數(shù)學(xué)歸納法證明

1、2.3數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法(1)問(wèn)題問(wèn)題 1: :如何證明粉筆盒中的粉筆如何證明粉筆盒中的粉筆 它們都是白色的？它們都是白色的？ 問(wèn)題問(wèn)題 2: : 11,11,2,.1nnnnaaaana 對(duì)對(duì)于于數(shù)數(shù)列列已已知知，猜猜想想其其通通項(xiàng)項(xiàng)公公式式111a 212a 1nan 313a 有限步驟有限步驟考察對(duì)象考察對(duì)象無(wú)限無(wú)限多多米米諾諾骨骨牌牌課課件件演演示示 多米諾骨牌游戲的原理多米諾骨牌游戲的原理 這個(gè)猜想的證明方法這個(gè)猜想的證明方法1nan（1）第一塊骨牌倒下。）第一塊骨牌倒下。（2）若第）若第k塊倒下時(shí)，塊倒下時(shí)，則相鄰的第則相鄰的第k+1塊也倒下。塊也倒下。根據(jù)（根據(jù)（1）和）和 （

2、2），），可知不論有多少塊骨牌，可知不論有多少塊骨牌，都能全部倒下。都能全部倒下。（1）當(dāng)）當(dāng)n=1時(shí)猜想成立。時(shí)猜想成立。（2）若當(dāng)）若當(dāng)n=k時(shí)猜想成立，時(shí)猜想成立，即即 ，則當(dāng)，則當(dāng)n=k+1時(shí)猜想時(shí)猜想也成立，即也成立，即 。1kak111kak根據(jù)（根據(jù)（1）和（）和（2），可），可知對(duì)任意的正整數(shù)知對(duì)任意的正整數(shù)n，猜，猜想想 都成立。都成立。nn1n+1naa,a =1,a=(n),1+a*N已知數(shù)列已知數(shù)列1(1)當(dāng)n=1時(shí)a =1成立111111kkakakkk+1則n=k+1時(shí),a即n=k+1時(shí)猜想也成立根據(jù)根據(jù)(1)(2)可知對(duì)任意正整數(shù)可知對(duì)任意正整數(shù)n猜想都成立猜想都

3、成立.*Nnn1n+1nna對(duì)于數(shù)列 a,已知a =1,a=(n),1+a1猜想其通項(xiàng)公式為a =,怎樣證明?n證明證明：(2)假設(shè)n=k時(shí)猜想成立即1ka k例例:證明凸證明凸n邊形內(nèi)角和為邊形內(nèi)角和為 中，中， 初始值應(yīng)該從幾?。砍跏贾祽?yīng)該從幾??？初始值應(yīng)取初始值應(yīng)取3(2) 180n例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 證明：假設(shè)證明：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1時(shí)等式成立。所以等式對(duì)時(shí)等式成立。所以等式對(duì)一切正整

4、數(shù)一切正整數(shù)n均成立。均成立。例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明 1+3+5+ +（2n-1)= ()n N 21n 證明證明：假設(shè)：假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即21 3 5(23) (21)1kkk 那么那么1 3 5(21) (21)kk 221 (21)(1)1kkk 即即n=k+1時(shí)等式成立。所以等式對(duì)時(shí)等式成立。所以等式對(duì)一切正整數(shù)一切正整數(shù)n均成立。均成立。證明：證明：假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)等式成立，即時(shí)等式成立，即n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=1，右邊，右邊=0，左邊，左邊 =右邊右邊21 3 5(23) (21)kkk 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), 代入得代入得證明證明:(1) 當(dāng)當(dāng)1n

5、左邊左邊 = 1，右邊，右邊 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)成立，即：時(shí)成立，即：21 3 5(21) (21) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。綜合（綜合（1）（）（2）等式對(duì)一切正整數(shù)）等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立均成立v例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2n21 3 5(23) (21)kkk 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)時(shí), 代入得代入得證明證明:(1) 當(dāng)當(dāng)1n 左邊左邊 = 1，右邊，右邊 = 12= 1 ，等式成立，等式成立（2）假設(shè)當(dāng)）假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)成立，即：時(shí)成立，即：21 3 5(21) (2

6、1) (1) ,kkk 所以等式也成立。所以等式也成立。綜合（綜合（1）（）（2）等式對(duì)一切正整數(shù)）等式對(duì)一切正整數(shù)n均成立均成立v例如：用數(shù)學(xué)歸納法證明v 1+3+5+ +（2n-1)= 2*()n nN 1+3+5+1+3+5+ +（2k-1)+(2k+1)2k-1)+(2k+1)=k=k2 2+(2k+1)+(2k+1)=(k+1)=(k+1)2 2問(wèn)題情境一問(wèn)題情境一練習(xí)：某個(gè)命題當(dāng)練習(xí)：某個(gè)命題當(dāng)n=k (kN )N )時(shí)成立，時(shí)成立，可證得當(dāng)可證得當(dāng)n=k+1時(shí)也成立。現(xiàn)在已知當(dāng)時(shí)也成立?，F(xiàn)在已知當(dāng)n=5時(shí)該命題不成立，那么可推得（時(shí)該命題不成立，那么可推得（ ） A. n=6時(shí)該

7、命題不成立時(shí)該命題不成立 B. n=6時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立 C. n=4時(shí)該命題不成立時(shí)該命題不成立 D. n=4時(shí)該命題成立時(shí)該命題成立C練習(xí)鞏固練習(xí)鞏固 221nn* *- -+ + + += =a a1 1, , n n N N 1 11 1- -a a1 1+ +a aa a a aa a.1.用數(shù)學(xué)歸納法證明：用數(shù)學(xué)歸納法證明： 在驗(yàn)證在驗(yàn)證 n=1n=1成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的成立時(shí)，左邊計(jì)算所得的結(jié)果是（結(jié)果是（ ） A A1 1 B. B. C C D.D. 1 1+ +a a2 21 1+ +a a+ +a a2 23 31 1+ +a a+ +a a + +a aC例例1

8、.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明22221)211236n nnnn N （）（）1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn練習(xí)練習(xí).用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明：1 12 22 23 33 34 4n(nn(n1) 1) 1(1)(2)3n nn 從從n=kn=k到到n=k+1n=k+1有什么變化有什么變化湊假設(shè)湊假設(shè)湊結(jié)論湊結(jié)論證明證明:2)假設(shè)假設(shè)n=k時(shí)命題成立時(shí)命題成立,即即122334k(k+1)2)(1(31 kkk則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)，時(shí)， )1(.433221 kk)2)(1( kk)2)(1(31 kkk+)2)(1( kk=

9、 =)2)(1( kk)131( k n=k+1時(shí)命題正確。時(shí)命題正確。 由由(1)和和(2)知，當(dāng)知，當(dāng) ，命題正確，命題正確。Nn = 2111)1(31 kkk1)當(dāng)當(dāng)n=1時(shí)，左邊時(shí)，左邊=12=2,右邊右邊= =2. 命題成立命題成立1 111223 33 3)() 1(131.2111)(. 2kfkfnnnnf則已知11431331231KKKK答案：課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問(wèn)題？、數(shù)學(xué)歸納法能夠解決哪一類問(wèn)題？一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題一般被應(yīng)用于證明某些與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題2、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什么？、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的步驟是什

10、么？?jī)蓚€(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可兩個(gè)步驟和一個(gè)結(jié)論，缺一不可3、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？、數(shù)學(xué)歸納法證明命題的關(guān)鍵在哪里？關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確關(guān)鍵在第二步，即歸納假設(shè)要用到，解題目標(biāo)要明確4、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？、數(shù)學(xué)歸納法體現(xiàn)的核心思想是什么？遞推思想，運(yùn)用運(yùn)用“有限有限”的手段，來(lái)解決的手段，來(lái)解決“無(wú)限無(wú)限”的問(wèn)題的問(wèn)題注意類比思想的運(yùn)用用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果用數(shù)學(xué)歸納法證明：如果aan n 是一個(gè)等差數(shù)列，是一個(gè)等差數(shù)列，則則a an n= =a a1 1+(n-1)d+(n-1)d對(duì)于一切對(duì)于一切nNnN* *都成立。都成立。 證明證明:

11、(1):(1)當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)時(shí), ,左邊左邊=a=a1 1, ,右邊右邊=a=a1 1 + +（1-11-1）d=ad=a1 1, , 當(dāng)當(dāng)n=1n=1時(shí)，結(jié)論成立時(shí)，結(jié)論成立(2)(2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=kn=k時(shí)結(jié)論成立時(shí)結(jié)論成立, ,即即a ak k=a=a1 1+(k-1)d+(k-1)d 當(dāng)當(dāng)n=k+1n=k+1時(shí)，結(jié)論也成立時(shí)，結(jié)論也成立. .由由(1)(1)和和(2)(2)知知, ,等式對(duì)于任何等式對(duì)于任何nNnN* *都成立。都成立。湊假湊假設(shè)設(shè)1kkaad則1(1)akdd1akd湊結(jié)論湊結(jié)論1(1)1akd證證:(1)當(dāng)當(dāng)n=2時(shí)時(shí), 左邊左邊= 不等式成立不等式成立.1

12、11 11413,2 1 2 23 42424 (2)假設(shè)當(dāng)假設(shè)當(dāng)n=k(k2)時(shí)不等式成立時(shí)不等式成立,即有即有: 11113,12224kkk 則當(dāng)則當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),我們有我們有:11111(1)1(1)222122111111()12221221kkkkkkkkkkk 131113113().2421 2224 (21)(22)24kkkk 即當(dāng)即當(dāng)n=k+1時(shí)時(shí),不等式也成立不等式也成立.由由(1)、(2)原不等式對(duì)一切原不等式對(duì)一切 都成立都成立. *,2nN n 例例2.用數(shù)學(xué)歸納法證明用數(shù)學(xué)歸納法證明:*11113(2,).12224nnNnnn (4)在證明在證明n=k+1命題成立用到命題成立用到n=k命題成立命題成立時(shí)時(shí),要分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)要分析命題的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),分析分析“n=k+1時(shí)時(shí)”命題是什么，并找出與命題是什么，并找出與“