數(shù)學物理方法第一章2011(1)

1、1教材及指導書 一、教材：一、教材： 梁昆淼編，梁昆淼編，數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法，第四版，高，第四版，高等教育出版社，等教育出版社，20102010年年1 1月月 二、主要的參考書：二、主要的參考書： 姚端正等姚端正等編著，編著，數(shù)學物理方法數(shù)學物理方法，第三版，第三版， 武漢大學出版社，武漢大學出版社，20102010年年3 3月月2數(shù)學物理方數(shù)學物理方法法復變函復變函數(shù)篇數(shù)篇數(shù)學物理數(shù)學物理方程篇方程篇特殊函特殊函數(shù)篇數(shù)篇3主要內(nèi)容: 1 復變函數(shù) 2 復變函數(shù)的積分 3 冪級數(shù)展開 4 留數(shù)定理 5 傅立葉變換 6 拉普拉斯變換4 復變函數(shù)論復變函數(shù)論 微分微分 積分積分 柯西積分定理

2、柯西積分定理 柯西積分公式柯西積分公式 解析函數(shù)的無限次可微性 柯 西不 等式 圓域內(nèi)圓域內(nèi)泰勒泰勒級數(shù)級數(shù) 環(huán)域內(nèi)的環(huán)域內(nèi)的羅朗級數(shù)羅朗級數(shù) 留數(shù)定理留數(shù)定理 留數(shù)和定理留數(shù)和定理 輻角原理 莫勒納定理 劉維爾定理 最大模原理 保角變換保角變換 平 均值 公式 三 類典 型實 積分 的計算 傅里葉積分傅里葉積分變換變換 拉拉普拉斯普拉斯積分積分變換變換 復變函數(shù)論復變函數(shù)論5復變函數(shù)論復變函數(shù)論（theory of complex functions）：）： 研究自變量是復數(shù)的函數(shù)的基本理論及應用的數(shù)學分支，研究自變量是復數(shù)的函數(shù)的基本理論及應用的數(shù)學分支，主要研究對象是解析函數(shù)。主要研究對

3、象是解析函數(shù)。復數(shù)函數(shù)發(fā)展簡史復數(shù)函數(shù)發(fā)展簡史 早在早在1616世紀，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時就引世紀，一元二次、一元三次代數(shù)方程求解時就引入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號和運算法則。入了虛數(shù)的基本思想，給出了虛數(shù)的符號和運算法則。1 復數(shù)起源于代數(shù)方程求根復數(shù)起源于代數(shù)方程求根 意大利的卡丹諾意大利的卡丹諾（G.Cardano,1501-1576）在解三次方程在解三次方程時首先產(chǎn)生了負數(shù)開平方的思想。如時首先產(chǎn)生了負數(shù)開平方的思想。如40(515)(515)但，由于但，由于 在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，在很長時間內(nèi)，直到在實數(shù)范圍內(nèi)無意義，在很長時間內(nèi)，直到1919世紀中葉，這類數(shù)仍然是

4、不合法的。世紀中葉，這類數(shù)仍然是不合法的。1 法國的笛卡爾法國的笛卡爾（R.Descartes,1596-1690）稱其為虛數(shù)稱其為虛數(shù)(“虛幻數(shù)虛幻數(shù)” imaginary number)62Bernoulli和和Leibniz的爭論的爭論 1712171217131713Bernoulli：負數(shù)的對數(shù)是實數(shù)負數(shù)的對數(shù)是實數(shù)d()d ln()lnxxxxxxLeibniz ：不可能有負數(shù)的對數(shù)不可能有負數(shù)的對數(shù)ddlnxxx只對正數(shù)成立只對正數(shù)成立3Euler 在在17471747年對這場爭論作了中肯的分析年對這場爭論作了中肯的分析ln(), lnxx差一常數(shù)差一常數(shù)1740年年，Euler

5、 給給Bernoulli的信中說的信中說：2cosyx11xxyee 和和是同一個微分方程的解，因此應該相等是同一個微分方程的解，因此應該相等1743年，發(fā)表了年，發(fā)表了Euler公式公式11111cos21sin21xxxxxeexee 7Euler 認為復數(shù)僅在想象中存在認為復數(shù)僅在想象中存在，1777年年，Euler采用采用 i 代表代表15十九世紀，有三位代表性人物：十九世紀，有三位代表性人物：柯西柯西(Cauchy，17891857)維爾斯特拉斯維爾斯特拉斯(Weierstrass，18151897)黎曼黎曼(Rieman，18261866)經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復變函

6、數(shù)論經(jīng)過他們的不懈努力，終于建立了系統(tǒng)的復變函數(shù)論4 復數(shù)真正被接受主要歸功于德國數(shù)學家高斯復數(shù)真正被接受主要歸功于德國數(shù)學家高斯(C.F.Gauss,1777-1855), 1799年，他把復數(shù)的年，他把復數(shù)的思想融入到對代數(shù)學基本定理的證明中。思想融入到對代數(shù)學基本定理的證明中。89目的與要求：掌握目的與要求：掌握復變函數(shù)的基本概念、極限和連續(xù)復變函數(shù)的基本概念、極限和連續(xù)的概念、的概念、掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解掌握解析函數(shù)的概念、函數(shù)解析的充要條件、初等函數(shù)的定義析的充要條件、初等函數(shù)的定義教學重點：教學重點：極限和連續(xù)的概念、極限和連續(xù)的概念、解析函數(shù)的概念；解析函數(shù)的概念； 函函數(shù)

7、解析性的判別數(shù)解析性的判別教學難點：映射、教學難點：映射、解析函數(shù)的概念、解析函數(shù)的概念、 初等函數(shù)中的多初等函數(shù)中的多值函數(shù)及主值的概念值函數(shù)及主值的概念學習要求與內(nèi)容提要10 1. 1. 虛單位虛單位對虛數(shù)單位的規(guī)定對虛數(shù)單位的規(guī)定: :; 1)1(2 i1.1 1.1 復數(shù)與復數(shù)運算復數(shù)與復數(shù)運算.1 :2在實數(shù)集中無解在實數(shù)集中無解方程方程實例實例 x.)2(四則運算四則運算樣的法則進行樣的法則進行可以與實數(shù)在一起按同可以與實數(shù)在一起按同i.,稱為虛數(shù)單位稱為虛數(shù)單位引入一個新數(shù)引入一個新數(shù)為了解方程的需要為了解方程的需要i112.2.復數(shù)的代數(shù)形式的定義復數(shù)的代數(shù)形式的定義: : .

8、 ,0 , 0 xixzy我們把它看作實數(shù)我們把它看作實數(shù)時時當當 i-虛單位虛單位滿足滿足：i2=- -1虛部虛部記做記做：Imz=x實部實部記做記做：Rez=x ; , 0 , 0 稱為純虛數(shù)稱為純虛數(shù)時時當當iyzyx 稱稱為為復數(shù)集為為復數(shù)集,|RyxiyxzzC .000 , 0 , 0特特別別iyx時時當當. , 為復數(shù)為復數(shù)稱稱對于對于iyxzRyx 復數(shù)的本質(zhì)復數(shù)的本質(zhì)：有序?qū)崝?shù)對：有序?qū)崝?shù)對 ( (x, y) ) z=x+iy12 兩復數(shù)相等兩復數(shù)相等當且僅當當且僅當它們的實部和虛部分它們的實部和虛部分別相等別相等. . 復數(shù)復數(shù) z 等于等于0當且僅當當且僅當它的實部和虛部

9、同時它的實部和虛部同時等于等于0.說明說明 兩個數(shù)如果都是實數(shù)兩個數(shù)如果都是實數(shù), ,可以比較它們的大可以比較它們的大小小, , 如果不全是實數(shù)如果不全是實數(shù), , 就不能比較大小就不能比較大小, , 也就也就是說是說: :121212z =z,xxyy設：設：z1=x1+iy1 z2=x2+iy2復數(shù)不能比較大小復數(shù)不能比較大小!133.3.共軛復數(shù)及其性質(zhì)共軛復數(shù)及其性質(zhì): : 實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩實部相同而虛部絕對值相等符號相反的兩個復數(shù)稱為共軛復數(shù)個復數(shù)稱為共軛復數(shù). . , 的zz共軛復數(shù)記為. , iyxziyxz 則則若若例例.的積與計算共軛復數(shù)yixzyixz解

10、解)(yixyix 22)(yix .22yx .22yxzz即：.,的積是實數(shù)的積是實數(shù)兩個共軛復數(shù)兩個共軛復數(shù)zz結(jié)論：結(jié)論：14共軛復數(shù)的性質(zhì)共軛復數(shù)的性質(zhì);)1(2121zzzz ;2121zzzz ;2121zzzz ;)2(zz ;)Im()Re()3(22zzzz ).Im(2),Re(2)4(zizzzzz 以上各式證明略以上各式證明略. .154.復數(shù)的幾何表示. . , , , . ),( 面面面面叫叫復復平平這這種種用用來來表表示示復復數(shù)數(shù)的的平平軸軸叫叫虛虛軸軸或或縱縱軸軸軸軸通通常常把把橫橫軸軸叫叫實實軸軸或或用用來來表表示示復復數(shù)數(shù)的的平平面面可可以以一一個個建建立

11、立了了直直角角坐坐標標系系因因此此對對應應成成一一一一與與有有序序?qū)崒崝?shù)數(shù)對對復復數(shù)數(shù)yxyxiyxz xyxyoiyxz 復數(shù)的向量表示法復數(shù)的向量表示法. ),( 表示表示面上的點面上的點可以用復平可以用復平復數(shù)復數(shù)yxiyxz+=. 向量 表示表示面上的點面上的點可以用復平可以用復平復數(shù)復數(shù)oziyxz 16（1 1）復數(shù)的模）復數(shù)的模( (或絕對值或絕對值) ) , 的?；蚪^對值的模或絕對值向量的長度稱為向量的長度稱為 z22z = =x + y .xyxyoiyxz P顯然下列各式成立顯然下列各式成立, zx , zy ,yxz .22zzzz , 表示表示可以用復平面上的向量可以用

12、復平面上的向量復數(shù)復數(shù)OPiyxz 17（2 2）復數(shù)的輻角）復數(shù)的輻角說明說明輻角不確定輻角不確定. . . Arg , , , 0 zzOPzz記作記作的輻角的輻角稱為稱為為終邊的角的弧度數(shù)為終邊的角的弧度數(shù)的向量的向量以表示以表示以正實軸為始邊以正實軸為始邊的情況下的情況下在在1,0有無窮多個輻角有無窮多個輻角任何一個復數(shù)任何一個復數(shù) z , 是其中一個輻角是其中一個輻角如果如果的全部輻角為的全部輻角為那么那么 z1 ).( 2Arg為為任意任意整數(shù)整數(shù)kkz , 0 , 0 , zz時時當當特殊地特殊地18輻角主值的定義輻角主值的定義: :.arg , Arg , )0( 000zzz

13、 記作記作的主值的主值稱為稱為的的把滿足把滿足的輻角中的輻角中在在, 0 x zarg, 0, 0 yx, 0, 0 yx. 0, 0 yx,arctanxy,2 ,arctan xy,)2arctan2(p p p p xy其中其中輻角的主值輻角的主值0 z19利用直角坐標與極坐標的關系利用直角坐標與極坐標的關系 ,sin,cos ryrx復數(shù)可以表示成復數(shù)可以表示成)sin(cos irz 復數(shù)的三角表示式復數(shù)的三角表示式再利用歐拉公式再利用歐拉公式,sincos iei 復數(shù)可以表示成復數(shù)可以表示成 irez 復數(shù)的指數(shù)表示式復數(shù)的指數(shù)表示式歐拉介紹歐拉介紹5.5.復數(shù)的三角表示和指數(shù)表

14、示復數(shù)的三角表示和指數(shù)表示20例例1 1證證21(1)zz)( )(2121zzzz )(2121zzzz )(2211zzzz .21zz 221(2)zz )( )(2121zzzz )(2121zzzz 21212211zzzzzzzz 21212221zzzzzz .(2);(1) : , , 2121212121zzzzzzzzzz 證明證明為兩個任意復數(shù)為兩個任意復數(shù)設設21 221zz 2221zz )Re(221zz2122212zzzz 2122212zzzz ,)(221zz , )Re(2 212121zzzzzz 因為因為兩邊同時開方得兩邊同時開方得.2121zzzz

15、1212.zzzz同理可證：22設設z1=x1+iy1和和 z2=x2+iy2是兩個復數(shù)是兩個復數(shù)加減運算z1 z2 =(x1 x2) +i(y1 y2 ) 復數(shù)加減法滿足復數(shù)加減法滿足平行四邊形法則，或平行四邊形法則，或三角形法則三角形法則z1 +(- z2)- z2222111,iyxziyxz6.復數(shù)的運算交換律、結(jié)合律、分配律成立交換律、結(jié)合律、分配律成立2121zzzz2121zzzz23乘法運算12121212211212121212()i() cos()isin() expi()z zx xy yx yx y 兩個復數(shù)相乘兩個復數(shù)相乘等于它們的模相乘，等于它們的模相乘，幅角相加幅

16、角相加除法運算1121212212222222221121221122i cos()isin() expi()zx xy yx yx yzxyxy 兩個復數(shù)相除等兩個復數(shù)相除等于它們的模相除，于它們的模相除，幅角相減幅角相減242 i2 2 cos()isin(), (0,1,2,1)knnnkkkennknw冪（n整數(shù)）innnez 根ninnez/逼近000,yyxxzz25思考題思考題復數(shù)為什么不能比較大??？復數(shù)為什么不能比較大??？思考題答案思考題答案 0, 和和觀察復數(shù)觀察復數(shù) i , 0 i由復數(shù)的定義可知由復數(shù)的定義可知 , 0 )1( i若若 ,0 iii 則則 ; , 01 矛

17、盾矛盾即即 , 0 )2( i若若 ,0 iii 則則 . , 01 矛盾矛盾同樣有同樣有 由此可見由此可見, , 在復數(shù)中在復數(shù)中無法定義大小關系無法定義大小關系.261.2 復變函數(shù)(一) 復變函數(shù)的定義 E z = x+ iy . , , E z, w = u+ iv , w z (), w = f(z).設設是是一一個個復復數(shù)數(shù)的的集集合合 如如果果有有一一個個確確定定的的法法則則存存在在 按按這這個個法法則則 對對于于集集合合中中的的每每一一個個復復數(shù)數(shù)就就有有一一個個或或幾幾個個復復數(shù)數(shù)與與之之對對應應 那那末末稱稱復復變變數(shù)數(shù)是是復復變變數(shù)數(shù) 的的函函數(shù)數(shù) 簡簡稱稱復復變變函函數(shù)

18、數(shù)記記作作. )( , 是單值的是單值的我們稱函數(shù)我們稱函數(shù)那末那末的值的值的一個值對應著一個的一個值對應著一個如果如果zfwz. )( , 是多值的是多值的那末我們稱函數(shù)那末我們稱函數(shù)的值的值兩個以上兩個以上的一個值對應著兩個或的一個值對應著兩個或如果如果zfwz27映射(函數(shù))的概念. , , , , 的點集之間的對應關系的點集之間的對應關系上上必須看成是兩個復平面必須看成是兩個復平面的幾何圖形表示出來的幾何圖形表示出來因而無法用同一平面內(nèi)因而無法用同一平面內(nèi)之間的對應關系之間的對應關系和和由于它反映了兩對變量由于它反映了兩對變量對于復變函數(shù)對于復變函數(shù)yxvu1.映射的定義映射的定義:)

19、.()( * )( )( , , 或或變變換換的的映映射射函函數(shù)數(shù)值值集集合合平平面面上上的的一一個個點點集集變變到到定定義義集集合合平平面面上上的的一一個個點點集集是是把把在在幾幾何何上上就就可可以以看看作作那那末末函函數(shù)數(shù)值值的的平平面面上上的的點點表表示示函函數(shù)數(shù)而而用用另另一一個個平平面面的的值值平平面面上上的的點點表表示示自自變變量量如如果果用用GwGzzfwwwzz 28. ),( , * )( 的原象的原象稱為稱為而而映象映象的象的象稱為稱為那末那末中的點中的點映射成映射成被映射被映射中的點中的點如果如果wzzwwGzfwzG . )( 所構(gòu)成的映射所構(gòu)成的映射函數(shù)函數(shù)這個映射通

20、常簡稱為由這個映射通常簡稱為由zfw 29(二) 區(qū)域的概念 定義定義由不等式由不等式(為任意的正數(shù)為任意的正數(shù)) )所確定的平面點集所確定的平面點集( (以后平面點集以后平面點集均簡稱點集均簡稱點集) )，就是以，就是以z0為中心的為中心的鄰域或鄰域。而鄰域或鄰域。而稱由不等式稱由不等式0zz00zz 所確定的點集為所確定的點集為z0的去心的去心鄰域或去心鄰域鄰域或去心鄰域。0z實函數(shù)定義域?qū)嵑瘮?shù)定義域復函數(shù)定義域復函數(shù)定義域推廣30 定義定義設設E E為點集，為點集，z0為為E E中的一點。如果存在中的一點。如果存在z0的一個鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點都屬于的一個鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點都屬于E

21、 E，則則稱稱z0為為E E的的內(nèi)點內(nèi)點；若點若點z0的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于的某一個鄰域內(nèi)的點都不屬于E E，則稱則稱點點z0為為E E的的外點外點。若在點若在點z0的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬的任意一個鄰域內(nèi)，既有屬于于E E的點，也有不屬于的點，也有不屬于E E的點，則稱點的點，則稱點z0為為E E的的邊界點邊界點，點集點集E E的全部邊界點稱為的全部邊界點稱為E E的邊界的邊界。內(nèi)點，外點，邊界點內(nèi)點，外點，邊界點 開集開集 注意注意 區(qū)域的邊界可能是區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點所由幾條曲線和一些孤立的點所組成的。組成的。定義定義 若點集若點集E E的點皆為內(nèi)的點皆為內(nèi)點，則

22、稱點，則稱E E為為開集開集Ez0開集31 定義定義點集點集E E稱為一個區(qū)域，如果它滿足稱為一個區(qū)域，如果它滿足： (1)E(1)E是一個開集是一個開集； (2)E(2)E是連通的，就是說是連通的，就是說E E中任何兩點中任何兩點z1和和z2都都可以用完全屬于可以用完全屬于E E的一條折線連接起來的一條折線連接起來。 通常稱具有性質(zhì)通常稱具有性質(zhì)(2)(2)的的集為連通的，所以一個區(qū)集為連通的，所以一個區(qū)域就是一個連通的開集。域就是一個連通的開集。區(qū)域區(qū)域E E加上它的邊界加上它的邊界C(pC(p) )稱為稱為閉區(qū)域閉區(qū)域或或閉域閉域，記記為為E區(qū)域Ez1z2p32鄰域鄰域z復平面上圓復平面

23、上圓內(nèi)點的集合內(nèi)點的集合 內(nèi)點內(nèi)點z 和它的鄰域都屬于和它的鄰域都屬于 B， 則則 z 為為 B 的內(nèi)點的內(nèi)點外點外點z 和它的鄰域都不屬于和它的鄰域都不屬于 B， 則則 z 為為 B 的外點的外點境界點境界點 不是內(nèi)點，也不是外點的點不是內(nèi)點，也不是外點的點境界線境界線全體境界點的集合全體境界點的集合z區(qū)域區(qū)域內(nèi)點組成的連通集內(nèi)點組成的連通集合合閉區(qū)域閉區(qū)域區(qū)域和境界線的全體區(qū)域和境界線的全體區(qū)域區(qū)域rzz0區(qū)域概念總結(jié)區(qū)域概念總結(jié)33Rz |x yORx yORRz |x yROrRzr|10Im,|zRzx yR-ROxO y0Imz21argzxO y2134 單連通域與多連通域 設設

24、B為復平面上的一個區(qū)域為復平面上的一個區(qū)域，如果在其中作如果在其中作一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），一條簡單的閉曲線（自身不相交的閉合曲線），而曲線內(nèi)部總屬于而曲線內(nèi)部總屬于B ，則稱則稱B為為單連通區(qū)域單連通區(qū)域，否，否則稱為則稱為多連通區(qū)域多連通區(qū)域。BB單連通域多連通域35舉例2|z1Re|zz用復數(shù)表示的平面點集用復數(shù)表示的平面點集2/1Rez22Reaz bzazRe,arg4arg0piziz111zz36(三）初等解析函數(shù) , . (cossin )zxeeyiy 注注意意沒沒有有冪冪的的意意義義 只只是是一一個個符符號號代代表表1 1 指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù).)sin(co

25、s.的指數(shù)函數(shù)的指數(shù)函數(shù)為為稱稱設設zyiyeeiyxzxz 定義定義;)(,)(zzzeezeb 而且而且平面上處處解析平面上處處解析在在;)(2121zzzzeeec .2)(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以iedzp p這里的這里的ex是實是實指數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)實的正實的正余弦函余弦函數(shù)數(shù)zxzzaeeeyeykkz( )|0, arg() e0 Arg()2,Zp p 性質(zhì)：性質(zhì)：37三角正弦與余弦函數(shù)三角正弦與余弦函數(shù),sincos yiyeiy 因為因為,sincos yiyeiy 將將兩式相加與相減兩式相加與相減, 得得,2cosiyiyeey .2sinieeyiyiy

26、現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變現(xiàn)在把余弦函數(shù)和正弦函數(shù)的定義推廣到自變數(shù)取復值的情況數(shù)取復值的情況. 2 三角函數(shù)38三角函數(shù).,2cos.,2sin余弦函數(shù)余弦函數(shù)正弦函數(shù)正弦函數(shù)定義定義稱為稱為稱為稱為izizizizeezieez .cos,sin)1(是偶函數(shù)是偶函數(shù)是奇函數(shù)是奇函數(shù)zz 性質(zhì)性質(zhì).cos)cos(,sin)sin(zzzz .cos)2cos(,sin)2sin(zzzz p p p p .sincos)3(zizeiz .2)2(為周期為周期以以正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都正弦函數(shù)和余弦函數(shù)都39 , sin, cos. 2yyeeyyiyii 當當時時( (注意

27、：這是與實變函數(shù)完全不同的注意：這是與實變函數(shù)完全不同的) )sinz的零點的零點(i.e. sinz=0的根的根)為為z=ncosz的零點的零點(i.e. cosz=0的根的根)為為z=(n+1/2)n=0,1, 2,n,2sin00izizizizeezeie 21 i zeznnZp p(4)(5)sinz,cosz在復數(shù)域內(nèi)均是無界函數(shù)在復數(shù)域內(nèi)均是無界函數(shù)40.cossintan正切函數(shù)正切函數(shù)定義定義稱為稱為zzz ).tan()tan(:tan)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì).tan)tan(:tan)2(zzz p p p p為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)是以是以 其

28、它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義其它復變?nèi)呛瘮?shù)的定義,sincoscot zzz 余切函數(shù)余切函數(shù),cos1ec zzs 正割函數(shù)正割函數(shù).sin1csc zz 余割函數(shù)余割函數(shù)41 3 雙曲函數(shù).,2ch.,2sh雙曲余弦函數(shù)雙曲余弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)雙曲正弦函數(shù)定義定義稱為稱為稱為稱為zzzzeezeez ;sh)sh(:sh)1(zzz 是奇函數(shù)是奇函數(shù) 性質(zhì)性質(zhì);ch)ch(:chzzz 是偶函數(shù)是偶函數(shù) ;2ch,sh)2(為周期的周期函數(shù)為周期的周期函數(shù)都是以都是以izzp p ;sh)(ch,ch)(shzzzz 且且平面上處處解析平面上處處解析在在,ch ,sh )3(zzz; 1shch

29、)4(22 zz.ch)cos(,sh)sin()5(zizziiz 424 4 冪函數(shù)冪函數(shù):, 0,的冪函數(shù)的冪函數(shù)用下列等式定義用下列等式定義對于對于是任意復數(shù)是任意復數(shù)設設zz 定義定義).0(Ln zezwz . 0,0, zz時時補充規(guī)定補充規(guī)定是正實數(shù)時是正實數(shù)時當當;,lnLn., )1(ln的主值的主值稱為冪函數(shù)稱為冪函數(shù)時時取主值取主值當當是一個無窮多值函數(shù)是一個無窮多值函數(shù)一般說來一般說來 zezzzzz 性質(zhì)性質(zhì).)()2(1 zz(3) 令令z=rei=r(cos +isin ), zn= rnein=rn(cos(n) +isin(n) )435 5 對數(shù)函數(shù)對數(shù)函

30、數(shù).Ln , )( )0( zwzfwzzew 記為記為稱為對數(shù)函數(shù)稱為對數(shù)函數(shù)的函數(shù)的函數(shù)滿足方程滿足方程因此因此zizzwArglnLn ikzizp p 2argln)., 2, 1, 0( k所以所以支支的的數(shù)數(shù)稱為對數(shù)函稱為對數(shù)函其中其中),(Ln)arg(arglnln主值主值zzzizzp p p p )., 2, 1, 0(2lnLn p p kikzz44. . , , , , 的一個分支的一個分支稱為稱為可確定一個單值函數(shù)可確定一個單值函數(shù)對于每一個固定的對于每一個固定的zkLn;Ln )1(是一個無窮多值的函數(shù)是一個無窮多值的函數(shù)z性質(zhì)性質(zhì);LnLnLn,LnLnLn,

31、0, 0)2(2121212121zzzzzzzzzz 則則設設且且處解析處解析處處實軸外實軸外在平面上除去原點和負在平面上除去原點和負,ln, )3(z.1)(lnzz 45(四）、函數(shù)的極限1.函數(shù)極限的定義函數(shù)極限的定義:. )( )(,)0(0 )( , 0 , , 0 )( 0000時的極限時的極限趨向于趨向于當當為為那末稱那末稱有有時時使得當使得當相應地必有一正數(shù)相應地必有一正數(shù)對于任意給定的對于任意給定的存在存在如果有一確定的數(shù)如果有一確定的數(shù)內(nèi)內(nèi)的去心鄰域的去心鄰域定義在定義在設函數(shù)設函數(shù)zzzfAAzfzzAzzzzfw )( .)(lim 00AzfAzfzzzz 或或記作

32、記作注意注意: : . 0的方式是任意的的方式是任意的定義中定義中zz 462. 極限計算的定理極限計算的定理定理一定理一.),(lim,),(lim )(lim , , ),(),()( 000000000000vyxvuyxuAzfiyxzivuAyxivyxuzfyyxxyyxxzz 的充要條件是的充要條件是那末那末設設證證 ,)(lim 0Azfzz 如果如果根據(jù)極限的定義根據(jù)極限的定義 , )()(0 00時時當當 iyxiyx ,)()(00 ivuivu(1) 必要性必要性.47 , )()(0 2020時時或當或當 yyxx ,)()(00 vviuu, ,00 vvuu.),

33、(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 故故,),(lim,),(lim 000000vyxvuyxuyyxxyyxx 若若 , )()(0 2020時時那么當那么當 yyxx(2) 充分性充分性.,2 ,2 00 vvuu有有48 )()()(00vviuuAzf 00vvuu , 0 0時時故當故當 zz,)( Azf .)(lim 0Azfzz 所以所以證畢證畢說明說明. ),( ),( , ),(),()( 的極限問題的極限問題和和函數(shù)函數(shù)轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變轉(zhuǎn)化為求兩個二元實變的極限問題的極限問題該定理將求復變函數(shù)該定理將求復變函數(shù)yxvyxuyxivy

34、xuzf 49定理二定理二).0()()(lim (3);)()(lim (2);)()(lim (1) ,)(lim ,)(lim 00000 BBAzgzfABzgzfBAzgzfBzgAzfzzzzzzzzzz那末那末設設與實變函數(shù)的極限運算法則類似與實變函數(shù)的極限運算法則類似.50（五）、函數(shù)的連續(xù)性1. 連續(xù)的定義連續(xù)的定義:000 lim( )(), ( ) . ( ) , ( ) . zzf zf zf zzf zBf zB如如果果那那末末我我們們就就說說在在點點處處連連續(xù)續(xù) 如如果果在在區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)處處處處連連續(xù)續(xù)我我們們說說在在內(nèi)內(nèi)連連續(xù)續(xù). , )()(lim )( 000

35、CzzfzfzCzfzz 處連續(xù)的意義是處連續(xù)的意義是上上在曲線在曲線函數(shù)函數(shù)51定理三定理三.) ,( ),( ),( : ),(),()( 00000處連續(xù)處連續(xù)在在和和連續(xù)的充要條件是連續(xù)的充要條件是在在函數(shù)函數(shù)yxyxvyxuiyxzyxivyxuzf 例如例如,),()ln()(2222yxiyxzf , )ln(),(22處連續(xù)處連續(xù)在復平面內(nèi)除原點外處在復平面內(nèi)除原點外處yxyxu , ),(22在復平面內(nèi)處處連續(xù)在復平面內(nèi)處處連續(xù)yxyxv . ),( 處連續(xù)處連續(xù)在復平面內(nèi)除原點外處在復平面內(nèi)除原點外處故故yxf52定理四定理四. ) ( )( )( (1)000處仍連續(xù)處仍

36、連續(xù)在在不為零不為零分母在分母在積、商積、商的和、差、的和、差、和和連續(xù)的兩個函數(shù)連續(xù)的兩個函數(shù)在在zzzgzfz. )( , )( )( , )( (2)0000連續(xù)連續(xù)處處在在那末復合函數(shù)那末復合函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在函數(shù)函數(shù)連續(xù)連續(xù)在在如果函數(shù)如果函數(shù)zzgfwzghhfwzzgh 53特殊的特殊的:,)(2210nnzazazaazPw (1) 有理整函數(shù)有理整函數(shù)(多項式多項式) ; 都是連續(xù)的都是連續(xù)的對復平面內(nèi)的所有點對復平面內(nèi)的所有點 z(2) 有理分式函數(shù)有理分式函數(shù),)()(zQzPw , )( )( 都是多項式都是多項式和和其中其中zQzP在在復平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的

37、復平面內(nèi)使分母不為零的點也是連續(xù)的.541.31.3導數(shù)導數(shù)( (微分微分) )1.1.導數(shù)的定義導數(shù)的定義: :, , , )( 00的范圍的范圍不出不出點點點點中的一中的一為為定義于區(qū)域定義于區(qū)域設函數(shù)設函數(shù)DzzDzDzfw , )( . )( 00的導數(shù)的導數(shù)在在這個極限值稱為這個極限值稱為可導可導在在那末就稱那末就稱zzfzzf.)()(limdd)(00000zzfzzfzwzfzzz 記作記作 , )()(lim 000存在存在如果極限如果極限zzfzzfz 55在定義中應注意在定義中應注意:.)0(00的方式是任意的的方式是任意的即即 zzzz.)()(,0000都趨于同一個數(shù)

38、都趨于同一個數(shù)比值比值時時內(nèi)以任意方式趨于內(nèi)以任意方式趨于在區(qū)域在區(qū)域即即zzfzzfzDzz . )( , )( 可導可導在區(qū)域內(nèi)在區(qū)域內(nèi)就稱就稱我們我們內(nèi)處處可導內(nèi)處處可導在區(qū)域在區(qū)域如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf56例例1 .)(2的導數(shù)的導數(shù)求求zzf zzfzzfzfz )()(lim)(0解解zzzzz 220)(lim)2(lim0zzz .2z zz2)(2 57例例2 .Im)(的可導性的可導性討論討論zzf zzfzzfzf )()(解解zzzz Im)Im(zzzz ImImImzz Imyixyix )Im(,yixy ,0)0(時時而使而使向向當點沿平行于實軸的方當點沿

39、平行于實軸的方 zy58zzfzzfzfzz )()(limlim00, 0lim00 yixyyx,0)0(時時而使而使向向當點沿平行于虛軸的方當點沿平行于虛軸的方 zxzzfzzfzfzz )()(limlim00,1lim00iyixyxy ,0極限值不同極限值不同時時當點沿不同的方向使當點沿不同的方向使 z.Im)(在復平面上處處不可導在復平面上處處不可導故故zzf 59例例3 是否可導？是否可導？問問yixzf2)( zzfzzfzfzz )()(limlim00解解zyixiyyxxz 2)(2)(lim0yixyixz 2lim0 ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行

40、于設設zxzz xyoz0 y60 xyoz0 yyixyixz 2lim0, 1lim0 xxx ，軸的直線趨向于軸的直線趨向于沿著平行于沿著平行于設設zyzz 0 xyixyixz 2lim0, 22lim0 yiyiy不存在不存在的導數(shù)的導數(shù)所以所以.2)(yixzf 612.2.可導與連續(xù)可導與連續(xù): : 函數(shù)函數(shù) f (z) 在在 z0 處可導則在處可導則在 z0 處一定連續(xù)處一定連續(xù), 但但函數(shù)函數(shù) f(z) 在在 z0 處連續(xù)不一定在處連續(xù)不一定在 z0 處可導處可導.證證 , 0可導的定義可導的定義根據(jù)在根據(jù)在 z, 0, 0 , |0 時時使得當使得當 z,)()()( 00

41、0 zfzzfzzf有有)()()()( 000zfzzfzzfz 令令, 0)(lim 0 zz 則則 )()( 00zfzzf 因為因為 , )()(lim 000zfzzfz 所以所以 . )(0連續(xù)連續(xù)在在即即zzf證畢證畢 ,)( )(0zzzzf 623.3.求導法則求導法則: : 由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函由于復變函數(shù)中導數(shù)的定義與一元實變函數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致數(shù)中導數(shù)的定義在形式上完全一致, , 并且復變并且復變函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣函數(shù)中的極限運算法則也和實變函數(shù)中一樣, , 因而實變函數(shù)中的求導法則都可以不加更改地因而實變函數(shù)中的求導法則

42、都可以不加更改地推廣到復變函數(shù)中來推廣到復變函數(shù)中來, , 且證明方法也是相同的且證明方法也是相同的. .求導公式與法則求導公式與法則: . , 0)()1(為復常數(shù)為復常數(shù)其中其中cc .,)()2(1為正整數(shù)為正整數(shù)其中其中nnzznn 63 ).()()()()3(zgzfzgzf ).()()()()()()4(zgzfzgzfzgzf )0)(.)()()()()()()()5(2 zgzgzgzfzgzfzgzf )( ).()()()6(zgwzgwfzgf 其中其中0)( ,)()( ,)(1)()7( wwzzfwwzf 且且函數(shù)函數(shù)兩個互為反函數(shù)的單值兩個互為反函數(shù)的單值是

43、是與與其中其中644.4.微分的概念微分的概念: : 復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變復變函數(shù)微分的概念在形式上與一元實變函數(shù)的微分概念完全一致函數(shù)的微分概念完全一致. )( )( , )(, 0)(lim ,)()()()(,)( 000000線性部分線性部分的的的改變量的改變量是函數(shù)是函數(shù)小小的高階無窮的高階無窮是是式中式中則則可導可導在在設函數(shù)設函數(shù)wzfwzzfzzzzzzzzfzfzzfwzzfwz .)( , )( )(000zzfdwzzfwzzf 記作記作的微分的微分在點在點稱為函數(shù)稱為函數(shù)定義定義65. )( , 00可微可微在在則稱函數(shù)則稱函數(shù)的微分存在的微分存在如果函

44、數(shù)在如果函數(shù)在zzfz特別地特別地, , )( 時時當當zzf zwdd zzf )(0, z ,d)()(d00zzfzzfw 0dd)( 0zzzwzf 即即 .)(00可微是等價的可微是等價的可導與在可導與在在在函數(shù)函數(shù)zzzfw .)( ,)(內(nèi)可微內(nèi)可微區(qū)域區(qū)域在在則稱則稱內(nèi)處處可微內(nèi)處處可微區(qū)域區(qū)域在在如果函數(shù)如果函數(shù)DzfDzf66可導可導：對任何方向的對任何方向的，極限都存在并唯一。極限都存在并唯一。xyzzz zz復數(shù)復數(shù)復函數(shù)復函數(shù)z沿任一曲線沿任一曲線逼近零。逼近零。5 5柯西柯西黎曼方程黎曼方程0 xx實數(shù)x實數(shù)實數(shù)： x沿實軸逼近零沿實軸逼近零。因此，復函數(shù)的可導性是比實函因此，復函數(shù)的可導性是比實函數(shù)的可導性條件強得多。數(shù)的可導性條件強得多。67柯西柯西黎曼方程黎曼方程z沿實軸, y0 xvixuzxvixuzz0limyiviyiuzyuiyvzz0lim可導，要求二者相等xvyuyvxu必要條件z沿虛軸, x068可導的充分條件:f(z)的yvxvyuxu,存在，連續(xù)且滿足柯西黎曼方程。證：偏導數(shù)連續(xù)，則二元函數(shù)u 和v 的增量可分別寫為12uuuxyxyxy34vvvxyxyxy隨著則000()limlimlimzzz