蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)《八用字母表示數(shù)：●釘子板上的多邊形》優(yōu)質(zhì)課導(dǎo)學(xué)案_0

1、釘子板上的多邊形教學(xué)內(nèi)容：蘇教版義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)五年級(jí)上冊(cè)第108-109頁。教學(xué)目標(biāo)：1、通過研究釘子板上的長(zhǎng)方形，讓學(xué)生在操作、觀察、猜測(cè)、驗(yàn)證等活動(dòng)中發(fā)現(xiàn)釘子板圍成的多邊形的面積與圍成的多邊形邊上的釘子數(shù)、多邊形內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，會(huì)用含有字母的式子表示發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。2、使學(xué)生在探索規(guī)律、發(fā)現(xiàn)規(guī)律和表達(dá)規(guī)律的過程中培養(yǎng)比較、分析、推理和抽象概括的能力，增強(qiáng)發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識(shí)，滲透數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想，發(fā)展學(xué)生的空間觀念。3、通過動(dòng)手操作、觀察類比、分析歸納、合作交流等一系列探究活動(dòng)，讓學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，增強(qiáng)學(xué)好數(shù)學(xué)的信心，了解解決問題的一般過程和方法。教學(xué)重

2、點(diǎn)：探索釘子板上多邊形的面積與多邊形邊上釘子數(shù)、內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系。教學(xué)難點(diǎn)：滲透數(shù)形結(jié)合思想，體會(huì)數(shù)學(xué)研究的一般方法。教學(xué)準(zhǔn)備：課件、個(gè)人學(xué)習(xí)材料、4人小組學(xué)習(xí)材料課前預(yù)習(xí)：課前布置學(xué)生完成如下預(yù)習(xí)作業(yè)：預(yù)習(xí)單1、下面多邊形的面積各是多少平方厘米？請(qǐng)將結(jié)果填入表中。1cm圖形編號(hào)多邊形的面積（平方厘米）2、下面多邊形的面積各是多少平方厘米？請(qǐng)將結(jié)果填入表中圖形編號(hào)多邊形面積（平方厘米）教學(xué)過程：一、導(dǎo)入新課這是的面積是多少？lcm塊釘子板，每相鄰兩個(gè)釘子之間的距離為（出示1x1正方形）1厘米，這個(gè)正方形lrmicm2老師在釘子板上圍的這個(gè)多邊形（出示組合圖形），它的面積是多少?拿出預(yù)習(xí)單，

3、說說你是用什么辦法知道它的面積的？預(yù)設(shè)：A、用數(shù)方格的方法得到圖形的面積。B、把這個(gè)圖形轉(zhuǎn)化成我們學(xué)過的規(guī)則圖形，再用面積公式計(jì)算計(jì)算多邊形的面積，可以用數(shù)方格的方法，也可以把它轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的規(guī)則圖形，用面積公式來計(jì)算。這些都是我們以前學(xué)過的知識(shí)。今天研究的多邊形是在釘子板上圍成的，它的面積可能什么有關(guān)？釘子板上的多邊形的面積和釘子數(shù)之間有什么關(guān)系呢？今天我們就一起來探索其中的規(guī)律。（板書課題：釘子板上的多邊形）二、探索內(nèi)部釘子數(shù)是1的規(guī)律1、觀察數(shù)據(jù)，初探規(guī)律。我們先從簡(jiǎn)單的圖形入手研究，看一下你的預(yù)習(xí)單，這4個(gè)圖形的面積分別是多少？誰來說一說。cm”7*7/起來數(shù)一數(shù)，每個(gè)多邊形邊上各有

4、多少枚釘子？（課件出示表格）<*e«*圖形編號(hào)劣邊形邊上的釘子數(shù)/枚多邊形的血積/平方厘米233,54|觀察表中的數(shù)據(jù)，你有什么發(fā)現(xiàn)？如果用字母S表示多邊形面積（板貼：多邊形面積），用n表示多邊形邊上的釘子數(shù)（板貼：邊上的釘子數(shù)），那么剛才的發(fā)現(xiàn)可以用在字母怎樣表示？我們把這個(gè)發(fā)現(xiàn)記下來。（板書：S=n2）。2、引發(fā)沖突，激發(fā)欲望。那這個(gè)發(fā)現(xiàn)是不是適用于所有多邊形呢？老師又圍了2個(gè)多邊形，請(qǐng)同學(xué)們一起來判斷猜想S=n+2在這里能不能正確算出它們的面積?？匆幌骂A(yù)習(xí)單，這兩個(gè)圖形的面積你求出來是多少？我們一起來數(shù)一數(shù)它們邊上的釘子數(shù)。它們的面積可以用邊上的釘子數(shù)除以2來計(jì)算嗎?形號(hào)

5、函編名邊形邊上的釘子數(shù)/枚5）n-E-2（平方厘米）多邊形面積/平方厘米（S）10561269看來猜想S=n寧2可能不適合所有的釘子板上的多邊形。那剛才4個(gè)多邊形為什么可以？再看剛才的4個(gè)多邊形，仔細(xì)觀察，這些圖形有什么共同特點(diǎn)？后來的2個(gè)多邊形呢？看來我們發(fā)現(xiàn)的規(guī)律有一個(gè)前提條件一一多邊形的內(nèi)部只能有1枚釘子。誰來完整地?cái)⑹鲆幌聞偛盼覀兊陌l(fā)現(xiàn)？（當(dāng)多邊形內(nèi)只有1枚釘子時(shí)，多邊形的面積數(shù)等于邊上的釘子數(shù)除以2）看來多邊形的面積不但和邊上的釘子數(shù)有關(guān)，還和內(nèi)部釘子數(shù)有關(guān)（板貼：內(nèi)部釘子數(shù)）。如果多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)用字母a表示，那么a=1（板書：a=1）時(shí)，S=n2。三、探索內(nèi)部釘子數(shù)是2、3、4

6、的規(guī)律1、小組學(xué)習(xí)，探索內(nèi)部釘子數(shù)是2的規(guī)律。剛才我們研究了a=1的情況，接下來我們繼續(xù)探索。如果多邊形內(nèi)部有2枚釘子。它的面積與邊上的釘子數(shù)又有什么關(guān)系呢？這次我們用四人小組合作的方式來進(jìn)行研究，每人拿出研究單1。出示小組合作要求： 每人在點(diǎn)子圖上畫一個(gè)內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，數(shù)出邊上的釘子數(shù)，算出面積，并填寫表格。 每人把獲得的數(shù)據(jù)在小組內(nèi)交流，組長(zhǎng)記錄匯總。 小組觀察表格中的數(shù)據(jù)，討論交流，組長(zhǎng)記錄發(fā)現(xiàn)。研究單1小組合作，每個(gè)同學(xué)先在點(diǎn)子圖上畫一個(gè)內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，并填寫表格，組長(zhǎng)匯總。圖形編號(hào)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)/枚(a)多邊形邊上釘子數(shù)/枚(n)n2/平方厘米多邊形面積/cm2(S

7、)我們的發(fā)現(xiàn)學(xué)生小組活動(dòng)，教師巡視、指導(dǎo)。請(qǐng)1個(gè)小組上來展示交流。這個(gè)小組發(fā)現(xiàn)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)為2時(shí)，多邊形的面積等于邊上的釘子數(shù)除以2再加1。檢查你畫的內(nèi)部有2枚釘子的多邊形，面積符合這個(gè)規(guī)律嗎？如果不符合，把你的例子在全班交流。多邊形內(nèi)部有2枚釘子時(shí)，這里的面積不等于n+2,但和n+2有關(guān)系嗎？(板書:a=2時(shí)，S=n2+1)小結(jié)：從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部有2枚釘子時(shí)，也就是a=2時(shí)，S=n2+1。2、比較觀察，引發(fā)猜想內(nèi)部釘子數(shù)是3的規(guī)律。剛才我們發(fā)現(xiàn)a=1時(shí)，S=r2,a=2時(shí)，S=r2+1,你能聯(lián)系這里的規(guī)律，猜一猜，如果多邊形內(nèi)部有3枚釘子時(shí)，(板書a=3)它的面積

8、與釘子數(shù)之間又有怎樣的關(guān)系呢？(板書a=3時(shí)，S=n2+2?)請(qǐng)你在研究單2上畫出一個(gè)內(nèi)部釘子數(shù)是3的圖形，算一算它的面積,填寫下面的表格，看我們的猜想是否正確？你畫出的是什么圖形？驗(yàn)證的結(jié)果是什么？誰來交流？誰再來交流？你畫的圖形符合這個(gè)規(guī)律嗎？看來，當(dāng)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)是3時(shí)，多邊形的面積等于邊上的釘子數(shù)除以2再加2,我們剛才的猜想是正確的。(擦去？)3、拓展延伸，揭示規(guī)律。剛才我們發(fā)現(xiàn)a=1S=n-2a=2S=n2+1a=3S=n2+2你覺得如果a=4,會(huì)有什么規(guī)律？a=5呢？下面就請(qǐng)你自己確定研究?jī)?nèi)容，畫一畫、算一算來驗(yàn)證。根據(jù)研究?jī)?nèi)容，小組分工在點(diǎn)子圖上畫4個(gè)不同的圖形，并填寫表格，組

9、長(zhǎng)匯總。每人拿出研究單2,確定自己的研究?jī)?nèi)容。研究單2研究?jī)?nèi)容：a=猜想：根據(jù)研究?jī)?nèi)容，小組分工在點(diǎn)子圖上畫4個(gè)不同的圖形，并填寫表格，組長(zhǎng)匯總。圖形編號(hào)多邊形內(nèi)部釘子數(shù)/枚(a)多邊形邊上釘子數(shù)/枚(n)n-2/平方厘米多邊形面積/cm2(S)我們的發(fā)現(xiàn)誰來交流一下？有研究a=4的嗎？研究不一樣內(nèi)容的再來交流一下?，F(xiàn)在你能發(fā)現(xiàn)釘子板上多邊形的面積規(guī)律了嗎?如果用a來表示多邊形內(nèi)部的釘子數(shù)，n表示多邊形邊上的釘子數(shù)，那么多邊形的面積S可以怎樣表示？（板書：S=n2+a-1）a=1時(shí)，符合這個(gè)規(guī)律嗎？（看板書）那a=0時(shí)呢，我們一起看看兩個(gè)多邊形。1OJU5-2+0-1可以直接列式成5-2-1，

10、看來同樣符合規(guī)律。4、適當(dāng)介紹，拓寬視野。岡"才我們發(fā)現(xiàn)（板貼完整：多邊形的面積二邊上的釘子數(shù)寧2+內(nèi)部釘子數(shù)1）,這就是數(shù)學(xué)上著名的皮克定理”一一人類有史以來“最重要的100個(gè)數(shù)學(xué)定理”之一，100多年前，奧地利數(shù)學(xué)家喬治.皮克第一次提出了這個(gè)計(jì)算公式，用字母表示是：S=n2+a-1o今天我們通過探索學(xué)習(xí)，也發(fā)現(xiàn)了這個(gè)規(guī)律，同學(xué)們，你們真了不起！四、回顧過程，交流體會(huì)我們一起來回顧剛才探索規(guī)律的過程，首先通過觀察（板貼：觀察）多邊形和表中的數(shù)據(jù)，然后有了猜想（板貼：猜測(cè)），接著用大量的多邊形驗(yàn)證猜想（板貼：驗(yàn)證），發(fā)現(xiàn)猜想需要修改和完善，最后得到了正確的結(jié)論（板貼：結(jié)論）。這就是我

11、們探索規(guī)律的一般過程和方法。五、解決問題1、現(xiàn)在再來看，這個(gè)多邊形的面積可以怎么算？計(jì)算釘子板上多邊形的面積又多了一個(gè)方法。lemIm2、兩個(gè)多邊形，哪個(gè)面積大?預(yù)設(shè)：A、用S二葉2+a-1這個(gè)公式計(jì)算；B、邊上的釘子數(shù)相同，內(nèi)部釘子數(shù)多的比較大。3、解決猴哥哥和猴弟弟的問題。猴媽媽知道猴哥哥和猴弟弟喜歡吃水果，就給它們每人分了1塊地種果樹，但是它們兩個(gè)都不滿意。你能應(yīng)用今天所發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決猴哥哥與猴弟弟的問題嗎？猴哥哥和猴弟弟的問題猴哥哥說：我的地一圈只有15棵樹，而弟弟的一圈有4了棵樹，弟弟的面積大！猴弟弟說：我的地里面只有16棵樹，而哥哥的里面有17棵樹，哥哥的面積大！數(shù)不清釘子數(shù)，怎么

12、辦？你認(rèn)為誰的面積大？為什么？六、全課小結(jié)，拓展延伸通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有什么收獲？看來同學(xué)們的收獲真多！既了解了數(shù)學(xué)知識(shí)，又學(xué)會(huì)了獲取知識(shí)的方法。對(duì)釘子板上的多邊形有興趣的同學(xué)課后可以閱讀格點(diǎn)與面積這本書。教學(xué)反思：本節(jié)課是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材新增加的內(nèi)容，屬于“綜合與實(shí)踐”領(lǐng)域中探索規(guī)律的課型。本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了多邊形的面積計(jì)算、用字母表示數(shù)并具有一定探索規(guī)律學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，開展“釘子數(shù)與圖形面積”規(guī)律探究活動(dòng)的。如何讓小學(xué)生用適切的方式來理解深?yuàn)W堅(jiān)深的數(shù)學(xué)定理？我是這樣做的：一、利用課前預(yù)習(xí)單，給學(xué)生足夠的課堂探究時(shí)間史寧中教授說：“我們必須清楚，世界上有很多東西是不可傳遞的，只能靠親

13、身經(jīng)歷?！币寣W(xué)生有足夠的時(shí)間和空間經(jīng)歷數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，學(xué)生只有通過親身驗(yàn)證，才能品嘗到探索過程的快樂，真正進(jìn)入數(shù)學(xué)活動(dòng)。以本課蘇教版五上實(shí)踐活動(dòng)課釘子板上的多邊形為例，學(xué)生必須親自動(dòng)手在釘子板上圍一圍，或在點(diǎn)子圖上畫一畫，才能探究出內(nèi)部釘子數(shù)是1、2、3、4時(shí)多邊形面積與邊上釘子數(shù)和內(nèi)部釘子數(shù)之間的關(guān)系，從而得到S=n-2+a-1的結(jié)論。如果不經(jīng)歷這樣的探究活動(dòng)，教師只讓學(xué)生死記硬背這樣一個(gè)公式，那么，過不了幾天，這個(gè)公式就會(huì)被遺忘，再也想不起來了。有的老師說一節(jié)課只有40分鐘，如何讓學(xué)生在課堂上有足夠的探究時(shí)間？我們可以把低層面的東西交給學(xué)生課前去自學(xué)，老師在課前可以提供預(yù)習(xí)單，讓學(xué)生用已經(jīng)

14、學(xué)過的方法計(jì)算內(nèi)部釘子數(shù)是1的4個(gè)多邊形的面積及用來驗(yàn)證結(jié)論的多邊形的面積，在課堂主要進(jìn)行的是觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、驗(yàn)證、推理交流等數(shù)學(xué)活動(dòng)過程，從而使學(xué)生聚焦于探索知識(shí)的本質(zhì)。二、提供適切的學(xué)習(xí)材料，真正落實(shí)小組合作學(xué)習(xí)對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的溝通與合作能力來說，小組合作學(xué)習(xí)勿庸置疑是非常好的學(xué)習(xí)方式。如何真正的落實(shí)小組合作學(xué)習(xí)？小組合作學(xué)習(xí)也要有組織形式上的保障，組長(zhǎng)組員各司其職，有明確的任務(wù)要求。教師要給小組合作學(xué)習(xí)準(zhǔn)備充分的學(xué)習(xí)材料，學(xué)習(xí)材料要符合學(xué)生的認(rèn)知起點(diǎn)，要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)，同時(shí)又要有思維含量，能激發(fā)學(xué)生的探究欲望。在本課蘇教版五上實(shí)踐活動(dòng)課釘子板上的多邊形一課的小組活動(dòng)中，我給學(xué)生提供了3次研究單：研究單1：小組學(xué)習(xí)，探索內(nèi)部釘子數(shù)是2的規(guī)律。在小組合作的探索活動(dòng)中，學(xué)生先每人畫一個(gè)內(nèi)部釘子數(shù)是2的多邊形，小組匯總數(shù)據(jù)，觀察發(fā)現(xiàn)，提出猜想。再鼓勵(lì)學(xué)生利用此前的探索經(jīng)驗(yàn)自主開展操作、比較、發(fā)現(xiàn)等活動(dòng)，得出內(nèi)部釘子數(shù)是2的多邊形面積的規(guī)律。從大家的圖形和數(shù)據(jù)可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)多邊形內(nèi)部有2枚釘子時(shí)，也就是a=2時(shí)，S=n+2+1。研究單2：比較觀察，引發(fā)猜想內(nèi)部釘子數(shù)是3的規(guī)律。在發(fā)現(xiàn)a=1時(shí),S=n+2,a=2時(shí)，S=n+2