工程力學(xué)梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算

1、課時(shí)授課計(jì)劃授課日期2011.10.23班另1J1044-3題目第九章梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算目的要求掌握彎曲應(yīng)力基本概念；掌握彎曲正應(yīng)力及彎曲剪應(yīng)力的計(jì)算；掌握彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算；掌握彎曲剪應(yīng)力強(qiáng)度校核。重點(diǎn)梁應(yīng)力的計(jì)算、彎曲強(qiáng)度計(jì)算難點(diǎn)彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度計(jì)算和、彎曲剪應(yīng)力的強(qiáng)度校核教具課本教學(xué)方法課堂教學(xué)報(bào)書設(shè)計(jì)第九章梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算第T純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力第二節(jié)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件第二節(jié)梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件第四節(jié)提高梁彎曲強(qiáng)度的措施第1頁共12頁教學(xué)過程：復(fù)習(xí)：1、復(fù)習(xí)剛架的組成及特點(diǎn)。2、復(fù)習(xí)平面靜定剛架內(nèi)力圖的繪制過程。新課：第九章梁的應(yīng)力及強(qiáng)度計(jì)算第一節(jié)純彎曲梁橫截面上的正應(yīng)力一、純彎

2、曲橫梁截面上的正應(yīng)力計(jì)算公式M而無剪力Q=0,這種平面彎曲時(shí)，如果某段梁的橫截面上只有彎矩彎曲稱為純彎曲。1、矩形截面梁純彎曲時(shí)的變形觀察現(xiàn)象：(1)變形后各橫向線仍為直線，只是相對旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且與變形后的梁軸曲線保持垂直，即小矩形格仍為直角；(2)梁表面的縱向直線均彎曲成弧線，而且，靠頂面的縱線縮短，靠底面的縱線拉長，而位于中間位置的縱線長度不變。2、假設(shè)第2頁共12頁(1)平面假設(shè)：梁變形后，橫截面仍保持為平面，只是繞某一軸旋轉(zhuǎn)了一個(gè)角度，且仍與變形后的梁軸曲線垂直。中性層：梁純彎曲變形后，在凸邊的纖維伸長，凹邊的纖維縮短，纖維層中必有一層既不伸長也不縮短，這一纖維層稱為中性層。中性軸

3、：中性層與橫截面的交線稱為中性軸。中性軸將橫截面分為兩個(gè)區(qū)域一一拉伸區(qū)和壓縮區(qū)。注意：中性層是對整個(gè)梁而言的；中性軸是對某個(gè)橫截面而言的。中性軸通過橫截面的形心，是截面的形心主慣性軸。(2)縱向纖維假設(shè)：梁是由許多縱向纖維組成的，且各縱向纖維之間無擠壓。各縱向纖維只產(chǎn)生單向的拉伸或壓縮。3、推理純彎曲梁橫截面上只存在正應(yīng)力，不存在剪應(yīng)力。二、純彎曲橫梁截面上正應(yīng)力分布規(guī)律由于各縱向纖維只承受軸向拉伸或壓縮，于是在正應(yīng)力不超過比例極限時(shí)，由胡克定律可知通過上式可知橫截面上正應(yīng)力的分布規(guī)律，即橫截面上任意一點(diǎn)的正應(yīng)力與該點(diǎn)到中性軸之間的距離成正比，也就是正應(yīng)力沿截面高度呈線性分布，而中性軸上各點(diǎn)的

4、正應(yīng)力為零。00max第3頁共12頁三、純彎曲橫梁截面上正應(yīng)力計(jì)算公式梁在純彎曲時(shí)的正應(yīng)力公式：二yIZ式中：（7梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力；M該點(diǎn)所在橫截面的彎矩；34Iz橫截面又t其中性軸z的慣性矩；矩形Iz=bL；圓形Iz=1264y所求正應(yīng)力點(diǎn)到中性軸的距離。正應(yīng)力的單位為：Pa或MPa,工程上常用MPa公式表明：梁橫截面上任一點(diǎn)的正應(yīng)力與截面上的彎矩M和該點(diǎn)到中性軸的距離成正丘而與截面對,性車由白勺慣性.矩.IZ.便反匕在中性軸上（y=0）,正應(yīng)力為零。離中性軸越遠(yuǎn)，正應(yīng)力越大。在橫截面上、下邊緣各點(diǎn)處（y=ymax）,正應(yīng)力達(dá)到最大值。應(yīng)力6的正負(fù)號直接由彎矩M的正負(fù)來判斷。M為正時(shí)

5、，中性軸上部截面為壓應(yīng)力，下部為拉應(yīng)力；M為負(fù)時(shí)，中性軸上部截面為拉應(yīng)力，下部為壓應(yīng)力。第二節(jié)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度條件等直梁的最大彎曲正應(yīng)力，發(fā)生在最大彎矩所在橫截面上距中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，即對于工程上的細(xì)長梁，強(qiáng)度的主要控制因素是彎曲正應(yīng)力。為了保證梁能安全、正常地工作，必須使梁內(nèi)最大正應(yīng)力（rmax不超過材料白許用應(yīng)力,故梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件為：第4頁共12頁maxmax二、常用截面的慣性矩與抗彎截面系數(shù)1、常用截面的慣性矩Iz慣性矩是截面各微元面積與各微元至截面上某一指定軸線距離二次方乘積的積分。它是與截面的形狀及尺寸相關(guān)的幾何量。2、常見截面的抗彎截面系數(shù)在對梁進(jìn)行強(qiáng)度

6、計(jì)算時(shí)，總要尋找最大正應(yīng)力。有時(shí)，即截面上離中性軸最遠(yuǎn)的各點(diǎn)處，彎曲正應(yīng)力最大"MymaxCJ=一max1Z1zCT知，當(dāng)，。y=yma.44(D-d)-Mymax令：則有:WZ二IZymaxamaxMWz矩形截而抗彎截面系數(shù)：圓形截而抗彎截面系數(shù)：空心圓截而抗彎截面系數(shù):WZ=IZymax3bh/12h/2bh2Wz=4IZ二d4/64二d3ymax-d/2-32二d3324(1-),第5頁共12頁amaxmax=126.6MPa例題如圖所示，某20a工字型鋼梁在跨中作用集中力F,已知l=6m,F=20kN,求梁中的最大正應(yīng)力（解：（1）計(jì)算梁內(nèi)的最大彎矩跨中截面piMmax=P1

7、=30kNm4（2）查找型鋼表，確定20a工字型的抗彎截面系數(shù)Wz=2.37105mm3（3）根據(jù)彎曲正應(yīng)力公式的計(jì)算max三、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度的計(jì)算應(yīng)用強(qiáng)度條件公式，可解決梁的強(qiáng)度方面三類問題。（1）強(qiáng)度校核在已知梁的材料、截面形狀與尺寸（即已知仃和Wz值）以及所受荷載（即已知M）的情況下，用強(qiáng)度條件檢查梁的最大正應(yīng)力是否滿足強(qiáng)度條件。即（2）截面設(shè)計(jì)當(dāng)已知荷載和所用材料（即已知M和。）時(shí)，可根據(jù)強(qiáng)度條件，設(shè)計(jì)截面尺寸。求出Wz后，進(jìn)一步根據(jù)所用梁的截面形狀來確定尺寸。若采用型鋼時(shí)，則可由型鋼表查得所用型鋼的型號。（3）計(jì)算許可載荷若已知梁的材料及截面尺寸（即已知。和Wz）,則可根據(jù)強(qiáng)度條件確

8、定梁的許用彎矩M。根據(jù)M,用平衡條件確定許用外載荷。在進(jìn)行上列各類計(jì)算時(shí)，為了保證既安全可靠又節(jié)約材料的原則，設(shè)計(jì)規(guī)范還規(guī)定梁內(nèi)的最大正應(yīng)力允許稍大于。,但以不超過。的5%為限。即第6頁共12頁3、進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算時(shí)應(yīng)遵循的步驟(1)分析梁的受力，依據(jù)平衡條件確定約束力，分析梁的內(nèi)力(畫出彎矩圖)(2)依據(jù)彎矩圖及截面沿梁軸線變化的情況，確定可能的危險(xiǎn)截面：對等截面梁，彎矩最大截面即為危險(xiǎn)截面。(3)確定危險(xiǎn)點(diǎn)(4)依據(jù)強(qiáng)度條件，進(jìn)行強(qiáng)度計(jì)算。第三節(jié)梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件一、概念梁在橫彎曲作用下，其橫截面上不僅有正應(yīng)力，還有剪應(yīng)力。對剪應(yīng)力的分布作如下假設(shè)：(1)橫截面上各點(diǎn)處剪應(yīng)力工均與剪力Q同向且

9、平行；橫截面上距中性軸等距離各點(diǎn)處剪應(yīng)力大小相。根據(jù)以上假設(shè)，可推導(dǎo)出剪應(yīng)力計(jì)算公式：?100%5max二式中：r橫截面上距中性軸z距離為y處各點(diǎn)的剪應(yīng)力；Q-該截面上的剪力；b一需求剪應(yīng)力作用點(diǎn)處的截面寬度；Iz一橫截面對其中性軸的慣性矩；Sz*一所求剪應(yīng)力作用點(diǎn)處的橫線以下(或以上)的截面積A*對中性軸的面積矩。剪應(yīng)力的單位與正應(yīng)力一樣。剪應(yīng)力的方向規(guī)定與剪力的符號規(guī)定一樣。二、矩形截面橫梁截面上的剪應(yīng)力如圖所示高度h大于寬度b的矩形截面梁。橫截面上的剪力Q沿y軸方向作用。第7頁共12頁將上式帶入剪應(yīng)力公式得:上式表明矩形截面橫梁截面上的剪應(yīng)力，沿截面高度呈拋物線規(guī)律變化。在截面上、下邊緣

10、處y=±h/2,則7=0;在中性軸上，y=0,剪應(yīng)力值最大,其值為工字形截面是由上、下翼緣及中間腹板組成的Tmax第8頁共12頁222Q萬2、Qh2Qh2（一y）二二32IZ48IZbh33QM.5Q2bh腹板一江門rriiA6aKF-Frz1lThtminrmax1）腹板上的剪應(yīng)力：腹板為狹長矩形，承擔(dān)截面絕大部分剪應(yīng)力，剪應(yīng)力沿腹板高度按拋物線規(guī)律分布，故中性軸處有最大剪應(yīng)力；在腹板與翼板的交界處,剪應(yīng)力與最大剪應(yīng)力相差不多，接近于均勻分布。2）翼緣上的剪應(yīng)力：翼緣上的剪應(yīng)力情況較復(fù)雜。豎向分量很小且分布復(fù)雜，一般不考慮；水平分量認(rèn)為沿翼緣厚度均勻分布，計(jì)算公式與矩形截面的相同，

11、其方向與豎向剪應(yīng)力方向之間存在“剪應(yīng)力流”的規(guī)律。由理論分析可知，工字形截面的腹板上幾乎承受了截面上的95流右的剪力，而且腹板上的剪應(yīng)力又接近于均勻分布，故可以近似得出工字形截面最大剪應(yīng)力的公式：式中：d、hl一腹板的寬度和高度;Q橫截面上的剪力。工程中，工字鋼常采用軋制的工字型鋼，由下式計(jì)算它的最大剪應(yīng)力:式中:工字形截面中性軸一側(cè)面積對中性軸的慣性矩;max可以直接由型鋼表中查?。〞鳳261）,代入上式進(jìn)行計(jì)算;-腹板的寬度，可以查型鋼表確定。Tmax第9頁共12頁_QmaxSzmaxSzmaxIzb(IQmax*/SzmaxIz/Sz四、圓形截面橫梁截面上的最大剪應(yīng)力圓形截面橫梁截面上的

12、最大豎向剪應(yīng)力也都發(fā)生在中性軸上，沿中性軸均勻分布。其它形狀的截面上，一般地說，最大剪應(yīng)力也出現(xiàn)在中性軸上各點(diǎn)。結(jié)合書P161-162例8-3進(jìn)行詳細(xì)講解。例1矩形截面簡支梁如圖，已知：l=2m,h=15cm,b=10cm,h1=3cm,q=3kN/m。試求A支座截面上K點(diǎn)的剪應(yīng)力及該截面的最2 .求K點(diǎn)剪應(yīng)力：QaSz3103236103k:0.252MPazb2810104101013 .求最大剪應(yīng)力：Q1.53103max=1.52=0.3MPaA1510102第10頁共12頁五、梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度校核梁的剪應(yīng)力強(qiáng)度條件為：在梁的強(qiáng)度計(jì)算時(shí)，必須同時(shí)滿足彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件和剪應(yīng)力強(qiáng)度條件。但

13、在一般情況下，滿足了正應(yīng)力強(qiáng)度條件后，剪應(yīng)力強(qiáng)度都能滿足，故通常只需按正應(yīng)力條件進(jìn)行計(jì)算。但在下列幾種情況下，還需作剪應(yīng)力強(qiáng)度校核：(1)梁的跨度很短而又受到很大的集中力作用，或在支座附近作用有較大的集中荷載，此時(shí)梁的最大彎矩較小，但最大剪力卻很大。(2)工字梁的腹板寬度很小，或某些怫接或焊接的組合截面鋼梁中，具腹板寬度與高度之比小于一般型鋼截面的相應(yīng)值時(shí)，此時(shí)腹板上的剪應(yīng)力可能較大。(3)木梁。由于木材在順紋方向的抗剪強(qiáng)度很差，當(dāng)橫截面中性軸上有較大的剪應(yīng)力時(shí)，根據(jù)剪應(yīng)力互等定理，梁的中性層上也產(chǎn)生較大的剪應(yīng)力，可能使木材沿順紋方向破壞。第四節(jié)提高梁彎曲強(qiáng)度的措施一、提高梁彎曲強(qiáng)度的措施根據(jù)

14、彎曲正應(yīng)力的強(qiáng)度公式，減小梁的工作應(yīng)力的途徑:A、降低最大彎矩值MmaxB、增加截面的抗彎截面系數(shù)Wz*QmaxSzmaxmaxzmax(1)合理安排梁的支座與荷Izb當(dāng)荷載一定時(shí)，梁的最大彎矩Mmax與梁的跨度有關(guān)，因此，應(yīng)合理有ax排支座。如果結(jié)構(gòu)允許，應(yīng)盡可能合理地布置梁上的荷載。把梁所受的一個(gè)集中力分為幾個(gè)較小的集中力，梁的最大彎矩就會明顯減小。025'Jl2SFr4I25FJ必INlTf第11頁共12頁(2)米用合理的截面形1)從應(yīng)力分布規(guī)律考慮應(yīng)使截面面積較多的部分布置在離中性軸較遠(yuǎn)的地方。從應(yīng)力分布情況看，工字形、槽形等截面形狀比面積相等的矩形截面更合理，而圓形截面又不如矩形截面。凡是中性軸附近用料較多的截面就是不合理截面。脆性材料的梁截面2)從抗彎截面系數(shù)Wz考慮應(yīng)在截面面積相等的條件下，使得抗彎截面系數(shù)Wz盡可能地增大(Iz越大越好)，由式Mmax=0-Wz可知，梁所能承受的最大彎矩Mmax與抗彎截面系數(shù)Wz成反比。所以，從強(qiáng)度角度看，當(dāng)截面面積一定時(shí)，Wz值越大越有利。3)從材料的強(qiáng)度特性考慮應(yīng)合理的布置中性軸位置，使截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力同時(shí)達(dá)到材料的容許應(yīng)力。對抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，一般采用對稱于中性軸的截面形