線性代數(shù) 經(jīng)管類 第一章 行列式

1、線性代數(shù)線性代數(shù)abcda0100b0001c1000d0010abcda0111b1011c1101d1110A+A2+A3=A=設(shè)有四個城市 a,b,c,d, 其城市之間存在航班ab, bd, ca, dc,問至多經(jīng)過兩次中轉(zhuǎn)能否從一個城市到達(dá)其他城市？第一章第一章 行列式行列式n內(nèi)容提要內(nèi)容提要1 1 二階與三階行列式二階與三階行列式2 2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)3 3 n 階行列式的定義階行列式的定義4 4 對換對換5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)6 6 行列式按行（列）展開行列式按行（列）展開7 7 克拉默法則克拉默法則行列式的概念行列式的概念. .行列式的行列式的性質(zhì)及計

2、算性質(zhì)及計算. . 線性方程組的求解線性方程組的求解. . 行列式是線性代行列式是線性代數(shù)的一種工具！數(shù)的一種工具！學(xué)習(xí)行列式主要學(xué)習(xí)行列式主要就是要能計算行列就是要能計算行列式的值式的值. .1 二階與三階行列式二階與三階行列式我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探我們從最簡單的二元線性方程組出發(fā)，探求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式求其求解公式，并設(shè)法化簡此公式. .一、二元線性方程組與二階行列式一、二元線性方程組與二階行列式二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 由消元法，得由消元法，得211211221122211)(abbaxaaaa 212

3、221121122211)(baabxaaaa 當(dāng)當(dāng) 時，該方程組有唯一解時，該方程組有唯一解 021122211 aaaa211222112122211aaaabaabx 211222112112112aaaaabbax 求解公式為求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 請觀察，此公式有何特點？請觀察，此公式有何特點？分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定分母相同，由方程組的四個系數(shù)確定.分子、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再分子、

4、分母都是四個數(shù)分成兩對相乘再 相減而得相減而得.其求解公式為其求解公式為11112212112222a xa xba xa xb 122122111221221112121211221221b aa bxa aa aa bb axa aa a 二元線性方程組二元線性方程組 我們引進(jìn)新的符號來表示我們引進(jìn)新的符號來表示“四個四個數(shù)分成兩對相乘再相減數(shù)分成兩對相乘再相減”. .1112112212212122aaDa aa aaa11122122aaaa記號記號 11122122aaaa數(shù)表數(shù)表 表達(dá)式表達(dá)式 稱為由該稱為由該數(shù)表所確定的數(shù)表所確定的二階行列式二階行列式，即，即11221221a

5、aa a 其中，其中， 稱為稱為元素元素. .(1,2;1,2)ijaiji 為為行標(biāo)行標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第i 行；行； j 為為列標(biāo)列標(biāo)，表明元素位于第，表明元素位于第j 列列. .原則：橫行豎列原則：橫行豎列二階行列式的計算二階行列式的計算 11122122aaaa11221221a aa a主對角線主對角線 副對角線副對角線 即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積即：主對角線上兩元素之積副對角線上兩元素之積 對角線法則對角線法則 二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222

6、bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 例例1 求解二元線性方程組求解二元線性方程組 1212232121xxxx解解 因為因為 1223 D07)4(3 14)2(12112121 D21243121232 D所以所以 11142,7DxD222137DxD 類似地，討論三元線性方程組類似地，討論三元線性方程組333323213123232221211313

7、212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa二、三階行列式二、三階行列式定義定義 設(shè)有設(shè)有9個數(shù)排成個數(shù)排成3行行3列的數(shù)表列的數(shù)表原則：橫行豎列原則：橫行豎列引進(jìn)記號引進(jìn)記號稱為稱為三階行列式三階行列式. .111213212223313233aaaaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a111213212223313233aaaaaaaaa主對角線主對角線 副對角線副對角線 二階行列式的對角線法則二階行列式的對角線法則并不適用！并不適用！三階行列式的計算三階行列式的計算 對角

8、線法則對角線法則 111213212223313233aaaDaaaaaa 132132a a a 112233a a a 122331a a a 132231a a a 122133a a a 112332a a a 注意：注意：對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. . 實線上的三個元素的乘積冠正號，實線上的三個元素的乘積冠正號， 虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號虛線上的三個元素的乘積冠負(fù)號. .12-4-221-34-2D 例例1 計算行列式計算行列式 解解按對角線法則，有按對角線法則，有 D4)2()4()3(12)2(21 )3(2)4()2()2(241

9、1 24843264 .14 現(xiàn)在分別用方程組的常數(shù)項來代替現(xiàn)在分別用方程組的常數(shù)項來代替D的第的第1列、第列、第2列、第列、第3列得到：列得到：3332323222131211aabaabaabD 3333123221131112abaabaabaD 3323122221112113baabaabaaD 按照三階行列式的規(guī)定，可以發(fā)現(xiàn)三者恰為消元法得到按照三階行列式的規(guī)定，可以發(fā)現(xiàn)三者恰為消元法得到的的 分子，分子，123,x x x故當(dāng)故當(dāng)D0時，三個未知量的線性方程組有簡潔的公式解：時，三個未知量的線性方程組有簡潔的公式解：DDxDDxDDx332211,3333232131232322

10、21211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa例例2：求解線性方程組122313,;xxaxxbxxc解：解：1100111 120101D 1101101aDbacbc 2100111aDbbacc 3110110aDbcbac111(),2DxacbD所以，所以，221(),2DxbacD31().2xcba2 全排列及其逆序數(shù)全排列及其逆序數(shù)問題問題 把把 n 個不同的元素排成一列，共有多少種不同的個不同的元素排成一列，共有多少種不同的 排法？排法？定義定義 把把 n 個不同的元素排成一列，叫做這個不同的元素排成一列，叫做這 n 個元素個元素的的全排列全排列. n

11、 個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用個不同元素的所有排列的種數(shù)，通常用Pn 表示表示.(1) (2)3 2 1!nPnnnn 顯然顯然 即即n 個不同的元素一共有個不同的元素一共有n! 種不同的排法種不同的排法.所有所有6種不同的排法中，只有一種排法種不同的排法中，只有一種排法（123）中的數(shù)字是按從小到大的自然）中的數(shù)字是按從小到大的自然順序排列的，而其他排列中都有大的順序排列的，而其他排列中都有大的數(shù)排在小的數(shù)之前數(shù)排在小的數(shù)之前. .因此大部分的排列都不是因此大部分的排列都不是“順序順序”，而是而是“逆序逆序”. . 3個不同的元素一共有個不同的元素一共有3! =6種不同的排法種不同的排

12、法123，132，213，231，312，321對于對于n 個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的元素，可規(guī)定各元素之間的標(biāo)準(zhǔn)次序.n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序個不同的自然數(shù)，規(guī)定從小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義定義 當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，當(dāng)某兩個元素的先后次序與標(biāo)準(zhǔn)次序不同時，就就稱這兩個元素組成一個稱這兩個元素組成一個逆序逆序.例如例如 在排列在排列32514中，中，3 2 5 1 4逆序逆序 逆序逆序 逆序逆序 思考題：思考題：還能找到其它逆序嗎？還能找到其它逆序嗎？答：答：2和和1，3和和1也構(gòu)成逆序也構(gòu)成逆序.定義定義 排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列

13、的排列中所有逆序的總數(shù)稱為此排列的逆序數(shù)逆序數(shù).排列排列 的逆序數(shù)通常記為的逆序數(shù)通常記為 . .1 2ni ii1 2()nt i ii奇排列：奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列逆序數(shù)為奇數(shù)的排列. .偶排列：偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列逆序數(shù)為偶數(shù)的排列. .思考題：思考題：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列是奇排列還是偶排列？ 答：答：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：符合標(biāo)準(zhǔn)次序的排列（例如：123）的逆序數(shù)）的逆序數(shù)等于零，因而是偶排列等于零，因而是偶排列. .計算排列的逆序數(shù)的方法計算排列的逆序數(shù)的方法則此排列的逆序數(shù)為則此排列的逆序數(shù)為12ntttt設(shè)設(shè) 是是 1, 2, ,

14、 n 這這n 個自然數(shù)的任一排列，個自然數(shù)的任一排列，并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序并規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序. 先看有多少個比先看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ；再看有多少個比再看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;最后看有多少個比最后看有多少個比 大的數(shù)排在大的數(shù)排在 前面，記為前面，記為 ;12np pp1p1p1t2p2p2tnpnpnt例例1：求排列求排列 32514 的逆序數(shù)的逆序數(shù).解：解：(32514)010315t 練習(xí)：練習(xí)：求排列求排列 453162 的逆序數(shù)的逆序數(shù).9t 解：解：3 n 階行列式的定義階行列式的定義通過引進(jìn)二階行

15、列式和三階行列式，前面給出了通過引進(jìn)二階行列式和三階行列式，前面給出了2個未知量和個未知量和3個未知量的線性方程組簡潔的公式解，個未知量的線性方程組簡潔的公式解，對于含有對于含有n個未知量的線個未知量的線性方程組性方程組,11 112211211222221 122nnnnnnnnnna xa xa xbaxa xa xba xa xa xb從形式上，從形式上，n階行列式階行列式肯定有肯定有：nnnnnnaaaaaaaaaD212222111211現(xiàn)在的問題現(xiàn)在的問題就是如何定就是如何定義義n n階行列式階行列式我們想當(dāng)然的會考慮，通過定義一般的我們想當(dāng)然的會考慮，通過定義一般的n階行列式，來

16、給出它的公式解。階行列式，來給出它的公式解。二階、三階行列式二階、三階行列式都有對角線法則，都有對角線法則，是不是是不是n n階行列式階行列式也有呢也有呢注意：四階以上行列式?jīng)]有對角線法則。注意：四階以上行列式?jīng)]有對角線法則。一、概念的引入一、概念的引入111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a規(guī)律：規(guī)律：1.1.三階行列式共有三階行列式共有6項，即項，即3!項項2.2.每一項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積每一項都是位于不同行不同列的三個元素

17、的乘積3.3.每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1、2、3的某個排列的某個排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取負(fù)號負(fù)號. . 123123pppaaa123p p p123p p p123p p p所以，三階行列式可以寫成所以，三階行列式可以寫成 123123123()123( 1)t p p ppppp p paaa 其中其中 表示對表示對1、2、3的所有排列求和的所有排列求和. 123p p p 二階行列式有類似規(guī)律二階行列式有類似規(guī)律.下面將行列式推廣到

18、一般的情形下面將行列式推廣到一般的情形. 111213212223313233aaaDaaaaaa 112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a二、二、n 階行列式的定義階行列式的定義1. n 階行列式共有階行列式共有 n! 項項2.2.每一項都是位于不同行不同列的每一項都是位于不同行不同列的 n 個元素的乘積個元素的乘積3.3.每一項可以寫成每一項可以寫成 （正負(fù)號除外），其中（正負(fù)號除外），其中 是是1, 2, , n 的某個排列的某個排列. .4.4.當(dāng)當(dāng) 是是偶排列偶排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取

19、正號正號； 當(dāng)當(dāng) 是是奇排列奇排列時，對應(yīng)的項取時，對應(yīng)的項取負(fù)號負(fù)號. . 1212nppnpaaa12np pp12np pp12np pp1212121112121222()1212( 1)nnnnnt p ppppnpp ppnnnnaaaaaaDaaaaaa 簡記作簡記作 ，其中其中 為行列式為行列式D的的( (i, j) )元元det()ijaija思考題：思考題： 成立成立嗎？嗎？答：答：符號符號 可以有兩種理解：可以有兩種理解：若理解成絕對值，則若理解成絕對值，則 ；若理解成一階行列式，則若理解成一階行列式，則 . .11 1 11 11 注意：注意：當(dāng)當(dāng)n = 1時，一階行列

20、式時，一階行列式|a| = a，注意不要與，注意不要與絕對值的記號相混淆絕對值的記號相混淆. 例如：一階行列式例如：一階行列式 . 11 111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 例：例：寫出四階行列式中含有因子寫出四階行列式中含有因子 的項的項. . 2311aa例：例：計算行列式計算行列式解：解：11233244a a a a 11233442.a a a a和和142323241000000000000aaDaa 112213344000000000000aaDaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 解：解：

21、112213344000000000000aaDaa 142323241000000000000aaDaa 11223344a a a a (4321)0123t 3 46.2 其中其中 41322314t(4321)1-aaaa）（41322314aaaa111213142223243333444000000aaaaaaaDaaa 112122432323341424344000000aaaDaaaaaaa 11223344a a a a 11223344a a a a 12,11nnnaaDa 1122nnaaDa 四個結(jié)論：四個結(jié)論：(1) (1) 對角行列式對角行列式 nnaaa221

22、1 (2) (2) (1)212,11( 1)n nnnna aa nnnnaaaaaaD21222111000 nnnnaaaaaaD00022211211 (3) (3) 上三角形行列式上三角形行列式 （主對角線下側(cè)元素都為（主對角線下側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 (4) (4) 下三角形行列式下三角形行列式 （主對角線上側(cè)元素都為（主對角線上側(cè)元素都為0 0）nnaaa2211 思考題思考題已知已知 ，求，求 的系數(shù)的系數(shù). 1211123111211xxxxxf 3x故故 的系數(shù)為的系數(shù)為1.解解含含 的項有兩項，即的項有兩項，即3x 1211123111211xxxxxf 對

23、應(yīng)于對應(yīng)于 124311223443( 1)ta a a a (1234)11223344( 1)ta a a a (1234)311223344( 1),ta a a ax 1243311223443( 1)2ta a a ax 3x4 對換對換111lmnaabbcb ca一、對換的定義一、對換的定義定義定義 在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余的元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換對換將相鄰兩個元素對換，叫做將相鄰兩個元素對換，叫做相鄰對換相鄰對換例如例如 11lma baabb11lmb aaabb111lmnaab

24、bca cb備注備注1.1. 相鄰對換是對換的特殊情形相鄰對換是對換的特殊情形. . 2.2. 一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn)一般的對換可以通過一系列的相鄰對換來實現(xiàn). . 3.3. 如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了如果連續(xù)施行兩次相同的對換，那么排列就還原了. . m 次相鄰對換次相鄰對換 111lmnaabbcb ca111 lmnaabbcbca111 lmnaabbca cbm+1次相鄰對換次相鄰對換 m 次相鄰對換次相鄰對換 111 lmnaabbcacb111 lmnaabbcb cam+1次相鄰對換次相鄰對換 二、對換與排列奇偶性的關(guān)系二、對換與排列奇偶性的

25、關(guān)系定理定理1 1對換改變排列的奇偶性對換改變排列的奇偶性. . 證明證明先考慮相鄰對換的情形先考慮相鄰對換的情形 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 注意到除注意到除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變外，其它元素的逆序數(shù)不改變. .,a b11 lma baabb11 lmb aaabb11lmabaabbttttttt 11lmbaaabbrrtttrt 當(dāng)當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 當(dāng)

26、當(dāng) 時，時， ， ， . . ab 因此相鄰對換改變排列的奇偶性因此相鄰對換改變排列的奇偶性. . 1aartbbrt aart 1bbrt1rt 1rt 既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么既然相鄰對換改變排列的奇偶性，那么 2m+1次相鄰對換次相鄰對換因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變因此，一個排列中的任意兩個元素對換，排列的奇偶性改變. .111lmnaabbcb ca111 lmnaabbca cb推論推論 奇排列奇排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)奇數(shù)， 偶排列偶排列變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為變成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù)偶數(shù). . 由定理由定理1

27、1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列數(shù)，而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列( (逆序數(shù)為零逆序數(shù)為零) )，因此可知推論，因此可知推論成立成立. .證明證明 定理定理3 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 定理定理2 n 階行列式也可定義為階行列式也可定義為 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji ji iij jjDaaa 1 12122121122,nnnni ji ji jqpqnpnpqaaaaaa

28、aaa 因為數(shù)的乘法是可以交換的，因為數(shù)的乘法是可以交換的，所以所以 n 個元素相乘的次個元素相乘的次序是可以任意的，即序是可以任意的，即 每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列每作一次交換，元素的行標(biāo)與列標(biāo)所成的排列 與與 都同時作一次對換，都同時作一次對換，即即 與與 同同時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性時改變奇偶性，但是這兩個排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變不變. . 1 2ni ii12nj jj12nj jj1 2ni ii于是于是 與與 同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù)同時為奇數(shù)或同時為偶數(shù). . 即即 是偶數(shù)是偶數(shù). . 因為對換改變排列的奇偶性，因為對換改變排列的奇偶性，

29、是奇數(shù)，是奇數(shù)， 也是奇數(shù)也是奇數(shù). . 設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)對換前行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 ，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為，列標(biāo)排列的逆序數(shù)為 . . st s t所以所以 是偶數(shù)，是偶數(shù)， ss tt ()()sstt()()stst()st ()st 因此，交換因此，交換 中任意兩個元素的位置后，其中任意兩個元素的位置后，其行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變行標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和的奇偶性不變. .1 12 2,n ni ji ji jaaa設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為設(shè)經(jīng)過一次對換后行標(biāo)排列的逆序數(shù)為 列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為1 21 21212()()(12)

30、()()( 1)( 1) ( 1)nnnnt i iit j jjtnt p ppt p pp 經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此經(jīng)過一次對換是如此，經(jīng)過多次對換還是如此. . 所以，所以，在一系列對換之后有在一系列對換之后有例例1 試判斷試判斷 和和142331425665a a a a a a324314512566a a a a a a 是否都是六階行列式中的項是否都是六階行列式中的項.解解下標(biāo)的逆序數(shù)為下標(biāo)的逆序數(shù)為 4312650122016t 142331425665a a a a a a所以所以 是六階行列式中的項是六階行列式中的項.142331425665a a a a

31、a a 行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和行標(biāo)和列標(biāo)的逆序數(shù)之和(341526)(234156)538tt324314512566a a a a a a 所以所以 不是六階行列式中的項不是六階行列式中的項.324314512566a a a a a a 1. 對換改變排列奇偶性對換改變排列奇偶性2. 行列式的三種表示方法行列式的三種表示方法三、小結(jié)三、小結(jié)121212()12( 1)nnnt p ppppnpp ppDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppppp np ppDaaa 1 21 21 12 21 21 2()()( 1)nnn nnnt i iit j jji ji ji j

32、i iij jjDaaa 5 5 行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)一、行列式的性質(zhì)111212212212, nnnnnnaaaaaaaaDa 行列式行列式 稱為行列式稱為行列式 的的轉(zhuǎn)置行列式轉(zhuǎn)置行列式. . TDD若記若記 ，則，則 .det(), det()TijijDaDbijjiba 記記性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等, ,即即 .TDD 212211121212nnnnTnnaaaaaaDaaa 121212()12( 1)nnnt p ppTppnpp ppDbbb 性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等. .證

33、明證明根據(jù)行列式的定義，有根據(jù)行列式的定義，有若記若記 ，則，則det(), det()TijijDaDb ,1,2,ijijbai jn1121221()2( 1)nnnppt p ppp ppp naaa D 行列式中行與列具有同等的地位行列式中行與列具有同等的地位, ,行列式的性質(zhì)凡是對行行列式的性質(zhì)凡是對行成立的對列也同樣成立成立的對列也同樣成立. .性質(zhì)性質(zhì)2 互換行列式的兩行（列）互換行列式的兩行（列）, ,行列式變號行列式變號. .驗證驗證于是于是175662358175358662196 196 175175662358358662 推論推論 如果行列式有兩行（列）完全相同，則

34、此行列式為零如果行列式有兩行（列）完全相同，則此行列式為零. .證明證明互換相同的兩行，有互換相同的兩行，有 ，所以，所以 . DD 0D 備注：交換第備注：交換第i行（列）和第行（列）和第j行（列），記作行（列），記作 . .()ijijrr cc性質(zhì)性質(zhì)3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一個倍數(shù)倍數(shù) ，等于用數(shù)，等于用數(shù) 乘以此行列式乘以此行列式. .驗證驗證kk111213212223313233,aaaDaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 根據(jù)三階行列式的對角線法則，有根據(jù)三階行列式的對角線法則，有1

35、112131212223313233kkaaaDaaaaaak 備注：第備注：第i行（列）乘以行（列）乘以 ，記作，記作 . .k()iirk ck1112131212223313233kkaaaDaaaaaak 112233122331132132132231122133112332()()()()()()aaaaaaaaaaaaaaakkkkkkaaa112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aaaka Dk 推論推論 行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提行列式的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到行列

36、式符號的外面到行列式符號的外面?zhèn)渥ⅲ旱趥渥ⅲ旱趇行（列）提出公因子行（列）提出公因子 ，記作，記作 . .k()iirk ck212223242122232431323334111213141112311121314111213213333431141400aaaaakkkakaaaaaaaaaaaaaaaakakaaaaaaaaa驗證驗證我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)4 行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列行列式中如果有兩行（列）元素成比例，則此行列式為零式為零性質(zhì)性質(zhì)5 若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和若行列式的某一列（行）的元素都是兩數(shù)之和, ,例

37、如例如：121222221113212331332323aaDaaabababaa 則則111311132123212331331212222232331323aaaaDaaaabababaaaaa121222221113212331332323aaDaaabababaa 221231312322()13( 1)()ppt p p pppp p pabaa 123123131312322123()()132213( 1)( 1)t p p pt p p pppppp p pp p pppaaaaba111311132123212331333131212222223332aaabaabaaaaa

38、aabaaa驗證驗證我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一個倍數(shù)然后加到另一列然后加到另一列( (行行) )對應(yīng)的元素上去，行列式不變對應(yīng)的元素上去，行列式不變則則1.DD 驗證驗證122211132123313323,aaDaaaaaaa 我們以我們以三三階行列式為例階行列式為例. . 記記 1112131212213233323313233aaaDaaakakakaaaa 備注：以數(shù)備注：以數(shù) 乘第乘第j行（列）加到第行（列）加到第i行（列）上，記作行（列）上，記作k().ijijrkr

39、 ckc例例2101044614753124025973313211 D二、應(yīng)用舉例二、應(yīng)用舉例計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為計算行列式常用方法：利用運算把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值上三角形行列式，從而算得行列式的值ijrkr 3 2101044614753124025973313211 D3 解解2101044614753124022010013211312 rr2101044614753140202010013211 2101044614753124022010013211312 rr 2 3 122rr 4 42rr 222002010014020351201

40、3211 2220035120140202010013211 144rr 133rr 2220001000211003512013211 34rr 2220020100211003512013211 23rr 2 6000001000211003512013211 612 454rr .12 6400001000211003512013211 352rr 4 例例2 計算計算 階行列式階行列式nabbbbabbbbabbbbaD 解解 abbbnababbnabbabnabbbbna1111 D將第將第 列都加到第一列得列都加到第一列得n, 3 , 2 11(1)11bbbabbanbbabb

41、ba 1(1)bbbabanbabab 00 1(1) ().nanb a b 例例3 設(shè)設(shè) 1111111111110kkkkknnnknnnaaaaDccbbccbb ,)det(11111kkkkijaaaaaD ,)det(11112nnnnijbbbbbD .21DDD 證明證明 證明證明1111110;kkkkkpDpppp對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 1Dijrkr 1D設(shè)為設(shè)為對對 作運算作運算 ，把，把 化為下三角形行列式化為下三角形行列式 2Dijckc 2D1121110.nnnnkqDqqqp設(shè)為設(shè)為對對 D 的前的前 k 行作運算

42、行作運算 ，再對后，再對后 n 列作運算列作運算 ，把把 D 化為下三角形行列式化為下三角形行列式,01111111111nnnnknkkkkqqqccccpppD 1111kknnDppqq12.D D ijrkr ijckc 故故 ( (行列式中行與列具有同行列式中行與列具有同等的地位等的地位, , 凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成凡是對行成立的性質(zhì)對列也同樣成立立).). 計算行列式常用方法：計算行列式常用方法：(1)(1)利用定義利用定義;(2);(2)利利用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得用性質(zhì)把行列式化為上三角形行列式，從而算得行列式的值行列式的值三、小結(jié)三、小結(jié)行列式的行列

43、式的6 6個性質(zhì)個性質(zhì)計算計算4 4階行列式階行列式 思考題思考題 11111111111122222222ddddccccbbbbaaaaD 1abcd 已已知知思考題解答思考題解答解解111111112222dddcccbbbaaaD 1111111111112222dddcccbbbaaa dddcccbbbaaaabcd1111111111112222 dddcccbbbaaa111111111111122223 . 0 6 行列式按行(列)展開對角線法則只適用于二階與三階行列式對角線法則只適用于二階與三階行列式. .本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示本節(jié)主要考慮如何用低階行列式來表示

44、高階行列式高階行列式. .一、引言122331111221221333332132132231112332a a aa a aaa a aaaaa aa aa 111213212223313233aaaaaaaaa 122331321311222322331213332123aa aaaaaa aaaaaaa 222321232123111213323331333133aaaaaaaaaaaaaaa結(jié)論結(jié)論 三階行列式可以用二階行列式表示三階行列式可以用二階行列式表示. .思考題思考題 任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？任意一個行列式是否都可以用較低階的行列式表示？例如例如 111

45、21314212223243132333441424344aaaaaaaaDaaaaaaaa 11121423313234414244aaaMaaaaaa 2 32323231AMM 把把 稱為元素稱為元素 的的代數(shù)余子式代數(shù)余子式 1ijijijAM ija在在n 階行列式中，把元素階行列式中，把元素 所在的第所在的第 行和第行和第 列劃后，列劃后，留下來的留下來的n1階行列式叫做元素階行列式叫做元素 的的余子式余子式，記作，記作 . ijijMijaija結(jié)論結(jié)論 因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以因為行標(biāo)和列標(biāo)可唯一標(biāo)識行列式的元素，所以行列行列式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子

46、式和一個代數(shù)余子式式中每一個元素都分別對應(yīng)著一個余子式和一個代數(shù)余子式. .引理引理 一個一個n 階行列式，如果其中第階行列式，如果其中第 行所有元素除行所有元素除 外都為零，那么這行列式等于外都為零，那么這行列式等于 與它的代數(shù)余子式的乘與它的代數(shù)余子式的乘積，即積，即 ijijDa A 11121314212223243341424344000aaaaaaaaDaaaaa 1112143 3332122244142441aaaaaaaaaa 例如例如 3 3333333331a Aa M 11121433212224414244aaaaaaaaaa iijaija11212221200nn

47、nnnaaaaDaaa 即有即有1111.Da M 又又 1 11111111,AMM 從而從而1111.Da A 下面再討論一般情形下面再討論一般情形.分析分析 當(dāng)當(dāng) 位于第位于第1 1行第行第1 1列時列時, ,ija（根據(jù)前一節(jié)例（根據(jù)前一節(jié)例3的結(jié)論）的結(jié)論）11121314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa我們以我們以4階行列式為例階行列式為例. . 2334111213142122232441424344000( 1)rraaaaaaaaaaaaa12111213142122232441424334442000( 1)rraaaaaaaaaaaaa

48、1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？13rr231234234414243444142434411121212223314111213142421222324000( 1)000rrrraaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaa思考題：思考題：能否以能否以 代替上述兩次行變換？代替上述兩次行變換？133434411112142314111434441421222324212223221323414444000( 1)000rraaaaaaaaaaa

49、aaaaaaaaaaaaaaa答：答：不能不能. .13rr1112131421222324414243434(3 14)000( 1)aaaaaaaaaaaaa 342312141112132421222344434(3 1)331424000( 1)( 1)ccccccaaaaaaaaaaaaa 14111234(13 1)32421222344414243(4 1)000( 1)( 1)aaaaaaaaaaaaa 3 4 2( 1) 3 434( 1)a 3434a A 被調(diào)換到第被調(diào)換到第1行，第行，第1列列34a11121321222341424334aaaaaaaaaa34M111

50、21314212223244142434434000aaaaaaaaaaaaa二、行列式按行（列）展開法則定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiininDa Aa Aa Ain1122(1,2, )jjjjnjnjDa Aa Aa Ajn或111213111213212223212223313233313233000000aaaaaaaaaaaaaaaaaa 111213212223212223212223313233313233313233000000aaaaa

51、aaaaaaaaaaaaaaaa1111a A 1212a A 1313a A 212122222323a Aa Aa A313132323333a Aa Aa A同理可得同理可得例例3112513420111533D 51111113100105530 312 cc 34cc 3 3511( 1)1111550 511620550 21rr 1 362( 1)55 8205 40. 證明證明 用數(shù)學(xué)歸納法用數(shù)學(xué)歸納法21211Dxx 21()ijijxx 例例 證明范德蒙德證明范德蒙德( (Vandermonde) )行列式行列式1222212111112111().nnnijn ijnnn

52、nxxxxxxDxxxxx (1)所以所以n=2時時(1)式成立式成立.21xx2131122133112222213311111100()()()0()()()nnnnnnnnnxxxxxxxxxxxxxxxDxxxxxxxxx 假設(shè)假設(shè)(1)對于對于n1階范德蒙行列式成立，從第階范德蒙行列式成立，從第n行開始，后行行開始，后行減去前行的減去前行的 倍：倍：1x按照第按照第1列展開，并提出每列的公因子列展開，并提出每列的公因子 ，就有，就有1()ixx 213112()()()()nnijn ijDxxxxxxxx 1().ijn ijxx 232131122223111()()()nnnn

53、nnxxxxxxxxxxxx n1階范德蒙德行列式階范德蒙德行列式推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij111213212223AAaaa A212223313232122233aaaaaaaaa 分析分析 我們以我們以3階行列式為例階行列式為例. . 111213111112121313212223313233aaaa Aa Aa Aaaaaaa把第把第1行的元素?fù)Q成第行的元素?fù)Q成第2行的對應(yīng)元素，則行的對應(yīng)元素，

54、則 0. 定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對行列式等于它的任一行（列）的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和，即 11221,2,iiiiinina Aa Aa AD in推論推論 行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對行列式任一行（列）的元素與另一行（列）的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積之和等于零，即11220,.ijijinjna Aa Aa Aij1122,0,niinijjjDija Aa Aa Aij 1122,0,ijijinjnDija Aa Aa Aij 綜上所述，有綜上所述，有同理可得同理可得5312

55、017252023100414002350D 例例 計算行列式計算行列式解解5312017252023100414002350D 2 5531202311204140235 23110 072066 7210 ( 2)66 20 ( 4212)1080. 2312 5414235 53204140132021352152 31rr 21( 2)rr 例例 設(shè)設(shè) , , 的的 元的余子式和元的余子式和代數(shù)余子式依次記作代數(shù)余子式依次記作 和和 ，求，求分析分析 利用利用3521110513132413D D( , )i jijMijA11121314AAAA及及11213141.MMMM1112

56、13142122232411111212131314143132333441424344aaaaaaaaa Aa Aa Aa Aaaaaaaaa125202100 解解111213141111105134311321AAAA 43rr 31rr 1111110522021100 115222110 21cc 2502 4. 1521110513131413 105105113 43rr 1521110513130100 121105113 132rr 0. 1121344111213141MMMMAAAA7 克拉默法則二元線性方程組二元線性方程組 11112212112222a xa xba

57、xa xb 若令若令 11122122aaDaa 1211222bbaDa 1221121baDab ( (方程組的系數(shù)行列式方程組的系數(shù)行列式) )則上述二元線性方程組的解可表示為則上述二元線性方程組的解可表示為1122122111221221DDb aa bxa aa a 1121212211221221a bb aDxa aa aD 一、克拉默法則如果線性方程組如果線性方程組11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 的系數(shù)行列式不等于零，即的系數(shù)行列式不等于零，即1112121222120nnnnnnaaa

58、aaaDaaa122123,. (2)nnDDDDxxxxDDDD其中其中 是把系數(shù)行列式是把系數(shù)行列式 中第中第 列的元素用方程組右端的常列的元素用方程組右端的常數(shù)項代替后所得到的數(shù)項代替后所得到的 階行列式，即階行列式，即jDDjn111,11,111,1,11jjnjnn jn jnnnaaaaDaaaabb 那么線性方程組那么線性方程組(1)(1)有解并且解是唯一的，解可以表示成有解并且解是唯一的，解可以表示成定理中包含著三個結(jié)論：定理中包含著三個結(jié)論：方程組有解；方程組有解；（解的存在性）（解的存在性） 解是唯一的；解是唯一的；（解的唯一性）（解的唯一性）解可以由公式解可以由公式(

59、(2) )給出給出. .這三個結(jié)論是有聯(lián)系的這三個結(jié)論是有聯(lián)系的. . 應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系應(yīng)該注意，該定理所討論的只是系數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，數(shù)行列式不為零的方程組，至于系數(shù)行列式等于零的情形，將在第三章的一般情形中一并討論將在第三章的一般情形中一并討論. .關(guān)于克拉默法則的等價命題定理定理4 如果線性方程組如果線性方程組( (1) )的系數(shù)行列式不等于零，則的系數(shù)行列式不等于零，則該線性方程組一定有解該線性方程組一定有解, ,而且解是唯一的而且解是唯一的 . .定理定理4 如果線性方程組無解或有兩個不同的解，則它的如果線性方程組無解或有兩個不同的解，

60、則它的系數(shù)行列式必為零系數(shù)行列式必為零. .設(shè)設(shè)11112211211222221122(1)nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 例例 解線性方程組解線性方程組12341242341234258,369,225,4760.xxxxxxxxxxxxxx 解解2151130602121476D 122rr 42rr 075131306021207712 75132127712 122cc 322cc 35301077218151930652120476 81D 22851190605121076 =108D 27032181139602521406 27D