.解：題設(shè)方程為齊次方程，設(shè)U,則UX,xdxdx代入原方程得uutanu,分離變量得cotudu1dx,dxx兩邊積分得In|sinu|In|x|ln|C|，即sinuCx，將uy回代，則得到題設(shè)方程的通解為xsinCx.x利用初始條件y|x!/6,得到C1從而所求題設(shè)方程的特2解為sin#1x.x2第四節(jié)一階線性微分方程1.試用公式法求解卜列微分方程:(1)解:12x12x2dx2dxyex(exdxC)(lnx21)lnx21ex(exdxC)x2(11Cex)故yx2(1Cex)是原方程的解.(2)解:ydx.dxe(sinxedxC)

8、ex1 xe(sinxcosx)C2Cex1(sinxcosx)2故yCe一(sinxcosx)是原方程的解.2.試用常數(shù)變易法求下列微分方程的通解：(1)解:原方程對應(yīng)的齊次方程烹2xy0的通解為yCex2由常數(shù)變易法得原方程的一個特解為y*2.此處解沒錯，但希望與教材上寫法一致。下題有相同的問題。則原方程的通解為yCex22.1(2)解：原方程對應(yīng)的齊次方程y'y0的通解為x2yC(x2).由常數(shù)變易法得原方程的一個特解為y*(x2)3；1則原方程的通解為y(x2)(x24xC).3.解：原方程可改寫為dX-y,dyy由一階線性微分方程通解公式，11dydyxeyyeyCy(yC)

9、，因此，方程的通解為xy(yC)，代入y(0)1，得C1，它的一個特解為y因此，所求曲線為6*.解：方程兩邊同乘以令zy1，則賽該方程對應(yīng)的齊次方程xln|x|.xIn|x|Cx.2dydxdzzdx2dyydx于是生于是dx0的通解為由常數(shù)變易法得一個特解為z*sinx.sinxsinxcosx.cosx.zCexx則它的通解為zCexsinx.因此，特解是xy(y1).4.解：設(shè)所求曲線為yy(x)，則它在曲線上任一點的斜率于是原方程的通解為y1Cexsinx.ky'.過點(x,y)的切線方程為另外，y0也是原方程的解.第五節(jié)可降階的高階微分方程Yyy'(Zx).依題意Z0

10、,Yx，則有yxy'x,即y'1.x它對應(yīng)的齊次方程y'1的通解為Cx,1.求下列微分方程的通解：(1)解：對原方程兩端連續(xù)兩次積分得22xy'2xlnxdxxlnxC1,2yOx5x3x3Inx78-rC2-(2)解：令y'p，則原方程化為dp1Pdxx由一階線性方程的通解公式,idxpex(4e1dxxdxCi)從而有y'C1x2x,(3)解：令py',有IIyp蟲可得dydpyp-2p,若y0,p0,則約去p,并分離變量,dy得dpdy，積分得,y'pGy,py再分離變量，積分得兩端積分得到原微分方程的通解yC2eCx，其中

11、C1和C2為任意常數(shù).2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解：(1)解：令py',有y''pdp可得dyp-pey.分離變量積分得p20C1.dy代入初值，知GO,y'pey,分離變量，得到微分方程的解xeyC0,代入初值C1，從而原方程的通解為xey10.(2)解：令py'，則原方程化為p'2xp20,分離變量，積分得$22xdx-x2C1,pp代入初始條件，得C12,1故有y'嚴.再積分，得11ydxC2=Inx22P2C2,代入初始條件，得C21,從而原方程的通解為ylln|x''21.2近|xV2|第六節(jié)高階線性

12、微分方程1 填空：y1y2.2 .選擇：(1)D.(2)C.第七節(jié)常系數(shù)齊次線性微分方程1.填空：(1)_2_,.XX(2)yC1e,C2xeC3cos2xC4sin2x2.求下列微分方程的通解:(1)解：其特征方程為：2小r3r2(r1)(r2)0特征根為r2,r1.原方程的通解為：yGe2xC2ex2(2)解：特征方程為r8r160,特征根為Ah4,方程的通解為yC1e4xC2xe4x.2(3)解：特征方程為r2r100，特征根為r13i,方程的通解為yex(C1cos3xC2sin3x).(4)解：其特征方程為：322rr2(r1)(r2r2)0,特征根為：11,2,31i；原方程的通解

13、為：yGexC2excosxC3exsinx3.解：r2250,r15i,a5i,通解yc1cos5xqsin5x,代入y(0)2,y(0)5，解得c12,c21,特解y2cos5xsin5x.4.解：設(shè)x軸的正向鉛直向上，"卜x原點在水面處.平衡狀態(tài)下浮筒上的一點A在水平面處，而O1x(t)在運動狀態(tài)下點A的坐標為x時，浮筒受到的恢復(fù)力的大小為(1)x(axb)e2x.(2)D.21000grx，恢復(fù)力指向平衡位置，方向與位移方向相反,故有關(guān)系式d2xm2dt21000grx，其中m是浮筒的質(zhì)量.21000grm則有微分方程密2x0,dt2求得特征方程的根i，于是得到浮筒運動規(guī)律函

14、數(shù)CicosC2sintAsin(由于周期是T，由21000gr2m解出m1000gr2195kg.第八節(jié)常系數(shù)非齊次線性微分方程1.填空與選擇:2.求微分方程yyf(x)的通解:(1)解：對應(yīng)的齊次方程為齊次方程的通解為Yyy0,其特征方程為0,r21,C1C2ex,0是特征方程的單根，所以非齊次方程的特解形式2x(b°xdxb2),代入原方程，比較系數(shù)得到一個特解y*(2x2所求方程的通解為xGC?e(2)解：因解形式為y代入原方程,2x1)x,2x22x2,b21，于是得1)x.1是特征方程的單根，所以非齊次方程的特xx(b°xbi)e,比較系數(shù)得b。-,b11，于是

15、得到一2*1個特解yx(1x1)ex,所求方程的通解為yYyC1C2ez12(2x3.解：特征方程為r32r特征根為A022,ra故對應(yīng)齊次方程通解為xGc2e2xCae對yy2yxex1是*特征方程的單根，可設(shè)*有特解y1x(AxB)ex,14解得y1x(6x護，對yy2y4x*,0是*特征方程的單根，可設(shè)*有特解y2x(CxD)，解得y2x(x1)，14故yx(石x)exx(x1)是原方程的一個特解.故原方程通解為x2x14xyC1C2eQex(x)ex(x1).694.求微分方程滿足已給初始條件的特解：(1)解：特征方程為：r特征根為：r,2,r23r對應(yīng)齊次方程的通解是:設(shè)原方程的特解

16、為:*XX所以y2xe,由y(o)0,y(0)2xxc)eC2e,axex，將其代入原方程待定系數(shù)y2xgeXqe2xex；1解得g3,C23,yc2x3e_X3e2xex.故原方程的通解為因此所求的特解是(2)解：yysin2x對應(yīng)的齊次方程的特征方程為:2r10,特征根為ri,令yacos2xbsin2x，代入原方程，比較系數(shù)得11a0，b3，y*3sin2x.故原方程的通解是yC1cosxC2sinxdin2x.3且有y'C1sinxC2cosx-cos2x,3代入初始條件，得1,C2于是原方程的特解是COSX13，1.sinx31sin2x.35.解：由題意有f(x)f(0)1

17、,f(0)1特征方程為r210，特征根為ri222注：f(x)xex0(tx)f(t)dtf(x)xex0tf(t)dtx0xf(t)dtf(x)xex0tf(t)dtxx0f(t)dtf(x)xexxf(x)0f(t)dtxf(x)f(x)xexxf(x)0f(t)dtxf(x)f(x)xex0f(t)dtf(x)exfx第七章自測題fxcosx-sinx-ex.故對應(yīng)齊次方程通解為yGcosxC2sinx；1不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解1Aex,解得fxex,21故原方程的通解為fxC1cosxC2sinx-x；由f(0)1,f(0)1得本題解為1.填空：(1)yx(lnxC).(

18、2)xe2y(yC).(3)y4y4y0.(4)yx3x.32.選擇：(1)A.(2)A.(3)D.(4)D.2x3.解：方程改寫為y2y3，則通解為1x22yen(1%)3eln(1x)dxC(1x2)(C3arctanx).4.解：特征方程為r25r40,特征根為n1,4,故對應(yīng)齊次方程通解為yC1exC2e4x,本題中0不是特征方程的根，故可設(shè)原方程有特解y*AxB，代入原方程有AxB025(AxB)4(AxB)32x，1，B118故原方程通解為例如，初始條件GeC2e4x11811y(0)；，y(1)e8x0f(x)dt11,兩邊求導(dǎo)得y2y',yy分離變量，dx13dy兩邊積

19、分得xCy1c2，2y因此y1X1，代入f(x)dt0y、2xCx1有.10V2TdtC2xC,(一2xC、C)2xC,得C0所以y1-2x6解：曲線點P(x,y)的切線方程為：Yyy(Xx)，得到C11,C21.所以特解為yexe4x1x11.28A5.解：設(shè)yf(x)，則原方程化為該曲線與x軸交點記為B，則B坐標為X,0,y過點P(x,y)平行于y軸的直線和x軸交點記為A，則Af(x)CiexC?e將y',y代入f''(x)f(x)2e,2x坐標為x,0,故三角形面積為1JABIAP即有微分方程y22a2dx得Gex5C2e2x2ex，即G1,C20.(4)1xye(c1c2x)解析:特征方程是21-0,特征根是1=124221當寸2dy時用分離變量法解得dx當y22a2dy時用分離變量法解得dx7.考研題練練看：y(cy(cx)x)(1)ysinxex.解析：一階線性微分方程求解公式x(C(2)代入初值得，C0.yGe