現(xiàn)代控制理論-ppt課件

1、現(xiàn)代控制實(shí)際Modern Control Theory(10)1;.4.2 李雅普諾夫穩(wěn)定性定理李雅普諾夫穩(wěn)定性定理經(jīng)過分析系統(tǒng)能量的變化來經(jīng)過分析系統(tǒng)能量的變化來確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性！確定系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的穩(wěn)定性！系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程是一個(gè)能量函數(shù)應(yīng)該是正定的：一個(gè)能量函數(shù)應(yīng)該是正定的：沿形狀軌線，系統(tǒng)能量的變化率：沿形狀軌線，系統(tǒng)能量的變化率：假設(shè)它是負(fù)定的，那么沿形狀軌線，系統(tǒng)能量是減少的。假設(shè)它是負(fù)定的，那么沿形狀軌線，系統(tǒng)能量是減少的。BACD),()(tttxfx),(tV xT1d ( , ) dniVVVtttxxxT1( , )niVVfttxx2籠統(tǒng)總結(jié)成以下的普通結(jié)論定

2、理4.2.1 對(duì)非線性系統(tǒng) ，原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡形狀，假設(shè)存在具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)1。 是正定的；2。沿系統(tǒng)的恣意軌線，關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù) 負(fù)定那么系統(tǒng)在原點(diǎn)這個(gè)平衡形狀處是漸近穩(wěn)定的。進(jìn)而，當(dāng) ，假設(shè) ，那么系統(tǒng)是大范圍漸近穩(wěn)定的。滿足條件1和2的函數(shù) V(x, t) 稱為是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV x3定理的闡明定理的闡明給出的判據(jù)是充分的，即假設(shè)能找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；假設(shè)找不給出的判據(jù)是充分的，即假設(shè)能找到一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)，那么可斷定系統(tǒng)漸近穩(wěn)定；假設(shè)找不到，那么沒有結(jié)論；到，那

3、么沒有結(jié)論；如何尋覓李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未處理，只需試湊；如何尋覓李雅普諾夫函數(shù)呢？仍未處理，只需試湊；對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定對(duì)于線性系統(tǒng)，漸近穩(wěn)定大范圍漸近穩(wěn)定；大范圍漸近穩(wěn)定；假設(shè)假設(shè) 半負(fù)定，闡明系統(tǒng)的能量不會(huì)添加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；半負(fù)定，闡明系統(tǒng)的能量不會(huì)添加，故系統(tǒng)是穩(wěn)定的；定理適宜于線性、非線性、時(shí)變、定常系統(tǒng)。定理適宜于線性、非線性、時(shí)變、定常系統(tǒng)。ttVd),(dx4例例 分析以下系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性分析以下系統(tǒng)在原點(diǎn)處的穩(wěn)定性解解 原點(diǎn)是系統(tǒng)的獨(dú)一平衡形狀。原點(diǎn)是系統(tǒng)的獨(dú)一平衡形狀。選取最簡(jiǎn)單的二次型函數(shù)選取最簡(jiǎn)單的二次型函數(shù)它是正定的。沿系統(tǒng)的恣意軌線，它是正定的。沿系統(tǒng)的

4、恣意軌線，上式是負(fù)定的。因此上式是負(fù)定的。因此 V(x) 是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)，且且 V(x) 是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。是徑向無界的。故系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。)()(22212122221121xxxxxxxxxx2221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx222212112212122 ()2()x xx xxxxx xx22 2122()xx 5對(duì)系統(tǒng)能量函數(shù)沿系統(tǒng)軌線 的負(fù)定性闡明系統(tǒng)形狀運(yùn)動(dòng)時(shí)，能量是減少的，給出的是以原點(diǎn)為中心的一族同心圓，隨時(shí)間推移，C不斷減小，從而形狀不斷趨向于零。2212( )VxxxtVd)(dxCxxV2221)

5、(xV 增大方向C3C2C1C1 C2 C3x1x2Ox06條件 負(fù)定性的降低。定理4.2.2 對(duì)非線性系統(tǒng) ，原點(diǎn)是系統(tǒng)的平衡形狀，假設(shè)存在具有延續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)的標(biāo)量函數(shù)1。 是正定的；2。沿系統(tǒng)恣意軌線，關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù) 半負(fù)定3。在系統(tǒng)恣意軌線上， 不恒等于零4。當(dāng) ，那么系統(tǒng)在原點(diǎn)這個(gè)平衡形狀處是大范圍漸近穩(wěn)定的。能量函數(shù)的值不能老停留在一處，要不斷下降。益處：可以簡(jiǎn)化穩(wěn)定性分析。),()(tttxfx),(tV x),(tV xttVd),(dxx),(tV xttVd),(dxttVd),(dx7例例 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性解解 系統(tǒng)的平衡形狀為系統(tǒng)的平衡形狀為 ，選取選取1

6、1 是正定的；是正定的；2 2沿系統(tǒng)的恣意軌線，沿系統(tǒng)的恣意軌線，是半負(fù)定的。是半負(fù)定的。1222122(1)xxxxxx 0, 021xx2221)(xxVx2221)(xxVx1212d ( ) dxVVVtxxxx212212222(1)xxxxxx22222(1)xx 8系統(tǒng)模型李雅普諾夫函數(shù)李雅普諾夫函數(shù)的時(shí)間導(dǎo)數(shù)檢驗(yàn)定理的條件3：假設(shè) 即 由第2個(gè)形狀方程得 ，是系統(tǒng)的零形狀 由第2個(gè)形狀方程得 但 不滿足第1個(gè)方程，故不是系統(tǒng)的軌線。故在系統(tǒng)的恣意非零軌線上， 不能夠恒等于零。根據(jù)定理4.2.2，系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。1222122(1)xxxxxx 2221)(xxVx2222d

7、( ) d2(1)Vtxx x0d)(dtV x0)1 (22222xx20 x21x 或02x01x12x01x1, 021xxtVd)(dx9針對(duì)以上例子，對(duì)可以驗(yàn)證故該函數(shù)是系統(tǒng)的一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。闡明：針對(duì)一個(gè)平衡形狀，可以有多個(gè)李雅普諾夫函數(shù)。22)(21)(2221221xxxxVx0)(22)(d)(d222122112121xxxxxxxxxxtVx10定理4.2.3 設(shè)原點(diǎn)是系統(tǒng) 的平衡形狀，假設(shè)存在標(biāo)量函數(shù) ，滿足1 在原點(diǎn)附近的某個(gè)鄰域內(nèi)是正定的；2 在同樣鄰域內(nèi)也是正定的。那么系統(tǒng)在原點(diǎn)處是不穩(wěn)定的。例 分析系統(tǒng)的穩(wěn)定性選取正定函數(shù) 不穩(wěn)定！),()(tttxfx),

8、(tV x),(tV xttVd),(dxxx11112221)(xxVx1 122d ( ) d22Vtx xx xx1122122()2()x xxxxx22122()0 xx11李雅普諾夫穩(wěn)定性李雅普諾夫穩(wěn)定性系統(tǒng)針對(duì)初始擾動(dòng)的恢復(fù)才干系統(tǒng)針對(duì)初始擾動(dòng)的恢復(fù)才干針對(duì)特定的平衡點(diǎn)針對(duì)特定的平衡點(diǎn)利用能量的概念來描畫系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)衰減的情況利用能量的概念來描畫系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)衰減的情況穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念穩(wěn)定、漸近穩(wěn)定、大范圍漸近穩(wěn)定等概念能量函數(shù)：正定、關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)負(fù)定能量函數(shù)：正定、關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)負(fù)定 函數(shù)定性的概念函數(shù)定性的概念對(duì)普通的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一個(gè)充分條件，而

9、且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋對(duì)普通的系統(tǒng)：李雅普諾夫穩(wěn)定性定理只是一個(gè)充分條件，而且沒有給出李雅普諾夫函數(shù)的尋覓方法！覓方法！缺乏：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法缺乏：充分條件、沒有給出系統(tǒng)性的方法問題：對(duì)特殊的系統(tǒng)，能否有更好的結(jié)論呢？問題：對(duì)特殊的系統(tǒng)，能否有更好的結(jié)論呢？124.3 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性分析線性時(shí)不變系統(tǒng)：線性時(shí)不變系統(tǒng)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：一類特殊的預(yù)選李雅普諾夫函數(shù)：李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時(shí)間導(dǎo)數(shù)負(fù)定！李雅普諾夫函數(shù)：本身是正定，時(shí)間導(dǎo)數(shù)負(fù)定！ 正定正定 矩陣矩陣P 是正定的。是正定的。沿系統(tǒng)軌線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)沿系統(tǒng)軌線的時(shí)間導(dǎo)數(shù)Axx P

10、xxxT)(VTT( )d ( ) dLVtxxx Pxx PxxPAPAx)(TTT( )Vxx PxTT()AxPxx PAxTTTx A Pxx PAx( )0LxT0A PPA13 是一個(gè)李雅普諾夫函數(shù)的條件是：存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，使得以下矩陣不等式成立：即以上的矩陣不等式有正定解，那么系統(tǒng)漸近穩(wěn)定！反之，可以證明：假設(shè)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定，那么它一定有正定解定理 線性時(shí)不變系統(tǒng) 漸近穩(wěn)定的的充分必要條件是存在一個(gè)對(duì)稱正定矩陣P，使得特點(diǎn)：條件是充分必要的； 給出了李雅普諾夫函數(shù)的詳細(xì)構(gòu)造方法。關(guān)鍵的問題：如何求解矩陣不等式：0 PAPATAxx 0 PAPAT0 PAPATT( )Vxx

11、 Px14李雅普諾夫方程處置方法李雅普諾夫方程處置方法轉(zhuǎn)化成方程來處置。對(duì)恣意選定的對(duì)稱正定矩陣轉(zhuǎn)化成方程來處置。對(duì)恣意選定的對(duì)稱正定矩陣Q，假設(shè)，假設(shè) 李雅普諾夫方程李雅普諾夫方程有一個(gè)對(duì)稱正定解有一個(gè)對(duì)稱正定解P，那么矩陣，那么矩陣P 一定滿足矩陣不等式一定滿足矩陣不等式 李雅普諾夫不等式李雅普諾夫不等式定理定理 線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對(duì)稱正定解矩陣。線性系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要條件是李雅普諾夫方程存在對(duì)稱正定解矩陣。闡明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣闡明：李雅普諾夫方程的可解性不依賴矩陣Q的選取，故普通可以選的選取，故普通可以選Q I； 李雅普諾夫方程是一個(gè)

12、線性方程組；李雅普諾夫方程是一個(gè)線性方程組； 假設(shè)李雅普諾夫方程可解，那么其中矩陣假設(shè)李雅普諾夫方程可解，那么其中矩陣Q的含義是的含義是QPAPAT0 PAPATTd ( ) dVt xx Qx15例例 運(yùn)用李雅普諾夫方程運(yùn)用李雅普諾夫方程方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。方法分析系統(tǒng)穩(wěn)定性。解解 原點(diǎn)是系統(tǒng)的獨(dú)一平衡點(diǎn)。解方程原點(diǎn)是系統(tǒng)的獨(dú)一平衡點(diǎn)。解方程系統(tǒng)是二階的，故系統(tǒng)是二階的，故 求解方程組，可得求解方程組，可得0111xxIPAPAT22121211ppppP1001111011102212121122121211pppppppp121112221222210221pppppp 12121232

13、2121211pppp1211122211122212222102201ppppppppp16驗(yàn)證矩陣驗(yàn)證矩陣P的正定性的正定性根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對(duì)根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，對(duì) 矩陣矩陣P是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。是正定的，故系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。 系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)是01212123det, 02321)223(21)(222121TxxxxVPxxx)()(d)(d2221TxxtVxIxx121212322121211pppp17MATLAB函數(shù)P=lyap(A,B,Q) 求解矩陣方程：P=lyap(A,Q) 求解矩陣方程：作業(yè)：運(yùn)用M

14、ATLAB函數(shù)求解李雅普諾夫方程。例 確定增益K的范圍，以使得系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。在工業(yè)運(yùn)用中經(jīng)常需求根據(jù)工況，給出一些參數(shù)的在線調(diào)理范圍。QPBAPQPAPAT1sK21ss1+_ux3x2x118解 首先給出系統(tǒng)的形狀空間實(shí)現(xiàn)：針對(duì)自治系統(tǒng)，思索穩(wěn)定性。解以下方程，可得原點(diǎn)是獨(dú)一的平衡形狀。uKxxxKxxx0010120010321321223130020 xxxKxx 19選取半正定矩陣沿系統(tǒng)恣意軌線，上式不恒等于零。為什么？李雅普諾夫矩陣方程是11223301002101xxxxxKx122233132xxxxxxKxx 100000000Q1000000001012001011002100332313232212131211332313232212131211KppppppppppppppppppK23Td)(dxtVQxxx20求解線性方程組，可得矩陣P正定的充分必要條件是 ，當(dāng) 時(shí)，系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的。KKKKKKKKKKKKKKK212621202122123212602126212122P0212 K0K60 K21線性矩陣不等式處置方法普