計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)-第三章材料非線性問題-1

1、計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 1計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 2第三章第三章 材料非線性問題及其有限元求解材料非線性問題及其有限元求解 材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系材料彈塑性本構(gòu)關(guān)系 塑性力學(xué)中的變分原理塑性力學(xué)中的變分原理 彈塑性增量有限元分析彈塑性增量有限元分析 彈塑性全量有限元分析彈塑性全量有限元分析參考書籍：參考書籍：1. 非線性固體計(jì)算力學(xué)非線性固體計(jì)算力學(xué)，宋天霞等著，宋天霞等著2. 有限元素法中的變分原理基礎(chǔ)有限元素法中的變分原理基礎(chǔ)，王生楠編，王生楠編計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 33.1 3.1 點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)及應(yīng)力張量1.1.任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)任一點(diǎn)的應(yīng)

2、力狀態(tài)斜面上的應(yīng)力斜面上的應(yīng)力計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 4 一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由九個(gè)分量組成，這些分量在一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)由九個(gè)分量組成，這些分量在坐標(biāo)系變換時(shí)符合二階張量的定義，故由這九個(gè)坐標(biāo)系變換時(shí)符合二階張量的定義，故由這九個(gè)應(yīng)力分量組成一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量。應(yīng)力分量組成一個(gè)二階張量，稱為應(yīng)力張量。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 52.2.應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量 如果物體上某點(diǎn)的如果物體上某點(diǎn)的l方向?yàn)楹蠎?yīng)力方向，且無剪方向?yàn)楹蠎?yīng)力方向，且無剪應(yīng)力，則稱以應(yīng)力，則稱以l為法向的平面為主平面，該法向稱為法向的平面為主平面，該法向稱為主方向，正應(yīng)力為主方向，正應(yīng)力 稱為主應(yīng)力。

3、稱為主應(yīng)力。l計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 6計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 71I2I3I應(yīng)力張量不變量應(yīng)力張量不變量計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 8主剪應(yīng)力主剪應(yīng)力計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 93.2 3.2 偏應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 103.2 3.2 偏應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量應(yīng)力張量分解應(yīng)力張量分解計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 113.2 3.2 偏應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量式中：式中：113I這里，這里， 是不變量，即是不變量，即 對(duì)所有可能的坐標(biāo)軸向?qū)λ锌赡艿淖鴺?biāo)軸向都是相同的。因此，都是相同的。因此， 稱作靜水應(yīng)力。稱

4、作靜水應(yīng)力。1Imm計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 123.2 3.2 偏應(yīng)力張量偏應(yīng)力張量 靜水應(yīng)力張量，也稱為應(yīng)力球張量，代表靜水應(yīng)力張量，也稱為應(yīng)力球張量，代表一個(gè)均勻應(yīng)力狀態(tài)，與此應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的變形是一個(gè)均勻應(yīng)力狀態(tài)，與此應(yīng)力狀態(tài)對(duì)應(yīng)的變形是彈性的體積改變，而無形狀改變。彈性的體積改變，而無形狀改變。mij 應(yīng)力偏張量，代表一個(gè)實(shí)際的應(yīng)力狀態(tài)偏離應(yīng)力偏張量，代表一個(gè)實(shí)際的應(yīng)力狀態(tài)偏離均勻應(yīng)力狀態(tài)的程度，此應(yīng)力狀態(tài)將只產(chǎn)生材料均勻應(yīng)力狀態(tài)的程度，此應(yīng)力狀態(tài)將只產(chǎn)生材料的形狀改變，而無體積變形。的形狀改變，而無體積變形。ijS計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 13用用 、 、 代替應(yīng)力張

5、量三個(gè)不代替應(yīng)力張量三個(gè)不變量表達(dá)式中變量表達(dá)式中 、 、 的就可以得到應(yīng)力偏張量的就可以得到應(yīng)力偏張量的三個(gè)不變量，且其主方向與應(yīng)力張量的主方向的三個(gè)不變量，且其主方向與應(yīng)力張量的主方向一致。一致。xmymzmyxz計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 14計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 153.3 3.3 應(yīng)變張量及其分解應(yīng)變張量及其分解一、應(yīng)變與位移的關(guān)系一、應(yīng)變與位移的關(guān)系1 1、小變形情況、小變形情況12,iji jj iuu2 2、大變形（有限變形）情況、大變形（有限變形）情況 設(shè)變形前的初始時(shí)刻設(shè)變形前的初始時(shí)刻t=0，物體內(nèi)，物體內(nèi)A點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)的坐標(biāo)為為ai(a1,a2,a3)，

6、經(jīng)過變形后，在，經(jīng)過變形后，在t時(shí)刻它移到時(shí)刻它移到A。相對(duì)于同一坐標(biāo)系的坐標(biāo)為相對(duì)于同一坐標(biāo)系的坐標(biāo)為xi(x1,x2,x3)變形前后變形前后的位置一一對(duì)應(yīng)，可由的位置一一對(duì)應(yīng)，可由xi的單值連續(xù)函數(shù)表示的單值連續(xù)函數(shù)表示xi=xi(aj, t)。同樣也可以表示為。同樣也可以表示為ai的單值連續(xù)函數(shù)的單值連續(xù)函數(shù)ai=ai(xj, t)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 163.3 3.3 應(yīng)變張量及其分解應(yīng)變張量及其分解 在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，以物體的初始坐標(biāo)為自在連續(xù)介質(zhì)力學(xué)中，以物體的初始坐標(biāo)為自變量的描述法變量的描述法Lagrange方法；以變形后坐標(biāo)（瞬方法；以變形后坐標(biāo)（瞬時(shí)坐標(biāo)）為

7、自變量的描述法為時(shí)坐標(biāo)）為自變量的描述法為Euler方法。如采用方法。如采用后者后者12,iji jj ik ik juuu u 當(dāng)小變形時(shí)，略去高階微量，上式和小變形當(dāng)小變形時(shí)，略去高階微量，上式和小變形時(shí)的幾何方程完全等價(jià)時(shí)的幾何方程完全等價(jià)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 173.3 3.3 應(yīng)變張量及其分解應(yīng)變張量及其分解二、應(yīng)變張量的分解二、應(yīng)變張量的分解計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 183.3 3.3 應(yīng)變張量及其分解應(yīng)變張量及其分解計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 193.3 3.3 應(yīng)變張量及其分解應(yīng)變張量及其分解 應(yīng)變球張量具有各方向相同的正應(yīng)變，與彈性的應(yīng)變球張量具有

8、各方向相同的正應(yīng)變，與彈性的體積改變部分有關(guān)；應(yīng)變偏張量的三個(gè)主應(yīng)變之和為體積改變部分有關(guān)；應(yīng)變偏張量的三個(gè)主應(yīng)變之和為零，說明它沒有體積變形，只反映形狀改變部分。零，說明它沒有體積變形，只反映形狀改變部分。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 20 在分析復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的塑性變形規(guī)律之前，我們先來觀察一下大家所熟知的簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)。3.4 3.4 簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的塑性現(xiàn)象簡(jiǎn)單拉伸時(shí)的塑性現(xiàn)象1 1 簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)- 假定所用的材料具有彈塑性現(xiàn)象，是各向同性的，對(duì)拉伸和壓縮具有相同的力學(xué)性質(zhì)，即對(duì)于初始材料，先拉或先壓，其力學(xué)性能是相同的。 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以繪出其- 曲線計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)

9、算力學(xué) 21 從實(shí)驗(yàn)結(jié)果可以繪出其- 曲線- 如圖所示：它是忽略了一些次耍的因素而稍加理想化了的應(yīng)力應(yīng)力- -應(yīng)變應(yīng)變曲線圖，但反映了常溫、靜載下，材料在受力過程中應(yīng)力-應(yīng)變關(guān)系的基本面貌，顯示了材料固有力學(xué)性能，從這里我們可以看到：（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點(diǎn)以前，應(yīng)力和應(yīng)變 成直線關(guān)系：彈性模量計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 22（1）隨著荷載的增加，在變形的最初階段，直到A點(diǎn)以前，應(yīng)力和應(yīng)變 成直線關(guān)系：彈性模量由于超過A點(diǎn)以后，就不再保持上述的比例關(guān)系，所以與A A點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力叫材料的比例極限 。如果在A點(diǎn)以前將荷載逐漸消除，變形即跟著完全消失，所以在OA段內(nèi)僅有

10、彈性變形。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 23（2）當(dāng)荷載繼續(xù)增加，此時(shí)變形的增長(zhǎng)比在A A點(diǎn)之前點(diǎn)之前稍大，但在未超過B B點(diǎn)以點(diǎn)以前，變形仍是可以恢復(fù)的。所以將與B B點(diǎn)點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力叫做材料的彈性極限 。它表示材料不致產(chǎn)生殘余變形的最大應(yīng)力值。(3) 繼續(xù)加載達(dá)到達(dá)到C C點(diǎn)點(diǎn)時(shí)，變形增長(zhǎng)得較快。過過C C點(diǎn)后點(diǎn)后，在幾乎不增加荷載的情況下，變形會(huì)繼續(xù)迅速增加。這時(shí)，發(fā)生了顯著的殘余變形，材料達(dá)材料達(dá)到屈服階段到屈服階段。與C C點(diǎn)相應(yīng)點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力就稱為材料的屈服極限 。 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 24 像軟鋼一類材料具有明顯的屈服階段， -e 曲線在這時(shí)有一個(gè)明顯的平緩的部分(

11、下左圖所示)。 但有些材料(如鋁合金）沒有明顯的屈服階段(下右圖)。在工程上往往以殘余變形達(dá)0.2%時(shí)作為塑性變形的開始，其相應(yīng)的應(yīng)力 作為材料的屈服應(yīng)力.ooo HDH.bABCD由于-般材料的比例極限、彈性極限和屈服極限相差不大，為了方便，通常不加區(qū)分。我們以后都用 ，并稱為屈服應(yīng)力。0.2 0.20.2% 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 25- - 由于材料是各向同性的，如果開始不做拉伸實(shí)驗(yàn)，而做壓縮實(shí)開始不做拉伸實(shí)驗(yàn)，而做壓縮實(shí)驗(yàn)驗(yàn)，則壓縮應(yīng)力-應(yīng)變曲線將和拉伸時(shí)的曲線一樣。- 初始彈性階段：初始彈性階段：這樣，我們可以認(rèn)為材料在應(yīng)力到達(dá)屈服極限 ，以前（ ）是彈性的，應(yīng)力與應(yīng)變成正

12、比，即服從Hooke 定律 ，這個(gè)階段稱為初始彈性階段初始彈性階段。- 初始屈服點(diǎn)：初始屈服點(diǎn)：曲線上和 相應(yīng)的點(diǎn)是初始彈性階段的界限，超過此界限以后材料就進(jìn)入塑性階段了，所以把它稱為初始屈服點(diǎn)。- 材料由初始彈性階段進(jìn)入塑性的過程就稱為初始屈服材料由初始彈性階段進(jìn)入塑性的過程就稱為初始屈服。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 26（4）當(dāng)材料屈服到一定程度時(shí)，它的內(nèi)部結(jié)構(gòu)因?yàn)榫w排列的位置在改變后又重新得到調(diào)整，使它又重新或得了繼續(xù)抵抗外載的能力。-應(yīng)變硬化應(yīng)變硬化：在繼續(xù)加載后，曲線在屈服后繼續(xù)上升，這就說明材料在屈服以后，必須繼續(xù)增大應(yīng)力才能使它產(chǎn)生新的塑性變形。這種現(xiàn)象稱為應(yīng)變硬化或加工

13、硬化，簡(jiǎn)稱為硬化硬化。這個(gè)變形階段稱為硬化階段硬化階段。-應(yīng)變軟化應(yīng)變軟化：當(dāng)曲線到達(dá)最高點(diǎn)最高點(diǎn)E E時(shí)，荷載達(dá)到最大值，此時(shí)，由于頸縮現(xiàn)象的出現(xiàn)，在E點(diǎn)以后荷載開始下降，直至斷裂。這這種應(yīng)力降低、應(yīng)變?cè)黾拥默F(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化種應(yīng)力降低、應(yīng)變?cè)黾拥默F(xiàn)象稱為應(yīng)變軟化，簡(jiǎn)稱為軟化。和E點(diǎn)相應(yīng)的應(yīng)力就稱為強(qiáng)度極限 。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 27（5）如果將試件拉伸到塑性階段的某點(diǎn)，例如D點(diǎn)，以后逐漸減小應(yīng)力，即卸載，則-e 曲線將沿著大致與OA 平行的直線 下降。在全部卸除荷載之后，留下殘余變形 。 表示全應(yīng)變e， 是可以恢復(fù)的應(yīng)變即彈性應(yīng)變 是不能恢復(fù)的應(yīng)變，即塑性應(yīng)變 ，則：即全應(yīng)變等

14、于彈性應(yīng)變加上塑性全應(yīng)變等于彈性應(yīng)變加上塑性應(yīng)變應(yīng)變。-若在卸載后重新加載，曲線基本上仍沿 上升至D時(shí)又開始產(chǎn)生新的塑性變形，好像又進(jìn)入了新的屈服，然后順著原來的DE 線上升，就像未曾卸載一樣。（2-1）計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 28-后繼屈服后繼屈服：為了與初始屈服相區(qū)別，繼續(xù)發(fā)生新的塑性變形時(shí)材料的再度屈服稱為繼續(xù)屈服或后繼屈服繼續(xù)屈服或后繼屈服，相應(yīng)的屈服點(diǎn)屈服點(diǎn)D D稱為后繼屈服點(diǎn)。相應(yīng)的屈服應(yīng)力：屈服應(yīng)力： 稱為后繼屈服應(yīng)力后繼屈服應(yīng)力。-由于硬化作用，使材料的后繼屈服極限比初始屈服極限提高了，即 而且和 不同， 不是材料常數(shù)，它的大小是和塑性變形的大小和歷史有關(guān)的。計(jì)算固體

15、計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 29- 這個(gè)效應(yīng)說明對(duì)先給出某方向的塑性變形的材料，如再加上反方向的荷載，和先前相比，抵抗變形的能力減小， 即一個(gè)方向的硬化引起相反方向的軟化。這樣，即使是初始各向同性的材料，在出現(xiàn)塑性變形以后，就帶各向異性。雖然多數(shù)情況下為了筒化而不考慮Bauschinger 效應(yīng)，但對(duì)有反復(fù)加載的情況必須予以考慮。（6 6）BauschingerBauschinger效應(yīng)效應(yīng)：如果在完全卸載后施加相反方向的應(yīng)力，譬如由拉改為壓力，則曲線沿 的延長(zhǎng)線下降，即開始是成直線關(guān)系（彈性變形)，但至一定程度( 點(diǎn))又開始進(jìn)入屈服，并有反方向應(yīng)力的屈服極限降低的現(xiàn)象 ，這種現(xiàn)象稱為：Baus

16、chinger (Bauschinger (包辛格）效應(yīng)。包辛格）效應(yīng)。 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 30-后繼彈性階段：后繼彈性階段：卸載的過程中，從D到 ，雖然也是線性關(guān)系，應(yīng)服從Hooke定律，但不能寫成全量形式，而應(yīng)寫成增量關(guān)系 ，這是因?yàn)槿珣?yīng)變中有一部分是塑性應(yīng)變，并不服從彈性定律。這個(gè)變形階段稱為后繼彈性階段后繼彈性階段，后繼屈服點(diǎn)就是它的界限點(diǎn)，且這種界限點(diǎn)的位置是隨塑性變形的大小和歷史而改變的。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 31-從這個(gè)簡(jiǎn)單拉伸實(shí)驗(yàn)所觀察到的現(xiàn)象可以知道，和彈性階段不同，塑性的變形規(guī)律即本構(gòu)關(guān)系應(yīng)具有以下幾個(gè)重要的特點(diǎn)：(1) 首先要有一個(gè)判斷材料是處

17、于彈性階段還是已進(jìn)入塑性階段的判斷式，即屈服條件，對(duì)簡(jiǎn)單拉伸或壓縮應(yīng)為狀態(tài)。這個(gè)判別式為：初始屈服條件：初始屈服條件： 后繼屈服條件：后繼屈服條件： 是常數(shù)，而 的大小由塑性變形的大小和歷史所決定，它們都是取絕對(duì)值。 (2) 應(yīng)力和應(yīng)變之間是非線性關(guān)系。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 32(3) 應(yīng)力和應(yīng)變之間不存在彈性階段那樣的單值關(guān)系，因?yàn)榧虞d和卸載是分別服從不同的規(guī)律。這一點(diǎn)又決定了它和非線性彈性問題不同。- 在單向拉伸或壓縮應(yīng)力狀態(tài)下，這些關(guān)系可表示為：彈性階段：彈性階段：（當(dāng) 時(shí)） 彈塑性階段：彈塑性階段：（當(dāng) 時(shí)）加載加載 （ ）， （非線性關(guān)系非線性關(guān)系）卸載卸載（ ）， （線

18、性關(guān)系線性關(guān)系）計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 33因?yàn)榧虞d和卸載時(shí)服從不同的規(guī)律，因此，如不指明變形路徑（歷史）是不能由應(yīng)力確定應(yīng)變（右圖）或由應(yīng)變確定應(yīng)力（左圖） 加載加載 （ ）， （非線性關(guān)系非線性關(guān)系）卸載卸載（ ）， （線性關(guān)系線性關(guān)系） 同一應(yīng)力對(duì)應(yīng)不同的應(yīng)變同一應(yīng)變對(duì)應(yīng)不同的應(yīng)力計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 34- 由此可知，塑性變形的規(guī)律遠(yuǎn)比彈性變形的規(guī)律復(fù)雜得多，它是一個(gè)非線性的、加載與卸載不同的復(fù)雜關(guān)系，這就決定了塑性力學(xué)遠(yuǎn)比彈性力學(xué)復(fù)雜。- 所以，在塑性力學(xué)中，為了能使復(fù)雜的問題得到解決，常常不得不引進(jìn)一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)，使問題得到合理的解決。- 在確定力學(xué)模型時(shí)，要

19、特別注意使所選取的力學(xué)模型必須符合材料的實(shí)際情況，只有這樣才能使計(jì)算結(jié)果反映結(jié)構(gòu)或構(gòu)件中的真實(shí)應(yīng)力及應(yīng)力狀況。- 另一方面，要注意所選取的力學(xué)模型的數(shù)學(xué)表達(dá)式應(yīng)該足夠簡(jiǎn)單，以便在求解具體問題時(shí)，不出現(xiàn)過大的數(shù)學(xué)上的困難。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 35(1) (1) 理想彈性力學(xué)模型理想彈性力學(xué)模型 E v符合材料的實(shí)際情況。v數(shù)學(xué)表達(dá)式足夠簡(jiǎn)單。2.2.力學(xué)模型的要求：力學(xué)模型的要求： e彈性變形：應(yīng)力與應(yīng)變之間是一種線性關(guān)系, 應(yīng)力和應(yīng)變關(guān)系的數(shù)學(xué)表達(dá)式:在此階段中，外載荷引起的應(yīng)力，應(yīng)變和位移，與加載次序和歷史無關(guān)。在除去外載后，物體完全恢復(fù)到初始狀態(tài)，而且在物體中沒有任何殘余應(yīng)力

20、和殘余變形。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 36(2) (2) 理想彈塑性力學(xué)模型理想彈塑性力學(xué)模型 e s s s s sssE 彈性變形階段彈性變形階段(OA):(OA): 應(yīng)力與應(yīng)變(線性關(guān)系)塑性變形階段塑性變形階段(AB)(AB)：材料進(jìn)入塑性狀態(tài)后，如不考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)，則可得到如圖所示的理想彈塑性模型。A AB B計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 37(3) (3) 線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型 ssssEE )(1 s sEE1當(dāng)考慮材料的強(qiáng)化性質(zhì)時(shí)，可采用線性強(qiáng)化彈塑性力學(xué)模型圖中有兩條直線，OA 和 AB，其解析表達(dá)式為：o oA AB B式中， E 及

21、 E1 分別為線段OA及AB 的斜率由于由于 OA OA 和和 ABAB是兩條直線，也稱雙線性強(qiáng)化模型是兩條直線，也稱雙線性強(qiáng)化模型。 s s計(jì)算復(fù)雜計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 38s s=1=1（4 4） 冪強(qiáng)化力學(xué)模型冪強(qiáng)化力學(xué)模型nA n：強(qiáng)化指數(shù)：0 n 1An=1n=0為了避免解析式在 處的變化，有時(shí)可以采用幕強(qiáng)化力學(xué)模型上式所代表的曲線在 =0處與軸相切，而且有下列公式： =A 當(dāng)當(dāng) n = 1，（a） =A 當(dāng)當(dāng) n = 0，（b）(a)式代表理想彈性模型，若將式中的A用彈性模量E代替，則為胡克定律的表達(dá)式。而式(b)的A 用s代替。則為理想塑性(或稱剛塑性)力學(xué)模型。通過

22、求解式(a)和(b)則可得= 1，即這兩條線在=1 處相交便于分析參數(shù)少計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 39（6 6） 線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型線性強(qiáng)化剛塑性力學(xué)模型 1Es s s （剛塑性力學(xué)模型）（5 5） 理想塑性力學(xué)模型理想塑性力學(xué)模型s E1 s s在許多實(shí)際工程問題中，彈性應(yīng)變比塑性應(yīng)變小得多，因而可以忽略彈性應(yīng)變，若不考慮強(qiáng)化效應(yīng)，則稱這種模型為剛塑性力學(xué)模型。這一模型假設(shè):在應(yīng)力到達(dá)屈服極限之前應(yīng)變?yōu)榱恪＞€段AB 平行于軸，卸載線平行于軸。卸載線平行于軸。分析計(jì)算容易A AB BA AB B計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 40在塑性力學(xué)中，剛塑性力學(xué)模型具有重要意義。在塑性

23、成形理論中的許多情況下，塑性應(yīng)變一般都比彈性應(yīng)變大得多，所以忽略彈性應(yīng)變而只考慮塑性應(yīng)變是合理的，對(duì)總體的計(jì)算結(jié)果影響不大。采用剛塑性力學(xué)模型給數(shù)學(xué)計(jì)算帶來較大的簡(jiǎn)化。使許多復(fù)雜問題能獲得完整的解析表達(dá)式。在以上所提及的幾種力學(xué)模型中，理想彈塑性、冪強(qiáng)化及理想剛塑性力學(xué)模型應(yīng)用最為廣泛。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 413.5 屈服條件 屈服函數(shù) 屈服面1、定義屈服：屈服面：初始屈服條件后繼屈服條件破壞條件屈服條件：物體內(nèi)一點(diǎn)開始產(chǎn)生塑性變形時(shí)其應(yīng)力狀態(tài)所應(yīng)滿足的條件屈服條件的幾何曲面初始屈服面加載面破壞面彈性進(jìn)入塑性計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 422、屈服函數(shù)屈服條件的數(shù)學(xué)表達(dá)0)

24、(ijf應(yīng)力狀態(tài)函數(shù)f簡(jiǎn)單拉伸：0)(sijsf純剪切：0)(sijsf一般應(yīng)力狀態(tài)：0),()(xzyzxyzyxijff0),(),(321321ffii各向同性0),(0),()(321321JJJfffi或0) , (32JJf靜水壓力不影響塑性變形計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 43 3、屈服面與屈服曲線屈服面狹義：初始屈服函數(shù)的幾何曲面 廣義：屈服函數(shù)的幾何曲面（加載面）一個(gè)空間屈服面可以采用平面上的屈服曲線表達(dá)4、屈服面的性質(zhì)垂直于平面的柱面- -屈服面：屈服面：在應(yīng)力空間中，將實(shí)驗(yàn)所得各種應(yīng)力狀態(tài)下初始屈服時(shí)的應(yīng)力點(diǎn)連起來構(gòu)成一個(gè)空間曲面，即屈服面。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)

25、算力學(xué) 44屈服面在平面上的投影在每300分割段中都具有相似性（a）關(guān)于 對(duì)稱321、說明：材料各向同性，若 在屈服面上，則 也在屈服面上)(321、)(231、（b）關(guān)于 對(duì)稱321、說明：不考慮鮑辛格效應(yīng)，若 在屈服面上，則 也在屈服面上)(321、)(321、屈服曲線是封閉的包含原點(diǎn)的曲線；說明：坐標(biāo)原點(diǎn)處于零應(yīng)力狀態(tài)，材料不可能在無應(yīng)力的情況下屈服，所以原點(diǎn)應(yīng)在屈服線內(nèi)。屈服曲線是彈性狀態(tài)的界限線，如果不封閉，則表示某些應(yīng)力狀態(tài)永遠(yuǎn)處于彈性狀態(tài)，顯然不可能。從坐標(biāo)原點(diǎn)作任一徑向線必與屈服軌跡相交有且只有一次。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 453.6 Tresca屈服條件和Mises

26、屈服條件一、 Tresca屈服條件131max2k66 , 0cos12kJ131312cos2cos)(22krrx22Jr 又，則、規(guī)定321) 1 ( Tresca (1864) 假設(shè)當(dāng)最大剪應(yīng)力達(dá)到某一極限值k時(shí)，材料發(fā)生屈服：1maxk用 表示屈服函數(shù)2J計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 46平面123的順序，則、不規(guī)定321)2(132121131222kkkx66 , 0cos12kJ主應(yīng)力空間計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 47Tresca屈服柱被 平面所截后得到的圖形。03，則、當(dāng)0)3(31211211222kkk計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 48k的試驗(yàn)確定： 純剪

27、切試驗(yàn)：ss321, 0,s，k1故ss31321, 0,2/1s，k故 簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)：若材料滿足Tresca屈服條件，則：ss2計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 49二、 Mises屈服條件 Tresca屈服條件有以下問題：沒考慮中間主應(yīng)力的影響；當(dāng)應(yīng)力處在屈服面的棱線上時(shí)，處理會(huì)遇到數(shù)學(xué)上的困難；主應(yīng)力大小未知時(shí)，屈服條件十分復(fù)雜。因此， Mises(1913)提出了另一個(gè)屈服條件：應(yīng)力偏張量的第二不變量達(dá)到某一定值時(shí)，材料就屈服。22213232221234)()()(61kJ、由等效應(yīng)力 可得到用等效應(yīng)力表示的Mises條件：32J22k說明：計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 50、屈

28、服面的形狀22213232221234)()()(61kJconstkkJr2222383422Mises屈服條件在平面上的一個(gè)圓，在應(yīng)力空間是一個(gè)圓柱體。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 51sskkJ2134322222sskkJ233422222、 k的試驗(yàn)確定：簡(jiǎn)單拉伸試驗(yàn)：純剪切試驗(yàn)：若材料滿足Mises屈服條件，則：ss232，則當(dāng)03、計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 52、Mises條件的物理解釋：根據(jù)彈性理論，形狀改變比能 ：GkkGJGJEEWd32342121)1 ()()()(6)1 (22222221323222122228322343232kkJ2223kJ所以Mi

29、ses的物理解釋：當(dāng)形狀改變比能或者八面體上的剪應(yīng)力或者等效應(yīng)力（應(yīng)力強(qiáng)度）達(dá)到某一極限值時(shí)，材料才開始屈服。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 53、 平面，Tresca屈服條件與Mises屈服條件的關(guān)系：規(guī)定拉伸時(shí)一致：Tresca六邊形內(nèi)接于Mises圓222)(22,2s1311條件下：kxTrescakssssskJrMisesk322138382:21222條件下，sssxr22233230cos0計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 54規(guī)定剪切時(shí)一致：Tresca六邊形 外切于Mises圓。ssskxTrescak22)(22,1311條件下：ssskJrMisesk22338382

30、:23222條件下，sxr s s 1s s 2s s 30 0322kxy計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 55三、比較兩屈服準(zhǔn)則的區(qū)別：、Tresca屈服條件說明屈服只決定于最大最小主應(yīng)力； Mises屈服條件考慮了中間應(yīng)力，說明屈服條件和三個(gè)主應(yīng)力都有關(guān)系；、Tresca條件下 ss2ss232Mises條件下試驗(yàn)表明，一般材料ss)6 . 056. 0(所以Mises條件更切實(shí)際。、Mises條件與主應(yīng)力有關(guān)，說明中間中主應(yīng)力對(duì)屈服有影響，但在已知主方向和主應(yīng)力大小順序時(shí)，Tresca條件更方便些。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 563.7 塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系 本節(jié)主要討論應(yīng)力

31、點(diǎn)處于屈服面上，本節(jié)主要討論應(yīng)力點(diǎn)處于屈服面上，材料處于塑性狀態(tài)，此時(shí)應(yīng)力分量和應(yīng)變材料處于塑性狀態(tài)，此時(shí)應(yīng)力分量和應(yīng)變分量所要滿足的關(guān)系分量所要滿足的關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系塑性本構(gòu)關(guān)系。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 57一、建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素一、建立塑性本構(gòu)關(guān)系的基本要素描述塑性變形規(guī)律的理論可分為兩大類：描述塑性變形規(guī)律的理論可分為兩大類：一類理論認(rèn)為在塑性狀態(tài)下仍是應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系一類理論認(rèn)為在塑性狀態(tài)下仍是應(yīng)力和應(yīng)變?nèi)恐g的關(guān)系即全量理論；另一類理論認(rèn)為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變?cè)隽考慈坷碚?；另一類理論認(rèn)為在塑性狀態(tài)下是塑性應(yīng)變?cè)隽浚ɑ驊?yīng)變率）和應(yīng)力及應(yīng)力增量（應(yīng)力率）之

32、間的關(guān)系即增（或應(yīng)變率）和應(yīng)力及應(yīng)力增量（應(yīng)力率）之間的關(guān)系即增量理論或流動(dòng)理論。量理論或流動(dòng)理論。為了建立塑性本構(gòu)關(guān)系，需要考慮三個(gè)要素：為了建立塑性本構(gòu)關(guān)系，需要考慮三個(gè)要素： 1 1、初始屈服條件；、初始屈服條件； 2 2、與初始屈服及后繼加載面相關(guān)連的某一流動(dòng)法則。即要、與初始屈服及后繼加載面相關(guān)連的某一流動(dòng)法則。即要有一個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變（或它們的增量）間的關(guān)系，此關(guān)系包括有一個(gè)應(yīng)力和應(yīng)變（或它們的增量）間的關(guān)系，此關(guān)系包括方向關(guān)系和分配關(guān)系。實(shí)際是研究它們的偏量之間的關(guān)系；方向關(guān)系和分配關(guān)系。實(shí)際是研究它們的偏量之間的關(guān)系； 3 3、確定一種描述材料強(qiáng)化（硬化）特性的強(qiáng)化條件，即加、確定

33、一種描述材料強(qiáng)化（硬化）特性的強(qiáng)化條件，即加載函數(shù)。有了這個(gè)條件才能確定應(yīng)力、應(yīng)變或它們的增量之載函數(shù)。有了這個(gè)條件才能確定應(yīng)力、應(yīng)變或它們的增量之間的定量關(guān)系。間的定量關(guān)系。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 58二、強(qiáng)化規(guī)律二、強(qiáng)化規(guī)律 Tresca、Mises兩種屈服條件，只是解決了從無應(yīng)力狀態(tài)加兩種屈服條件，只是解決了從無應(yīng)力狀態(tài)加載時(shí)的載時(shí)的“初始屈服初始屈服”問題。當(dāng)初始屈服發(fā)生后，再繼續(xù)加載問題。當(dāng)初始屈服發(fā)生后，再繼續(xù)加載，或卸載后又重新加載時(shí)，屈服條件將發(fā)生變化。要了解這，或卸載后又重新加載時(shí)，屈服條件將發(fā)生變化。要了解這種變化，就必須研究強(qiáng)化規(guī)律。種變化，就必須研究強(qiáng)化規(guī)律。

34、 在簡(jiǎn)單拉伸中，當(dāng)應(yīng)力超過初始屈服應(yīng)力后會(huì)出現(xiàn)塑性在簡(jiǎn)單拉伸中，當(dāng)應(yīng)力超過初始屈服應(yīng)力后會(huì)出現(xiàn)塑性變形，若進(jìn)一步加載，則屈服應(yīng)力將提高。這種屈服應(yīng)力提變形，若進(jìn)一步加載，則屈服應(yīng)力將提高。這種屈服應(yīng)力提供的現(xiàn)象，稱為（強(qiáng)化或硬化）現(xiàn)象。供的現(xiàn)象，稱為（強(qiáng)化或硬化）現(xiàn)象。 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，強(qiáng)化現(xiàn)象則變?yōu)殚_始加載時(shí)，應(yīng)力在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，強(qiáng)化現(xiàn)象則變?yōu)殚_始加載時(shí)，應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)在屈服表面內(nèi)向屈服表面移動(dòng)。在到達(dá)屈服表面后，狀態(tài)點(diǎn)在屈服表面內(nèi)向屈服表面移動(dòng)。在到達(dá)屈服表面后，材料開始進(jìn)入塑性，再繼續(xù)加載，屈服表面將發(fā)生改變（不材料開始進(jìn)入塑性，再繼續(xù)加載，屈服表面將發(fā)生改變（不變的情況稱為理想塑性或完

35、全塑性），這就是強(qiáng)化。變的情況稱為理想塑性或完全塑性），這就是強(qiáng)化。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 59 一般情況下，加載面不僅取決于應(yīng)力一般情況下，加載面不僅取決于應(yīng)力 和塑性應(yīng)變和塑性應(yīng)變 ，而且還依賴于整個(gè)塑性應(yīng)變，而且還依賴于整個(gè)塑性應(yīng)變過程（即所作的塑性功）。加載面的數(shù)學(xué)顯式過程（即所作的塑性功）。加載面的數(shù)學(xué)顯式ij,p ij0,ijp ijFK 式中，式中，K體現(xiàn)塑性功（即反映應(yīng)變歷史）的參數(shù)體現(xiàn)塑性功（即反映應(yīng)變歷史）的參數(shù)pKKd計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 601.1.各向同性強(qiáng)化各向同性強(qiáng)化 在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性強(qiáng)化理論假定，在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，各向同性強(qiáng)化理論

36、假定，加載面為初始屈服面作相似擴(kuò)大，即加載面為初始屈服面作相似擴(kuò)大，即0ijFK 式中，式中，K體現(xiàn)塑性功（即反映應(yīng)變歷史）的參數(shù)體現(xiàn)塑性功（即反映應(yīng)變歷史）的參數(shù)2.2.隨動(dòng)強(qiáng)化隨動(dòng)強(qiáng)化 隨動(dòng)強(qiáng)化理論假定加載面的初始屈服面為一柱隨動(dòng)強(qiáng)化理論假定加載面的初始屈服面為一柱面，但在應(yīng)力空間移動(dòng)。面，但在應(yīng)力空間移動(dòng)。0ijijF 式中，式中，aij為屈服柱面中心在應(yīng)力空間中移動(dòng)的量。為屈服柱面中心在應(yīng)力空間中移動(dòng)的量。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 61三、流動(dòng)法則三、流動(dòng)法則1.1.Drucker公設(shè)公設(shè) 考慮某應(yīng)力循環(huán)，設(shè)材料開始處于加載面內(nèi)，其考慮某應(yīng)力循環(huán)，設(shè)材料開始處于加載面內(nèi)，其應(yīng)力

37、為應(yīng)力為 ，然后加載使其應(yīng)力達(dá)到，然后加載使其應(yīng)力達(dá)到 時(shí)恰好在加載時(shí)恰好在加載面上；再繼續(xù)在加載面上加載到面上；再繼續(xù)在加載面上加載到 ，使其產(chǎn)生，使其產(chǎn)生塑性應(yīng)變塑性應(yīng)變 ；最后卸載，使應(yīng)力又回到；最后卸載，使應(yīng)力又回到 。0ijijijijd,p ijd0ij 在上述應(yīng)力循環(huán)過程中，無論材料是否穩(wěn)定，在上述應(yīng)力循環(huán)過程中，無論材料是否穩(wěn)定，而外載所作的功總是正的，即而外載所作的功總是正的，即00ijijijd計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 62 要判斷材料的穩(wěn)定性，就必須由附加應(yīng)力要判斷材料的穩(wěn)定性，就必須由附加應(yīng)力 所作的塑性功不小于零的條件得到，即所作的塑性功不小于零的條件得到，即

38、000,ijijijp ijd事實(shí)上，這個(gè)條件也就是用了彈性應(yīng)變?cè)趹?yīng)力循事實(shí)上，這個(gè)條件也就是用了彈性應(yīng)變?cè)趹?yīng)力循環(huán)中的可逆性而得到的，即由于環(huán)中的可逆性而得到的，即由于000e,ijijijijd計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 63 另一方面，在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，只有在應(yīng)力從另一方面，在整個(gè)應(yīng)力循環(huán)中，只有在應(yīng)力從 達(dá)到達(dá)到 時(shí)才產(chǎn)生塑性應(yīng)變時(shí)才產(chǎn)生塑性應(yīng)變 ，而在循環(huán)的，而在循環(huán)的其余部分不產(chǎn)生塑性變形，故其余部分不產(chǎn)生塑性變形，故 變成變成ijijdij, p ijd000,ijijijp ijd00,ijijijp ijdd退化到一維情形，上式可寫成退化到一維情形，上式可寫成00pdd

39、 計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 64按按DruckerDrucker公設(shè)，此塑性功為非負(fù)的，則有公設(shè)，此塑性功為非負(fù)的，則有如果如果 ，即起始應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)位于屈服面之，即起始應(yīng)力狀態(tài)點(diǎn)位于屈服面之內(nèi)，由于內(nèi)，由于 是任意無窮小量，與是任意無窮小量，與 相比，可相比，可以忽略不計(jì)，則上式改寫為：以忽略不計(jì)，則上式改寫為：或?qū)懗蓱?yīng)變率的形式：或?qū)懗蓱?yīng)變率的形式：這里取等號(hào)是考慮到中性變載這里取等號(hào)是考慮到中性變載( (此時(shí)此時(shí) ，或或 ）的存在。）的存在。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 65當(dāng) ，即起始狀態(tài)位于屈服面上，則有或這兩組不等式就是和單向拉伸時(shí)的兩個(gè)不等式。相對(duì)應(yīng)的相對(duì)應(yīng)的。稍有不同

40、的是第一組對(duì)應(yīng)式中，有等號(hào)，這是考慮到稍有不同的是第一組對(duì)應(yīng)式中，有等號(hào)，這是考慮到在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，允許有中性變載存在，所以有等在復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)下，允許有中性變載存在，所以有等式關(guān)系式關(guān)系。由于塑性功是耗散能，所以這些不等式又稱為最大塑性功原理由于塑性功是耗散能，所以這些不等式又稱為最大塑性功原理或最大耗散能原理，這個(gè)原理是和或最大耗散能原理，這個(gè)原理是和 Drucker Drucker 公設(shè)等價(jià)的，凡公設(shè)等價(jià)的，凡是滿足這些不等式的材料就是穩(wěn)定材料。是滿足這些不等式的材料就是穩(wěn)定材料。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 662.2.流動(dòng)法則流動(dòng)法則由 Drucker 公設(shè)可以推出與屈服面有關(guān)的

41、兩個(gè)重要性質(zhì)：- 屈服面(初始的或后繼的)的外凸性外凸性- 塑性應(yīng)變?cè)隽康姆ㄏ蛐裕ㄇ媾c塑性應(yīng)變?cè)隽康恼恍郧媾c塑性應(yīng)變?cè)隽康恼恍裕?。?jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 67在應(yīng)力空間中：一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 用矢量OAOA0 0 表示 用OAOA表示，矢量 AB AB 表示應(yīng)力增量: 矢量 AC AC 表示塑性應(yīng)變?cè)隽? 建立一應(yīng)力空間和塑性應(yīng)變空間重合，并使 的原點(diǎn)置于屈服面的應(yīng)力點(diǎn)處，如圖所示。則不等式: 可表示為：計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 68即這表示兩矢量夾角為銳角：以下將證明這只有在屈服面以下將證明這只有在屈服面為凸曲面為凸曲面以及矢量以及矢量ACAC垂直于垂直于( (即和

42、即和的外法線的外法線n n 一致一致) )時(shí)才能成立。時(shí)才能成立。若是外凸的，則過其上任一點(diǎn)A作它的切平面T，必全部位于T T 的一側(cè)或只有部分在T上（如圖所示）。這樣，不管A A0 0是在 之內(nèi)或在上，A A0 0A A和T T 的夾角一定在0范圍內(nèi)變化。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 69若同時(shí)有ACAC垂直垂直T T，且指向T的另一側(cè)，則 A A0 0A A 和ACAC必成銳角，否則(即 ACAC不垂直T T), 即使是外凸的，則總會(huì)使兩矢量成鈍角。若屈服面是外凸的，而塑性應(yīng)變?cè)隽康姆较蚴侨我獾模ㄈ缦聢D所示），則兩矢量A A0 0A A 和ACAC 之間仍有可能成鈍角。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)

43、計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 70反之，如果不是外凸的，則A A0 0A A不一定總在T T的同一側(cè)，如圖所示。這時(shí)，即使AC垂直T， 但總可以選擇一點(diǎn)A A0 0， 使A A0 0A A 和ACAC成鈍角。由此即證明了:只有同時(shí)使為凸曲面和塑性應(yīng)變?cè)隽渴噶垦厍娴姆ㄏ驎r(shí)，才能使不等式。成立，即 Drucker 公設(shè)成立，這就是此公設(shè)的幾何意義。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 71塑性應(yīng)變?cè)隽渴噶亢颓嫱夥ň€方向一致，稱為塑性塑性應(yīng)變?cè)隽康姆ㄏ蛐詰?yīng)變?cè)隽康姆ㄏ蛐浴Ｈ羟瘮?shù)為勢(shì)函數(shù)，屈服面即為等勢(shì)面，它的外法線方向與它的梯度方向一致，則 和梯度矢量的分量 成比例，即式中 （或 ）是非負(fù)的比例系數(shù)，是

44、一個(gè)標(biāo)量。由此即證明 的大小和 有關(guān)，但方向和 無關(guān)，因?yàn)榉较蛑粵Q定于屈服面， 而屈服面是有 決定的，和 無關(guān)?；蛴?jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 72- 在單向應(yīng)力狀態(tài)，雖然屈服以后，加載和卸載時(shí)變形規(guī)律是不同的，但由于只有一個(gè)應(yīng)力分量不等于零，由這個(gè)分量的大小的增減就可以判斷是加載還是卸載。- 對(duì)于復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)，六個(gè)獨(dú)立的應(yīng)力分量都可增可減，如何判斷是加載還是卸載，有必要提出一個(gè)準(zhǔn)則。3.3.加、卸載準(zhǔn)則加、卸載準(zhǔn)則計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 73 s s 由于理想塑性材料是無硬化的，它的后繼屈服條件和初始屈服條件是一致的，后繼屈服畫和初始屈服面重合。由于屈服面是唯一的，則它與加載歷

45、史無關(guān)，以下列屈服函數(shù)表示： 理想塑性材料的加卸載準(zhǔn)則理想塑性材料的加卸載準(zhǔn)則 在荷載改變的過程中，應(yīng)力點(diǎn)如保持在屈服面上，則此時(shí)塑性變形可以任意增長(zhǎng)，就稱為加載。 當(dāng)應(yīng)力點(diǎn)從屈服面移動(dòng)到屈服面內(nèi),則 :表示狀態(tài)從塑性退回到彈性，此時(shí)不產(chǎn)生新的塑性變形，稱為卸載.計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 74 理想塑性材料加載和卸載準(zhǔn)則，用數(shù)學(xué)形式表示為：理想塑性材料加載和卸載準(zhǔn)則，用數(shù)學(xué)形式表示為：彈性狀態(tài)：加載：卸載： 為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關(guān)系來說明為了使加載和卸載的概念更為直觀，可以用幾何關(guān)系來說明- 在應(yīng)力空間以矢量 表示 即 的各個(gè)分量是：- 以 為分量的矢量就是函數(shù)

46、的梯度。設(shè) n n為屈服面外法向單位矢量，則上述加、卸載準(zhǔn)則可用矢量乘積表示為：計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 75加載：卸載：表示兩矢量正交，亦即 沿屈服面切向變化表示兩矢量的夾角大于900，亦即分處于屈服面的兩側(cè)，即指向屈服面內(nèi)。由于屈服面不能擴(kuò)大，所以 不可能指向屈服面外。 以上討論是假定屈服曲面是正則的，即處處是光滑的。如果屈服面是非正則的，但是由分段光滑面構(gòu)成的，如像Tresca 條件的屈服面，也只要應(yīng)力點(diǎn)保持在屈服面上就是加載，返回到屈服面內(nèi)即為卸載。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 76 對(duì)于硬化材料，后繼屈服面和初始屈服面不同，它是隨塑性變形的大小和歷史的發(fā)展而不斷變化的。

47、硬化材料的加卸載準(zhǔn)則硬化材料的加卸載準(zhǔn)則- 后繼屈服函數(shù)：- 如果后繼屈服面是正則的，則：-如圖所示：- 如果應(yīng)力變化 使應(yīng)力點(diǎn)從此瞬時(shí)狀態(tài)所處的后繼屈服面向內(nèi)移，則變化的結(jié)果使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)退回到一個(gè)彈性狀態(tài)，即為卸載過程卸載過程， 不會(huì)產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K不變，即 dK= 0，由此得卸載準(zhǔn)則為：計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 77且即：這里矢量關(guān)系說明：d和 n n 分處屈服面兩側(cè)，即d指向屈服面內(nèi)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 78-如圖所示：- 如果應(yīng)力變化 使應(yīng)力點(diǎn)沿后繼屈服面變化，實(shí)驗(yàn)證明此過程也不產(chǎn)生新的塑性變形，所以參數(shù)K也不變， dK=0. 此過程稱為中性變

48、載中性變載，則且即：這里矢量關(guān)系說明：矢量d 和n 正交，表示中性變載時(shí)應(yīng)力點(diǎn)沿屈服面切向變化。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 79-如圖所示：- 如果應(yīng)力 和參數(shù) K 都變化，使材料從一個(gè)塑性狀態(tài)過渡到另一個(gè)塑性狀態(tài)，應(yīng)力點(diǎn)從原來的后繼屈服面外移到相鄰的另一個(gè)后繼屈服面時(shí)即為加載，此時(shí)加載準(zhǔn)則加載準(zhǔn)則表示為：且即：兩矢量的點(diǎn)積大于零，表示兩者的夾角小于900，即d也是指向屈服面外側(cè)的。如果屈服面不是正則的，而是由幾個(gè)正則面構(gòu)成的，則上述加載和卸載準(zhǔn)則的幾何意義也同樣成立。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 80當(dāng)塑性變形較大，特別是應(yīng)力有反復(fù)變化時(shí)，等向硬化模型與實(shí)驗(yàn)結(jié)果相差較大。（3 3）

49、 隨動(dòng)硬化模型隨動(dòng)硬化模型 隨動(dòng)硬化模型隨動(dòng)硬化模型: :是考慮Bauschinger效應(yīng)的簡(jiǎn)化模型。該模型假定材料將在塑性變形的方向OP+(如圖所示)上被硬化(即屈服值增大)，而在其相反方向OP- 上被同等地軟化了(即屈服值減小)。這樣，在加載過程中，隨著塑性變形的發(fā)展，屈服面的大小和形狀都不變，只是整體地在應(yīng)力空間中作平移，如圖所示。所以，這個(gè)模型可在一定程度上反映Bauschinger 效應(yīng)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 81四、彈性應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系1、各向同性材料的彈性本構(gòu)關(guān)系)()()()(12111EGGEGEGEGEyzyzyxzzxyxyxzyyxzxzzyxx剪切模量泊松比彈

50、性模量計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 82)()(zyxzyxzyxE21mmE32113)( )()(1211mmE應(yīng)力球張量與應(yīng)力球張量與應(yīng)變球張量之間應(yīng)變球張量之間的關(guān)系的關(guān)系mxmxzyxxzyxxEGEEEE32131111)()()(計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 83mxxEG321myyEG321mzzEG321同理可得：Gxzxzxz221又：Gxyxyxy221Gyzyzyz221所以廣義虎克定律可以用指標(biāo)表示成：所以廣義虎克定律可以用指標(biāo)表示成：)(2321ijmijijEG計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 84ijijmijijmijmijijmijijSGGEEG

51、e212121321)()(應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張應(yīng)力偏張量與應(yīng)變偏張量之間的關(guān)系量之間的關(guān)系)(321ijijSGe 說明：由于說明：由于 ，所以，所以(3)式只有五個(gè)方程獨(dú)立，所以式只有五個(gè)方程獨(dú)立，所以（3）必須聯(lián)合）必須聯(lián)合 才是廣義虎克定律才是廣義虎克定律。0iiS)()(1211mmE計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 85為了將彈性本構(gòu)方程與全量形式的塑性本構(gòu)方程在形式上統(tǒng)一為了將彈性本構(gòu)方程與全量形式的塑性本構(gòu)方程在形式上統(tǒng)一起來起來ijijSGe21ijijee32ijijSS23G3所以廣義虎克定律所以廣義虎克定律體積變形是彈體積變形是彈性的性的應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量成正應(yīng)力偏量與

52、應(yīng)變偏量成正比例，兩者主方向一致比例，兩者主方向一致等效應(yīng)力與等效應(yīng)變成正比等效應(yīng)力與等效應(yīng)變成正比kkkkE)(211ijijSe23G3計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 86卸載規(guī)律卸載規(guī)律 當(dāng)應(yīng)力從加載面上卸載時(shí)，也服從虎克定律，但不當(dāng)應(yīng)力從加載面上卸載時(shí)，也服從虎克定律，但不能寫成全量關(guān)系，只能寫成增量形式：能寫成全量關(guān)系，只能寫成增量形式：ijijkkkkSeEd23dd)21 (d計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 87五、全量型本構(gòu)關(guān)系五、全量型本構(gòu)關(guān)系1、依留辛理論、依留辛理論 依留辛在實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，通過與彈性本構(gòu)關(guān)系類比，依留辛在實(shí)驗(yàn)研究的基礎(chǔ)上，通過與彈性本構(gòu)關(guān)系類比，將

53、彈性變形的結(jié)論進(jìn)行推廣，提出各向同性材料在小變形條將彈性變形的結(jié)論進(jìn)行推廣，提出各向同性材料在小變形條件下塑性變形規(guī)律的假設(shè)：件下塑性變形規(guī)律的假設(shè)：（1）體積變形是彈性的）體積變形是彈性的kkkkE)(21ijijSe（2）應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量相似且同軸）應(yīng)力偏量與應(yīng)變偏量相似且同軸說明：應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系：方向關(guān)系說明：應(yīng)力和應(yīng)變的定性關(guān)系：方向關(guān)系兩者主兩者主方向一致；分配關(guān)系方向一致；分配關(guān)系兩者成比例。兩者成比例。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 88 不是常數(shù)，它取決于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平，但不是常數(shù)，它取決于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平，但對(duì)于同一點(diǎn)同一載荷水平，對(duì)于同一點(diǎn)同一載荷水平，

54、 是常數(shù)。是常數(shù)。 的求法的求法：ijijijijSSee223ijijijijSSeeijijSe23(3)等效應(yīng)力等效應(yīng)力 與等效應(yīng)變與等效應(yīng)變 之間存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系：之間存在單值對(duì)應(yīng)關(guān)系：)(計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 89綜上所述，全量型的塑性本構(gòu)方程為：綜上所述，全量型的塑性本構(gòu)方程為：kkkkE)(21ijijSe23)(說明：形式與彈性本構(gòu)方程一致；說明：形式與彈性本構(gòu)方程一致；區(qū)別在于：區(qū)別在于：彈性：彈性： G3線性關(guān)系線性關(guān)系塑性塑性： )(非線性關(guān)系非線性關(guān)系上式描述的全量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系單值對(duì)應(yīng)。上式描述的全量應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系單值對(duì)應(yīng)。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 9

55、02、全量理論的適應(yīng)范圍、簡(jiǎn)單加載定理、全量理論的適應(yīng)范圍、簡(jiǎn)單加載定理1）全量理論的適用范圍）全量理論的適用范圍小變形、簡(jiǎn)單加載條件下小變形、簡(jiǎn)單加載條件下tSStijijijij002）簡(jiǎn)單加載：在加載過程，材料內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài)）簡(jiǎn)單加載：在加載過程，材料內(nèi)任一點(diǎn)的應(yīng)力狀態(tài) 的各分量都按同一比例增加，即的各分量都按同一比例增加，即ijt單調(diào)增大的正參數(shù)單調(diào)增大的正參數(shù)說明：簡(jiǎn)單加載條件下，各主應(yīng)力分量之間也是按同一說明：簡(jiǎn)單加載條件下，各主應(yīng)力分量之間也是按同一 比例增加，且應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向始終不變。比例增加，且應(yīng)力主方向和應(yīng)變主方向始終不變。簡(jiǎn)單加載條件下，加載路徑在應(yīng)力空間是一

56、條簡(jiǎn)單加載條件下，加載路徑在應(yīng)力空間是一條通過原點(diǎn)的直線，在通過原點(diǎn)的直線，在 平面上，是一條平面上，是一條 的射線。的射線。const計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 913）保證簡(jiǎn)單加載的條件）保證簡(jiǎn)單加載的條件變形微??；變形微?。徊牧喜豢蓧嚎s，材料不可壓縮，21外載荷成比例增長(zhǎng)，如果有位移邊界條件，只能是外載荷成比例增長(zhǎng)，如果有位移邊界條件，只能是零位移邊界條件；零位移邊界條件； 曲線具有曲線具有 的冪函數(shù)形式。的冪函數(shù)形式。nA滿足這四個(gè)條件即認(rèn)為材料內(nèi)每一單元體都處于簡(jiǎn)單滿足這四個(gè)條件即認(rèn)為材料內(nèi)每一單元體都處于簡(jiǎn)單加載狀態(tài)加載狀態(tài)此即簡(jiǎn)單加載定理。此即簡(jiǎn)單加載定理。說明：是必要條件

57、，而是充分條件不一定是必說明：是必要條件，而是充分條件不一定是必要條件；不滿足簡(jiǎn)單加載條件，全量理論一般不能采用要條件；不滿足簡(jiǎn)單加載條件，全量理論一般不能采用，但是對(duì)于偏離簡(jiǎn)單加載條件不太遠(yuǎn)的情況，使用全量，但是對(duì)于偏離簡(jiǎn)單加載條件不太遠(yuǎn)的情況，使用全量理論計(jì)算所獲得的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果也比較接近。理論計(jì)算所獲得的結(jié)果和實(shí)際結(jié)果也比較接近。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 923、卸載定理、卸載定理1）單軸拉伸卸載符合彈性規(guī)律：）單軸拉伸卸載符合彈性規(guī)律：E即：)(E式中：式中： 為卸載前的應(yīng)力、應(yīng)變；為卸載前的應(yīng)力、應(yīng)變；、卸載至卸載至 時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變時(shí)的應(yīng)力和應(yīng)變；iP 、為卸載過程中應(yīng)力和

58、應(yīng)變的改變量。為卸載過程中應(yīng)力和應(yīng)變的改變量。2）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的卸載，若為簡(jiǎn)單卸載則按彈性規(guī)律變）復(fù)雜應(yīng)力狀態(tài)的卸載，若為簡(jiǎn)單卸載則按彈性規(guī)律變化?；?。ijijmmSGeE2121)(計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 93在簡(jiǎn)單卸載情況下：在簡(jiǎn)單卸載情況下：iiiPPP按彈性力學(xué)公式可以計(jì)算出按彈性力學(xué)公式可以計(jì)算出 對(duì)應(yīng)的對(duì)應(yīng)的 ，ijiPij則卸載后則卸載后ijijijijijij當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 為殘余應(yīng)力、殘余應(yīng)變。為殘余應(yīng)力、殘余應(yīng)變。iiPP ijij、注：上述計(jì)算方法只適用于卸載過程不發(fā)生第二次塑性注：上述計(jì)算方法只適用于卸載過程不發(fā)生第二次塑性變形的情形，即卸載不引起應(yīng)力符號(hào)改變

59、而達(dá)到新的屈變形的情形，即卸載不引起應(yīng)力符號(hào)改變而達(dá)到新的屈服（即卸載不發(fā)生反向屈服）。服（即卸載不發(fā)生反向屈服）。計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 94六、理想塑性材料的增量型本構(gòu)關(guān)系六、理想塑性材料的增量型本構(gòu)關(guān)系增量理論又叫流動(dòng)理論增量理論又叫流動(dòng)理論1、LevyMises理論又稱剛塑性增量理論理論又稱剛塑性增量理論 假設(shè)材料為理想塑性的，并認(rèn)為材料到達(dá)塑性區(qū)，總假設(shè)材料為理想塑性的，并認(rèn)為材料到達(dá)塑性區(qū)，總應(yīng)變等于塑性應(yīng)變，即假設(shè)材料符合剛塑性模型。即理應(yīng)變等于塑性應(yīng)變，即假設(shè)材料符合剛塑性模型。即理論假設(shè)歸納如下：論假設(shè)歸納如下：在塑性區(qū)總應(yīng)變等于塑性應(yīng)變（忽略彈性應(yīng)變部分）在塑性區(qū)

60、總應(yīng)變等于塑性應(yīng)變（忽略彈性應(yīng)變部分）pijpijeijijdddd體積變形是彈性的體積變形是彈性的kkkkEd)21 (d210210ddEekkij體積不可壓縮體積不可壓縮計(jì)算固體計(jì)算力學(xué)計(jì)算固體計(jì)算力學(xué) 95 的求法。的求法。d 塑性應(yīng)變?cè)隽康钠颗c應(yīng)變偏量成正比例，塑性應(yīng)變?cè)隽康钠颗c應(yīng)變偏量成正比例，或應(yīng)力偏量主方向與塑性應(yīng)變偏量的主方向一致：或應(yīng)力偏量主方向與塑性應(yīng)變偏量的主方向一致：) 0d( ddijpijSe式中比例系數(shù)式中比例系數(shù) 決定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平?jīng)Q定于質(zhì)點(diǎn)的位置和荷載水平d因?yàn)樗苄宰冃蔚捏w積不可壓縮因?yàn)樗苄宰冃蔚捏w積不可壓縮ijpijpijSe ddd0dpkk