微分概念及其運算

1、§2 微分概念及其運算設(shè)在點可導(dǎo)，即下面的極限存在：因此，其中（），于是 ，（函數(shù)的增量=（的線性函數(shù)）+）物理意義：如果把視為時間時所走過的路程，時間內(nèi)所走過的路程=以勻速運動所走過的路程+因為加速度的作用而產(chǎn)生的附加路程 定義4.2 設(shè)在有定義，如果對給定的，有，()其中與無關(guān)，則稱在點可微，并稱為函數(shù)在點的微分，記為 或 在點可導(dǎo)在點可微由前面的討論得微分具有兩大重要特征：1) 微分是自變量的增量的線性函數(shù)；2) 微分與函數(shù)增量之差，是比高階的無窮小量.因此，稱微分為增量的線性主要部分。事實上當時1即與是等價無窮小量。注1 系數(shù)是依賴于的，它是的函數(shù)，注2 微分dy既與有關(guān)，又

2、與有關(guān)，而和是兩個互相獨立的變量，但它對的依賴是線性的例1 自由落體運動中，即可表為的線性函數(shù)和的高階無窮小量之和，由微分定義知，在t點可微，且微分它等于以勻速運動，在時間內(nèi)走過的路程例2 圓面積，一可表示為的線性函數(shù)與的高階無窮小之和，故函數(shù)在可微，且微分從幾何上看，微分可以這樣理解：是圓周長，當半徑變大即圓面積膨脹時，設(shè)想圓周長保持不變，半徑增大所引起的圓面積變化就是。這就是圓面積的微分，它與成正比，與圓面積真正的變化之差是較高階的無窮小，當然圓不可能保持周長不變而膨脹，這只是一種設(shè)想而已，但當很小時，兩者之差就更小了。例3 設(shè)正方形的邊長為，則面積為 即可表為的線性函數(shù)和的高階無窮小量之

3、和，故在點可微，且微分可微與可導(dǎo)的關(guān)系：定理4.5 函數(shù)在點可微的充要條件是：函數(shù)在點可導(dǎo)這時微分中的系數(shù)證明 充分性前面已證。必要性設(shè)在點可微，由定義知因此 故在點可導(dǎo)，且對一元函數(shù)而言，可微與可導(dǎo)是等價的，且有關(guān)系式 規(guī)定：自變量的微分等于自變量的改變量，這樣微分公式又可寫成于是有，在定義導(dǎo)數(shù)（微商）時，符號是作為一個整體，而現(xiàn)在微商可以看作是微分之商也就是說，微商的確是微分之商微分的幾何意義：微分是曲線在處的切線對應(yīng)的改變量用微分近似地代替改變量，從幾何上看就是用切線的改變量近似地代替函數(shù)的改變量（以直代曲）由導(dǎo)數(shù)公式可得到基本初等函數(shù)的微分公式；等等同樣借助于微商的運算法則，立即可得下面的微分運算法則(1) 四則運算法則(2) 復(fù)合函數(shù)的微分設(shè)，則復(fù)合函數(shù)的微分為把與相比較，雖然是自變量，是中間變量，但兩者形式上是一樣的，這一性質(zhì)稱為一階微分形式的不變性。一階微分形式不變性說明，可以在微分等式中代入變量例如，則 代入變量得 這種“代入”運算，在微商公式中就不可以做例如在中代入變量，得，顯然結(jié)果是錯誤的例 設(shè) ，利用微分運算法則求函數(shù)的微分。解 利用微分近似計算 用微