第24章圓拓展題

1、第二十四章 圓24.1圓 專題一 利用圓中的半徑相等求角的大小以及線段的長度1.如圖，在平面直角坐標系中，OA,OB是O的半徑，OAOB，點A的坐標為（2,3），點 B的坐標為（a，2），則a= .2.如圖，CD是O的直徑，A為DC的延長線上一點，點E在O上，EOD=81°，AE交O 于B，且AB=OC，求A的度數(shù)專題二 利用垂徑定理求線段的長度3.如圖所示，在O內(nèi)有折線OABC，其中OA=8，AB=12，A=B=60°，則BC的長為（）A、19B、16 C、18D、20 4.【2012·陜西】如圖，在半徑為5的O中，AB、CD是互相垂直的兩條弦，垂足為P，且AB

2、CD8，則OP的長為( )A3 B4 C D5.如圖，ABC內(nèi)接于O，ADBC，OEBC，OE=12BC（1）求BAC的度數(shù)；（2）將ACD沿AC折疊為ACF，將ABD沿AB折疊為ABG，延長FC和GB相交于點H，求證：四邊形AFHG是正方形；（3）若BD=6，CD=4，求AD的長專題三 利用圓的軸對稱性解題6.如圖，MN是O的直徑，MN=2，點A在O上，AMN=30°，B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+PB的最小值為（）A. B. C.1 D.2 7.【 2012·貴港】如圖， 為的直徑，、是上的兩點，過作 于點，過作于點，為上的任意一點，若，則的最小值是_

3、.專題四 利用圓心角、圓周角的關(guān)系證明或者計算8.如圖，O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，ACB的平分線交O于D，則CD長為（）A.7B.7 C.8D.9 ABCDEO9.【2012·淄博】如圖，AB，CD是O的弦，ABCD，BE是O的直徑若AC=3，則DE= 10.如圖，已知弧AD所對的圓心角AOD=90°，B,C將弧AD三等分，弦AD與半徑OB,OC相交于E,F，求證:AE=BC=FD.專題五 利用圓的基本性質(zhì)判定圖形的形狀或探求線段間的數(shù)量關(guān)系11.如圖，點A、B、P是O上的動點，若ABP為等腰三角形，則所有符合條件的點P有（）A、1個B、2個 C、3個D、4個1

4、2. 【2012·黔西南州】如圖，ABC內(nèi)接于O，AB8，AC4，D是AB邊上一點，P是優(yōu)弧BAC的中點，連接PA、PB、PC、PD，當BD的長度為多少時，PAD是以AD為底邊的等腰三角形？并加以證明13.如圖，AB是O的直徑，C、D是O上的兩點，且AC=CD（1）求證：OCBD；（2）若BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，試確定四邊形OBDC的形狀知識要點：1.圓是軸對稱圖形，任何一條直徑所在直線都是它的對稱軸.2.垂直于弦的直徑平分弦，并且平分弦所對的兩條弧.3.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧.4.在同圓或等圓中，相等的圓心角、相等的弧、相等的

5、弦、相等的弦心距中只要有一組量相等，其他的量也相等.5.同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角相等，都等于這條弧所對的圓心角的一半.6.半圓（或直徑）所對的圓周角是直角，90°的圓周角所對的弦是直徑.7.圓內(nèi)接四邊形的對角互補.溫馨提示：1.圓中的半徑相等，常常用來構(gòu)造等腰三角形.2.圓中看到角時要記得去看看它是不是圓周角、圓心角，如果是的話是否可以利用圓周角、圓心角的性質(zhì)解決問題；圓中看到線段時要記得去看看它是不是圓中的弦，如果是的話是否可以利用圓周角、圓心角的性質(zhì)解決問題.3.利用垂徑定理求弦長時，不要求成半弦長.方法技巧：1.垂徑定理常常與勾股定理結(jié)合求圓中線段的長度.2.線段之

6、和最短問題常常轉(zhuǎn)化為軸對稱問題，利用勾股定理求解.3.在找角的關(guān)系時，外角是一個很好的橋梁.參考答案1.-3 2.【解】連OB，如圖，AB=OC，OB=OC，AB=BO，A=2.1=A+2，1=2A.OB=OE，1=E.E=2A.EOD=A+E=81°，3A=81°，所以A=27°3.D 【解析】如圖，延長AO交BC于D，作OEBC于E.A=B=60°，ADB=60°,ADB為等邊三角形,BD=AD=AB=12.OD=4，又ADB=60°，DE=OD=2.BE=10.BC=2BE=20.4. C 【解析】過點O作OEAB，OFCD，垂

7、足分別為點E和點F，連接AO，OEAB，.在RtOAE中，OA5，由勾股定理可得，OE3，同理可得OF3，因此四邊形OEPF是正方形，OEPE3，在RtOPE中，由勾股定理可得. 5.【解】（1）連接OB和OC,OEBC，BE=CE.OE=BC，BOC=90°，BAC=45°.（2）證明：ADBC，ADB=ADC=90°.由折疊可知，AG=AF=AD，AGH=AFH=90°，BAG=BAD，CAF=CAD，BAG+CAF=BAD+CAD=BAC=45°.GAF=BAG+CAF+BAC=90°.四邊形AFHG是正方形.（3）由（2）得，

8、BHC=90°，GH=HF=AD，GB=BD=6，CF=CD=4.設AD的長為x，則BH=GHGB=x6，CH=HFCF=x4在RtBCH中，BH2+CH2=BC2，（x6）2+（x4）2=102.解得，x1=12，x2=2（舍去）.AD=12 6.B 【解析】作A關(guān)于MN的對稱點Q，連接MQ，此時AP+PB=QP+PB=QB，根據(jù)兩點之間線段最短，PA+PB的最小值為QB的長度.連接AO，OB，OQ，B為弧AN中點，BON=AMN=30°.QON=2QMN=2×30°=60°.BOQ=30°+60°=90°.直徑

9、MN=2，OB=1.BQ=.則PA+PB的最小值為7. 【解析】延長BD交圓O于點B，連接BA，過B向AC的延長線作垂線，垂足為E,在RtA BE中，AE=8+6=14，BE=8+6=14，所以A B=，即的最小值是.8.B 【解析】如圖，作DFCA，交CA的延長線于點F，作DGCB于點G，連接DA，DBCD平分ACB，ACD=BCD.DF=DG，弧AD=弧BD.DA=DBAFD=BGD=90°，AFDBGD.AF=BG易證CDFCDG，CF=CG設AF=BG=x，BC=8，AC=6，得8x=6+x，解x=1.CF=7.CDF是等腰直角三角形，CD=79.3 【解析】BE為直徑，BD

10、E=90°，BDC+CDE=90°ABCD，ACD+BAC=90°又BAC=BDC，ACD=CDE，=，=，DE=AC=310.【證明】連接AB,DC.B,C將弧AD三等分， 弧AB=弧BC=弧CD.AB=BC=CD.AOD=90°,AOB=BOC=COD=30°.BAD=30°.OA=OB,OAB=OBA=（180°-AOB）=75°.AEB=180°-(OBA+BAD)=180°-(75°+30°)=75°.AB=AE.同理：DC=DF.AE=BC=DF.11.

11、D 【解析】根據(jù)垂徑定理，分兩種情況：以AB為底邊，可求出有點P1、P2；以AB為腰，可求出有點P3、P4故共4個點12.【解】當BD4時，PAD是以AD為底邊的等腰三角形證明：P是優(yōu)弧BAC的中點弧PB弧PC，即PBPC，又BDAC4，PBDPCA，PBDPCA，PAPDPAD是以AD為底邊的等腰三角形 13.【解】（1）證明：AC=CD，弧AC=弧CD,ABC=CBD.OC=OB，OCB=OBC.OCB=CBD.OCBD；（2）OCBD，不妨設平行線OC與BD間的距離為h，SOBC=OC×h，SDBC=BD×h，因為BC將四邊形OBDC分成面積相等的兩個三角形，SOBC

12、 =SDBC.OC=BD.四邊形OBDC為平行四邊形.OC=OB，四邊形OBDC為菱形24.2點、直線、圓和圓的位置關(guān)系 專題一 求利用圓的性質(zhì)求角的度數(shù)1.【2012·鄂州】如圖OA=OB=OC且ACB=30°,則AOB的大小是（ ）A.40°B.50° C.60°D.70 2.如圖，兩圓相交于A，B兩點，小圓經(jīng)過大圓的圓心O，點C，D分別在兩圓上，若ADB=100°，則ACB的度數(shù)為（）A.35° B.40° C.50° D.80°3.【 2012·安徽】如圖，點A、B、C、D在O

13、上，O點在D的內(nèi)部，四邊形OABC為平行四邊形，則OAD+OCD=_°.專題二 判定直線與圓的位置關(guān)系4.如圖所示，MN是O的切線，B為切點，BC是O的弦且CBN=45°，過C的直線與O，MN分別交于A，D兩點，過C作CEBD于點E（1）求證：CE是O的切線；（2）若CDE=30°，BD=2+2，求O的半徑r5.如圖所示，在RtABC中，C=90°，BAC=60°，AB=8半徑為的M與射線BA相切，切點為N，且AN=3將RtABC順時針旋轉(zhuǎn)120°后得到RtADE，點B、C的對應點分別是點D、E（1）畫出旋轉(zhuǎn)后的RtADE；（2）求出

14、RtADE的直角邊DE被M截得的弦PQ的長度；（3）判斷RtADE的斜邊AD所在的直線與M的位置關(guān)系，并說明理由6.如圖，已知點，經(jīng)過A、B的直線以每秒1個單位的速度向下作勻速平移運動，與此同時，點P從點B出發(fā)，在直線上以每秒1個單位的速度沿直線向右下方向作勻速運動設它們運動的時間為秒（1）用含的代數(shù)式表示點P的坐標；（2）過O作OCAB于C，過C作CD軸于D，問：為何值時，以P為圓心，1為半徑的圓與直線OC相切？并說明此時圓P與直線CD的位置關(guān)系專題三 切線的性質(zhì)及切線長定理7.如圖，在ABCD中，DAB60°，AB15已知O的半徑等于3，AB，AD分別與O相切于點E，F(xiàn)O在ABC

15、D內(nèi)沿AB方向滾動，與BC邊相切時運動停止試求O滾過的路程 8. 如圖，O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓，切點為E、F、G、H，已知ADBC,DO=6cm，CO=8cm.求：（1）DC的長.（2）求等腰梯形的周長.9.如圖，在ABC中，C90°，O切三角形的三邊于D、E、F點.（1）連接OD、OF得四邊形FCDO,你認為四邊形FCDO是那種特殊四邊形？證明你的觀點.（2）在（1）的基礎(chǔ)上，如果AF=3，O的半徑等于2，你能求出三角形的面積嗎？專題四 直線與圓、圓與圓綜合題 10. 如圖在8×6的網(wǎng)格圖（每個小正方形的邊長均為1個單位長度）中，A的半徑為2個單位長度，B的半徑為1

16、個單位長度，要使運動的B與靜止的A相切，應將B由圖示位置向左平移 個單位長度 11.如圖為某機械裝置的截面圖,相切的兩圓O1,O2均與O的弧AB相切,且O1O2l1( l1為水平線)，O1,O2的半徑均為30 mm,弧AB的最低點到l1的距離為30 mm,公切線l2與l1間的距離為100 mm.則O的半徑為( ) A.70 mm B.80 mm C.85 mm D.100 mm12.已知：如圖，三個半圓以此相外切，它們的圓心都在x軸的正半軸上并與直線yx相切，設半圓1、半圓2、半圓3的半徑分別是r1、r2、r3，則當r11時，r3 . 知識要點：1.直線與圓的三種位置關(guān)系：直線和O相交；直線和

17、O相切；直線和O相離.2.切線的判定定理：經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直于經(jīng)過切點的半徑.3.切線長定理：從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點和圓心的連線平分兩條切線的夾角.4.圓與圓的位置關(guān)系：設兩個大小不等的圓的半徑分別為、（），圓心距為d.則兩圓外離0<；兩圓外切;兩圓相交<d<兩圓內(nèi)切;兩圓內(nèi)含0d<.溫馨提示：1.直線與圓的位置關(guān)系有3種，解題時不要漏掉其中的某種位置關(guān)系.2.圓與圓有五種位置關(guān)系，解題時注意分類討論思想.3.圓中一弦對二弧對兩個圓周角，不要漏掉.4.兩圓相離包括外離和內(nèi)含，兩圓相切

18、包含外切和內(nèi)切.方法技巧：1.銳角三角形的外心在銳角三角形內(nèi)部，直角三角形的外心在斜邊的中點，鈍角三角形外心在鈍角三角形的外部.2.直角三角形的兩直角邊為a，b，斜邊為c，則其內(nèi)切圓的半徑為：或.3.證明圓的切線的兩種方法：（1）直線過圓上一點時，需連過此點的半徑，證明該直線與該半徑垂直；（2）直線與圓沒有已知的公共點時，通常過圓心作該直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑.參考答案1.C 【解析】根據(jù)題意，以點O為圓心，以OA為半徑作圓，如下圖則有點A、B、C均在圓周上，故有AOB=2ACB=60°2.B 【解析】連接OA、OB.四邊形AOBD內(nèi)接于圓，ADB=100°，A

19、OB=180°100°=80°.ACB=AOB，ACB=×80°=40°3.60°【解析】四邊形OABC為平行四邊形，ABC=AOC，OAB=OCB.ADC=AOC，ADC+ABC=180°，ABC=AOC=120°.OABC，OAB=OCB=60°.(OAB+OAD)+(OCB+OCD)=180°，OAD+OCD=60°.4.【解】（1）證明：連接OB、OCMN是O的切線，OBMNCBN=45°，OBC=45°，BCE=45°OB=OC，OBC

20、=OCB=45°OCE=90°，CE是O的切線；（2）OBBE，CEBE，OCCE，四邊形BOCE是矩形，又OB=OC，四邊形BOCE是正方形.BE=CE=OB=OC=r在RtCDE中，CDE=30°，CE=r，DE=rBD=2+2，r+r=2+2.r=2，即O的半徑為25.【解】（1）如圖RtADE即為所求；（2）如圖，過點M作MFDE，垂足為F，連接MP在RtMPF中，MP，MF4-31，由勾股定理易得PF，再由垂徑定理知PQ2PF2；（3）AD與M相切連接MA、ME、MD，則SADESAMD+SAME+SDME，過M作MHAD于H， MGDE于G， 連接MN

21、， 則MNAE且MN，MG1，AC·BCAD·MH+AE·MN+DE·MG，由此可以計算出MH ，MHMN.AD與M相切6.【解】作PHOB于H 如圖1，OB6，OA，OAB30°.PBt，BPH30°，BH，HP .OH，P，.圖1圖2圖3當P在左側(cè)與直線OC相切時如圖2，OB，BOC30°，BC.PC . 由，得 s，此時P與直線CD相割當P在左側(cè)與直線OC相切時如圖3，PC.由，得s，此時P與直線CD相割綜上，當或時，P與直線OC相切，P與直線CD相割.7.【解】連接OE，OA AB，AD分別與O相切于點E，F(xiàn) OEA

22、B，OE=3 DAB60°， OAE30°OA=6cm.在RtAOE中，AE= ADBC，DAB60°， ABC120° 設當運動停止時，O與BC，AB分別相切于點M，N，連接ON，OB 同理可得 BN=. O滾過的路程為 8.【解】(1)O是等腰梯形ABCD的內(nèi)切圓， FDOEDO =EDF，ECOHCO=ECH.ADBC，EDF+ECH=180°. EDO+ECO=EDF+ECH=(EDF+ECH )= ×180°=90°. 在RtDOC中，由勾股定理得：,即 .解得 DC=10cm.(2) O是等腰梯形ABC

23、D的內(nèi)切圓，DF=DE，CE=CH，AF=AG，BG=BH. AF+FD+BH+CH=AG+GB+DE+CE即AD+BC=AB+DC. 四邊形ABCD是等腰梯形ABCD， AB=CD. AD+BC=2DC=20cm.所以等腰梯形ABCD的周長等于40cm.9【解】（1）四邊形FCDO是正方形，理由如下： O切三角形的三邊于D、F、E，CF=CD，AF=AE，BD=BE，OFAC，ODBC. ODCOFC90°.C90°，四邊形FCDO是矩形. CF=CD，四邊形FCDO是正方形 .（2）AF=AE，AF=3，AE=3. 四邊形FCDO是正方形，O的半徑等于2， CF=CD=

24、2. AC=5.設BD=x，則BE=x，AB=3+x，BC=2+x.在RtABC中，由勾股定理得，即.解得x=10.BC=12 .10. 2或4或612.B 【解析】如圖，設O的半徑為Rmm，依題意，得CE=10030=70.l2O1O2，CD=O1D=30，DE=CECD=7030=40，OD=OEDE=R40.在RtOO1D中，O1O=R30，O1D=30，由勾股定理，得O1D2+OD2=O1O2，即302+（R40）2=（R30）2，解R=80mm12.9 【解析】由三個半圓依次與直線yx相切并且圓心都在x軸上，yx傾斜角是30°，OO=2r，OO2=2r1，003=2r，r1

25、1.r3=924.3 正多邊形與圓專題 利用正多邊形與圓的性質(zhì)解決問題1.如圖，O是正方形ABCD的對角線BD上一點，O與邊AB，BC都相切，點E，F(xiàn)分別在AD，DC上，現(xiàn)將DEF沿著EF對折，折痕EF與O相切，此時點D恰好落在圓心O處若DE=2，則正方形ABCD的邊長是（）A.3 B.4 C. D.2.如圖是一個組合煙花的橫截面，其中16個圓的半徑相同，點A、B、C、D分別是四個角上的圓的圓心，且四邊形ABCD為正方形若圓的半徑為r，組合煙花的高為h，則組合煙花側(cè)面包裝紙的面積至少需要（接縫面積不計）（）A26rh B24rh+rh C12rh+2rh D24rh+2rh知識要點：1.各邊都

26、相等，各角也相等的多邊形是正多邊形.2.正多邊形的外接圓的圓心叫這個正多邊形的中心，外接圓半徑叫做正多邊形的半徑，正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.溫馨提示：1.正多邊形的中心角本質(zhì)上是圓心角.2.正多邊形的邊是圓中的弦，正多邊形的邊心距是弦心距.3.利用勾股定理求弦長時，一定注意不要求成半弦長.規(guī)律總結(jié)：1.正n邊形的中心角為；2.邊長為a的正n邊形的周長為na；3.正多邊形的周長為，邊心距為r，則其面積.4.邊長為a的正三角形的面積為.5.正多邊形與圓中的計算常常用“垂徑定理”+“勾股定理”.參考答案1.C 【解析】如圖：延長F

27、O交AB與點G，則點G是切點，OD交EF于點H，則點H是切點ABCD是正方形，點O在對角線BD上，OG=OH=HD=HE=AE，且都等于圓的半徑在等腰直角三角形DEH中，DE=2，EH=DH=AEAD=AE+DE=+22.D 【解析】由圖形知，正方形ABCD的邊長為6r，其周長為4×6r=24r.截面的周長為24r+2r，組合煙花的側(cè)面包裝紙的面積為：（24r+2r）h=24rh+2rh24.4弧長和扇形面積專題一 套用公式求弧長和扇形面積1. 如圖，依次以三角形、四邊形、n邊形的各頂點為圓心畫半徑為l的圓，且圓與圓之間兩兩不相交把三角形與各圓重疊部分面積之和記為S3，四邊形與各圓重

28、疊部分面積之和記為S4，n邊形與各圓重疊部分面積之和記為Sn則S90的值為 （結(jié)果保留）2. 在圖中的五個半圓，鄰近的兩半圓相切，兩只小蟲同時出發(fā)，以相同的速度從A點到B點甲蟲沿弧ADA1、A1EB1、B1FC1、C1GB路線爬行，乙蟲沿路線弧ACB爬行，則下列結(jié)論正確的是（）A甲先到B點 B乙先到B點 C甲、乙同時到B點 D無法確定3.如圖1，已知在O中，點C為劣弧AB上的中點，連接AC并延長至D，使CD=CA，連接DB并延長DB交O于點E，連接AE（1）求證：AE是O的直徑；（2）如圖2，連接EC，O半徑為5，AC的長為4，求陰影部分的面積之和（結(jié)果保留與根號）專題二 圓柱的側(cè)面展開圖4.

29、 【2011·無錫】已知圓柱的底面半徑為2cm，高為5cm，則圓柱的側(cè)面積是（）A20cm2B20cm2 C10cm2D5cm25. 【2011·廣安】如圖所示，圓柱的底面周長為6cm，AC是底面圓的直徑，高BC 6cm，點是母線上一點且一只螞蟻從A點出發(fā)沿著圓柱體的表面爬行到點P的最短距離是（ ） A（）cm B5cm Ccm D7cm6.【2012·青島】如圖，圓柱形玻璃杯高為12cm、底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點C處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對的點A處.則螞蟻到達蜂蜜的最短距離為 cm專題三 圓錐的側(cè)面展開7.

30、將一個圓心角是90°的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，則該圓錐的側(cè)面積S側(cè)和底面積S底的關(guān)系是（）A.S側(cè)=S底 B.S側(cè)=2S底 C.S側(cè)=3S底 D.S側(cè)=4S底8.已知O為圓錐的頂點，M為圓錐底面上一點，點P在OM上一只蝸牛從P點出發(fā)，繞圓錐側(cè)面爬行，回到P點時所爬過的最短路線的痕跡如圖所示若沿OM將圓錐側(cè)面剪開并展開，所得側(cè)面展開圖是（）ABCD9.如圖1，在正方形鐵皮上剪下一個扇形和一個半徑為1cm的圓形，使之恰好圍成圖2所示的一個圓錐，則圓錐的高為（）A. cm B. 4cm C. cm D. cm知識要點：1.半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長為.2.半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的扇形面積為=.3.沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，設圓錐的母線長為，底面半徑為r，那么這個扇