多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章多維隨機(jī)變量及其分布§3.1 多維隨機(jī)變量及其聯(lián)合分布3.1.1 多維隨機(jī)變量定義3.1.1如果Xi(8),X2)，Xn®)是定義在同一個樣本空間建=也上白nn個隨機(jī)變量，則稱X(切)=(Xi(8),X2(e),，Xn©)為n維(或n元)隨機(jī)變量或隨機(jī)向量。注意：多維隨機(jī)變量是定義在同一樣本空間上的。3.1.2 聯(lián)合分布函數(shù)定義3.1.2對任意的n個實數(shù)X1,X2，xn,則n個事件乂£為,i=1,2,，n同時發(fā)生的概率F(X1,X2,Xn)=P(Xi<Xi,X2<X2,Xn三)稱為n維隨機(jī)變量(X1,X2，Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。下面主要

2、討論二維隨機(jī)變量。設(shè)(X,Y)是二維隨機(jī)變量，x,y為任意實數(shù)，則事件(XWx)和(YWy)的交事件的概率為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布或分布函數(shù)F(X,y),即F(X,y)=P(X<x)Q(Y<y)AP(X<x,Y<y).若把二維隨機(jī)變量(X,Y)看成平面上隨機(jī)點的坐標(biāo)，則分布函數(shù)F(X,Y)在(x,y)處的函數(shù)值就是隨機(jī)點(X,Y)落入以(x,y)為定點且位于該點左下方的無窮矩形區(qū)域內(nèi)的概率(見圖3-1)。而隨機(jī)點(X,Y)落在矩形區(qū)域x1<x<x2；y1<y<y2內(nèi)的概率可用分布函數(shù)表示(見圖3-2)P(xi：二X<X2,yi二丫

3、。2)=F(X2,y2)-F(x2,yi)-F(xi,y1)F(Xi,y1)定理3.1.1任一二維聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)必具有以下四條基本性質(zhì)：(1)單調(diào)性F(x,y)是變量x或y的單調(diào)不減函數(shù)，即對任意固定的y,當(dāng)X2之X1時，F(xiàn)(x2，y)2F(Xi，y)；對任意固定的x,當(dāng)y2yi時，F(xiàn)(x,V2)占F(x,yj。(2)有界性對任意的x,y有0EF(x,y)E1,且FS=o)=0,fgF=1,F(x,-«)=|jmF(x,y)=0,V,F(-二，y)=iimF(x,y)=0x.(3)右連續(xù)性對每個變量都是右連續(xù)的，即F(x,y)=F(x+0,y),F(x,y)=F(x,y+0

4、)。(4)非負(fù)性對任意的a<b,c<d,有P(a:二X<b,c：Y<d)F(b,d)-F(a,d)-F(b,c)F(a,c),0注意：（1）具有上述四條性質(zhì)的二元函數(shù)一定是某個二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)；（2）性質(zhì)4中二維隨機(jī)變量特有的,Qx+y<0G（x,y）='J1,x+y>0不能由前三條性質(zhì)推導(dǎo)出，如下列函數(shù):滿足前三條性質(zhì)但不滿足第四條性質(zhì)，因此不能成為某二維隨機(jī)變量的分布函3.1.3 聯(lián)合分布列定義3.1.3若二維隨機(jī)變量（X,Y）的所有可能取的值是有限多對或可列無限多對（xi,yj）,則稱（X,Y）為二維離散型隨機(jī)變量。稱Pij=P（X=xi

5、,Y=yj）,i,j=1,2,，n,為二維離散型隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布列，也可用如下表格記聯(lián)合分布列。xx2LxiLP-jViP11P21LPi1L-heP.1=£Pi1iTV2P12P22LPi2L-heP.2=ZPi2iTMMMLMLMyjP1jP2jLPijLbeP=£PijiUMMMLMLMP1.P2.LPi-LPi.bePijLj1be-be=pPji=pP2jLj4j1聯(lián)合分布列的基本性質(zhì)：非負(fù)fPij>0-be-be(2)正則性££Pj=1i1j4例1盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球,在其中任取4只球，以X表示取到黑球的只

6、數(shù)，以Y表示取到白球的只數(shù)，求X,Y的聯(lián)合分布列和P(X=Y)。解：(X,Y)的可能取值為(i,j),i=0,1,2,3,j=0,1,2,i+j>2,聯(lián)合分布列為PX=0,Y=2=c2c2"CTPX=1,Y=1=c3c；c；"C635PX=1,Y=2=C；C；C；C4635PX=2,Y=0=c；c；C74335PX=2,Y=1=c2c2c21235PX=2,Y=2=c；c；CT335PX=3,Y=0=c33c2C；PX=3,Y=1=c3c2CT235PX=3,Y=2=03352351356356351235335235639P(X=Y)=P00+P11+P22=0+=

7、。3535353.1.4聯(lián)合密度函數(shù)定義3.1.4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布函數(shù)為F(x,y)o若存在非負(fù)函數(shù)p(x,y),對任意實數(shù)x,y有xyF(x,y)=1p(u,v)dvdu,則稱(X,Y)為二維連續(xù)型隨機(jī)變量，且稱函數(shù)p(x,y)為二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)。聯(lián)合密度p(x,y)具有以下基本性質(zhì)：(1)非負(fù)性p(x,y)>0;(2)正則性fp(x,y)dydx=F(y,-°o)=1；-SO可以證明，凡滿足性質(zhì)(1)的任意一個二元函數(shù)f(x,y),必可作為某個二維隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)。若f(x,y)在點(x,y)處連續(xù)，則,F(x,y)=f(x,y)；x

8、；y證明cF(x,y)已一,x,yt1,y=一式f(u;v)dv)du=f(x,v)dvtx*F(x,y)='(1yf(x,v)dv)=f(x,y).x.y二y-(4)設(shè)G是xOy平面上的一個區(qū)域，則有P(X,Y)G)=.f(x,y)dxdy.G在幾彳s上z=f(x,y)表示空間的一張曲面。由性質(zhì)(1)知，介于該曲面和xOy平面之間的空間區(qū)域的體積是1。由性質(zhì)(3)知，P(X,Y)WG)的值等于以G為底，以曲面z=f(x,y)為頂?shù)那斨w的體積。例2已知二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為,、：ke”,xA0,y>0p(x,y)二八0,試求：(1)常數(shù)k;(2)聯(lián)合分布函數(shù)F

9、(x,y);(3)概率P(X+2Y«1).解(1)利用聯(lián)合密度函數(shù)的性質(zhì)，1 i.J.；p(x,y)dxdy=2 4ydxdy=koexdx.oeydy=k6.(2)由定義p(x,y)=6exJy,x0,y00,F(x,y)!f(u,v)dvdu=:.o.o6e產(chǎn)xJydydx,x0,y0;0,1-ex)(1-e2y),x0,y.0;=5011-(1-x)P(X2丫三1)=f(x,y)dydx=0dx02x:2yd2x_3y.6edy1=-2°e_2x-3ye2(i-x)012yJJxdx=210(e-e2*e2)dxNx二-e4e2*e01213e-4e20.513503

10、.1.5常用多維分布一、多項分布是二項分布的推廣。進(jìn)行n次獨立重復(fù)試驗，如果每次試驗有r個可能結(jié)果：A,A2,，Ar,且每次試驗中A發(fā)生的概率為Pi=P(A),ri=,1,2，rZPi=1,記Xi為n次獨立重復(fù)試驗中A出現(xiàn)的次數(shù)，i1i=,1,2,，r,則區(qū)叢2，Xr)取彳直(n1,n2,，n.)的概率為P(Xi=ni,X2=n2,Xrn!=nr)=n；n2!,_n1_n2._nrLP2Pr其中n=n+n2+nr。該聯(lián)合分布列稱為r項分布或多項分布，記為M(n,P1,P2,，Pr)。注意：該概率是多項式(Pi十P2十十Pl"展開式中的一項，和為1。當(dāng)r=2時，即為二項分布。例3一批產(chǎn)

11、品共有100件，其中一等品60件，二等品30件，三等品10件。從這批產(chǎn)品中有放回地任取3件，以X和Y分別表示取出的3件產(chǎn)品中一、二、三等品的件數(shù)，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。解X和Y的可能取值都是0,1,2,3,記(X,Y)的聯(lián)合分布列為Pij=P(X=i,Y=j)。當(dāng)i+j>3時，有pij=0,即p13=p22=p23=p31=32=p33=0當(dāng)i+jW3時，事件X=i,Y=j表示：“取出的3件產(chǎn)品中有i個一等品，j件二等品，3ij件三等品”，所以有、_3!凡i/331、3pij-.1/o,.|()()()i!j!(3-i-j)!101010由此可以得到Y(jié)X012300.00

12、10.0090.0270.02710.0180.1080.162020.1080.3240030.216000二、多維超幾何分布r袋中有N只球，其中有Ni只i號球，i=,1,2,，r,記N=£Nj。從中任i=1意取出n只，若記Xi為取出的n只球中i號球的個數(shù)，i=,1,2,n1n2nrP(X1N-N_=N=n1,X2-n2,Xr=nr)=nCN其中n=n1n2，,nr。例4在例3中改為不放回抽樣，求二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列。解記i與j分別為X和丫的取值，此時當(dāng)i+jA3時，有pj=0,即p13=p22=p23=p31=32=p33=0ij34.jC60C30C10pj=i+

13、jW3,有3100由此得(X,Y)的聯(lián)合分布列YX012300.00070.00830.02690.025110.01670.11130.1614020.10950.32840030.2116000三、多維均勻分布設(shè)D為Rn中的一個有界區(qū)域，其度量為Sd,如果多維隨機(jī)變量（X1,X2，Xn）的聯(lián)合密度函數(shù)為(Xi,X2,Xn)DelseAP(X1>x2>,xn)=Sd0,則稱（Xi，X2，Xn）服從D上的多維均勻分布，記為(Xi,X2，Xn)U(D)。二維均勻分布（G為D中的子區(qū)域）中P(X,Y)Gp(x,y)dxdy=G1工dxdy二萼吼G；SdD的面積例5設(shè)D為平面上以原點為圓

14、心、以r為半徑的圓，（X,Y）服從D上的二維均勻分布，其密度為1p(x,y)=(叮20,試求和白率P（X|<r/2）o解如圖r/2P(X|Er/2)=L21二r2.1dydx=二r2r/2y/222.-xdx1r22.2.xr/2=2xr-xrarcsin,r/2二rr1r2二2rr一r-r2/42r2arcsin121.3二=0.609二23四、二元正態(tài)分布若二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為12x_yp（x,y）：1e2（j）.二1m22二二1二2J-：，2xxxx二，-二二y：二二，其中一8<»,&<+=0,0-1>0,cr2>0,耳&

15、lt;1,則稱(X,Y)服從二元正態(tài)分布，記為（X,Y卜N（3，N2,52，b22,P）.22_、例6設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y）N（N1,匕,。1,。2,P）,求（X,Y）落在區(qū)域2d=(x,y);(x-21)-2：(x-，l1)(y-'2).(y-12)；-1；-2£九2內(nèi)的概率。解所求概率為P2二二1二2.1-：2exp(D-12(1-：2)作變換v一2,1_:22x-J1二i2.2上2NJyL)十(y也)dxdy則可得：(u,v):(x,y).1-2.1；2,1_：2由此可得p=2二(1-：2)expu2-v2三22(1-：2)dudv再作極坐標(biāo)變換u=rsin可得sin

16、cos：(x,y)rcos-rsin22、-r(sin-cos)-r最后得2-'L.0dorexp-2r2-dr2(1-：)r2r2=nexp-Hd(-)02(1-)2(1-7)2rr二一exp12-2(1-：)0-1-exp<-2-2(1P2)§3.2邊際分布與隨機(jī)變量的獨立性3.2.1 邊際分布函數(shù)定義在二維隨機(jī)變量(X,Y)中稱limF(x,y)=P(XMx,Y<-)=P(XMx)為X的邊際分布，記為Fx(x)=F(x,二),類似地，可以定義Y的邊際分布，以及三維以上隨機(jī)變量的邊際分布。例1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布函數(shù)為、1-e-e+e-一初，x&

17、gt;0,y>0F(x,y)=0,else稱為二維指數(shù)分布，其中參數(shù)九>0。求其邊際分布。解由定義得1-eFx(x)=F(x,y)=0,x0elseFyW)=F(y,y)=<1-e，y>0、0,else均為一維指數(shù)分布，且與參數(shù)九A0無關(guān)。3.2.2邊際分布列在二維離散隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列P(X=x,Y=y)中，對j求和得到分布列-be'P(X=xi,Y=yj)=P(X=x)i=1,2,j1稱為X的邊際分布列。同樣可以定義Y的邊際分布列。例2在3.1節(jié)例1中求X和丫的邊際分布列。X0123Pj000325353535106122203535353521

18、6301035353535P'.112184135353535Y3.2.3邊際密度函數(shù)若(X,Y)是二維連續(xù)型隨機(jī)變量，其聯(lián)合密度函數(shù)是P(x,y),此時X和Y也是連續(xù)型隨機(jī)變量，分別稱X和Y的概率密度函數(shù)Px(X)和PY(y)為(X,Y)關(guān)于X和Y的邊際密度函數(shù)。且有PX(X)=£FX(X)=£F(X，3=d；二P(t,y)dydt=45c二P(X,y)dy同樣有45cPyW)二金P(x,y)dx.-be“6e&，-2x-3y.dy,x0x-0注意：由聯(lián)合密度求邊際密度時注意積分區(qū)域的確定。例3在3.1節(jié)例2中求邊緣密度函數(shù)Px(X),Py(x)°

19、;-be同理可得Px(X)=«PY(y)=32e'x,x0;x-0.3ey,y>0;。y<0.例4多項分布的邊際分布仍為多項分布。卜面證明三項分布的邊際分布為二項分布。設(shè)(X,Y)M(n,Pi,P2,P3),其聯(lián)合分布列為n!P(X二i,Y=j)=i!j!(n-i-j)!Pi'P2j(1-Pi-P2)10Px(x)=_.P(X,y)dy=i,j=1,2,n,ijwnj從0以n_i求和，并記對上式分別乘以和除以(1p1)n-L/(n-i)!,再對p2=p2/(lp1),則可得n1'、P(X=i,Y=j)=j0n!i!(n-i)!in_i_p1(1-p

20、1)n-L、CnL(j0n!i!(n-i)!n!i!(n-i)!p1(1p1)np2+(1p2)np1(1-6產(chǎn)所以Xb(n,p1)o同理可證丫b(n,p2)。類似可證若(Xi,X2，Xr)M(n,pi,p2,，p.)，則Xib(n,pi),i=,1,2,，r。例5二維正態(tài)分布的邊際分布為一維正態(tài)分布。證明因為p(x,y)的指數(shù)部分可表示為x-Ly-2,y-2(1-2)-1所以px(x)-He.一p(x,y)dy2二二1二2：2JJO(y-2一-xT)'2'1dy,則px(x)=e2二二1斗2.一2Te2du111同理Py(y):e二：二y：二,二、.2二二i22、可見，右X,

21、YN(L,二i；&,二2；：).則XN(1,；12),YN(2,；22),注意：(1)二維正態(tài)分布中X和Y的邊際分布都與參數(shù)P無關(guān)，這說明P不同，得到的二維正態(tài)分布也不同，但其邊緣分布是相同的。(2)只有邊緣分布是不能唯一確定聯(lián)合分布的。即使X和丫都是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，(X,Y)也可能不是服從正態(tài)分布的。3.2.4隨機(jī)變量間的獨立性定義3.2.1設(shè)n維隨機(jī)變量為(Xi,X2Xn、的聯(lián)合分布函數(shù)及關(guān)于隨機(jī)變量Xi的邊緣分布函數(shù)分別記為F(Xi,X2,；Xn),Fi(Xi);i=1,2,；n,若對于任意實數(shù)Xi,X2-Xn有F(Xi,X2,Xn)=Fi(Xi)F2(X2)Fn(Xn)

22、.則稱隨機(jī)變量X1,X2,'-Xn是相互獨立的。在離散隨機(jī)變量場合，如果對其任意n個取值Xi,X2,Xn,有P(Xi=Xi,X2=X2,Xn=Xn)=P(Xi=Xi)P(Xz=X?)P(X0=Xn),則稱隨機(jī)變量X1,X2，-Xn是相互獨立的。在連續(xù)隨機(jī)變量場合，如果對其任意n個實數(shù)x1,x2,xn,有np(Xl,X2,Xn)=%pi(xi)則稱隨機(jī)變量X1,X2,'-Xn是相互獨立的。例6已知二維離散隨機(jī)變量(X,Y),X和Y的邊際分布列分別為X-101P0.250.250.512P0.50.5而且P(XY=0)=1,(1)求隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布列；(2)X與Y是否獨

23、立。解(1)因為P(XY=0)=1,所以P(XY#0)=0。由此知P(X-1,丫=1)=P(X=1,Y=1)=0故有分布列YX-101P.j0P11P21P310.510P2200.5Pi.0.250.50.25根據(jù)聯(lián)合分布列與邊緣分布列的關(guān)系，由P(X=1)=p10=0.25,PY(=1)夏00.5,P(X=0)=p1R2=0.5,PX=1)P100.25,得P11=0.25;P22=0.5;P21=0；P31=0.25。故(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX-10100.2500.25100.50(2)因為P(X=0,Y=0)=0#0.5父0.5=P(X=0)P(Y=0)所以X與Y不獨立。例7設(shè)隨

24、機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為8xy,0<x<y<1;P(x,y)=，,0,其它，J試問X與Y是否相互獨立？解先求(X,Y)關(guān)于X的邊緣密度函數(shù)當(dāng)X<0或X>1時，px=0,而當(dāng)0ExE1時，有211x2PX(x)=*8xydy=8x(-)=4x(1-x)因此13廣2、_.Px(x)4x(1-x),0<x<1=<0,else同理可得PY(y)4y3,0<y<1=<0,else所以，有p（x,y）#Px（x）書丫（丫）,故X與Y不是相互獨立的。例8從（0,1）中任取兩個數(shù)，求下列事件的概率：（1）兩數(shù)之和小于1.2;（2）兩數(shù)之

25、積小于1/4。解分別記這兩個數(shù)為X和Y,則X與Y獨立，且均服從（0,1）上的均勻分布，（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y)=Px(x)PY(y)1,0<x<1,0<y<10,else(1)從圖中可知0.2111.2-xP(X+Y<1.2)=dydx+120dydx1=0.202(1.2-x)dx=0.20.48=0.68(2)從圖中可知1/4111/4xP(XY：:1/4)=00dydx1/40dydxo1 1=1/4dx=1/4(1/4)ln4=0.59661/44x斷3多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布1.1.1 多維離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布一、設(shè)（XX2，Xn）為n維離

26、散隨機(jī)變量，則某一函數(shù)Y=g（X1，X2，Xn）是一維離散隨機(jī)變量。當(dāng)（X1,X2，Xn）所有可能取值較少時，可將Y的取值一一列出，然后再合并整理就可得出結(jié)果。例1已知隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合分布列為14X1231110552111555試求Z1=X+Y,Z2=max(X,Y)的分布列。解乙的所有可能取值為2,3,4,5,而1P(乙=2)=P(XY=2)=P(X=1丫=1),51P(Zi=3)=P(X=1,Y=2)P(X=2,Y=1)=5P(乙=4)=P(X=2,Y=2)P(X=3,Y=1)=2,51P(Z1=5)=P(X=3,Y=2)=5因此，乙的分布列為Z12345112r1pk5555Z

27、2的所有可能取值為1,2,3,同理Z2的分布列為1P(Z2=1)=P(X=1,Y=1),5P(Z2=2)=P(X=2,Y=1)P(X=2,Y=2)P(X=1,Y=2)=-,5P(Z2=3)=P(X=3,Y=1)P(X=3,Y=2)=2,5Z21231221Pk555可加性概念：同一類分布的獨立隨機(jī)變量和的分布仍屬于此類分布稱為此類分布具有可加性。15二、泊松分布的可加性設(shè)XP(九1),YP(K2)，且X和Y獨立，證明Z=X+YP(兀+九2)。證Z的所有可能取值為所有非負(fù)整數(shù)，而事件Z=k是諸互不相容事件X=i,Y=k-i,i-0,1,k的并，考慮到獨立性，則對任意非負(fù)整數(shù)k,有kP(Z=k)P

28、(X=i)P(Y=k-i)i衛(wèi)該概率等式被稱為離散場合下的卷積公式。由此得kiP(Z=k)=：£e-1)(k_L12(k-i)!e-'2)k!i!(k-i)!(1k_i-)i()212=(T'21e，,1，2)(1.12)kk!'1''2'1''2k=但-e，九叫k=0,1，k!這表明Z=X+YP(乂+£2)。注意：(1)X-Y不服從泊松分布。(2)該理論可以敘述為：有限個獨立泊松分布的卷積仍是泊松分布，并記為P('1)P(，LP(n)=P('12一n)特別是當(dāng)=%=Zn=九時，有P()P()-

29、P(-)=P(n)三、二項分布的可加性設(shè)Xb(n,p),Yb(m,p),且X和Y獨立,證明Z=X+Yb(n+m,p)。注意：該理論可以敘述為：有限個獨立二項分布的卷積仍是泊松分布，并記為b(n1，p)力(,p)“燃，p)=b(n1&%,p)特別是當(dāng)n1=n2=nk=1時，有b(1,p)b(1,p)b(1,p)=b(n,p)即獨立同分布于b(1,p)的隨機(jī)變量X1,X2，Xn的和服從b(n,p)?；蛘哒f二項分布b(n,p)可以分解成n個相互獨立的0-1分布的隨機(jī)變量的和。1.1.2 最大值與最小值的分布一、最大值分布設(shè)X1,X2，Xn是相互相互獨立的n個隨機(jī)變量，若Y=max(X1,X2

30、，Xn),在以下情況下求Y的分布。(1)XjFi(x),i=1,2,，n；(2)Xi同分布，即XjF(x),i=1,2,，n;Xj為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xj同分布，即Xj的密度函數(shù)為p(x),i=1,2，n;(4)Xj16Exp(?J,i=1,2,，n。解(1)Y=max(X1,X2，Xn)的分布函數(shù)為Fy")=P(max(Xi,X2,Xn)wy)=P(Xiwy,X2<y,.Xn<y)n=P(Xi<y)P(X2<y)P(Xn<y)=Fi(y)(2)將Xi的共同分布函數(shù)F(x)代入上式得FY(y)=F(y)n(3)Y的分布函數(shù)仍為上式，密度函數(shù)可對上式關(guān)于y求

31、導(dǎo)得PY(y)=FY(y)=nF(y)n'p(y)(4)將指數(shù)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)代入(2)和(3)的結(jié)果中得Fy(y)=F(y)ny:0J1-e-3yn,y>0Pv(y)=FY'(y)=nF(y)np(y)=4。y<0n1e-Wn九e%,y至0二、最小值分布設(shè)Xi,X2，Xn是相互相互獨立的n個隨機(jī)變量，若Y=min(X1,X2，Xn),在以下情況下求Y的分布。(1)XiFi(x),i=1,2,，n；(2)Xi同分布，即XiF(x),i=1,2,，n；Xi為連續(xù)隨機(jī)變量，且Xi同分布，即Xi的密度函數(shù)為p(x),i=1,2,，n；(4)XiExp,i=1,2,

32、，n。解(1)Y=min(XX2，Xn)的分布函數(shù)為Fy(y)=P(min(X1,X2,Xn)三y)=1一P(min(Xi,X?，Xn)y)=1-P(Xiy,X2,Xny)=1-P(Xiy)P(X2y)P(Xny)=1-51-Fi(y)(2)將Xi的共同分布函數(shù)F(x)代入上式得FyW)=11F(y)n(3)Y的分布函數(shù)仍為上式，密度函數(shù)可對上式關(guān)于y求導(dǎo)得PY(y)=FY(y)=n1-F(y)n4p(y)(4)將指數(shù)分布的分布函數(shù)和密度函數(shù)代入(2)和(3)的結(jié)果中得FY(y)=F(y)n0,y<0Je*血，y>0Py(y)=FY(y)=nF(y)np(y)=,1.1.3 連續(xù)場

33、合的卷積公式定理3.3.1設(shè)X與Y是兩個相互獨立的連續(xù)隨機(jī)變量，其密度分布為pX(x)和pY(y)，則其和z=x+y的密度函數(shù)為-ba圖3-11Pz(z)=QPx(z-y)w(y)dy。證明Z=X+Y的分布函數(shù)為Fz(z)=P(XY_z)=px(x)pY(y)dxdyx：；y_z二z_y=_Px(x)dxpY(y)dy=_Fx(z-y)PY(y)dy其中區(qū)域x+yMz如圖3-11所示。則Z的密度函數(shù)為dpz(z)Fz(z)=一px(z-y)pY(y)dydz-上式又稱為px(z)和pY(z)的卷積，常記為px(z)*pY(z)，即當(dāng)X與Y相互獨立時，有pZ(z)=px(z)*pY(z)一、正態(tài)

34、分布的可加性設(shè)x與Y相互獨立，且有xN(1,ct12)和YN(匕尸分，則2=x+YN(此+N2,52+4).證Z=x+Y在(笛，栓)上取值。利用卷積公式，得,、1pZ("/1 (z-y_.j)exp-(y1)2-二2 (y-2)2-(y2dy二2對上式被積函數(shù)中的指數(shù)部分按y的哥次展開，再合并同類項，不難得到(z-y-)2(y-L)二12,11其中A二=二，B二1二22212二1B2+巨.(y-1)2代回原式，可得1pz(z)=2二二1二211)exp-22.二2、.Aexp-(y-利用正態(tài)密度函數(shù)的正則性，上式中積分就為揚/JA,于11(z-':-2)2pz(z)：-19e

35、xp-1(-J2二(二1202)2二1二2此即為均值是匕十h2,方差是巴2十仃；的正態(tài)密度函數(shù)。注意：(1)以上結(jié)論表明兩個獨立的正態(tài)變量之和仍為正態(tài)變量，其分布中的兩個參數(shù)分別對應(yīng)相加，可以記為卷積形式N(L,二12)N(24力=N(L2,二12二2)(2)更一般地可以證明有限多個相互獨立的服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量的線性組合仍然服從正態(tài)分布，即若x1,x2,xn相互獨立，且有xk-N(Jk,-2),k=1,2,n,18nnn則Z=、akXk-N(-ak,-a：“).k1k1k4二、伽瑪分布的可加性設(shè)X與Y相互獨立，且有X-GaQc?。和YGa(u2,?)，則Z=X+Y-Ga(a1+a2,Z).

36、證Z=X+Y在(0,+g)上取值，所以當(dāng)ZM0時，pZ(z)=0。而當(dāng)z>0時，可用卷積公式，此時使被函數(shù)pX(z-y)pY(y)>0的積分限為0<y<z,故有Pz（z）=,：1：2/u-（：l）-（：2）j（zy嚴(yán)e4syefdye-'z（：i）-（：2）：（z_y）2y：2dy1/0（1t）at&dtPz（z）=-（1）：（：2）z%-z1：2e_，zez121（：1）：（：2）最后的積分是貝塔函數(shù)，它等于r(a1)r(a2)/r(a1+a2)代入上式得此即為形狀參數(shù)為0tl+口2,尺度參數(shù)為人的伽瑪分布。注意：(1)兩個(有限個)尺度參數(shù)相同的獨立

37、的伽瑪變量之和仍為伽瑪變量,其尺度參數(shù)不變，而形狀參數(shù)相加，即Ga(a1,九)*Ga(久2，九)=Ga(%+a2,九).(2)對于伽瑪分布的兩個常用特例：指數(shù)分布和卡方分布，有相同的結(jié)論：m個獨立同分布的指數(shù)變量之和為伽瑪變量，即Exp(K)州Exp(九)*Exp(九)=Ga(m,人)；m個獨立同分布的X2變量之和為工2變量,即2(n1)2(皿)2(nm)=；£2(n1電nm)例2設(shè)Xi,X2，Xn是n個相互獨立同分布的標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)變量，證明其平方和Y=X；+X；+X：72(n)。證明因為XiN(0,1),則X；？2(1),由卡方分布的可加性得證。1.1.4 變量變換法一、變量變換法設(shè)(

38、X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(x,y),如果函數(shù)；u=g1(x,y)v=g2(x,y)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且存在唯一的反函數(shù)19x=x(u,v)-、y=y(u,v)其變換的雅可比行列式(x,y)J二F(u,v)y.:u-y.:v:x1/u/x1/vy)；:u；:u:x：:yfv：:v；:x；:y):0=g1(X，Y),則(u,v)的聯(lián)合密度函數(shù)為=gz(X,Y)p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v)J例3設(shè)X與Y獨立同分布，都服從正態(tài)分布N(N,。2),記U=X+YV=X-Y試求(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)，問U與V是否相互獨立。x=(uv)/2'，則y=(u-v)/2u=x+y一，解因為)

39、的反函數(shù)為3v=x_yy.:u-y-.-V.:x.:u.:x.:v1/21/21/21/2-1/2所以得(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)1p(u,v)=p(x(u,v),y(u,v)J=Px(u+v)/2)Py(u-v)/2)-1°2exp2、2二二1r；一rexp-4二。2二2(u-2J)2v2,1r-2二exp(u-v)/2-J2；2-這正是二元正態(tài)分布N(2巴0,2仃2,2»2,0)的密度函數(shù)，其邊際分布為U入N(2%2"2),VN(0,2o2),所以由p(u,v)=pu(u)pv(v)知U與V獨立。二、增補變量法(X,Y)的函增補變量法是變換法的一種應(yīng)用：為了求出

40、二維連續(xù)隨機(jī)變量V=h(X,Y),一般令數(shù)U=g(X,Y)的密度函數(shù)，增補一個新的隨機(jī)變量V=X或V=Y。先用變換法求出(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)p(u,v),再對p(u,v)關(guān)于v積分，從而得到關(guān)于U的邊際密度函數(shù)。例4積的公式設(shè)X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y),則U=XY的密度函數(shù)為20Pu(u)=Px(u/v)Py(v)-u=xyx=u/v解iEV=Y,則有"的反函數(shù)為，雅可比行列式為1/v-u/v01所以(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為1p(u,v)=Px(u/v)Py(v)J=Px(u/v)Py(v)上式對v積分，就可得U=XY的密度函數(shù)為Pu(u)=jPx(

41、u/v)Py(v)j-jdvo例5商的公式設(shè)X與Y相互獨立，其密度函數(shù)分別為pX(x)和pY(y),則U=X/Y的密度函數(shù)為Pu(u)=Lpx(uv)Py(v)vdv。u=x/yx=uv解記V=Y，則"的反函數(shù)為，雅可比行列式為所以(U,V)的聯(lián)合密度函數(shù)為p(u,v)=Px(uv)Py(v)J=p(uv,v)v上式對v積分，就可得U=X/Y的密度函數(shù)為Pu(u)=Px(uv)Py(v)vdvo§3.4多維隨機(jī)變量的特征數(shù)3.4.1 多維隨機(jī)變量函數(shù)的數(shù)學(xué)期望定理3.4.1設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的分布用聯(lián)合分布列P(X=x,Y=X),i,j=1,2.,或用聯(lián)合密度函數(shù)為p

42、(x,y)表示，則21Z=g(X,Y)的數(shù)學(xué)期望為：E(Z)=££°g(xi,yi)P(X=xi,Y=yj在離散場合，ij二E(Z)=二(x,y)p(x,y)dxdy.在連續(xù)場合，這里所涉及的數(shù)學(xué)期望都假設(shè)存在。注意：在連續(xù)場合(離散場合類似)有當(dāng)g(X,Y)=X時，可得X的數(shù)學(xué)期望為J2Q-J2QE(X)IIxp(x,y)dxdy.ui：xpX(x)dx當(dāng)g(X,Y)=(X-EX)2時，可得X的方差為Var(X)=E(X-EX)2=二(x-E(X)2p(x,y)dxdy.*0i*-0j2=Jx-E(X)2pX(x)dx類似可以得到Y(jié)的數(shù)學(xué)期望和方差的公式。例1在

43、長為a的線段上任取兩個點X和丫，求此兩點間的平均長度。X和Y相互獨立，所以(X,解因為X和Y都服從(0,a)上的均勻分布，且Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為1八p(x,y)=2,0<x<a悍，0,else根據(jù)定理3.4.1得兩點間的平均長度為aaaxaa11E(X-Y)=Hx-y|dxdy=Jf(x-y)dydx+JJ(yx)dydx00aa000x1 a.oa2a2 (x_ax)dx二a023注意：利用定理3.4.1可以省略求隨機(jī)變量函數(shù)的分布，但有時所涉及的求和或求積難以計算，此時只能先求隨機(jī)變量函數(shù)Z=g(X1,X2，Xn)的分布，再求E(Z)。例2設(shè)X1和X2是獨立同分布的隨機(jī)變量，其

44、共同分布為指數(shù)分布Exp(Q，試求Y=max(XY)的數(shù)學(xué)期望。解由前面最大值分布中求得Y的密度函數(shù)為pY(y)=213y'e-'y這時Y的數(shù)學(xué)期望為22Emax(XiX2)=o2y1-e-7e_7dy=20'ye"d(，y)Jye2yd(2y)2ue%u-02'''ve-dv213一(2)(2)=0c.、'cn223.4.2數(shù)學(xué)期望與方差的運算性質(zhì)性質(zhì)3.4.1設(shè)(X,Y)為二維隨機(jī)變量，則有E(X+丫)=E(X)+E(Y).證設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)p(x,y),令g(X,Y)=X+Y,則E(XY)=(xy)p(x

45、,y)dxdy-be-be-be-he=.x,p(x,y)dydx,y,p(x,y)dxdy=xpX(x)dxypY(y)dy=E(X)E(Y)注意：(1)這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個隨機(jī)變量之和的情形，即E(XiX2.Xn)=E(Xi)E(X2).E(Xn).(2)隨機(jī)變量線性組合的數(shù)學(xué)期望，等于隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望的線性組合，即E(aiXi82X2.anXn)=aiE(Xi)a?E(X2).anE(Xn).其中ai,a2,.an為常數(shù)。性質(zhì)3.4.2設(shè)X,Y為相互獨立(不相關(guān))的隨機(jī)變量，則有E(XY)=E(X)E(Y).證因為X與Y相互獨立，其聯(lián)合密度函數(shù)與邊緣密度函數(shù)滿足p(x,y)=p

46、x(x)py(y),令g(X,Y)=XY,則由定理3.4.i可得E(XY)=(xy)px(x)pY(y)dxdy=xpx(x)dx.ypY(y)dy=E(X)E(Y)注意：這一性質(zhì)可以推廣到任意有限多個相互獨立的隨機(jī)變量之積的情形,即若XcXz'.-Xn為相互獨立的隨機(jī)變量，則有E(XiX2.Xn)=E(Xi)E(X2).E(Xn).23性質(zhì)3.4.3設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨立(不相關(guān))，則有Var(X±Y)=Var(X)+Var(Y)。證由性質(zhì)3.4.1和3.4.2可得_2Var(XY)=E(XY-E(XY)一一2=E(X-E(X)(Y-E(Y)=Var(X)Var(Y)2E

47、(X-E(X)(Y-E(Y)最后一項為0,故證畢。注意：(1)推廣到有限多個相互獨立的隨機(jī)變量之和的情形。即若Xi,X2，Xn相互獨立，則有Var(X-X2_Xn)=Var(Xi)Var(X2)Var(Xn)(2)若X與Y是相互獨立的隨機(jī)變量，Ci,C2為常數(shù)，則有Var(CiX-C2Y)=Ci2Var(X)+C22Var(Y)例1已知隨機(jī)變量Xi,X2,X3相互獨立，且XiU(0,6),X2N(i,3)X3Exp(3),求Y=Xi-2X2+3X3的數(shù)學(xué)期望、方差和標(biāo)準(zhǔn)差。i-解E(Xi-2X23X3)=32i32362iVar(Xi-2X23X3)439i6i29r(Xi-2X23X3)=V

48、ar(X2X2-3X3)=i6=4注意：將一個隨機(jī)變量分解成幾個隨機(jī)變量的和，然后再利用數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)計算，可以使復(fù)雜的計算變得簡單。例2設(shè)一袋中裝有m只顏色不同的球，每次從中任取一只，有放回地摸取n次，以X表示在n次摸球中摸到球的不同顏色的數(shù)目，求E(X)。后人Z,第i種顏色的球在n次摸球中至少被摸到一次皿上Xi0,第i種顏色的球在n次摭球中一次也沒被摭到/.inX=£Xi。由P(Xi=0)=(i-),可得yminE(Xi)=P(Xi-i)=i-P(Xi-0)=i-(i-)m所以E(X)=mE(XJ=mi-(i-)nm例3設(shè)Xb(n,p),試求X的數(shù)學(xué)期望和方差。解令Xib(

49、i,p),i=i,2，n,且相互獨立，24則E(X。=p,Var(Xi)=p(1-p)n又X=£Xib(n,p),從而得i1E(X)=np,Var(X)=np(1-p)3.4.3 協(xié)方差定義3.4.1設(shè)(X,Y)是一個二維隨機(jī)變量。若EXE(X)YE(Y)存在，則稱它是隨機(jī)變量X與Y的協(xié)方差，或稱為X與Y的相關(guān)(中心)矩，并記為cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)特別地cov(X,X)=Var(X)注意：(1)當(dāng)cov(X,Y)>0時，稱X與Y正相關(guān)；(2)當(dāng)cov(X,Y)<0時，稱X與丫負(fù)相關(guān)；(3)當(dāng)cov(X,Y)=0時，稱X與Y不相關(guān)。不相關(guān)是比獨立更弱

50、的概念。性質(zhì)3.4.4cov(X,Y)-E(XY)-E(X)E(Y).cov(X,Y)=EX-E(X)Y-E(Y)證明=EXY-XE(Y)-YE(X)E(X)E(Y)=EXY-E(X)E(Y)性質(zhì)3.4.5若X與Y獨立，則cov(X,Y)=0。反之不然。證明在獨立場合，EXY=E(X)E(Y),由性質(zhì)3.4.4即得。例4(性質(zhì)3.4.5中反例)設(shè)隨機(jī)變量XN(Q。2),且令Y=X2,則X與Y不獨立，此時二者的協(xié)方差為Cov(X,Y)=Cov(X,X2)=E(XX2)-E(X)E(X2)=0。注意：獨立與不相關(guān)的關(guān)系如下圖所示。性質(zhì)3.4.6對任意二維隨機(jī)變量(X,丫)，有Var(XY)=Var

51、(X)Var(Y)2cov(X,Y),證明由方差的定義式易證。注意：性質(zhì)3.4.6可以推廣到有限個隨機(jī)變量場合，即對任意n個隨機(jī)變量25Xi,X2，Xn有nnniVarXi)="Var(Xi)公飛Cov(Xi,Xj)i4i4i4j性質(zhì)3.4.7Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(由定義可得)性質(zhì)3.4.8任意隨機(jī)變量X與常數(shù)a的協(xié)方差為0,即Cov(X,a)=0(由定義計算可得)性質(zhì)3.4.9對任意常數(shù)a,b,有Cov(aX,bY)=abCov(Y,X)(由定義計算可得)性質(zhì)3.4.10Cov(X+Y,Z)=Cov(X,Z)+Cov(Y,Z).(由協(xié)方差性質(zhì)3.4.4 公式計算可得)例4設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的密度函數(shù)為1,a_x_b,c_y_dP(x,y)(b-a)(d-c)0,其它1(b-a)(d-c)dxdy=-求Cov(X,Y).b解因為E(X)=(abd1E(Y)=ybdE(XY)=xy,acac(b-a)(d-c)1dxdy=(ab)(Cd),(b-a)(d-c)4所以Co