第十章誤差橢圓

1、第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓第十章第十章 誤差橢圓誤差橢圓10-1 概述概述10-2 點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差10-3 誤差曲線(xiàn)誤差曲線(xiàn)10-4 誤差橢圓誤差橢圓10-5 相對(duì)誤差橢圓相對(duì)誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓待定點(diǎn)P的真實(shí)位置和平差位置之間存在差值：由此而產(chǎn)生的距離 稱(chēng)為P點(diǎn)的點(diǎn)位真誤差，簡(jiǎn)稱(chēng)真位差:10-1 概述概述yyyxxxP222yxPxAxyyPPPsuxy第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓平差后待定點(diǎn)P 的坐標(biāo)為 。且方差協(xié)方差矩陣為:坐標(biāo)的中誤差 和 表示點(diǎn)位在x方向和y方向上的中誤差。一般地， ，即點(diǎn)位在不同方向上的中誤差一般是不相等的。既然點(diǎn)位在不同方向上的中誤差不相等，就

2、有必要研究點(diǎn)位在任意方向 上的中誤差。) , (yxyyxyxyxxyxyxyxXXQQQQD2022xyyx第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓為此，將坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度 。點(diǎn)位在任意方向 上的中誤差，就是點(diǎn)位在 軸上的中誤差X x第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓為此，下面就來(lái)求 。如圖，由相似變換公式得：應(yīng)用協(xié)方差傳播律，得： 即點(diǎn)位在任意方向上的方差為 （1）習(xí)慣上，稱(chēng)點(diǎn)位在某方向上的方差為該方向上的位差。 xyxyxcossinsincos2sincossin2sinsincos 22222 22222yxyxyyxyxx)2sinsincos(222022xyyyxxxQQQ習(xí)題：習(xí)題：10.2

3、.07第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓將兩個(gè)垂直方向的位差相加，得：上式表明點(diǎn)位在任意兩垂直方向上的方差之和為不變量。為此，定義點(diǎn)位在兩垂直方向上的方差之和為點(diǎn)位方差：2222222222)cos(sin)cos(sinyxyxyx222yxp點(diǎn)位在任意方向 上的協(xié)因數(shù)為： （2）2sinsincos22xyyyxxQQQQ第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓1、點(diǎn)位中誤差2、任意方向的位差3、位差的極值方向與極值由于點(diǎn)位在不同方向上的位差大小不同，所以位差一定有極值。為了尋求此極值的方向，將（2）式對(duì) 求導(dǎo)數(shù)，并令其為零，即：yyxxyxpQQ20222)2sinsincos(222022xyyyxxx

4、QQQ10-2 點(diǎn)位誤差點(diǎn)位誤差第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓用 表示極值方向，則有：即于是有三角方程： （3）因?yàn)樗裕?）式有兩個(gè)解： 和 。則極值方向也有兩個(gè)： 和 ，即一個(gè)極大值方向，一個(gè)極小值方向，且極大值方向與極小值方向正交。0)2sinsincos(22xyyyxxQQQddddQ002cos2cossin2sincos200000 xyyyxxQQQ02cos22sin)(00 xyyyxxQQQyyxxxyQQQ22tan0)180tan(22tan0002180209000第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓既然 和 為極大值方向和極小值方向，那么哪個(gè)是極大值方向？哪個(gè)又是極小值方向

5、呢？下面來(lái)討論這個(gè)問(wèn)題。將三角公式代入（2）式，得： （4）090022cos1sin,22cos1cos002002002000000002sin122212sin22cos2tan2212sin22cos)(212sin22cos122cos100 xyyyxxxyxyyyxxxyyyxxyyxxxyyyxxQctgQQQQQQQQQQQQQQQ第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓（4）式的中括號(hào)內(nèi)有兩項(xiàng)，第一項(xiàng)恒大于零，第二項(xiàng)的 也恒大于零。 第二項(xiàng)中的 和 有正有負(fù)。只有它們同號(hào)，第二項(xiàng)大于零，才能使 取極大值。當(dāng)它們異號(hào)時(shí)，第二項(xiàng)小于零， 取極小值。當(dāng) 即 時(shí)， ；當(dāng) 即 時(shí)， ；又因?yàn)閷?duì)于

6、 和180+ ， 的符號(hào)不變，所以：當(dāng) 時(shí)，極大值在一、三象限； 極小值在二、四象限。當(dāng) 時(shí)，極大值在二、四象限； 極小值在一、三象限。用 和 , 和 表示極大值與極小值方向。知道了極大值與極小值的方向，下面再來(lái)研究極大值與極小值的大小。12202ctgxyQ02sin00Q00in20360218001809000sin200002sin0 xyQ0 xyQE180E180FF第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓將極大值方向 與極小值方向 代入（2）式，就可以得到極大值與極小值。實(shí)用上，通常重新推導(dǎo)一套公式：因?yàn)轭櫦暗茫簩⑸鲜酱耄?）式，并顧及 ，得：EF0202112s

7、inctgyyxxxyQQQ22tan02204)(22sinxyyyxxxyQQQQ02022sin112ctg224)(21xyyyxxyyxxQQQQQQ020202022sin2cos112112sinctg第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓令：K為算術(shù)平方根，恒大于零。則有：用E表示位差的極大值，F(xiàn)表示位差的極小值，則有： （5）（5）式就是計(jì)算位差極大值與極小值的實(shí)用公式。224)(xyyyxxQQQKKQQQyyxx21KQQQFKQQQEyyxxyyxxFFEE20202202022121第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓極值方向極值方向當(dāng) 時(shí)，極大值在一、三象限； 極小值在二、四象限。當(dāng)

8、 時(shí)，極大值在二、四象限； 極小值在一、三象限。極大值與極小值極大值與極小值yyxxxyQQQ22tan00 xyQ0 xyQKQQQFKQQQEyyxxyyxxFFEE20202202022121224)(xyyyxxQQQK教材：教材：101習(xí)題：習(xí)題：10.2.08第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓4、以極值表示任意方向上的位差任意方向上的位差公式(1)式中的任意方向 是從X軸起算的。若從極大值方向（E軸）起算，其公式會(huì)是怎樣的呢？下面來(lái)推導(dǎo)。如圖，從X軸起算的任意方向 ，若從極大值方向（E軸）起算則為 。為了導(dǎo)出極值表示任意方向上的位差，分別以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，得：2

9、cosE2sinE第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓 （6）因?yàn)?，所以將上式代入（6）式，得： （7）若分別以 和 乘以（5）式的第一、第二式，并求和，經(jīng)與以上同樣的推導(dǎo)，得： （8）EyyxxEEKQQFE2cos21sincos2022220002cos2sin22tanyyxxxyQQQ2204)(22sinxyyyxxxyQQQQKQQQQQQQQQyyxxxyyyxxxyxyyyxxE224)(222cos220222221sincosxyyxxyyxxEEQQQQFE2sinE2cosE220222221cossinyyyxxyyxxEEQQQQFE第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓（7）式

10、和（8）式就是用極值E、F計(jì)算縱橫坐標(biāo)中誤差的公式。若規(guī)定任何方向都由E 軸起算，則縱坐標(biāo)軸X相對(duì)于E軸的方位角為 （如圖）。故（7）式可寫(xiě)為：由于X軸是以E軸起算的所有方向中的一個(gè)特定方向，所以以E軸起算的任意方向 上的位差為： （9）（9）式就是以E軸為起算方向，用極值E、F計(jì)算任意方向 上的位差的實(shí)用公式。E360)360(sin)360(cos22222EExFE22222sincosFE第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓 以極大值方向與極小值方向的交點(diǎn)為極點(diǎn)、以極大值方向E為極軸、以不同的方位角 （由E軸起算）和位差 為極坐標(biāo)的點(diǎn)的軌跡，是一條閉合曲線(xiàn)，形狀如下圖。圖中任意方向 上的向徑O

11、P就是該方向上的位差 。該曲線(xiàn)將各方向上的位差清清楚楚地圖解出來(lái)了。由圖知，該曲線(xiàn)關(guān)于E軸和F軸對(duì)稱(chēng)。稱(chēng)該曲線(xiàn)為點(diǎn)位誤差曲線(xiàn)。10-3 誤差曲線(xiàn)誤差曲線(xiàn)第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓 點(diǎn)位誤差曲線(xiàn)不是標(biāo)準(zhǔn)曲線(xiàn)，在計(jì)算機(jī)普遍使用之前作圖不方便。為此，總是用一個(gè)長(zhǎng)半軸等于E，短半軸等于F的橢圓來(lái)近似表示（如圖），并稱(chēng)此橢圓為點(diǎn)位誤差橢圓，簡(jiǎn)稱(chēng)誤差橢圓。由圖知，此誤差橢圓僅由長(zhǎng)半軸E、短半軸F、以及長(zhǎng)半軸E的方位角 確定。因此，稱(chēng)E、F和 為誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)。EE10-4 誤差橢圓誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓誤差橢圓除了在長(zhǎng)軸E、短軸F上能精確表示位差外,其它任何

12、方向都不能直接從誤差橢圓上量取位差的大小。要通過(guò)誤差橢圓得到任意方向位差的大小，其方法是：垂直任意方向 作誤差橢圓的切線(xiàn)PD，則垂足D至O的長(zhǎng)度就是任意方向 上的位差，即_OD第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓證明：證明：如圖，中間的虛線(xiàn)表示誤差曲線(xiàn)，外面的虛線(xiàn)是半徑為E的大圓弧，最里面的虛線(xiàn)是半徑為F的小圓弧?，F(xiàn)作以O(shè)E為起始方向的角度 的向徑，交大圓于 ，交小圓于 ，過(guò) 作y軸的平行線(xiàn)交x軸于a點(diǎn)。過(guò) 作x軸的平行線(xiàn)交y軸于b點(diǎn)，兩平行線(xiàn)的交點(diǎn)P，正好是橢圓上的一點(diǎn)。這是因?yàn)椋篜 PPP sinsincoscos_FPoobaPyEPoaoPbxpp 第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓即 （9）（9）

13、式的第一式乘以 ，第二式乘以 ，得： （10）（10）式的兩式相加，得：故有： （11）（11）式為橢圓方程，所以P點(diǎn)正好是橢圓上的一點(diǎn)。222222sincosFyExpp2222222222sincosFEyEFExFpp222222FEyExFpp2F2E12222FyExpp第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓下面再來(lái)證明 。以橢圓上的點(diǎn) 為切點(diǎn)作橢圓的切線(xiàn)，再過(guò)O點(diǎn)作此切線(xiàn)的垂線(xiàn) 該垂線(xiàn)從E軸起算的方位角為 ，垂足為D點(diǎn)。由圖知：上式兩邊平方得：_OD),(ppyxPPO sinsincoscossincos11_FEyxCDOCODpp211222211122212222222111222

14、12221121221222)cossinsincos(sincos)sinsincoscos2cossinsincos(sincossinsincoscos2)cos1 (sin)sin1 (cossinsincoscos2sinsincoscosFEFEEFFEFEEFFEEFFEOD（12）第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓由圖，并顧及知， 的協(xié)率為：故有：所以（12）式變?yōu)椋核訽PDctgEFdxdddydxdy1111sincossin,cosFyEx11cossinsincosFE222222sincosFEOD_OD第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓GPS網(wǎng)三維無(wú)約束平差誤差橢圓網(wǎng)三維無(wú)約

15、束平差誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓GPS網(wǎng)三維無(wú)約束平差誤差橢圓網(wǎng)三維無(wú)約束平差誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓 在平面控制網(wǎng)中，繪出各待定點(diǎn)的位誤差橢圓后，就可應(yīng)用點(diǎn)位誤差橢圓圖解各待定點(diǎn)與已知點(diǎn)之間的邊長(zhǎng)中誤差與方位角中誤差。但不能用同樣的方法圖解待定點(diǎn)與待定點(diǎn)之間的邊長(zhǎng)中誤差與方位角中誤差。而在實(shí)際工作中，重要的卻是任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)精度。為此，有必要研究任意兩個(gè)待定點(diǎn)之間的相對(duì)精度問(wèn)題。設(shè)有任意兩個(gè)待定點(diǎn) 和 ，它們的坐標(biāo)平差值的協(xié)因數(shù)矩陣為：iPjPjjjjjijijjjjijjijijiiiiijijiiiiiyyyxyyyxyxxxyxxxyyxyyyyxyxx

16、xyxxxXXQQQQQQQQQQQQQQQQQ10-5 相對(duì)誤差橢圓相對(duì)誤差橢圓第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓這兩個(gè)待定點(diǎn)的相對(duì)位置可通過(guò)平差后兩點(diǎn)的坐標(biāo)差來(lái)表示，即應(yīng)用協(xié)因數(shù)傳播律，得： （13）如果這兩個(gè)點(diǎn)中有一個(gè)為無(wú)誤差的已知點(diǎn)，比如 點(diǎn)，則以上協(xié)因數(shù)陣變?yōu)椋簀jiiijijyxyxyx10100101jijjiijjjiijiijjjiijiijijjiiyyyyyyyxyxyxyxyxyxyxyxxxxxxxyyyxyxxxQQQQQQQQQQQQQQQQQQ22iP第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓 （14）由此可計(jì)算出 點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓的3個(gè)參數(shù)?？梢?jiàn)，點(diǎn)位誤差橢圓或誤差曲線(xiàn)是相對(duì)于已

17、知點(diǎn)而言的。當(dāng) 不是已知點(diǎn)，而是待定點(diǎn)時(shí)，所不同的只是協(xié)因數(shù)陣。即協(xié)因數(shù)陣由（14）式變?yōu)椋?3）式。因此，用（13）式中的元素計(jì)算的誤差橢圓的3個(gè)參數(shù)，就是待定點(diǎn) 相對(duì)于待定點(diǎn) 的誤差橢圓參數(shù)，即 （15）jjjjjjjjyyyxyxxxyyyxyxxxQQQQQQQQjPiPjPiPyyxxyxQQQ22tan0KQQFKQQEyyxxyyxx2022022121224)(yxyyxxQQQK第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓由（15）式計(jì)算出誤差橢圓的3個(gè)參數(shù)后，就可按上節(jié)介紹的方法繪制誤差曲線(xiàn)或誤差橢圓。這樣的誤差曲線(xiàn)或誤差橢圓是待定點(diǎn) 相對(duì)于待定點(diǎn) 的誤差曲線(xiàn)或誤差橢圓，故稱(chēng)之為相對(duì)誤差曲

18、線(xiàn)或相對(duì)誤差橢圓。舉例舉例例例1 1、已知P點(diǎn)的協(xié)因數(shù)陣為：?jiǎn)挝粰?quán)中誤差為 。試求點(diǎn)位誤差橢圓的三個(gè)參數(shù)及點(diǎn)位誤差 。解：jPiP3806. 02082. 02082. 04494. 0yyxyxyxxxxQQQQQ2cm秒50 p0523. 63806. 04494. 0)2082. 0(222tan0yyxxxyQQQ第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓故： 及所以 及因?yàn)?，所以極大值方向在第二、四象限；極小值方向在第一、三象限，即： 或 或又因?yàn)樗杂谑堑命c(diǎn)位誤差： 55222920 552227920 5 .2714490 5 .27141390 02082. 0 xyQ5 .2714139

19、 E5 .2714319 E5 .271449 F5 .2714229 F0994. 5)2082. 0(4)3806. 04494. 0(3806. 04494. 0256506.15)2082. 0(4)3806. 04494. 0(3806. 04494. 02522222222FEcm26. 2,cm96. 3FEcm55. 4,7500.200994. 56506.15222ppFE第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓例例2 2、數(shù)據(jù)同例1,試計(jì)算方位角為155度(由X軸起算)上的位差。解：按（1）式計(jì)算： 按（9）式計(jì)算： 故cm86. 3915.14310sin2082. 0155sin

20、3806. 0155cos4494. 0(5)2sinsincos(22222202xyyyxxQQQ5 .3281155 .2714139155 cm915.145 .328115sin0994. 55 .328115cos6506.15sincos2222222 FE第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓例例3 3、設(shè)單位權(quán)中誤差為 ， 點(diǎn)和 點(diǎn)的協(xié)因數(shù)陣為：試?yán)L出 點(diǎn)和 點(diǎn)的點(diǎn)位誤差橢圓和相對(duì)誤差橢圓，并從圖上量取兩點(diǎn)的相對(duì)位置精度。解： 的點(diǎn)位誤差橢圓參數(shù)為：極值方向：解得：50 1P2P2cm/s)(003784. 0003332. 0002931. 0001553. 0003332. 000

21、7121. 0002531. 0000952. 0002931. 0002531. 0003806. 0002082. 0001553. 0000952. 0002082. 0004494. 0XXQ1P2P1P052326. 6003806. 0004494. 0)002082. 0(222tan11111101yyxxyxQQQ14229141390101和第十章第十章誤差橢圓誤差橢圓因?yàn)?，所以極大值方向在第二、四象限，即極值： 的點(diǎn)位誤差橢圓參數(shù)為：極值方向：解得：因?yàn)?，所以極大值方向在第一、三象限，即011xxQ142291413911EE或004228. 0)002086. 0(4)003806. 0004494. 0(221Kcm23. 0,050900. 02/ )004228. 0003806. 0004494. 0(5cm40. 0,156604. 02/ )004228. 0003806. 0004494. 0(512211221FFEE2P997003. 1003784. 0007121. 0)003332. 0222ta