數(shù)值分析第2章ppt課件

1、工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 內(nèi)容提要2.1 引言2.2 拉格朗日插值2.3 均差與牛頓插值公式2.4 埃爾米特插值2.5 分段低次插值2.6 三次樣條插值工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2.1 引言引言 許多實(shí)踐問題都用函數(shù)許多實(shí)踐問題都用函數(shù) y=f(x) 來(lái)表示來(lái)表示某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。假設(shè)知某種內(nèi)在規(guī)律的數(shù)量關(guān)系。假設(shè)知 f(x) 在在某個(gè)區(qū)間某個(gè)區(qū)間 a,b 上存在、延續(xù)，但只能給出上存在、延續(xù)，但只能給出 a,b 上一系列點(diǎn)的函數(shù)值表時(shí)，或者函數(shù)上一系列點(diǎn)的函數(shù)值表時(shí)，或者函數(shù)有解析表達(dá)式，但計(jì)算過于復(fù)雜、運(yùn)用不有解析表達(dá)式，但計(jì)算過于復(fù)雜、運(yùn)用不方便只給出函數(shù)值表如三角函數(shù)表、對(duì)方

2、便只給出函數(shù)值表如三角函數(shù)表、對(duì)數(shù)表等時(shí)，為了研討函數(shù)的變化規(guī)律，數(shù)表等時(shí)，為了研討函數(shù)的變化規(guī)律，往往需求求出不在表上的函數(shù)值。因此我往往需求求出不在表上的函數(shù)值。因此我們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個(gè)既能們希望根據(jù)給定的函數(shù)表做一個(gè)既能 反映反映函數(shù)函數(shù) f(x) 的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù)的特性，又便于計(jì)算的簡(jiǎn)單函數(shù) P(x)，用，用 P(x) 近似近似 f(x)。這就引出了插值。這就引出了插值問題。問題。工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 的的方方法法稱稱為為插插值值法法。函函數(shù)數(shù)稱稱為為插插值值區(qū)區(qū)間間，求求插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的區(qū)區(qū)間間值值稱稱為為插插值值節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)，包包含含插插的的插插值值函函

3、數(shù)數(shù)，點(diǎn)點(diǎn)為為成成立立，就就稱稱，使使，若若存存在在一一簡(jiǎn)簡(jiǎn)單單函函數(shù)數(shù)上上的的值值上上有有定定義義，且且已已知知在在點(diǎn)點(diǎn)在在區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))(,)()(), 1 , 0()()(,)(101010 xPbaxxxxfxPniyxPxPyyybxxxabaxfyniinn 1、提出問題插值法的定義、提出問題插值法的定義 2、幾何意義、外插、內(nèi)插、幾何意義、外插、內(nèi)插 P(x) f(x)x*(外插)x0 x1x(內(nèi)插)x2x3P(x*) f(x*)工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 3、插值的種類、插值的種類 選取不同的函數(shù)族構(gòu)造選取不同的函數(shù)族構(gòu)造 P(x) 得到不同類型的插值得到不同類型的插值

4、假設(shè)假設(shè) P(x) 是次數(shù)不超越是次數(shù)不超越 n 的代數(shù)多項(xiàng)式，就稱為多項(xiàng)式插值；的代數(shù)多項(xiàng)式，就稱為多項(xiàng)式插值；假設(shè)假設(shè) P(x) 為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；為分段的多項(xiàng)式，就稱為分段插值；假設(shè)假設(shè) P(x) 為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。為三角多項(xiàng)式，就稱為三角插值。 本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值。主要研討內(nèi)容為如何本章只討論多項(xiàng)式插值與分段插值。主要研討內(nèi)容為如何求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)；討論插值多項(xiàng)式求出插值多項(xiàng)式，分段插值函數(shù)；討論插值多項(xiàng)式 P(x) 的存的存在獨(dú)一性、收斂性及估計(jì)誤差等。在獨(dú)一性、收斂性及估計(jì)誤差等。4、多項(xiàng)式插值問題、多項(xiàng)式插值問題010101( )

5、 , , ( )( )(0,1, )( ( )( )nnnniiyf xa baxxxbyyynP xaa xa xP xyinP xf x已知：函數(shù)在區(qū)間上有定義及在點(diǎn)上的函數(shù)值。求： 次多項(xiàng)式，滿足即為的插值多項(xiàng)式工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 插值多項(xiàng)式的存在獨(dú)一性插值多項(xiàng)式的存在獨(dú)一性 0)(x111)()()()()(x11102n121102002102102n12110200 njiijnnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxDVandemondexfxfxfxfaaaaxxxxxxxx其系數(shù)行列式為范德蒙其系數(shù)行列式為范德蒙組組使其滿足如下線性方程使其滿足如下線性方程定多項(xiàng)式的

6、系數(shù)，定多項(xiàng)式的系數(shù)，插值條件滿足等價(jià)于確插值條件滿足等價(jià)于確對(duì)于多項(xiàng)式插值問題，對(duì)于多項(xiàng)式插值問題，工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 定理定理1 (存在獨(dú)一性存在獨(dú)一性) 滿足插值條件的不超越滿足插值條件的不超越 n 次的插值多項(xiàng)式次的插值多項(xiàng)式是存在獨(dú)一的。是存在獨(dú)一的。2.2 拉格朗日插值拉格朗日插值一、線性插值與拋物插值一、線性插值與拋物插值1、線性插值、線性插值 。使使它它滿滿足足，要要求求線線性性插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式在在端端點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)值值上上有有定定義義及及在在區(qū)區(qū)間間數(shù)數(shù)線線性性插插值值問問題題：已已知知函函11111111)(,)(),()(),(,)( kkkkkkkkkkyxL

7、yxLxLxfyxfyxxxfyy=f(x)L1(x)yxxk+1xk0工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1)(0)(0)(1)()()()()()()()()()()(,)()()()()()(1111111111111111111111111 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkKkkkkkkkkKkkkkkkkkxlxlxlxlxxiixlxlixlxlyxlyxlxLyyxxxxxlxxxxxlxLyxxxxyxxxxxLxxxxyyyxLxL處滿足處滿足與與在節(jié)點(diǎn)在節(jié)點(diǎn)也是線性函數(shù)也是線性函數(shù)與與它們滿足下面條件它們滿足下面條件稱為線性插值基函數(shù)，稱為線性插值基函數(shù)，與與，即，

8、即及及數(shù)分別為數(shù)分別為的線性組合得到，其系的線性組合得到，其系是由兩個(gè)線性函數(shù)是由兩個(gè)線性函數(shù)由兩點(diǎn)式看出，由兩點(diǎn)式看出，（兩點(diǎn)式）（兩點(diǎn)式）（點(diǎn)斜式）（點(diǎn)斜式）直接給出直接給出的表達(dá)式可由幾何意義的表達(dá)式可由幾何意義工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2、拋物插值、拋物插值 。使使它它滿滿足足要要求求拋拋物物插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式，的的函函數(shù)數(shù)值值和和、在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)上上有有定定義義及及在在區(qū)區(qū)間間數(shù)數(shù)拋拋物物插插值值問問題題：已已知知函函112211-22111-1-1-11-1)(,)(,)(),()(),()(,)( kkkkkkkkkkkkkkkkkyxLyxLyxLxLxfyxfyxfyxxx

9、xxxfy22-1-111-11-11-11-1111( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )( )()1kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkL xL xlx ylx ylx ylxlxlxlxlxlxi lxlxlxiixxxlxl、表示為已知節(jié)點(diǎn)函數(shù)值的組合形式組合系數(shù)分別為、及，、與通常稱為拋物插值基函數(shù)，它們滿足下面條件、與也是拋物函數(shù)在節(jié)基函數(shù)法求處足解點(diǎn)與滿1111111111()0()0()0()1()0()0()0()1kkkkkkkkkkkkkkkxlxlxlxlxlxlxlx工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 求解基函數(shù)求解基

10、函數(shù))()()()(1)()(, 1)()2()()(),()()(0)(0)()1()(111111111111111111111111 kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxAxxxxAxlxlAxxxxAxlixlxlxxxlxlxl故有故有于是于是得得由由為待定常數(shù)）為待定常數(shù)）（其中（其中于是設(shè)于是設(shè)滿足條件滿足條件又由于又由于的零點(diǎn)，的零點(diǎn)，是函數(shù)是函數(shù)與與知知與與由由先求基函數(shù)先求基函數(shù)工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 )()()()()()(1-11-111-11-1kkkkkkkkkkkkkkxxxxxxxxxlxxxxxxxxx

11、l 同同理理可可得得11-11-11-11-1-111112)()()()()()()( kkkkkkkkkkkkkkkkkkkkkyxxxxxxxxyxxxxxxxxyxxxxxxxxxL拋拋物物插插值值公公式式為為二、拉格朗日插值多項(xiàng)式二、拉格朗日插值多項(xiàng)式 上面針對(duì)上面針對(duì) n=1 和和 n=2 的情況，得到了一次和二次插值的情況，得到了一次和二次插值多項(xiàng)式，這種用基函數(shù)表示的方法很容易推行到普通情況。多項(xiàng)式，這種用基函數(shù)表示的方法很容易推行到普通情況。下面討論如何構(gòu)造下面討論如何構(gòu)造 n+1 個(gè)節(jié)點(diǎn)的個(gè)節(jié)點(diǎn)的 n 次插值多項(xiàng)式。次插值多項(xiàng)式。 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 ), 1 ,

12、0(,)(),(), 1 , 0()(1,)(1100njyxLxLnnjxfyxxxnxxxfyjjnnjjnn 使使它它滿滿足足次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式要要求求的的函函數(shù)數(shù)值值個(gè)個(gè)節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)在在上上有有定定義義及及在在區(qū)區(qū)間間已已知知函函數(shù)數(shù)、拉拉格格朗朗日日插插值值問問題題：), 1 , 0,(, 0, 1)(), 1 , 0()(), 1 , 0()()()( ,)()()()(0nkjjkjkxlnkxiinnkxlinxlxlyxLxLkjkkknkkknn 處處滿滿足足在在節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的多多項(xiàng)項(xiàng)式式函函數(shù)數(shù)是是不不超超過過，它它們們滿滿足足下下面面條條件件次次插插值值基基函函數(shù)數(shù)通通

13、常常稱稱為為組組合合系系數(shù)數(shù)為為的的組組合合形形式式表表示示為為已已知知節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)值值基基函函數(shù)數(shù)法法求求解解工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 )()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(11)()()()(, 1)()2()()()()(),()()(), 1, 1, 1 , 0(), 1, 1, 1 , 0(0)()1(), 1 , 0()(111101101110110110110110knknknkkkkkkknnnnkkkkkknkkknkkkkkknkkkkkkkkkknkkkkkjjkkxxxxxlxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

14、xxxxxxxxxxxxlxxxxxxxxAxxxxxxxxAxlxlAxxxxxxxxAxlixlxlnkkjxnkkjxlnkxl 則則易易得得若若引引入入記記號(hào)號(hào)故故有有于于是是得得由由為為待待定定常常數(shù)數(shù)）（其其中中于于是是設(shè)設(shè)滿滿足足條條件件又又由由于于的的零零點(diǎn)點(diǎn)，函函數(shù)數(shù)是是知知由由求求基基函函數(shù)數(shù)工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 nkknknknnxxxxyxLxLn011)()()()()( 為為次次拉拉格格朗朗日日插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式。且依賴于且依賴于）（這里這里插值余項(xiàng)插值余項(xiàng)對(duì)任何對(duì)任何件的多項(xiàng)式，則件的多項(xiàng)式，則是滿足拉格朗日插值條是滿足拉格朗日插值條內(nèi)存在，節(jié)點(diǎn)內(nèi)存在，節(jié)

15、點(diǎn)在在上連續(xù)，上連續(xù)，在在設(shè)設(shè)定理定理項(xiàng)。項(xiàng)。也稱為插值多項(xiàng)式的余也稱為插值多項(xiàng)式的余則其截?cái)嗾`差為則其截?cái)嗾`差為近似近似上用上用若在若在、插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)、插值余項(xiàng)與誤差估計(jì)xbaxnfxLxfxRbaxxLbxxxabaxfbaxfxLxfRxfxLbannnnnnnnnn,)()!1()()()()(,)(,),()(,)(2),()(),()(,21)1(10)1()( 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 0110101(0,1, )( )()0( )( )()()()( )( )( ) , ( )( )( )( )()()()( ),(knnknnnnnnx knR xR xR xK x

16、xxxxxxK xxK xxxa btf tL tK x txtxtxtx xxxt證明：由條件知節(jié)點(diǎn)是的零點(diǎn)，即。于是其中是與有關(guān)的待定函數(shù)。現(xiàn)把看成上的固定點(diǎn)，作函數(shù)根據(jù)插值條件和余項(xiàng)定義，知在點(diǎn)及處均為零。故1111) , 2( ) , 1( )( ) , ( )( , )( , ),( )( )(1)!( )0( )( )( , ),(1)!nnnna bnta bntta bnta ba bfnK xfK xa bxn（）（）（）（）在上有個(gè)零點(diǎn)，根據(jù)羅爾定理，在內(nèi)至少有個(gè)零點(diǎn)。對(duì)再應(yīng)用羅爾定理，可知在內(nèi)至少有 個(gè)零點(diǎn)。依次類推，在上至少有一個(gè)零點(diǎn)，記為使于是，且依賴于于是得到插值余

17、項(xiàng)。 證畢。工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 定理闡明：定理闡明：(1) 插值誤差與節(jié)點(diǎn)和點(diǎn)插值誤差與節(jié)點(diǎn)和點(diǎn) x 之間的間隔有關(guān)之間的間隔有關(guān), 節(jié)點(diǎn)間隔節(jié)點(diǎn)間隔 x 越近越近,插值誤差普通情況下越小。插值誤差普通情況下越小。 (2) 假設(shè)被插值函數(shù)假設(shè)被插值函數(shù) f(x) 本身就是不超越本身就是不超越 n 次的多項(xiàng)式次的多項(xiàng)式, 那么那么有有f(x)g(x)。 ,),)()()(61)(2,),)()(21)()(21)(1)()!1()()()(,)(max)3(202102101021111)1(xxxxxxxxfxRnxxxxxxfxfxRnxnMxRxfxLMxfnnnnnbxa 時(shí)時(shí)，

18、拋拋物物插插值值余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，線線性性插插值值余余項(xiàng)項(xiàng)為為當(dāng)當(dāng)?shù)牡慕亟財(cái)鄶嗾`誤差差限限是是逼逼近近那那么么多多項(xiàng)項(xiàng)式式如如果果我我們們可可以以求求出出工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1 010 0 ,00001niikniikiniikiknnk(x)lkn, kx(x)lx(x)lxx(x)R(x)fn)(kxf(x)時(shí)，有特別當(dāng)由此得于是有時(shí)，由于當(dāng)工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 34)5 . 0(3)5 . 0(2)5 . 0(1)5 . 0()5 . 0()(3)(2)()()()()()()()()1(34)05 . 0)(15 . 0()0)(1()5 . 0)(1(2)5 . 0

19、0)(10()5 . 0)(1()5 . 0(32)5 . 01)(01()5 . 0)(0(, 5 . 0, 0121022102221002210210 lllLfxlxlxlxlxfxlxfxlxfxLxxxxlxxxxlxxxxlxxx二二次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為作作二二次次插插值值，解解：取取節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn) ( 2)2,( 1)1,(0)2,(0.5)3,( 0.5)1fffff已知試選用適合的插例2-值節(jié)點(diǎn)通過二次插值多項(xiàng)式計(jì)算的近似值，使之精度盡可能高。3、運(yùn)用舉例、運(yùn)用舉例 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 用二次插值計(jì)算用二次插值計(jì)算 ln(11.25) ln(11.25) 的近似值

20、的近似值, ,并估計(jì)誤差。并估計(jì)誤差。例2-2 給定函數(shù)值表420426.2484907.2)1112)(1012()1125.11)(1025.11(397895.2)1211)(1011()1225.11)(1025.11(302585.2)1210)(1110()1225.11)(1125.11()25.11()25.11ln(,12,11102210 Lxxx作作二二次次插插值值，解解：取取節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)x10111213lnx2.302585 2.397895 2.484907 2.564949工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 在區(qū)間在區(qū)間10,1210,12上上lnx lnx 的三階導(dǎo)數(shù)的三階

21、導(dǎo)數(shù) (2/x3) (2/x3) 的上限的上限 M3=0.002,M3=0.002,可得誤差估計(jì)式可得誤差估計(jì)式注：實(shí)踐上注：實(shí)踐上,ln(11.25)=2.420368, ,ln(11.25)=2.420368, |R2(11.25)|=0.000058 |R2(11.25)|=0.000058 32(11.25)|(11.2510)(11.2511)(11.2512)|3!0.0000781MR)2-3()(yf x反插值法已知單調(diào)連續(xù)函數(shù)在如下采樣點(diǎn)例處的函數(shù)值x1.01.41.82.0yi=f(xi)-2.0-0.80.41.2使使誤誤差差盡盡可可能能小小。內(nèi)內(nèi)根根的的近近似似值值在在

22、求求方方程程,2 , 10)(*xxf 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 675. 1)0()0(01302. 003125. 03271. 0675. 1)()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()()(31*322313032103132120231021312101320113020103210131LfxyyyyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyyyyyyyyyyyyyfyLyfxxfy于于是是有有項(xiàng)項(xiàng)式式為為進(jìn)進(jìn)行行三三次次插插值值，插插值值多多的的反反函函數(shù)數(shù)對(duì)對(duì)解解：yi-2.0-0.80.41

23、.2f-1(yi)=x1.01.41.82.00 ?分析：求解如上問題等價(jià)于求解x關(guān)于y的反函數(shù)問題。工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 520015 02-4iiii(xx) l (x),l (x)x ,x ,x證明其中是關(guān)于點(diǎn)的例插值基函數(shù)。02222 22250250502502505025022502xxx (x)lx(x)lxx(x)lx (x)lx(x)xlx(x)lx (x)lxxx(x(x)lx)(xiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiiii證明工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 22222, 12-58.maxmaxa x ba x bfC a,bf(b)f(a)f(x)f(a)(xa)

24、(ba) MbaMf (x)C a,ba,b 設(shè)試證：其中。記號(hào)表示在區(qū)間上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)空間例222118122) maxmaxmaxmaxMa)(bb)a)(x(xM b)a)(x(x(f(x)Lf(x) a)(xabf(a)f(b)f(a)f(x) a)(xb-af(b)-f(a)f(a)(x)lb,f(b)(a,f(a),(bxabxabxabxa 于是的線性插值為通過兩點(diǎn)證明工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2.3 均差與牛頓插值公式均差與牛頓插值公式一、均差及其性質(zhì)一、均差及其性質(zhì) 問題的引入：拉格朗日插值多項(xiàng)式，公問題的引入：拉格朗日插值多項(xiàng)式，公式構(gòu)造緊湊，實(shí)際分析方便，但插值節(jié)

25、點(diǎn)式構(gòu)造緊湊，實(shí)際分析方便，但插值節(jié)點(diǎn)增減時(shí)全部插值及函數(shù)均要隨之變化，實(shí)增減時(shí)全部插值及函數(shù)均要隨之變化，實(shí)踐計(jì)算不方便，希望把公式表示為如下方踐計(jì)算不方便，希望把公式表示為如下方式。式。), 1 , 0()(, )()()()()(1010102010njfxPaaaxxxxaxxxxaxxaaxPjjnnnnn 滿滿足足的的插插值值條條件件為為為為待待定定系系數(shù)數(shù)。其其中中工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 。為為此此引引入入均均差差定定義義。依依次次遞遞推推可可得得到到推推得得時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)推推得得時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)時(shí)時(shí)，當(dāng)當(dāng)nnnnaaxxxxffxxffafxxxxaxxaaxPxxxxffafxxa

26、axPxxfaxPxx,)()()(,)()()(312010102022212022021022010111010110000 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1、均差定義、均差定義階階均均差差，的的為為函函數(shù)數(shù)二二階階均均差差。一一般般地地，稱稱的的關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)階階均均差差，的的一一關(guān)關(guān)于于點(diǎn)點(diǎn)為為函函數(shù)數(shù)定定義義（均均差差）：稱稱kxfxxxxxfxxxfxxxfxxxxfxxxxfxxfxxxfxxxfxxxfxfxxfkkkkkkkkkkkkkk)(, ,)(,)()()(,11102010110010001000 2、均差的根本性質(zhì)、均差的根本性質(zhì) kjkjjjjjjjkx

27、xxxxxxxxfxxfxfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的線線性性組組合合，即即階階均均差差可可表表為為函函數(shù)數(shù)值值2、均差的根本性質(zhì)、均差的根本性質(zhì) kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxfxfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的線線性性組組合合，即即階階均均差差可可表表為為函函數(shù)數(shù)值值2、均差的根本性質(zhì)、均差的根本性質(zhì) kjkjjjjjjjkxxxxxxxxxfxxfxfxfk01100)()()()(,)(,),()1(的的線線性性組組合合，即即階階均均差差可可表表為為函函數(shù)數(shù)值值工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 , ,) 1 (01201

28、0 xxxfxxxxfxxfkkk 即即對(duì)對(duì)稱稱性性。次次序序無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)，稱稱為為均均差差的的表表明明均均差差與與節(jié)節(jié)點(diǎn)點(diǎn)的的排排列列性性質(zhì)質(zhì)10100 ,(2),kkkkf xxf xxf xxxx性質(zhì)0( )0(3) ( ) , , , ,( ) , , !nnnf xa bnxxa bnff xxa bn性質(zhì)若在上存在 階導(dǎo)數(shù)，且節(jié)點(diǎn)則 階均差與導(dǎo)數(shù)關(guān)系如下：工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 xi(xi)一階均差二階均差三階均差n階均差x0 x1x2x3 xn(x0)(x1)(x2)(x3) (xn)x0,x1x1,x2x2,x3 xn-1,xnx0,x1,x2x1,x2,x3 xn-2,xn-

29、1,xnx0,x1,x2,x3 xn-3,xn-2,x2,x3 x0,x1,xn均差計(jì)算表均差計(jì)算表工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 例如例如 由函數(shù)由函數(shù)y=y=(x)(x)的函數(shù)表寫出均差表的函數(shù)表寫出均差表. .解解 均差表如下均差表如下i0123xi-2-112(xi)531721ixi(xi)一階均差二階均差三階均差0123-2-112531721-2743-1-1工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 二、牛頓插值公式二、牛頓插值公式),(,),(,),(,)()(,01010110100000nnnnxxxxxfxxxfxxxfxxxxxfxxfxxfxxxxfxfxfbax 上上一一點(diǎn)點(diǎn)，可可得

30、得看看成成根根據(jù)據(jù)均均差差定定義義，把把)()()()(,)()(,)(,)(,)()(,001010102100100 xRxNxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxfbaxnnnnnn 上上一一點(diǎn)點(diǎn)，可可得得看看成成把把式式，就就得得到到只只要要把把后后一一式式代代入入前前一一工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 （牛頓插值余項(xiàng)）（牛頓插值余項(xiàng)）稱為牛頓插值多項(xiàng)式稱為牛頓插值多項(xiàng)式（其中其中)()(,)()()(,)(,)(,)()(001010102100100nnnnnnxxxxxxxfxRxxxxxxxfxxxxxxxfxxxxfxfxN 值值。計(jì)計(jì)算算令令近近似似；

31、用用誤誤差差計(jì)計(jì)算算的的兩兩種種方方式式,)()()2(,)1(0100nnnnxxxfxNxfxxfxxxf 工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 解 由差商表知x0,x1=-2,x0,x1,x2=3, x0,x1,x2,x3=-1,于是有例2-6 對(duì)例如中的 (x),求節(jié)點(diǎn)為 x0,x1 的一次插值x0,x1,x2 的 二次插值和 x0,x1,x2,x3 的三次插多項(xiàng)式. ixi(xi)一階均差二階均差三階均差0123-2-112531721-2743-1-1工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 例2-7 給出 f(x) 的函數(shù)表，求4次牛頓插值多項(xiàng)式，并計(jì)算f(0.596) 的近似值。xi(xi)一階均差二

32、階均差三階均差四階均差五階均差0.400.550.650.800.901.050.410750.578150.696750.888111.026521.253821.116001.186001.275731.384101.515330.280000.358930.433480.524930.197330.213000.228630.031340.03126-0.00012工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 63192. 0)596. 0()596. 0()8 . 0)(65. 0)(55. 0)(4 . 0(03134. 0)65. 0)(55. 0)(4 . 0(19733. 0)55. 0)(4

33、. 0(28. 0)4 . 0(116. 141075. 0)(44NfxxxxxxxxxxxN于于是是95501063. 3)596. 0(,xxfx)(R4截?cái)嗾`差截?cái)嗾`差工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2.4 埃爾米特插值埃爾米特插值 不少實(shí)踐的插值問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上不少實(shí)踐的插值問題不但要求在節(jié)點(diǎn)上函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相函數(shù)值相等，而且還要求對(duì)應(yīng)的導(dǎo)數(shù)值也相等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要等，甚至要求高階導(dǎo)數(shù)也相等，滿足這種要求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特求的插值多項(xiàng)式就是埃爾米特Hermite插值多項(xiàng)式。插值多項(xiàng)式。 y=L10(x)-3試用數(shù)據(jù)表建立不超過 次的埃爾

34、米特插值例2 8多項(xiàng)式。x012(x)129(x)030工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 123)1)(0(3)0(11)1)(0(2, 1, 0)0(1, 0)0()(22 xxxxxxxfxffxN件件的的二二次次插插值值多多項(xiàng)項(xiàng)式式為為以以已已知知函函數(shù)數(shù)值值為為插插值值條條（待待定定系系數(shù)數(shù)法法）解解法法一一1)2)(1)(0()()(1,34,3)1()1()2)(1)(0()()(323323 xxxxxNxHkkfHxxxkxNxH。進(jìn)進(jìn)而而有有求求得得即即令令設(shè)設(shè)待待求求插插值值函函數(shù)數(shù)為為工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 1)1)(1)(0(1)1)(0(2)0(11)1)(1)(0(2

35、, 1, 1,0)1)(0(1, 1,0)0(1,0)0()(33 xxxxxxxxxxfxxfxffxHxi(xi)一階均差二階均差三階均差01121229137241解法二用重節(jié)點(diǎn)的均差表建立埃爾米特多項(xiàng)式解法二用重節(jié)點(diǎn)的均差表建立埃爾米特多項(xiàng)式工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2.5 分段低次插值分段低次插值一、高次插值的病態(tài)性質(zhì)一、高次插值的病態(tài)性質(zhì) 普通總以為普通總以為L(zhǎng)n(x)的次數(shù)的次數(shù)n越高逼近越高逼近f(x)的的精度越好，但實(shí)踐上并非如此。這是由于精度越好，但實(shí)踐上并非如此。這是由于對(duì)恣意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)對(duì)恣意的插值節(jié)點(diǎn)，當(dāng)n時(shí)，時(shí)， Ln(x)不不一定收斂于一定收斂于f(x)。20

36、世紀(jì)初龍格世紀(jì)初龍格Runge就給了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式就給了一個(gè)等距節(jié)點(diǎn)插值多項(xiàng)式Ln(x)不一不一定收斂于定收斂于f(x)的例子。的例子。 y=L10(x) , 次插值插值多10的0)110關(guān)于節(jié)點(diǎn)作, 2010101上取等距節(jié)取11在區(qū)間,251對(duì)1012(x)L, ,(i=xf(x).h=, ,+ih, i=-x,-)x+f(x)=(ii-工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 x1y=L10(x)o-10.5y1.51龍格景象龍格景象工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 為分段線性插值。稱上是線性函數(shù)。在每個(gè)小區(qū)間滿足：求一折線記，的函數(shù)值，上設(shè)已知節(jié)點(diǎn)(x)I,xx(x)I,n);, ,(kf(x)I

37、Ca,b(x)I(x)Ih,hxx hfffbxxxahkkhkhhhkkkkknn111010) 3(10)2(;) 1 (,max, 二、分段線性插值分段線性插值就是經(jīng)過插值點(diǎn)用折線段銜接起來(lái)逼近f(x).110111111,n-, kxx, xfxxxxfxxxx(x)I,xx(x)Ikkkkkkkkkkhkkh上可表示為在每個(gè)小區(qū)間由定義知工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 nixxxyhxxyhxxxSiiiiiiii, 2 , 1,)(1111分段線性插值分段線性插值三、分段拋物插值三、分段拋物插值三、分段拋物插值三、分段拋物插值nixxxyhxxxxyhxxxxyhxxxxxSiiiii

38、iiiiiiiii, 2 , 1,21)(41)(21)()(12121211222121工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 2.6 三次樣條插值三次樣條插值 樣條曲線實(shí)踐上是由分段三次曲線并接樣條曲線實(shí)踐上是由分段三次曲線并接而成，在銜接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)延而成，在銜接點(diǎn)即樣點(diǎn)上要求二階導(dǎo)數(shù)延續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這續(xù)，從數(shù)學(xué)上加以概括就得到數(shù)學(xué)樣條這一概念。下面我們討論最常用的三次樣條一概念。下面我們討論最常用的三次樣條函數(shù)。函數(shù)。一、三次樣條函數(shù)一、三次樣條函數(shù) y=L10(x)為三次樣條插值函數(shù)。則稱上給定函數(shù)值在節(jié)點(diǎn)上的三次樣條函數(shù)。若是節(jié)點(diǎn)是給定節(jié)點(diǎn)，則稱項(xiàng)式，其中上是三次

39、多，且在每個(gè)小區(qū)間若函數(shù)定義S(x),n,j,y)S(x成立,n),)(jf(xyxx,xxS(x)bxxxa,xxa,bCS(x)jjjjjnnjj1010 , 101012每個(gè)小區(qū)間上要確定4個(gè)待定系數(shù)，共有n個(gè)小區(qū)間，故應(yīng)確定4n個(gè)參數(shù)。工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 y=L10(x) (ii) (i) xbx,aba, )2() 3(10 1 (2)000000 121 33100n00 f)(xS, f)(xSf)(xS, f)(xS,n, ,j,y) S(xn) S(x)-(xS) (xS)-(xS ) S(x)-S(x),n-,(jxa,bS(x)nnnnjjjjjjjjj 即兩端的

40、二階導(dǎo)數(shù)已知，即已知兩端的一階導(dǎo)數(shù)值見的邊界條件如下：邊界條件），常上各加一個(gè)條件（稱為的端點(diǎn)在區(qū)間個(gè)邊界條件個(gè)）插值條件（滿足連續(xù)性條件處應(yīng)點(diǎn)上二階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，在節(jié)在根據(jù)個(gè)）建立方程（確定待定系數(shù)的方法：工科研究生公共課程數(shù)學(xué)系列 二、三次樣條插值函數(shù)的建立 y=L10(x)是未知的。這里三次樣條表達(dá)式可定出積分常數(shù)，得積分兩次并利用對(duì)為上的線性函數(shù)，可表示在表達(dá)的二階導(dǎo)數(shù)值下面我們利用,n),(jM,n-, j, hxx)hM(y hxx)hM(yh)x(xMhx)(xMS(x)S(x)S(x(x)ShxxMhxxM(x)S,xx(x)SS(x),n),(jM)(xSS(x)jjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj