第三章 不可壓縮無粘流體平面勢流

1、3 31 1 理想不可壓縮流體平面位流的基本方程理想不可壓縮流體平面位流的基本方程3 32 2 幾種簡單的二維位流幾種簡單的二維位流3 32 21 1 直勻流直勻流3 32 22 2 點源點源3 32 23 3 偶極子偶極子3 32 24 4 點渦點渦3 33 3 一些簡單的流動迭加舉例一些簡單的流動迭加舉例3 33 31 1 直勻流加點源直勻流加點源3 33 32 2 直勻流加偶極子直勻流加偶極子3 33 33 3 直勻流加偶極子加點渦直勻流加偶極子加點渦本章基本要求本章基本要求掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質與關系；掌握平面不可壓位流中位函數(shù)與流函數(shù)的性質與關系；掌握平面不可壓位流

2、的基本方程即拉普拉斯方程的特點掌握平面不可壓位流的基本方程即拉普拉斯方程的特點、疊加原理和邊界條件；、疊加原理和邊界條件；掌握四種基本而重要的位流流動即：直勻流，點源（點掌握四種基本而重要的位流流動即：直勻流，點源（點匯）、偶極子和點渦的表達；匯）、偶極子和點渦的表達；重點掌握直勻流與偶極子和點渦的疊加；重點掌握直勻流與偶極子和點渦的疊加；掌握儒可夫斯基升力定律；掌握儒可夫斯基升力定律； 對于理想不可壓縮流體，流動的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運動方對于理想不可壓縮流體，流動的基本方程是連續(xù)方程和歐拉運動方程組。在第二章中已給出這些方程的推導過程，本章應該討論怎樣求程組。在第二章中已給出這些方程的

3、推導過程，本章應該討論怎樣求解這些方程。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。因為解這些方程。但是，要想得到這些偏微分方程的解，并非易事。因為實際飛行器的外形都比較復雜，要在滿足這些復雜邊界條件下求得基實際飛行器的外形都比較復雜，要在滿足這些復雜邊界條件下求得基本方程的解，困難是相當大的。為了簡化求解問題，本章首先介紹流本方程的解，困難是相當大的。為了簡化求解問題，本章首先介紹流體力學中一類簡單的流動問題，理想不可壓縮流體的無旋流動。這是體力學中一類簡單的流動問題，理想不可壓縮流體的無旋流動。這是早期流體力學發(fā)展的一種理想化近似模型，比求解真實粘性流動問題早期流體力學發(fā)展的一種理想化近似

4、模型，比求解真實粘性流動問題要容易的多。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相要容易的多。在粘性作用可忽略的區(qū)域，這種理想模型的解還是有相當?shù)目尚懦潭?。當?shù)目尚懦潭取?1 1、不可壓縮理想流體無旋流動的基本方程、不可壓縮理想流體無旋流動的基本方程pfdtVdzwyvxu10初始條件和邊界條件為初始條件和邊界條件為在在t=t0時刻，時刻，在物體的邊界上在物體的邊界上在無窮遠處在無窮遠處 存在速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為存在速度勢函數(shù)（位函數(shù)）為如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到如果將上式代入不可壓縮流體的連續(xù)方程中，得到p(x,y,z)pzyxVV ),(0nVVV02VVrotz

5、wyvxuV 0 00222222zyxzwyvxuV 由此可見，利用無旋流動和連續(xù)條件所得到的這個方程是大家熟知的二階由此可見，利用無旋流動和連續(xù)條件所得到的這個方程是大家熟知的二階線性偏微分方程，拉普拉斯方程，這是一個純運動學方程。如果對這個方線性偏微分方程，拉普拉斯方程，這是一個純運動學方程。如果對這個方程賦予適定的定解條件，就可以單獨解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。程賦予適定的定解條件，就可以單獨解出速度位函數(shù)，繼而求出速度值。與壓強與壓強p沒有進行偶合求解，那么如何確定壓強呢？在這種情況下，可將速沒有進行偶合求解，那么如何確定壓強呢？在這種情況下，可將速度值作為已知量代入運動方程中，

6、解出度值作為已知量代入運動方程中，解出p值。實際求解并不是直接代入運動值。實際求解并不是直接代入運動方程中，而是利用方程中，而是利用Bernoulli(或或Lagrange)積分得到。對于理想不可壓縮流積分得到。對于理想不可壓縮流體，在質量力有勢條件下，對于無旋流動，運動方程的積分形式為體，在質量力有勢條件下，對于無旋流動，運動方程的積分形式為對于定常流動，質量力只有重力，得到對于定常流動，質量力只有重力，得到如果忽略質量力（在空氣動力學中經常不考慮重力的作用）如果忽略質量力（在空氣動力學中經常不考慮重力的作用）由此說明，只要把速度勢函數(shù)解出，壓強由此說明，只要把速度勢函數(shù)解出，壓強p可直接由

7、可直接由Bernoulli方程得到。在這方程得到。在這種情況下整個求解步驟概括為：種情況下整個求解步驟概括為：)(22tCpVtCgzpV22CpV22（1）根據純運動學方程求出速度勢函數(shù)和速度分量；（）根據純運動學方程求出速度勢函數(shù)和速度分量；（2）由）由Bernoulli方程確方程確定流場中各點的壓強。這使得速度和壓強的求解過程分開進行，從而大大簡定流場中各點的壓強。這使得速度和壓強的求解過程分開進行，從而大大簡化了問題的復雜性。綜合起來，對于理想不可壓縮流體無旋流動，控制方程化了問題的復雜性。綜合起來，對于理想不可壓縮流體無旋流動，控制方程及其初邊界條件為及其初邊界條件為初始條件初始條件

8、邊界條件為邊界條件為 固壁面條件固壁面條件 自由面條件自由面條件 無窮遠處無窮遠處在流體力學中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件，即在邊界上給定速度勢函在流體力學中的邊界條件多數(shù)屬于第二類邊界條件，即在邊界上給定速度勢函數(shù)的偏導數(shù)。數(shù)的偏導數(shù)。)(20 2222222tCpVtzyx),( ),( 000zyxppzyxVVttVVppns02、速度勢函數(shù)的性質、速度勢函數(shù)的性質（1）速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等該方向的速度分量，速度勢函數(shù)沿）速度勢函數(shù)沿著某一方向的偏導數(shù)等該方向的速度分量，速度勢函數(shù)沿著流線方向增加。由此可得出，速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響著流線方向增加。由此可得

9、出，速度勢函數(shù)允許相差任意常數(shù)，而不影響流體的運動。流體的運動。（2）速度勢函數(shù)）速度勢函數(shù) 滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。滿足解的線性迭加原理。滿足拉普拉斯方程，是調和函數(shù)。滿足解的線性迭加原理。如果速度勢函數(shù)如果速度勢函數(shù) 滿足拉普拉斯方程，則它們的線性組合也滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯方程，則它們的線性組合也滿足拉普拉斯方程。方程。（3）速度勢函數(shù)相等的點連成的線稱為等勢線，速度方向垂直于等勢線。）速度勢函數(shù)相等的點連成的線稱為等勢線，速度方向垂直于等勢線。sdsdzzdsdyydsdxxVdsdzwdsdyvdsdxudssdVVwdzvdyudxsdVdsVsss0 1222222222

10、2221niiiiiniiizyxCzyxCisdV 0 0sdVdd（4）連接任意兩點的速度曲線等于該兩點的速度勢函數(shù)之差。速度線積分與）連接任意兩點的速度曲線等于該兩點的速度勢函數(shù)之差。速度線積分與路徑無關，僅決定于兩點的位置。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。路徑無關，僅決定于兩點的位置。如果是封閉曲線，速度環(huán)量為零。3、流函數(shù)及其性質、流函數(shù)及其性質根據高等數(shù)學中，格林公式可知（平面問題的線積分與面積分的關系）根據高等數(shù)學中，格林公式可知（平面問題的線積分與面積分的關系）如果令如果令ABBABABABAddzzdyydxxwdzvdyudxsdV)()(dxdyyPxQQdyPdxLdxd

11、yyvxuudyvdxuvPLQ 由此可見，下列線積分與路徑無關由此可見，下列線積分與路徑無關存在的充分必要條件是存在的充分必要條件是這是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程。這樣，下列微分一定是某個函數(shù)的全這是不可壓縮流體平面流動的連續(xù)方程。這樣，下列微分一定是某個函數(shù)的全微分，即微分，即這個函數(shù)稱為流函數(shù)。由此可見，對于不可壓縮流體的平面流動，無論是理想這個函數(shù)稱為流函數(shù)。由此可見，對于不可壓縮流體的平面流動，無論是理想流體還是粘性流體，無論是有渦流動還是無渦流動，均存在流函數(shù)。流函流體還是粘性流體，無論是有渦流動還是無渦流動，均存在流函數(shù)。流函數(shù)的概念是數(shù)的概念是1781年年Lagrange首

12、先引進的。流函數(shù)具有下列性質首先引進的。流函數(shù)具有下列性質（1）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。）流函數(shù)值可以差任意常數(shù)而不影響流動。（2）流函數(shù)值相等的點的連線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量）流函數(shù)值相等的點的連線是流線。即等流函數(shù)線的切線方向與速度矢量方向重合。方向重合。0Ludyvdx0yvxux x vyuudyvdxdyydxudyvdxd在流函數(shù)相等的線上，有在流函數(shù)相等的線上，有上式即為平面流動的流線方程。上式即為平面流動的流線方程。（3）流函數(shù)在某一方向的偏導數(shù)順時針旋轉）流函數(shù)在某一方向的偏導數(shù)順時針旋轉90度方向的速度分量。度方向的速度分量。根據流函數(shù)這一性質

13、，如果沿著流線取根據流函數(shù)這一性質，如果沿著流線取s，反時針旋轉，反時針旋轉90度取度取n方向，則有方向，則有 （流函數(shù)增值方向沿速度方向反時針旋轉（流函數(shù)增值方向沿速度方向反時針旋轉90度方向）度方向）（4）理想不可壓縮流體平面勢流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。即）理想不可壓縮流體平面勢流，流函數(shù)滿足拉普拉斯方程。即vdyudxudyvdxdyydxxd 0),cos(),cos( ymuxmvmyymxxmVmnmVnn0 sVnVns021)( )( 21 212222zyxyyxxyuxv（5）任意兩條流線之間的流函數(shù)之差等于通過此兩條流線之間的單寬流量）任意兩條流線之間的流函數(shù)之差等于通

14、過此兩條流線之間的單寬流量q。4、平面勢流流函數(shù)與速度勢函數(shù)之間的關系及其流網的概念、平面勢流流函數(shù)與速度勢函數(shù)之間的關系及其流網的概念（1）理想不可壓縮流體，平面勢流流函數(shù)和速度勢函數(shù)均滿足拉普拉斯方程）理想不可壓縮流體，平面勢流流函數(shù)和速度勢函數(shù)均滿足拉普拉斯方程，且滿足柯西，且滿足柯西-黎曼條件。黎曼條件。（2）過同一點的等速度勢函數(shù)線與等流函數(shù)線正交（等勢線與流線正交）。）過同一點的等速度勢函數(shù)線與等流函數(shù)線正交（等勢線與流線正交）。等流函數(shù)線是流線，有等流函數(shù)線是流線，有12212121ddnndnVqsxyvyxu uvdxdyudyvdxd1K0另一方面，過該點的等勢函數(shù)線方程為

15、另一方面，過該點的等勢函數(shù)線方程為在同一點處，流線與等勢線的斜率乘積為在同一點處，流線與等勢線的斜率乘積為說明流線與等勢線在同一點正交。說明流線與等勢線在同一點正交。（3）流網及其特征）流網及其特征在理想不可壓縮流體定常平面勢流中，每一點均存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)值。在理想不可壓縮流體定常平面勢流中，每一點均存在速度勢函數(shù)和流函數(shù)值。這樣在流場中，存在兩族曲線，一族為流線，另一族為等勢線，且彼此相這樣在流場中，存在兩族曲線，一族為流線，另一族為等勢線，且彼此相互正交。把由這種正交曲線構成的網格叫做流網。在流網中，每一個網格互正交。把由這種正交曲線構成的網格叫做流網。在流網中，每一個網格的邊長之比

16、等于勢函數(shù)和流函數(shù)的增值之比。的邊長之比等于勢函數(shù)和流函數(shù)的增值之比。 如果如果 網格正方形。網格正方形。vudxdyKvdyudxdyydxxd201K21vuuvKdddsdndsVddnVdss dsdndd流網不僅可以顯示流速的分布情況，也可以反映速度的大小。如流線密流網不僅可以顯示流速的分布情況，也可以反映速度的大小。如流線密的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。的地方流速大，流線稀疏的地方流速小。如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù)，等于單寬流量增量。即如果相鄰流線之間的流函數(shù)差為常數(shù)，等于單寬流量增量。即 表示流速與網格間距成反比，因此流線表示流速與網格間距成反比，因此流線 的疏密程度

17、反映了速度的大小。的疏密程度反映了速度的大小。 1221dndnVVdndqdndVsss5、理想不可壓縮流體平面定常無旋流動數(shù)學問題的提法、理想不可壓縮流體平面定常無旋流動數(shù)學問題的提法 對于理想不可壓縮平面定常無旋流動問題的數(shù)學提法共有三種。對于理想不可壓縮平面定常無旋流動問題的數(shù)學提法共有三種。 設給定一平面物體設給定一平面物體C，無窮遠為直均流，在繞流物體不脫體的情況下，求，無窮遠為直均流，在繞流物體不脫體的情況下，求這個繞流問題。這個繞流問題。（1）以速度勢函數(shù)為未知函數(shù)的提法）以速度勢函數(shù)為未知函數(shù)的提法（2）以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法）以流函數(shù)為未知函數(shù)的提法（3）以復位勢）以復位

18、勢w(z)為未知函數(shù)提法為未知函數(shù)提法需要求解滿足一定定解條件的在需要求解滿足一定定解條件的在C外區(qū)域內的解析函數(shù)。外區(qū)域內的解析函數(shù)。vyuxnyxC 0 0 2222uyvxyxC 0 0 2222izw)(1、直勻流、直勻流 直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為直勻流是一種速度不變的最簡單的平行流動。其流速為位函數(shù)為位函數(shù)為常用平行于常用平行于x軸的直勻流，從左面遠方流來，流速為軸的直勻流，從左面遠方流來，流速為 。相應的流函數(shù)和勢函數(shù)為相應的流函數(shù)和勢函數(shù)為 ；bvau byvaxu cbyaxbdyadxdyydxxdVcyVudyvdxdyydxxdcxV2、點源、點源

19、 源可以有正負。正源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流源可以有正負。正源是從流場上某一點有一定的流量向四面八方流開去的一種流動。負源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流開去的一種流動。負源（又名匯）是一種與正源流向相反的向心流動。如果把源放在坐標原點上，那末這流動便只有動。如果把源放在坐標原點上，那末這流動便只有r，而沒有，而沒有 。 設半徑為設半徑為r處的流速是處的流速是r，那末這個源的總流量是，那末這個源的總流量是 流量是常數(shù)，故流速流量是常數(shù)，故流速r與半徑成反比。與半徑成反比。vrrvQ2rQvr12流函數(shù)的表達式是流函數(shù)的表達式是 或或 位函數(shù)從位函數(shù)從 的式子積分得到的式子

20、積分得到在極坐標系中，速度分量與流函數(shù)和勢函數(shù)偏導數(shù)關系式為在極坐標系中，速度分量與流函數(shù)和勢函數(shù)偏導數(shù)關系式為rvrQln222yxr2QxyarctgQ2rrVrrVrrV 11V 如果源的位置不在坐標原點，而在如果源的位置不在坐標原點，而在A（,）處）處22)()(ln2yxQxyarctgQ22222)()()(2)()()(2yxyQyvyxxQxu3、偶極子、偶極子 等強度的一個源和一個匯，放在等強度的一個源和一個匯，放在x軸線上，源放在（軸線上，源放在（-h，0）處，匯）處，匯放在（放在（0，0）處。從源出來的流量都進入匯。）處。從源出來的流量都進入匯。應用疊加原理，位函數(shù)和流函

21、數(shù)如下應用疊加原理，位函數(shù)和流函數(shù)如下其中其中表示流場點表示流場點P分別與源和匯連線與分別與源和匯連線與x軸之間的夾角。軸之間的夾角。ln)(ln22222yxyhxQ212Qhxyarctg1xyarctg2 現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當現(xiàn)在我們考慮一種極限情況，當h0，但同時，但同時Q增大，使增大，使保持不變的極限情況。這時位函數(shù)變成保持不變的極限情況。這時位函數(shù)變成MQh2222220222202( , )lim ln42lim4hhQxyxhhx yxyQhxxMxyxy等位線是一些圓心在等位線是一些圓心在x軸上的圓，且都過原點。軸上的圓，且都過原點。流函數(shù)的式子，取流函數(shù)的式子，取h

22、0而而Qh/2=M保持保持不變的極限結果，是不變的極限結果，是22yMxy 22222 cy(x-c)Cyxx22222 c(y-c)xCyxy 流線也是一些圓，圓心都在流線也是一些圓，圓心都在y軸上，且都過源點軸上，且都過源點O。兩個分速的表達式。兩個分速的表達式是是:合速度為合速度為22222222222sin)(22cos)()(rMyxxyMyvrMyxxyMxu222rMvuV 要注意，偶極子是源匯無限靠近的極限情況，它是有軸線方向的，要注意，偶極子是源匯無限靠近的極限情況，它是有軸線方向的，原來的源和匯放在哪條直線上，那條直線就是它的軸線。前面表示原來的源和匯放在哪條直線上，那條直

23、線就是它的軸線。前面表示的偶極子是以的偶極子是以x軸為軸線的，其正向為軸線上的流線方向，前面的軸為軸線的，其正向為軸線上的流線方向，前面的偶極子是指向負偶極子是指向負x方向的。如果偶極子軸線和方向的。如果偶極子軸線和x軸成軸成角，正向指向角，正向指向第三象限，則勢函數(shù)為第三象限，則勢函數(shù)為 相應的流函數(shù)為相應的流函數(shù)為sincos22yxyxM)sincos(22xyyxM 如果偶極子位于（如果偶極子位于（，），軸線和），軸線和x軸成軸成角，正向指向第三象限角，正向指向第三象限，則勢函數(shù)和流函數(shù)分別為，則勢函數(shù)和流函數(shù)分別為 22()cos()sin()()xyMxy22()cos()sin(

24、)()yxMxy 4、點渦、點渦 點渦是位于原點的一個點渦的流動，流線是一些同心圓。流速只有點渦是位于原點的一個點渦的流動，流線是一些同心圓。流速只有 ，而沒有，而沒有 。 式中的式中的 是個常數(shù)，稱為點渦的強度，反時針方向為正。分速是個常數(shù)，稱為點渦的強度，反時針方向為正。分速 和離中心點的距離和離中心點的距離r成反比，指向是反時針方向的。其位函數(shù)和流成反比，指向是反時針方向的。其位函數(shù)和流函數(shù)分別為（等勢線是射線，流線是圓）函數(shù)分別為（等勢線是射線，流線是圓） vrv2ln2r (2)vr 12vrv 如果點渦的位置不在原點，而在（如果點渦的位置不在原點，而在（，），則點渦的位函數(shù)和流函）

25、，則點渦的位函數(shù)和流函數(shù)分別是數(shù)分別是 沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是沿任意形狀的圍線計算環(huán)量，值都是 ，只要這個圍線把點渦包圍，只要這個圍線把點渦包圍在內在內 ，但不包含點渦在內的圍線，其環(huán)量，但不包含點渦在內的圍線，其環(huán)量 等于零等于零。2yarctgx22ln2xy 點渦是實際旋渦的一種數(shù)學近似。點渦的速度在半徑點渦是實際旋渦的一種數(shù)學近似。點渦的速度在半徑 r0 時將使時將使 V 勢必使壓強勢必使壓強 p ，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作，這是不現(xiàn)實的，這時粘性必然要起作用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內流體用，因此實際的旋渦存在一個渦核，核內流體 V與半徑成正比為有與半徑成正比

26、為有旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關，一般不大旋流，核外為無旋流。實際渦核尺寸與粘性和渦強弱有關，一般不大，故數(shù)學上抽象為一個點，形成點渦模型。，故數(shù)學上抽象為一個點，形成點渦模型。1 、直勻流加點源、直勻流加點源 在一個平行于在一個平行于x軸由左向右流去的直勻流里，加一個強度為軸由左向右流去的直勻流里，加一個強度為Q的源的源。 把坐標原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是把坐標原點放在源所在的地方，迭加得到的位函數(shù)是兩個分速是兩個分速是在在x軸線上有一個合速為零的點，即駐點軸線上有一個合速為零的點，即駐點A。 22ln4ln2),(yxQxVrQxVyx222yxxQVx

27、u222yxyQyv令令 即得駐點即得駐點xA坐標為坐標為0Ay 0 0AAvuVQxA2流動的流函數(shù)是流動的流函數(shù)是對于零流線對于零流線是一條通過坐標原點的水平線。是一條通過坐標原點的水平線。對于對于的流線方程為的流線方程為得到解為得到解為說明是通過駐點的一條水平流線。對于非水平流線，半徑說明是通過駐點的一條水平流線。對于非水平流線，半徑r r0 02sinQrV2Q22sinQQrV 2Q)1 (2sin1QVr 如對于如對于 相應的半徑相應的半徑r為為 全部流線譜中，經過駐點全部流線譜中，經過駐點A的流線的流線BAB是一條特殊的流線，是一條特殊的流線， 。它。它像一道圍墻一樣，把流場劃分

28、成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍像一道圍墻一樣，把流場劃分成為兩部分。外面的是直勻流繞此圍墻的流動，里面的是源流在此圍墻限制之內的流動。墻的流動，里面的是源流在此圍墻限制之內的流動。 我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個我們可以把外部流動看作是在直勻流中放了一個BAB那樣形狀的那樣形狀的物體所造成的流動。不過這個物體后面是不封口的，稱半無限體。物體所造成的流動。不過這個物體后面是不封口的，稱半無限體。這個半無限體在這個半無限體在+x無限遠處，其寬度（無限遠處，其寬度（y向尺寸）趨向一個漸近值向尺寸）趨向一個漸近值D為為2Q23 2VQDVQQVrEF2 4)1 (2sin1VQD 通常將

29、壓強表為無量綱的壓強系數(shù)通常將壓強表為無量綱的壓強系數(shù) ，其定義是當?shù)仂o壓減去來流，其定義是當?shù)仂o壓減去來流靜壓再除以來流的動壓頭。靜壓再除以來流的動壓頭。不可壓無粘流時不可壓無粘流時沿這個半無限體的外表面，壓強系數(shù)沿這個半無限體的外表面，壓強系數(shù)是是 pC2sin2sinpC2222)2(vuVpp221VppCp221VVCp 首先，首先，A點是駐點，這一點的點是駐點，這一點的Cp一定等于一定等于+1。從駐點往后，。從駐點往后，Cp迅迅速下降，在距速下降，在距A不很遠的地方，不很遠的地方，Cp降到零，該點流速已達遠前方的降到零，該點流速已達遠前方的來流速度。此后氣流繼沿物面加速，走了一段之

30、后，流速達最大值來流速度。此后氣流繼沿物面加速，走了一段之后，流速達最大值，Cp達最小值。這一點稱最大速度點，或最低壓強點達最小值。這一點稱最大速度點，或最低壓強點 ，過了最大，過了最大速度點之后，氣流開始減速，到無限遠的右方，流速減到和遠前方速度點之后，氣流開始減速，到無限遠的右方，流速減到和遠前方來流一樣大來流一樣大 。 這是大多鈍頭物體低速流動的特點。頭部附近形成一個低速高壓這是大多鈍頭物體低速流動的特點。頭部附近形成一個低速高壓區(qū)，隨后速度迅速上升，壓強急劇下降。區(qū)，隨后速度迅速上升，壓強急劇下降。2、直勻流加偶極子（無環(huán)量的圓柱繞流）、直勻流加偶極子（無環(huán)量的圓柱繞流） 只有當正源和

31、負源的總強度等于零時，物形才是封閉的。設直勻流只有當正源和負源的總強度等于零時，物形才是封閉的。設直勻流 平行于平行于x軸，由左向右流。再把一個軸線指向負軸，由左向右流。再把一個軸線指向負x的偶極子放在坐標的偶極子放在坐標原點處。這時，流動的位函數(shù)是原點處。這時，流動的位函數(shù)是流動是直勻流流過一個圓。圓的半徑可以從駐點流動是直勻流流過一個圓。圓的半徑可以從駐點A的坐標定出來。令的坐標定出來。令得到得到 2),(rxMxVyx02422rMxrMVxVMaVMxA/ /22a就是圓半徑。這樣位函數(shù)可以寫成為就是圓半徑。這樣位函數(shù)可以寫成為 流函數(shù)方程為流函數(shù)方程為=0是一條特殊的流線。容易證明，

32、該流線通過駐點的是一條特殊的流線。容易證明，該流線通過駐點的x軸線；另外還軸線；另外還有有是半徑為是半徑為a的圓。兩個速度分量為的圓。兩個速度分量為cos)(),(222rarVrxaxVyxsin),(2rarVyx02rarsin)1 (1cos)1 (2222raVrVraVrVr 在圓周上，在圓周上，r=ar=a，速度分量為，速度分量為相應的壓強系數(shù)為相應的壓強系數(shù)為sin2sin)1 (10cos)1 (2222VaaVrVaaVrVr222sin411VVCp 在圓周前后駐點，在圓周前后駐點， =0， =，壓強系數(shù)等于，壓強系數(shù)等于1.0。從前駐點往后流。從前駐點往后流，在，在=1

33、50處流速加快到和來流的流速一樣大了。以后繼續(xù)加速，處流速加快到和來流的流速一樣大了。以后繼續(xù)加速，在在=/2處達最大速度，其值二倍于來流的速度，處達最大速度，其值二倍于來流的速度，Cp是（是（3.0）。過）。過了最大速度點以后，氣流減速，在了最大速度點以后，氣流減速，在=0處降為零，這一點稱為后駐處降為零，這一點稱為后駐點。這個流動不僅上下是對稱的，而且左右也是對稱的，物面上的點。這個流動不僅上下是對稱的，而且左右也是對稱的，物面上的壓強分布也是對稱的，結果哪個方向的合力也沒有。不過實際流動壓強分布也是對稱的，結果哪個方向的合力也沒有。不過實際流動左右是不對稱的，由于實際流體是有粘性的緣故，

34、氣流過了最大速左右是不對稱的，由于實際流體是有粘性的緣故，氣流過了最大速度點以后，不可能始終貼著物體流下去，不可能進行完全的減速，度點以后，不可能始終貼著物體流下去，不可能進行完全的減速，結果水平方向是有一個阻力的結果水平方向是有一個阻力的 。（達朗培爾疑題）。（達朗培爾疑題）達朗培爾（達朗培爾（DAlembert）18世紀法國著名數(shù)學家，他提出，在理想世紀法國著名數(shù)學家，他提出，在理想不可壓流中，任何一個封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個結論不可壓流中，任何一個封閉物體的繞流，其阻力都是零。這個結論不符合事實。這個矛盾多少耽誤了一點流體力學的發(fā)展，那時人們不符合事實。這個矛盾多少耽誤了一點流

35、體力學的發(fā)展，那時人們以為用無粘的位流去處理實際流動是沒有什么價值的。以為用無粘的位流去處理實際流動是沒有什么價值的。3、直勻流加偶極子加點渦（有環(huán)量的圓柱繞流）、直勻流加偶極子加點渦（有環(huán)量的圓柱繞流） 在直勻流加偶極子的流動之上，再在圓心處加一個強度為（在直勻流加偶極子的流動之上，再在圓心處加一個強度為（ ）的）的點渦（順時針轉為負）。點渦（順時針轉為負）。這時的流函數(shù)和位函數(shù)為這時的流函數(shù)和位函數(shù)為2cos),(2rarVyxrrarVyxln2sin),(2在極坐標下，兩個分速度為在極坐標下，兩個分速度為r=ar=a仍是一條流線。在這個圓上仍是一條流線。在這個圓上Vr=0Vr=0，圓周

36、速度為，圓周速度為 駐點現(xiàn)在不在駐點現(xiàn)在不在其位置可以從其位置可以從 cos122raVrVrrraVrV2sin1122aVV2sin20 02sin2 0aVVV 定出來定出來 在第三和第四象限內，前后駐點對在第三和第四象限內，前后駐點對y軸是對稱的。這個角度離開軸是對稱的。這個角度離開和和0的多少決定于環(huán)量對速度乘半徑的多少決定于環(huán)量對速度乘半徑a之比值；比值越大，駐點越往下移。之比值；比值越大，駐點越往下移。 現(xiàn)在的流動圖畫，左右仍是對稱的，但上下不對稱了。于是計算現(xiàn)在的流動圖畫，左右仍是對稱的，但上下不對稱了。于是計算y向合向合力時結果就不等于零。力時結果就不等于零。 這個這個y向合

37、力，可以按伯努利公式以速度來表示圓柱面上的壓強，直接向合力，可以按伯努利公式以速度來表示圓柱面上的壓強，直接計算計算y向的壓力，最后經積分去求得。另一種方法是，用動量定理來計向的壓力，最后經積分去求得。另一種方法是，用動量定理來計算。以原點為中心，畫一個半徑為算。以原點為中心，畫一個半徑為r1很大的控制面很大的控制面S，整個的控制面還，整個的控制面還包括圓的表面包括圓的表面S1以及連接以及連接S和和S1的兩條割線。不過這兩條割線上的壓力的兩條割線。不過這兩條割線上的壓力和動量進出都對消了，不必管它。受力情況左右對稱，不會有和動量進出都對消了，不必管它。受力情況左右對稱，不會有X合力。合力。我們

38、只計算我們只計算Y方向合力就行了。徹體力略去不計；流動是定常的。方向合力就行了。徹體力略去不計；流動是定常的。 aV4sin0 動量積分方程變?yōu)閯恿糠e分方程變?yōu)?在在r1的大圓上的大圓上SnSvdsVdsynpL),cos(dyn1rds sin),cos(2/2/12/2/12sin2vdVrdprLrsin1 4sin1cos1222222222222222222rarVrraVraVVVVr)(2122VVpp 在上述表達式中，奇函數(shù)積分為零，只有偶函數(shù)積分。在上述表達式中，奇函數(shù)積分為零，只有偶函數(shù)積分。 對于單位時間動量的凈流出量計算如下：對于單位時間動量的凈流出量計算如下：)1 (2 sin)1 (2-2 sin22122/2/2212112/2/1raVdrarVrdprLprraVrV2sin1122cos122raVrVr在在y方向的速度分量是方向的速度分量是cos2coss