建模方法的選擇

1、建模方法的選擇劉永貴賀曉東（永城職業(yè)學(xué)院476600）關(guān)鍵字：數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)模型、建模方法大家知道，數(shù)學(xué)最重要的一個(gè)特點(diǎn)是它的思維的抽象性、推理的嚴(yán)謹(jǐn)性和應(yīng)用的廣泛性。這是數(shù)學(xué)在其發(fā)展的漫長(zhǎng)的歷程中漸漸形成的。它主要來自人們對(duì)生產(chǎn)和生活的需求。是對(duì)有關(guān)的空間結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系的共性的抽象、升華從而形成了當(dāng)今的數(shù)學(xué)。它為我們?cè)诟畹膶哟紊险J(rèn)識(shí)世界提供了一條重要的方法。其抽象性和嚴(yán)謹(jǐn)性的特性也成為我們科學(xué)地思維和組織構(gòu)造知識(shí)的一個(gè)有效的方式。數(shù)學(xué)的廣泛應(yīng)用性也為各學(xué)科和人們的生產(chǎn)、生活以及社會(huì)活動(dòng)在定量方面向深層次發(fā)展奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。但是在過去的時(shí)代由于各種原因，這個(gè)特點(diǎn)在人們的思想中反映得并不那么

2、充分。往往只把數(shù)學(xué)理解為訓(xùn)練人們科學(xué)思維的一種工具，致使人們經(jīng)常感到學(xué)了大量的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法卻不會(huì)用或者用不上。當(dāng)前，在數(shù)學(xué)與其它科學(xué)技術(shù)及經(jīng)濟(jì)建設(shè)緊密結(jié)合變得更加需要和可能的今天，學(xué)術(shù)界在研究數(shù)學(xué)科學(xué)的技術(shù)基礎(chǔ)以及其對(duì)經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)力的作用時(shí)指出：“在經(jīng)濟(jì)競(jìng)爭(zhēng)中數(shù)學(xué)是不可少的，數(shù)學(xué)科學(xué)是一種關(guān)鍵性的、普遍的、能夠?qū)嵭械募夹g(shù)?！薄案呒夹g(shù)的出現(xiàn)把我們的社會(huì)推進(jìn)到數(shù)學(xué)技術(shù)的時(shí)代”。數(shù)學(xué)的應(yīng)用特征在當(dāng)今尤其顯得突出和重要。數(shù)學(xué)建模是應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)和計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的一種行之有效的重要方法，而建模方法的選擇也可能使問題簡(jiǎn)單或復(fù)雜，精確或粗放。請(qǐng)看下面幾個(gè)例子。例如十字路口的交通問題，為使路口的交通順暢，需要

3、制定一個(gè)路口的最佳交通流的控制方案?？梢允褂玫姆椒ê芏?，其中之一是將幾種不同的交通控制的設(shè)計(jì)方案交給交通隊(duì)進(jìn)行實(shí)地試驗(yàn)觀測(cè)，然后找出最優(yōu)的方案。很明顯，這種辦法不僅費(fèi)時(shí)費(fèi)力，而且還會(huì)造成該路口和臨近地區(qū)的交通混亂，以至根本無法執(zhí)行。另一種辦法就是由研究人員調(diào)查路口的車流規(guī)律，收集有關(guān)的數(shù)據(jù)資料，例如車流密度、車輛速度、大小以及路口狀況等，然后使用數(shù)學(xué)和統(tǒng)計(jì)學(xué)的方法手段提煉出這些量之間的關(guān)系，再使用計(jì)算機(jī)進(jìn)行分析比較，這樣就可以找到最優(yōu)的控制管理方案。這種方法就是交通管理的數(shù)學(xué)模型。又比如生物醫(yī)學(xué)專家掌握了藥物濃度在人體內(nèi)隨著時(shí)間和空間的變化而變化的數(shù)學(xué)模型，就可以分析藥物的療效，從而有效地指導(dǎo)

4、醫(yī)院的臨床用藥。而廠長(zhǎng)和經(jīng)理們掌握了工廠、企業(yè)的生產(chǎn)與銷售的數(shù)學(xué)模型，就可以用計(jì)算機(jī)控制生產(chǎn)和銷售以獲取盡可能高的經(jīng)濟(jì)效益，從而增強(qiáng)他們?cè)诮?jīng)濟(jì)活動(dòng)中的競(jìng)爭(zhēng)力。應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)及計(jì)算機(jī)去解決各種科學(xué)和社會(huì)生產(chǎn)活動(dòng)中的實(shí)際問題時(shí)，首先要對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析研究，組建用來描述這種問題的數(shù)學(xué)模型，應(yīng)用數(shù)學(xué)的理論及方法或編程、計(jì)算，并對(duì)模型分析，繼而得到結(jié)果，然后回去解決實(shí)際問題。因此數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)建模是使用數(shù)學(xué)的理論知識(shí)及計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的重要方法和手段。很多事實(shí)說明，掌握了數(shù)學(xué)知識(shí)只是解決實(shí)際問題的一個(gè)必要條件。在當(dāng)今數(shù)學(xué)作為一種技術(shù)的手段的過程中應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問題的能力的培養(yǎng)更是特別重要的。尤其是數(shù)

5、學(xué)模型的相關(guān)知識(shí)及數(shù)學(xué)建模能力的培養(yǎng)。我們所說的數(shù)學(xué)模型，是指通過抽象和簡(jiǎn)化，應(yīng)用數(shù)學(xué)語言對(duì)實(shí)際問題的一個(gè)大概的描述，使人們更深刻地把握所研究的對(duì)象。當(dāng)然數(shù)學(xué)模型也不是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題的簡(jiǎn)單的描述，而是對(duì)現(xiàn)實(shí)問題所包含的信息進(jìn)行提煉、分析、歸納、翻譯的結(jié)果。它使用數(shù)學(xué)語言準(zhǔn)確地反應(yīng)問題的內(nèi)在特征。并通過數(shù)學(xué)演繹推理和分析求解，使我們深化對(duì)所研究的問題的認(rèn)知。力學(xué)中牛頓第二定律使用公式F=mdx2/dt2反應(yīng)受力物體的運(yùn)動(dòng)規(guī)律就是一個(gè)成功的數(shù)學(xué)模型，x(t)指運(yùn)動(dòng)物體在時(shí)刻t的位置,m是運(yùn)動(dòng)物體的質(zhì)量，F(xiàn)指在運(yùn)動(dòng)期間運(yùn)動(dòng)物體受到的外力。模型并不考慮物體的形狀及大小。這一模型以物體受力運(yùn)動(dòng)的關(guān)鍵因素為主

6、，從而深化了力與物體運(yùn)動(dòng)之間的關(guān)系。而在描述人口N(t)隨時(shí)間t的變化而變化的數(shù)學(xué)模型dN(t)/dt=rN(t),沒有考慮性別、年齡、社會(huì)經(jīng)濟(jì)及自然界約束條件等諸多因素，從而大大簡(jiǎn)化了實(shí)際人口的動(dòng)態(tài)變化?？伤沂境龅娜丝诔傻缺燃?jí)數(shù)的增長(zhǎng)的理論卻是我們所要面對(duì)的嚴(yán)酷事實(shí)。數(shù)學(xué)模型的好不好，并不是說它使用了多么高深的數(shù)學(xué)。作為一個(gè)好的模型最好是直接針對(duì)某個(gè)實(shí)際問題的，該模型應(yīng)經(jīng)過實(shí)際的檢驗(yàn)，表明它是可以接受的；數(shù)學(xué)模型應(yīng)能使人們對(duì)所研究的問題有更深的認(rèn)識(shí)，并盡可能的簡(jiǎn)單，從而便于使用者理解和接受。例如2007年全國(guó)大學(xué)生數(shù)學(xué)建模試題；人口預(yù)測(cè)是國(guó)家工作中的重點(diǎn)，關(guān)系著國(guó)家的發(fā)展方向和命運(yùn)。我國(guó)是

7、一個(gè)人口大國(guó)，人口問題始終是制約我國(guó)發(fā)展的關(guān)鍵因素之一。根據(jù)已有數(shù)據(jù)，運(yùn)用數(shù)學(xué)建模的方法，對(duì)我國(guó)人口做出分析和預(yù)測(cè)是一個(gè)重要問題。近年來我國(guó)的人口發(fā)展出現(xiàn)了一些新的特點(diǎn)，例如，老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比持續(xù)升高，以及鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，這些都影響著我國(guó)人口的增長(zhǎng)。2007年初發(fā)布的國(guó)家人口發(fā)展戰(zhàn)略研究報(bào)告對(duì)此做出了進(jìn)一步的分析。從我國(guó)的實(shí)際情況和人口增長(zhǎng)的上述特點(diǎn)出發(fā)，參考相關(guān)數(shù)據(jù)，建立我國(guó)人口增長(zhǎng)的數(shù)學(xué)模型，并由此對(duì)我國(guó)人口增長(zhǎng)的中短期和長(zhǎng)期趨勢(shì)做出預(yù)測(cè)；特別注意指出模型中的優(yōu)點(diǎn)與不足之處。這是一個(gè)我們常要面對(duì)的社會(huì)問題，同時(shí)也是一個(gè)有很大難度的數(shù)學(xué)建模問題，一個(gè)社會(huì)人口的變化是一個(gè)隨

8、時(shí)間的發(fā)展而變化的過程，是很多因素影響的結(jié)果，社會(huì)制度、自然環(huán)境、生活水平、科學(xué)文化水平、戰(zhàn)爭(zhēng)、自然災(zāi)害以及移民等，都在影響社會(huì)人口的發(fā)展。人的生老病死、居民的遷移也決定著這個(gè)社會(huì)人口的變化。當(dāng)今我國(guó)老齡化進(jìn)程加速、出生人口性別比例的持續(xù)升高，鄉(xiāng)村人口城鎮(zhèn)化等因素，都在直接或間接地表現(xiàn)出來。綜合研究這些因素對(duì)人口構(gòu)成的影響就成為選擇符合中國(guó)國(guó)情的人口增長(zhǎng)模型的重要問題。建立數(shù)學(xué)模型要對(duì)人口發(fā)展過程進(jìn)行定量預(yù)測(cè)，即根據(jù)現(xiàn)有的人口統(tǒng)計(jì)資料及原始數(shù)據(jù)，把握當(dāng)前實(shí)際的人口狀況，并充分考慮將來的人口發(fā)展?fàn)顩r，從而給出合理的控制要求和假定，使用科學(xué)的手段，推理測(cè)算將來幾年、幾十年乃至上百年的人口發(fā)展變化趨

9、勢(shì)，其中包括人口的總數(shù)、人口性別比例、年齡結(jié)構(gòu)、城鄉(xiāng)結(jié)構(gòu)，人口的生老病死和自然增長(zhǎng)率的變化及其在將來的人口結(jié)構(gòu)中勞力和撫養(yǎng)水平及老化水平等的變化。因此為了解決這個(gè)問題，我們不妨作如下合理假設(shè)：1.題中所給數(shù)據(jù)要反映中國(guó)人口變化的基本狀況；2,暫不考慮某些重大事件，比如戰(zhàn)爭(zhēng)和自然災(zāi)害等對(duì)人口變化的影響；3 .所有的數(shù)據(jù)都是年終數(shù)據(jù)，也就是下一年的年初數(shù)據(jù)，例如2001年的總?cè)丝跀?shù)其實(shí)也是2002年的年初的總?cè)丝跀?shù)；4 .當(dāng)年所統(tǒng)計(jì)的i歲的人口到次年的年初都是i十1歲；5 .生育模式并不隨時(shí)間的變化而變化。在以上工作的基礎(chǔ)上，我們就可以做一些模型建立的工作了。這部分工作往往由數(shù)預(yù)處理、模型選擇、模

10、型求解、數(shù)據(jù)分析與檢驗(yàn)、模型優(yōu)缺點(diǎn)分析等部分組成。一個(gè)問題往往可以采用多種不同的模型來解決，它們會(huì)有不同的特點(diǎn)，有的簡(jiǎn)單易行但精確度不高，有的判斷準(zhǔn)確，數(shù)據(jù)精準(zhǔn)，但運(yùn)算量大，運(yùn)算模式較為復(fù)雜。我們應(yīng)該根據(jù)具體對(duì)數(shù)據(jù)的要求選取適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，力求達(dá)到簡(jiǎn)單易行而又能滿足問題解決所要求的精確度。本例就是這樣，既可以采用基于傳統(tǒng)的logistic模型，所需數(shù)據(jù)少，具有簡(jiǎn)潔易行等特點(diǎn)，使求解難度大大降低，也可以采用構(gòu)造復(fù)雜，所需數(shù)據(jù)種類多、量大，求解也較復(fù)雜，需要用到專門的數(shù)學(xué)軟件的另一種數(shù)學(xué)模型。參考文獻(xiàn):1、數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模劉來福、曾文藝1997年北京師范大學(xué)出版社。2、數(shù)學(xué)建模方法楊學(xué)楨2000年河南大學(xué)出版社3、基于差分方程的人口預(yù)測(cè)模型2007年文峰、郭