課題學(xué)習(xí)最短路徑問題八年級數(shù)學(xué)上冊

1、課題學(xué)習(xí) 最短路徑問題 學(xué)習(xí)目標(biāo)：學(xué)習(xí)目標(biāo)： 能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形能利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題，體會圖形 的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉(zhuǎn)化思想 學(xué)習(xí)重點(diǎn)：學(xué)習(xí)重點(diǎn)： 利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為利用軸對稱將最短路徑問題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間，線兩點(diǎn)之間，線 段最短段最短”問題問題 課件說明課件說明垂線段最短。垂線段最短。兩點(diǎn)之間，線段最短。兩點(diǎn)之間，線段最短。LABABLC溫故知新溫故知新問題問題1相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久相傳，古希臘亞歷山大里亞城里有一位久負(fù)盛名的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪負(fù)盛名

2、的學(xué)者，名叫海倫有一天，一位將軍專程拜訪海倫，求教一個百思不得其解的問題：海倫，求教一個百思不得其解的問題：從圖中的從圖中的A 地出發(fā)，到一條筆直的河邊地出發(fā)，到一條筆直的河邊l 飲馬，然飲馬，然后到后到B 地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程地到河邊什么地方飲馬可使他所走的路線全程最短？最短？探索新知探索新知BAl精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的精通數(shù)學(xué)、物理學(xué)的海倫稍加思索，利用軸對稱的 知識回答了這個問題這個問題后來被稱為知識回答了這個問題這個問題后來被稱為“將軍飲馬將軍飲馬 問題問題”你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？你能將這個問題抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ BAl探索新知探索新

3、知追問追問1這是一個實(shí)際問題，你打算首先做什么？這是一個實(shí)際問題，你打算首先做什么？ 將將A，B 兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河兩地抽象為兩個點(diǎn)，將河l 抽象為一條直抽象為一條直 線線 BAl探索新知探索新知（1）從）從A 地出發(fā)，到河邊地出發(fā)，到河邊l 飲馬，然后到飲馬，然后到B 地；地； （2）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與）在河邊飲馬的地點(diǎn)有無窮多處，把這些地點(diǎn)與A， B 連接起來的兩條線段的長度之和，就是從連接起來的兩條線段的長度之和，就是從A 地地 到飲馬地點(diǎn)，再回到到飲馬地點(diǎn)，再回到B 地的路程之和；地的路程之和； 追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說

4、明這個問題的意思， 并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ 探索新知探索新知追問追問2你能用自己的語言說明這個問題的意思，你能用自己的語言說明這個問題的意思，并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？并把它抽象為數(shù)學(xué)問題嗎？ （3）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最）現(xiàn)在的問題是怎樣找出使兩條線段長度之和為最 短的直線短的直線l上的點(diǎn)設(shè)上的點(diǎn)設(shè)C 為直線上的一個動點(diǎn)，上為直線上的一個動點(diǎn)，上 面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)面的問題就轉(zhuǎn)化為：當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時，的什么位置時， AC 與與CB 的和最小（如圖）的和最?。ㄈ鐖D） BAlC探索新知探索新知追問追問1對于問題對于問題2，如何，如何將點(diǎn)

5、將點(diǎn)B“移移”到到l 的另一側(cè)的另一側(cè)B處，滿足直線處，滿足直線l 上的任意一點(diǎn)上的任意一點(diǎn)C，都保持，都保持CB 與與CB的長度的長度相等？相等？ 問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直 線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB 的和最?。康暮妥钚?？ BlA探索新知探索新知追問追問2你能利用軸對稱的你能利用軸對稱的有關(guān)知識，找到上問中符合條有關(guān)知識，找到上問中符合條件的點(diǎn)件的點(diǎn)B嗎？嗎？ 問題問題2 如圖，點(diǎn)如圖，點(diǎn)A，B 在直線在直線l 的同側(cè)，點(diǎn)的同側(cè)，點(diǎn)C 是直是直線上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)線

6、上的一個動點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)C 在在l 的什么位置時，的什么位置時，AC 與與CB的和最??？的和最小？ BlA探索新知探索新知探索新知探索新知追問追問2回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的回顧前面的探究過程，我們是通過怎樣的 過程、借助什么解決問題的？過程、借助什么解決問題的？ BlABCC探索新知探索新知 小結(jié)：只要找到其中一個點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn)，連接對稱點(diǎn)與另一個點(diǎn)，與該直線的交點(diǎn)，即為所確定的位置.檢測一檢測一 要在河邊修建一個水泵，分別向張村、李莊送水（如圖），修在河邊什么地方，可使所用水管最短？張村李莊一線一線+兩點(diǎn)型兩點(diǎn)型運(yùn)用新知運(yùn)用新知運(yùn)用新知運(yùn)用新知 如圖，點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，連接P

7、與射線OA,OB上的兩點(diǎn)D,E組成一個三角形，使PDE的周長最小OBAP檢測二檢測二兩線兩線+一點(diǎn)型一點(diǎn)型運(yùn)用新知運(yùn)用新知 如下圖，牧馬營地在點(diǎn)p處，每天牧馬人要趕著馬群先到草地a上吃草，再到河邊b飲水，最后回到營地，請你設(shè)計(jì)一條放牧路線，使其所走的總路程最短.ab草地草地河河p檢測二檢測二兩線兩線+一點(diǎn)型（平行訓(xùn)練）一點(diǎn)型（平行訓(xùn)練）運(yùn)用新知運(yùn)用新知OABMN 如圖，在直線OB,OA上分別找一點(diǎn)E,F使得四邊形MEFN的周長最小。檢測三檢測三兩線兩線+兩點(diǎn)型兩點(diǎn)型運(yùn)用新知運(yùn)用新知檢測三檢測三兩線兩線+兩點(diǎn)型（平行訓(xùn)練）兩點(diǎn)型（平行訓(xùn)練） 如下圖，為了做好國慶期間的交通安全工作，某交警執(zhí)勤小隊(duì)

8、從A處出發(fā)，先到公路 上設(shè)卡檢查，再到公路 上設(shè)卡檢查，最后再到達(dá)B地執(zhí)行任務(wù)，他們?nèi)绾巫卟拍苁蛊淇偮烦套疃?1l2l.AB2l1l（1）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？）本節(jié)課研究問題的基本過程是什么？ （2）軸對稱在所研究問題中起什么作用？）軸對稱在所研究問題中起什么作用？（3 3）本節(jié)課在解決問題過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)）本節(jié)課在解決問題過程中運(yùn)用了哪些數(shù)學(xué)思想？思想？歸納小結(jié)歸納小結(jié)造橋選址問題造橋選址問題如圖，如圖，A和和B兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在兩地在一條河的兩岸，現(xiàn)要在河上造一座橋河上造一座橋MN.橋造在何處才能使從橋造在何處才能使從A到到B的路徑的路徑AMNB最短？（假定河的兩岸

9、是平最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）行的直線，橋要與河垂直）BA思維分析思維分析BA 1、如圖假定任選位置造、如圖假定任選位置造橋，連接和，從橋，連接和，從A到到B的路徑是的路徑是AM+MN+BN，那么怎樣確定什么情況下最短那么怎樣確定什么情況下最短呢？呢？ 2、利用線段公理解決問題我們遇到了什、利用線段公理解決問題我們遇到了什么障礙呢？么障礙呢？ 我們能否在不改變我們能否在不改變AM+MN+BN的前提的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢？什么圖形變換能幫助我們呢？我們呢？思維火花思維火花各抒己見各抒己見1、把、把A平移到岸邊平移到岸邊.2、把、把B平

10、移到岸邊平移到岸邊.3、把橋平移到和、把橋平移到和A相連相連.4、把橋平移到和、把橋平移到和B相連相連.上述方法都能做到使上述方法都能做到使AM+MN+BN不變嗎？請不變嗎？請檢驗(yàn)檢驗(yàn).合作與交流合作與交流1、2兩種方法改變了兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢？怎樣調(diào)整呢？把把A或或B分別向下或上平移一個橋長分別向下或上平移一個橋長那么怎樣確定橋的位置呢那么怎樣確定橋的位置呢?問題解決問題解決BAA1MN如圖，平移如圖，平移A到到A1，使，使A1等于河寬，連接等于河寬，連接A1交交河岸于作橋，此時河岸于作橋，此時路徑最路徑最短短.理由；另任作橋理由；另任作橋，連接，連接，.由平移性質(zhì)可知，由平移性質(zhì)可

11、知，.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為，而，而轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)化為化為.在在中，由線段公理知中，由線段公理知A1N1+BN1A1B因此因此 AM+MN+BN作法：作法：1.1.將點(diǎn)將點(diǎn)B B沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到沿垂直與河岸的方向平移一個河寬到E E， 2.2.連接連接AEAE交河對岸與點(diǎn)交河對岸與點(diǎn)M,M, 則點(diǎn)則點(diǎn)M M為建橋的位置，為建橋的位置，MNMN為所建的橋?yàn)樗ǖ臉?。證明：由平移的性質(zhì)，得證明：由平移的性質(zhì)，得 BNEM BNEM 且且BN=EM, MN=CD, BDBN=EM, MN=CD, BDCE, CE, BD=CE,BD=CE,所以所以A.BA.B兩地的距兩地的距: :AM+

12、MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若橋的位置建在若橋的位置建在CDCD處，連接處，連接AC.CD.DB.CE,AC.CD.DB.CE,則則ABAB兩地的距離為：兩地的距離為：AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在在ACEACE中，中，AC+CEAC+CEAE,AE, AC+CE+MNAC+CE+MNAE+MN,AE+MN,即即AC+CD+DB AC+CD+DB AM+MN+BNAM+MN+BN所以橋的位置建在所以橋的位置建在CDCD處，處，ABAB兩地的路程最短。兩地

13、的路程最短。ABMNECD問題延伸一問題延伸一如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有兩條河，現(xiàn)要在兩有兩條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN和和PQ.橋分別建在何處橋分別建在何處才能使從才能使從A到到B的路徑的路徑最短？（假定河的兩最短？（假定河的兩岸是平行的直線，橋岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）要與河岸垂直） 思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+橋橋MN和和PQ在中間，且方向不在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用能改變，仍無法直接利用“兩兩點(diǎn)之間，線段最短點(diǎn)之間，線段最短”解決問題，解決問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)只有

14、利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有三種：兩個橋長都平移平移的方法有三種：兩個橋長都平移到到A點(diǎn)處、都平移到點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、點(diǎn)處、MN平移平移到到A點(diǎn)處，點(diǎn)處，PQ平移到平移到B點(diǎn)處點(diǎn)處思維方法一思維方法一 1、沿垂直于第一條河岸的方向平移、沿垂直于第一條河岸的方向平移A點(diǎn)至點(diǎn)至AA1使使AA1=MN，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題，此時問題轉(zhuǎn)化為問題基本題型兩點(diǎn)（型兩點(diǎn)（A1、B點(diǎn)）和一條河建橋（點(diǎn)）和一條河建橋（PQ） 2、利用基本問題的解決方法確定橋、利用基本問題的解決方法確定橋PQ：（1）在沿垂直于第二條河岸的方向平移）在沿垂直于第二條河岸的方向平移A1

15、至至A2， 使使A1A2=PQ.（2）連接）連接A2B交交A2的對岸的對岸Q點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋PQ.3、確定、確定PQ的位置，也確定了的位置，也確定了BQ和和PQ，此時問題，此時問題可轉(zhuǎn)化為由可轉(zhuǎn)化為由A點(diǎn)、點(diǎn)、P點(diǎn)和第一條河確定橋點(diǎn)和第一條河確定橋MN的位置的位置.連接連接A1P交的對岸于點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋交的對岸于點(diǎn)，在點(diǎn)處建橋問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把點(diǎn)、，使點(diǎn)、，使，；連接交于點(diǎn)相鄰連接交于點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)，建橋；河岸于點(diǎn)，建橋；連接交的對岸連接交的對岸于點(diǎn)，建橋；于點(diǎn)，建橋；從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為為MMN思維方法二思維方法二 沿垂

16、直于第一條河岸方沿垂直于第一條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿向平移點(diǎn)至點(diǎn)，沿垂直于第二條河岸方向平移垂直于第二條河岸方向平移點(diǎn)至點(diǎn)，連接點(diǎn)至點(diǎn)，連接A1B1 分別交分別交A、B的對岸于的對岸于N、P兩點(diǎn)，建橋兩點(diǎn)，建橋MN和和PQ.最短路徑最短路徑AM+MN+NP+PQ+QB轉(zhuǎn)化為轉(zhuǎn)化為AA1+A1B1+BB1.思維方法三思維方法三沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把B點(diǎn)平移至點(diǎn)平移至B、B，使，使BBPQ，BBMN；連接連接BA交于交于A點(diǎn)相鄰河點(diǎn)相鄰河岸于岸于M點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN；連接連接BN交交B的對岸于的對岸于P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑從點(diǎn)到點(diǎn)的最短路徑為為MMNNP

17、轉(zhuǎn)化轉(zhuǎn)化為為AB2+B2B1+B1B問題延伸二問題延伸二如圖，如圖，A和和B兩地之間兩地之間有三條河，現(xiàn)要在兩有三條河，現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋條河上各造一座橋MN、PQ和和GH.橋分別建在橋分別建在何處才能使從何處才能使從A到到B的的路徑最短？（假定河路徑最短？（假定河的兩岸是平行的直線，的兩岸是平行的直線，橋要與河岸垂直）橋要與河岸垂直）思維分析思維分析如圖，問題中所走總路徑是如圖，問題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+G+GH+HB橋橋MN、PQ和和GH在中間，且方在中間，且方向不能改變，仍無法直接利用向不能改變，仍無法直接利用“兩點(diǎn)之間，線段最短兩點(diǎn)之間，線段最短”解決解決問題，只

18、有利用平移變換轉(zhuǎn)移問題，只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長到兩側(cè)或同一側(cè)先走橋長.平移的方法有四種：三個橋長都平移平移的方法有四種：三個橋長都平移到到A點(diǎn)處；都平移到點(diǎn)處；都平移到B點(diǎn)處；點(diǎn)處；MN、PQ平移到平移到A點(diǎn)處；點(diǎn)處；PQ、GH平移到平移到B點(diǎn)處點(diǎn)處問題解決問題解決沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平點(diǎn)平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)相鄰河岸于H點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的

19、對岸于于N點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN.此時從此時從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平點(diǎn)平移至移至A、A、A3，使，使AAMN，AAPQ，A2A3 =GH ；連接連接A3B交于交于B點(diǎn)相鄰河岸于點(diǎn)相鄰河岸于H點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋GH；連接連接A2G交第二河與交第二河與G對岸的對岸的P點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋PQ；連接連接A1P交第一條河與交第一條河與A的對岸的對岸于于N點(diǎn)，建橋點(diǎn)，建橋MN.此時從此時從A到到B點(diǎn)路徑最短點(diǎn)路徑最短.問題解決問題解決 沿垂直于河岸方向依次把沿垂直于河岸方向依次把A點(diǎn)平移點(diǎn)平移至至A，使，使AAMN，平移，平移B點(diǎn)至點(diǎn)至B1、B2 ,使使BB1GH，B1B2 =PQ ；連接連接A1B