第七節(jié)方向?qū)?shù)與梯度 ppt課件

1、第七節(jié)第七節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)二、梯度二、梯度一、問題的提出一、問題的提出一塊長方形的金屬板，受熱一塊長方形的金屬板，受熱產(chǎn)生如圖溫度分布場產(chǎn)生如圖溫度分布場. . 設(shè)一個小蟲在板中逃生至某設(shè)一個小蟲在板中逃生至某問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，問該蟲應(yīng)沿什么方向爬行，才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？才能最快到達(dá)涼快的地點(diǎn)？處，處，問題的實質(zhì)：問題的實質(zhì)： 應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的應(yīng)沿由熱變冷變化最劇烈的方向爬行方向爬行需要計算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，需要計算場中各點(diǎn)沿不同方向的溫度變化率，從而確定出溫度下降的最快方向從而確定出溫度下降的最快方向引入兩個概念：方向?qū)?/p>

2、數(shù)和梯度引入兩個概念：方向?qū)?shù)和梯度方向?qū)?shù)問題方向?qū)?shù)問題梯度問題梯度問題 討論函數(shù)討論函數(shù) 在一點(diǎn)在一點(diǎn)P P沿某一方向的沿某一方向的變化率問題變化率問題),( yxfz 二、方向?qū)?shù)二、方向?qū)?shù)oyxl( , )( , )( )zf x yP x yU PPl 設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)的的某某一一鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)有有定定義義，自自點(diǎn)點(diǎn)引引射射線線 ,(,)( ).xlP xx yylPU P 設(shè)設(shè)軸軸正正向向到到射射線線 的的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)角角為為并并設(shè)設(shè)為為上上的的另另一一點(diǎn)點(diǎn)且且PP xy |PP,)()(22yx ),(),(yxfyyxxfz 且且當(dāng)當(dāng) 沿著沿著 趨于趨于 時，時，P Pl ),(

3、),(lim0yxfyyxxf ,z 考考慮慮是否存在？是否存在？oyxlPP xy.),(),(lim0 yxfyyxxflf (,)( , )f xx yyf x y 定定義義函函數(shù)數(shù)的的增增量量記為記為oyxlPP 如如果果此此比比的的極極限限存存在在，則則稱稱這這極極限限為為函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)22()()PPxy 與與兩兩點(diǎn)點(diǎn)間間的的距距離離之之比比值值，Pl沿沿方方向向 的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)PlP 當(dāng)當(dāng)沿沿著著趨趨于于時時，.),(),(lim0 yxfyyxxflf (1,0)i .yf的方向?qū)?shù)為的方向?qū)?shù)為0(,)( , )limff xx yyf x yl x 0 xfxf 1

4、 , 02 e同理同理, ,沿沿y y軸正向軸正向的方向?qū)?shù)分別為的方向?qū)?shù)分別為xx 此此時時x 在點(diǎn)在點(diǎn)沿著沿著軸正向軸正向x若偏導(dǎo)若偏導(dǎo) 存在存在, ,那么那么),(yxfPxf.若若方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在，則則偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)未未必必存存在在 220,0zxyOli 例例如如，在在處處沿沿方方向向的的 0 01fl ，方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)， 0,0.zx 而而偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)不不存存在在 )0 , 0(),(lim0)0,0(fyxflz 1)()()()(lim22220 yxyx .偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)存存在在沿沿任任意意方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)存存在在方向?qū)?shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限方向

5、導(dǎo)數(shù)是單側(cè)極限，而偏導(dǎo)數(shù)是雙側(cè)極限. .原因：原因：證明證明由于函數(shù)可微，則增量可表示為由于函數(shù)可微，則增量可表示為)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 方向?qū)?shù)的存在及計算公式方向?qū)?shù)的存在及計算公式那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向那末函數(shù)在該點(diǎn)沿任意方向l l的方向?qū)?shù)都存在，的方向?qū)?shù)都存在，),(yxfz ),(yxP定理定理 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微分，可微分，且有且有 sincosyfxflf 為為 x軸到方向軸到方向l l的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角其中其中計算公式計算公式 )(),(),(oyyfxxfyxfyyxxf 故有方向?qū)?shù)故有方向?qū)?shù) ),(),(lim0yxfyyxxf .

6、sincos yfxf lf)(),(),( oyyfxxfyxfyyxxf 兩邊同除以兩邊同除以,得到得到x y lcossin故故x軸到方向軸到方向l 的轉(zhuǎn)角的轉(zhuǎn)角解解; 1)0, 1(2)0, 1( yexz, 22)0, 1(2)0, 1( yxeyz)4sin(2)4cos( lz.22 1, 1 PQ方向方向l 即為即為4 所求方向?qū)?shù)所求方向?qū)?shù)解解 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 由方向?qū)?shù)的計算公式知由方向?qū)?shù)的計算公式知,sin)2(cos)2()1 , 1()1 , 1( xyyx （1最大值最大值; （2最小值；最小值； （3等于零？

7、等于零？ 22),(yxyxyxf 例例2 求函數(shù)求函數(shù) l在點(diǎn)在點(diǎn)(1,1)沿與沿與 x軸方向夾角為軸方向夾角為的方向射線的方向射線的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù).并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有并問在怎樣的方向上此方向?qū)?shù)有 sincos),4sin(2 故故 sin)1 , 1(cos)1 , 1()1 , 1(yxfflf 方向?qū)?shù)達(dá)到最大值方向?qū)?shù)達(dá)到最大值2; ;方向?qū)?shù)達(dá)到最小值方向?qū)?shù)達(dá)到最小值2 ; ;方向?qū)?shù)等于方向?qū)?shù)等于0.0.,),(),(lim0 zyxfzzyyxxflf 推廣推廣: 三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義三元函數(shù)方向?qū)?shù)的定義),(zyxfu ),(zyxP對于三元函數(shù)對于

8、三元函數(shù)它在空間一點(diǎn)它在空間一點(diǎn)沿著方向沿著方向l的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù) ，可定義為可定義為 其中其中222)()()(zyx ）.coscoscos zfyfxflf ,cos x,cos y,cos z方向?qū)?shù)的計算公式方向?qū)?shù)的計算公式xyzlo 解解令令, 632),(222 zyxzyxF, 44 PPxxF, 66 PPyyF, 22 PPzzF故故(,)xyznFFF (4,6, 2), ,142264222 n方向余弦為方向余弦為2122)86(1yxzu 求函數(shù)求函數(shù)n在此處沿方向在此處沿方向的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù). .是曲面是曲面n632222 zyx)1 , 1 , 1(P例

9、例3 3 設(shè)設(shè) 在點(diǎn)在點(diǎn)處的指向外側(cè)的法向量處的指向外側(cè)的法向量, ,142cos ,143cos .141cos ,142cos ,143cos .141cos 221,1,1668PPuxxzxy ;146 221,1,1868PPuyyzxy ;148 222(1,1,1)68PPxyuzz .14 PPzuyuxunu)coscoscos( .711 故故三、梯度三、梯度:問問題題?P函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)沿沿哪哪一一方方向向增增加加的的速速度度最最快快 sincosyfxflf (,) (cos ,sin )ffxy eyxgradf ),(,cos| ),(| yxgradf jie s

10、incos 設(shè)設(shè)是方向是方向l l上的單位向量，上的單位向量， 當(dāng)當(dāng) 時，時，1),(cos( eyxgradflf 有最大值有最大值. .其中其中),(,eyxgradf 由方向?qū)?shù)公式知由方向?qū)?shù)公式知結(jié)論結(jié)論gradfgradf P22|( , )|ffgradf x yxy當(dāng)當(dāng)xf 不為零時，不為零時，xfyf tanx軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切為函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，函數(shù)在某點(diǎn)的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致它的方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,而它的模為方向?qū)?shù)的最大值而它的模為方向?qū)?shù)的最大值梯度的模為梯度的模為 l在幾何上

11、在幾何上 表示一個曲面表示一個曲面),(yxfz 曲面被平面曲面被平面 所截所截, ,得曲線得曲線cz ,),( czyxfz它在它在xoyxoy面上投影方程：面上投影方程：oyx2( , )f x yc 1),(cyxf( , )f x yc 等高線等高線( , )f x yc 稱為等值線稱為等值線. .等值線等值線幾何上，稱為等高線幾何上，稱為等高線. .sinzxy 函函數(shù)數(shù)圖圖形形及及其其等等高高線線圖圖形形例如例如, ,( , )f x yc 等值線等值線上任一點(diǎn)處的一個法向量為上任一點(diǎn)處的一個法向量為),(yxffn fgrad 說明：梯度方向與等值線的一個法線方向相同，說明：梯度

12、方向與等值線的一個法線方向相同，它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等它的指向為從數(shù)值較低的等值線指向較高的等梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的梯度的模就等于函數(shù)在這個法線方向的方向?qū)?shù)方向?qū)?shù). .0nnf gradffn oyx2( , )f x yc 1( , )f x yc Pn( , )f x yc 21ccc =grad ( , )f x y值線，值線，問題：問題：上山時，如何選擇最快的方向？上山時，如何選擇最快的方向？計算方法課程中的一種計算策略：計算方法課程中的一種計算策略：“瞎子下山法瞎子下山法”.),(kzfjyfixfzyxgradf 類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量

13、，其方向類似于二元函數(shù)，此梯度也是一個向量，其方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致，其模為方向?qū)?shù)的最大值最大值. .梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)梯度的概念可以推廣到三元函數(shù)解解 由梯度計算公式得由梯度計算公式得kzujyuixuzyxgradu ),(,6)24()32(kzjyix 故故.1225)2 , 1 , 1(kjigradu grad(23)(42)60,fxiyjzk 令令則在則在)0 ,21,23(0 P處梯度為處梯度為. 0yxzyxu2332222 )2 , 1 , 1 (例例4 求函數(shù)求函數(shù) 在點(diǎn)在點(diǎn)處的梯度，并問在何處梯度為零

14、？處的梯度，并問在何處梯度為零？一、方向?qū)?shù)一、方向?qū)?shù)（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）（注意方向?qū)?shù)與一般所說偏導(dǎo)數(shù)的區(qū)別）小小 結(jié)結(jié).),(),(lim0 yxfyyxxflf 1.1.定義定義2.2.計算公式計算公式 sincosyfxflf .coscoscos zfyfxflf 二、梯度二、梯度 （注意梯度是一個向量）（注意梯度是一個向量）grad ( , )f x y jyfixf 定義定義22| ),(| yfxfyxgradfxfyf tan方向：方向：x軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切軸到梯度的轉(zhuǎn)角的正切模：模：三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系三、方向?qū)?shù)與梯度的關(guān)系方向與取得最大方向?qū)?shù)

15、的方向一致方向與取得最大方向?qū)?shù)的方向一致, ,模為方向?qū)?shù)的最大值模為方向?qū)?shù)的最大值. .梯度：梯度： sincosyfxflf ,cos| ),(| yxgradf 其中其中,( , )gradf x y l ( , ).f x y某某點(diǎn)點(diǎn)梯梯度度的的方方向向就就是是函函數(shù)數(shù)在在這這點(diǎn)點(diǎn)增增長長最最快快的的方方向向思考題思考題問函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？問函數(shù)在某點(diǎn)處沿什么方向的方向?qū)?shù)最大？2(1, 1,2).uxy zP 求求函函數(shù)數(shù)在在點(diǎn)點(diǎn)處處方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)的的最最大大值值答：梯度方向答：梯度方向答：答：21grad222 Pzyxffff作作 業(yè)業(yè)P.51 習(xí)題習(xí)題

16、8-71; 4; 7; 8; 10.一一、 填填空空題題: :1 1、 函函數(shù)數(shù)22yxz 在在點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(處處沿沿從從點(diǎn)點(diǎn))2 , 1(到到點(diǎn)點(diǎn) )32 , 2( 的的方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)為為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .2 2、 設(shè)設(shè)xyzyxzyxf 22232),(zyx623 , , 則則 )0 , 0 , 0(gradf_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .3 3、 已已知知場場,),(222222czbyaxzyxu 沿沿則則u場場的的梯梯度度方方向向的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù)是是_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .4 4、 稱稱向向量量場場a為為有有勢勢場場, ,是是指指向向量量a與與某某個個函函數(shù)數(shù) ),(zyxu的的梯梯度度有有關(guān)關(guān)系系_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _. .練練 習(xí)習(xí) 題題三三、 設(shè)設(shè)vu,都都是是zyx,的的函函數(shù)數(shù), ,vu,的的各各偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)都都存存在在且且連連續(xù)續(xù), ,證證明明: :ugradvvgraduuvgrad )(四四、 求求222222czbyaxu 在在點(diǎn)點(diǎn)),(000zyxM處處沿沿點(diǎn)點(diǎn)的的向向徑徑0r的的方方向向?qū)?dǎo)數(shù)數(shù), ,