線性代數(shù)性質(zhì)公式整理

1、、相關(guān)概念線性代數(shù)第一章行列式an312且In2122舫2nn1行列式n階行列式是所有取自不同行不同列的n個(gè)元素的乘積的代數(shù)和，這里MI；.是1,2，n5余子式與代數(shù)余子式an12illn222nanl丑nffi2nn在n階行列式中劃去所在的第i行，第j列的一個(gè)排列。當(dāng)II:I是偶排列時(shí)，該項(xiàng)的前面帶正號；當(dāng).h是奇排列時(shí)，該項(xiàng)的前面帶負(fù)號，即卩31222日Ln如Enn這里I表示對所有n階排列求和。式稱為n階行列式的完全展開式。2逆序與逆序數(shù)一個(gè)排列中，如果一個(gè)大的數(shù)排列在小的數(shù)之前，就稱這兩個(gè)數(shù)構(gòu)成一個(gè)逆序。一個(gè)排列的逆序總是稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)。用丁山上.表示排列卜上上I的逆序數(shù)。3偶排列

2、與奇排列一一如果一個(gè)排列的逆序數(shù)是偶數(shù)，則稱這個(gè)排列為偶排列，否則稱為奇排列。階與3階行列式的展開一一|：=招-he,11日】23B七1=ana22a5S-+星3悶憶貯-創(chuàng)3毗祖富-町誰陽3-創(chuàng)1型卵歸站1的元素，剩下的元素按原來的位置排法構(gòu)成的一個(gè)n-1階的行列式anaij-Laij+1alaas-i.j13i-lj+I淚-IjiSi十1+1*i+lj-1Sj+lj+i-且i+1衛(wèi)3ill-1an.j+1也m稱為斶的余子式數(shù)余子式，記為叮，即：1記為Ip;稱I為的代AnA21A叫AnA22An26伴隨矩陣一一由矩陣A的行列式|A|所有的代數(shù)余子式所構(gòu)成的形如lAlnA2nAnnJ稱為a的伴隨

3、矩陣，記作卜：、|_|二、行列式的性質(zhì)1經(jīng)過轉(zhuǎn)置行列式的值不變，即-|訓(xùn)7行列式行的性質(zhì)與列的性質(zhì)是對等的。2兩行互換位置，行列式的值變號。特別地，兩行相同（或兩行成比例），行列式的值為0.3某行如有公因子k,則可把k提出行列式記號外。4. 如果行列式某行（或列）是兩個(gè)元素之和，則可把行列式拆成兩個(gè)行列式之和：Ai4-b|亞+b=時(shí)+bj迎2bbibj=lCj=Clc3+clc2c3didmd占ddo旳di企ch5.把某行的k倍加到另一行，行列式的值不變:ata；電35b：-b+hib?-ka；bi亠kaciC2ciC2“6代數(shù)余子式的性質(zhì)一一行列式任一行元素與另一行元素的代數(shù)余子式乘積之和為

4、0三、行列式展開公式n階行列式的值等于它的任何一行（列）元素，與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即|A|=衛(wèi)舫+日亡人泄+亦為）=2：_汽心曲|A|按i行展開的展開式|A|=EjAij十吧j衍十+舸如j=胸細(xì)|A|按j列展開的展開式四、行列式的公式1. 上（下）三角形行列式的值等于主對角線元素的乘積；Xn-3）2. 關(guān)于副對角線的n階行列式的值|AflT飛咧山恤3. 兩個(gè)特殊的拉普拉斯展開式：如果A和B分別是m階和n階矩陣，貝UA*OB=較卜lAl|E|OAB*_lBt|=(-l)|A|B|4.范德蒙行列式11-1X|x；XflxnJ-X%1=口1勻三込馮）5. 抽象n階方陣行列式公式（矩陣）若A

5、、B都是n階矩陣，.是A的伴隨矩陣，若A可逆，沁I是A的特征值:UT|-|A|=ln|A|；|AB|=|A|B|；|=|A|2；|A*|=|A|hH瓜7-占；|人|=11：=古；若則|A|=|B|,且特征值相同。uAjXAA|A|H一般情況下：|A土BIHIAII|B|五、行列式的計(jì)算1數(shù)字型行列式將行列式化為上下三角，再按行或列展開；化簡技巧：將每列（行）都加到同一列（行），或者將每列（行）ki倍都加到同一列（行）。 逐行（或逐列）相加 利用范德蒙公式或特殊的拉普拉斯展開式數(shù)學(xué)歸納法一一驗(yàn)證n=1時(shí)命題正確；假設(shè)n=k時(shí)命題正確；證明n=k+1時(shí)，命題正確。 驗(yàn)證n=1和n=2時(shí)命題都正確，

6、假設(shè)n秩r(A)Ax=0有非零解0是矩陣A的特征值j（jA中有r階子式不為0特別地，心丄._I若A是n階矩陣，二nT列tOfA可逆r(A)|A|=O*-*A不可逆若A是mxn矩陣，則.|;i4矩陣的秩的公式r(A)二r(?J)；r(ATA)-r(A)當(dāng)丄*0時(shí)，(3)=HA)|；r(A+B)r(A)+i(B)r(AD)minr(A),r(B)；若a可逆，則RaB)-仍小-r(創(chuàng)若A是mxn矩陣，B是nxs矩陣，AB=O,則；：.J：分塊矩陣“；：)_八、分塊矩陣1概念一一將矩陣用若干縱線和橫線分成許多小塊，每一小塊稱為原矩陣的子矩陣(或子塊),把子塊看成原矩陣的一個(gè)元素，則原矩陣叫分塊矩陣。由

7、于不同的需要，同一個(gè)矩陣有不同的方法分塊，可以行分塊，以列分塊等。2分塊矩陣的運(yùn)算一一對矩陣適當(dāng)?shù)胤謮K處理(要保證相對應(yīng)子塊的運(yùn)算能夠合理進(jìn)行)，就有如下運(yùn)算法則：AAJBiA+BjiBiLAjaJAi+B1A4+B.iABlfXY_AX卜BZAYdBW1CDJLZWj-CX+DZCY+DWfABl1at呼lc.d-Ibt若B,C分別是m階與s階矩陣，貝Uoqn若B,C分別是m階與s階可逆矩陣,bor1町coOC1則ocllcoB10若A是mxn矩陣，B是nxS矩陣且AB=O,對B和O矩陣按列分塊有AB=A【甌Al=-ApJ=麗jApi=O(i=1,1-即b的列向量是齊次方程組加二0的解。線性

8、表出P214第三章、向量一、n維向量的概念與運(yùn)算維向量n個(gè)有序數(shù)組貂月z衛(wèi)d所構(gòu)成的一個(gè)有序數(shù)組成為n維向量，記成星衛(wèi)也1/或分別稱為n維行向量或n維列向量，數(shù)古稱為向量的第i個(gè)分量。2零向量所有分量都是0的向量稱為零向量，記為03相等一一n維向量戊=（弧爍仙卩與口維向量卩=（bi,b5.K/相等，即a=卩訕=b13a2二a,二bri4運(yùn)算n維向量a=-.an）7與（J=（bi.biU,等號成立當(dāng)且僅當(dāng)僅如特別地，如卜下：二則稱.正交二、線性表出、線性相關(guān)1線性組合一一m個(gè)n維向量“赳.c：.及m個(gè)數(shù)w所構(gòu)成的向量kj街卜k；a24+kmdm稱為向量組：；:門的一個(gè)線性組合，數(shù)，：“-宀稱為組

9、合系數(shù)。2線性表出一一對n維向量站月2,具和卩，如果存在實(shí)數(shù)，使得上1町|k嗎+Mgp則稱向量卩是向量磯/，咼的線性組合，或者說向量可由弘臨屆線性表出。設(shè)有兩個(gè)n維向量組（I）i;n）入：二；如果（I）中每個(gè)向量都可由（n）中的向量九陸川線性表出，則稱向量組（I）可由向量組（n熾性表出。如果（I）、（n）這兩個(gè)向量組可以互相線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)。等價(jià)向量組具有傳逆性、對稱性、反身性。向量組和它的極大線性無關(guān)組是等價(jià)向量組。向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組是等價(jià)向量組。等價(jià)的向量組有相同的秩，但秩相等的向量組不一定等價(jià)。3. 線性相關(guān)、無關(guān)一一對于n維向量輒號，內(nèi)，如果存在不全為零的數(shù)止煎，

10、使得kiai+k：2ii2+1kgag0則稱向量組1線性相關(guān)，否則稱它線性無關(guān)。關(guān)于線性無關(guān)，只要壯不全為零，必有兒.1h，或者，當(dāng)且僅當(dāng)ki=k；=-=ks-時(shí)，才有州50顯然，含有：零向量，相等向量，坐標(biāo)成比例的向量組都是線性相關(guān)的，而階梯形向量組一定是線性無關(guān)的。證明：證明線性無關(guān)通常的思路是：用定義法（同乘或拆項(xiàng)重組），用秩（秩等于向量個(gè)數(shù)則線性無關(guān)），齊次方程組只有零解或反證法。4重要定理一一Xi n維向量組對如屆線性相關(guān)|4齊次方程組5如屈）2有非零解I陽秩r（站扯島）v n個(gè)n維向量紂心I,-LL；Hi.1 門-i個(gè)n維向量必線性相關(guān)。 如果町期、線性相關(guān)，貝則k皿如斷+1,啟必

11、線性相關(guān)。如果n維向量組線性無關(guān)，則它的延伸組II必線性無關(guān)。X n維向量卩可由k皿冋線性表出i非齊次方程組&皿*n）匸嚴(yán)有解h秩An）=iG皿沁0） 向量組軋此局線性相關(guān)至少有一個(gè)向量引由其余s-1個(gè)向量線性表出。 向量組站忌，九線性無關(guān)，而向量組向量組冇如，備卩線性相關(guān)，則向量卩可由門,線性表出，且表示方法唯一。 設(shè)有兩個(gè)n維向量組（I,也；（n）訃h,如果向量組（I）可由向量組（n）線性表出，且，則九勒=：必線性相關(guān)。若n維向量組弘趙舄可由加醞川線性表出，且站月鳥呂線性無關(guān)，則sJ三、極大線性無關(guān)組、秩1概念一一設(shè)向量組巧如心中，有一個(gè)部分組rs）,滿足條件場叫業(yè)線性無關(guān);再添加任一向量

12、抵1乞，向量組如心必線性相關(guān)；（向量組釘月再中任何一個(gè)向量甘必可由:T：J*館線性表出）則稱向量組場&苻:-平是向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組。注：只有一個(gè)零向量構(gòu)成的向量組沒有極大線性無關(guān)組。一個(gè)線性無關(guān)的向量組的極大線性無關(guān)組是該向量組本身。向量組的極大線性無關(guān)組一般不唯一，但其極大線性無關(guān)組的向量個(gè)數(shù)是一樣的。2. 秩一一向量昵血懇的極大線性無關(guān)組中所含向量的個(gè)數(shù)r稱為向量組的秩。記為1（沐粗起）-1。（1（血詞在/*）上1（紐迦松+1）如果向量組（I可由（n）.|線性表出，則7I|3注意一一求向量組的極大無關(guān)組時(shí)，只能都作行變換（或都做列變換），不能混合行列變換。如果只是求向量組的秩，則可

13、以混合行列變化。四、施密特正交化、正交矩陣1正交矩陣一一設(shè)A是n階矩陣，滿足二J-也-.：，則A是正交矩陣。A是正交矩陣aJ-A1-A的向量組是正交規(guī)范向量組，如A是正交矩陣，貝怖列式|A|或-】。2施密特正交化一一設(shè)向量組-線性無關(guān)，其正交規(guī)范化方法步驟如下：內(nèi)=花而和I前2,則Pbfe，P兩兩正交。Blpzps再將九九內(nèi)單位化，取Y1=頑72=麗T廠麗則:-i.n=加+2nXn=b2的+annXn=bnfaj(Xi+anx+a：|Xl+222+1概念一一若n個(gè)方程n個(gè)未知量構(gòu)成的非齊次線性方程組+an?X2+系數(shù)行列式|A|0,則方程組有唯一解，且屯-特*1-1二n。其中I加是|直|中的第

14、i列元素（即）替換成方程組右端的常數(shù)項(xiàng)心匕所構(gòu)成的行列式。2推論若包含n個(gè)方程n個(gè)未知量的奇次線性方程組auXl+312X2+aLn?Mi=0上聲I+21X2+a2nXn=I徂mXl+an2X2十+mXn=的系數(shù)行列式的充要條件是方程組有唯一解，反之，齊次線性方程組有非零解的充要條件是一；|O二、齊次線性方程組1. 形式n個(gè)未知量m個(gè)方程組成的方程組向量形式：住曲+中別十+%忌=0其中丙二hm矚，血帀卩矩陣形式：AmnX=O2. 齊次線性方程組的解一一若將有序數(shù)組沁軌“7代入方程組的未知量傀沆仝丄使每個(gè)方程等式成立，則稱“J為方程組的一個(gè)解（或解向量），記成訂Id業(yè)二切卩3. 齊次線性方程組的

15、基礎(chǔ)解系一一設(shè)r_.-I.是AX=O的解向量，若滿足 匕鼻為汀線性無關(guān); AX=0的任一解向量E均可由-_.-.線性表出。等價(jià)于：（加入任一解向量匚使得駅鼻線性相關(guān)）（.，即線性無關(guān)解向量的個(gè)數(shù)為1j.,滿足衛(wèi)幣齊總-）則稱向量八是AX=0的基礎(chǔ)解系。=0的解的性質(zhì)一一若是齊次線性方程組AX=0的解，則-1-1-仍是AX=0的解，其中ki,k2是任意常數(shù)。推廣到多個(gè)解=0有解的條件一一齊次線性方程AX=0一定有解，至少有非零解。AX=0只有零解r方程組的列向量組線性無關(guān)-?。ù壴郊樱?且AX=0有非零解方程組的列向量組線性相關(guān)I-昭；J-6.基礎(chǔ)解系向量個(gè)數(shù)與秩的關(guān)系-，則齊次線性方程組卜嘆弓

16、存在基礎(chǔ)解系，且基礎(chǔ)解系由一-個(gè)線性無關(guān)解向量組成，故基礎(chǔ)解系向量亍敬+r（A）=n（未知豈個(gè)數(shù)）=0的通解一一設(shè)是AX=0的基礎(chǔ)解系，則；_；#：；二I-是AX=0的通解，其中k是任意常數(shù)。8.基礎(chǔ)解系和通解的求法一一初等行變換三、非齊次線性方程組1形式n個(gè)未知量m個(gè)方程組成的方程組向量形式：蜀+中崔+=b其中吟二鉗胡昂血矩陣形式：AmnX=bb-bijbj,bmT=b的解的性質(zhì)設(shè)hlE2是AX=b的兩個(gè)解，芒是對應(yīng)齊次方程AX=O的解，則A(qj亠書)-0,A(t1l+-b=b有解的條件一一AX=b無解廠b不能由A的列向量組九戀廠,5線性表出r(A)tr(A|b)r(A)+I=r(A|b)

17、AX=b有解口b可以由A的列向量組広14劇線性表出-HA)=r(Ajb)|AX=b有唯一解衛(wèi)當(dāng)n)-衛(wèi)血b)-nf工1衛(wèi)、線性無關(guān)，血，妬線性相關(guān)jb可以由A的列向量組R；線性表出且表示唯一oAX=b有無窮解-:g“b)-tn-m.線性相關(guān)，b可由1線性表出且表示不唯一。=b的通解結(jié)構(gòu)對應(yīng)的齊次通解+非齊次的一個(gè)特解。=0的系數(shù)行向量和解向量的關(guān)系，由AX=0的基礎(chǔ)解系反求A齊次線性方程組有解Ibi血，,bj,故AX=0的系數(shù)行向量也和解向量0有如下關(guān)系:，故A的行向量與AX=0的解向量是正交向量;r1即將解向量作齊次方程組的行向量時(shí)，a的行向量既是該方程組的解向量。6.AX=0的系數(shù)列向量和

18、解向量的關(guān)系P2607兩個(gè)方程組的公共解一一方程組IaX=I和BX=0的公共解是滿足方程組bX二門的解。P2638.同解方程組若僉：二心=；汐宵-XX和小上;上I；是同解方程組，有r(A)-r(ATA)=r(AAT)第五章特征值、特征向量、相似矩陣一、特征值、特征向量1. 特征值一一A是n階方陣，如果對于數(shù)，存在非零向量，使得匸.一:,成立，則稱是A的特征值，.是A的對應(yīng)于的特征向量。2特征多項(xiàng)式一一（疋-A加丸，因沂0,故陡-閣0，此為特征多項(xiàng)式，矩陣血稱為特征矩陣。3特征值的性質(zhì)設(shè)I-是A的特征值，則：_沖：屮；11；沖1人14求特征值、特征向量的方法方法一：設(shè)!|,則由0求出A的全部特征值入，再有齊次線性方程組，丄求出A的對應(yīng)于特征值區(qū)的特征向量?；A(chǔ)解系即是A的對應(yīng)于的線性無關(guān)特征向量，通解即是A的對應(yīng)于的全體特征向量。（除0向量）方法二：利用定義，凡滿足關(guān)系式丄門二二茫*門的數(shù)即是A的特征值，即是A對應(yīng)于的特征向量。一般用于抽象矩陣，或元素為文字的矩陣。P269二、相似矩陣、矩陣的相似對角化1相似矩陣一一設(shè)A、B都是n階矩陣，若存在可逆矩陣P,使得甘，則稱A相似于B,記成A-b|