數(shù)值分析-數(shù)值計(jì)算方法

1、數(shù)值計(jì)算方法數(shù)值計(jì)算方法The Method of Numerical ComputationNumerical Analysis教教 材材林成森 編著數(shù)值計(jì)算方法 上下冊科學(xué)出版社 1998先行課程先行課程 數(shù)學(xué)分析 ( Mathematical Analysis ) 線性代數(shù) ( Linear Algebra ) 常微分方程 ( Original Differential Equation 簡寫為 ODE ) 計(jì)算機(jī)基礎(chǔ)及計(jì)算機(jī)語言第一章第一章 算術(shù)運(yùn)算中的誤差分析初步算術(shù)運(yùn)算中的誤差分析初步 數(shù)值方法、算法 誤差來源 誤差大小的衡量方法 舍入誤差與有效數(shù)字 數(shù)據(jù)誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 機(jī)

2、器誤差數(shù)值方法數(shù)值方法( (Numerical Method)Numerical Method)： 數(shù)值方法是對給定問題的輸入數(shù)據(jù)和所需計(jì)算結(jié)果之間的關(guān)系的一種明確的描述。例： 用 Newton 法 ( 將在 Ch2 4 中討論) 計(jì)算 3 。給定3的一個初始近似值 )0(,00 xx由迭代公式： ,2, 1,)3(2111nxxxnnn產(chǎn)生一個序列 ,10nxxx算法：算法：( (Algorithm)Algorithm) 它是算術(shù)和邏輯運(yùn)算的完整描述，按一定順序執(zhí)行這些運(yùn)算，經(jīng)有限步把輸入數(shù)據(jù)的每一個容許集轉(zhuǎn)換成輸出數(shù)據(jù)。建立數(shù)值方法的基本原則：建立數(shù)值方法的基本原則： 便于在計(jì)算機(jī)上實(shí)現(xiàn)

3、計(jì)算工作量盡量小 存儲量盡量小 問題的解與近似解的誤差小誤差的來源誤差的來源( (Error Resource)Error Resource)：模型誤差 ( Model Error )數(shù)據(jù)誤差 ( Data Error )截?cái)嗾`差 (Truncation Error )離散誤差 ( Discrete Error )數(shù)據(jù)計(jì)算過程中的誤差誤差大小的衡量：誤差大小的衡量：絕對誤差 （ absolute error ) 相對誤差 （ relative error )誤差界 （ bound of error ) 舍入誤差與有效數(shù)字舍入誤差與有效數(shù)字 舍入誤差 （rounding error )（四舍五入

4、表示近似數(shù)產(chǎn)生的誤差 ） 有效數(shù)字 第一位非零數(shù)字到最右邊的數(shù)字為止的所有的數(shù)字被稱為有效數(shù)字有效數(shù)字。數(shù)據(jù)誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播數(shù)據(jù)誤差在算術(shù)運(yùn)算中的傳播 初始數(shù)據(jù)誤差和計(jì)算結(jié)果中產(chǎn)生的誤差之間的關(guān)系 避免相減相消避免相減相消。設(shè)yx,分別是初始數(shù)據(jù)yx,的近似值，即yxeyyexx,yxee ,分別是yx,的絕對誤差?？疾煊脃x,分別代替yx,計(jì)算函數(shù)值 ),(yxfz 產(chǎn)生的誤差。即),(yxfz 的誤差。 假設(shè)絕對誤差yxee ,的絕對值都很小，且),(yxf可微，則z的誤差 ),(),(yxfyxfzzez可以近似地表示成 yxzeyxyfeyxxfe),)(),)( （5. 1）而

5、且， yeyxyfzyxeyxxfzxzeryxzz),)(),)( yxryxyfzyryxxfzx),)(),)( (5. 2)初始數(shù)據(jù)誤差和計(jì)算結(jié)果中產(chǎn)生的誤差之間有下列關(guān)系（1）:),(yxyxf絕對誤差： yxyxeee；相對誤差： yxyxryxyryxxr從上式可見，接近相等的同號數(shù)相減時，會使計(jì)算結(jié)果的誤差變得很大。 故應(yīng)避免相減相消故應(yīng)避免相減相消。（2）:),(xyyxf 絕對誤差： yxyxexeye； 相對誤差： yxyxrrr （3）:/),(yxyxf 絕對誤差： 2/yexeyeyxyx； 從上式可見， 應(yīng)避免絕對值很小的數(shù)作分母。 相對誤差： yxyxrrr/例

6、 1 求方程 0,02acbxax 的兩個根分別為 aacbbx2421和 aacbbx2422若,0b且042 acb，則1x需改為 acbbcx4221例例 2 計(jì)算表達(dá)式 xcos1。 當(dāng) 0 x時 為避免相減相消，應(yīng)利用 恒等式 2sin2cos12xx 機(jī)器誤差機(jī)器誤差 計(jì)算機(jī)中數(shù)的表示 浮點(diǎn)運(yùn)算和舍入誤差設(shè)計(jì)算機(jī)中的數(shù)x為有限位小數(shù)，表示為 tkkkJdx11010 (6.1)其中UJL（L 和 U 是正整數(shù)或零）t 為計(jì)算機(jī)的字長字長，tidi, 1,都是9 , 2 , 1 , 0中的一個數(shù)字若記 ttkkkdddda211. 010 (6.2)則 Jax10 (6.3) 如果

7、J 不變，則(6.4)或(6.5)為定點(diǎn)定點(diǎn)表示，此時通常取 tJJ 0 或 如果階 J 可變，則(6.4)或(6.5)為浮點(diǎn)浮點(diǎn)表示， 若尾數(shù)的第一位數(shù)字1d非零，則該數(shù)稱為規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)。尾數(shù)對十進(jìn)制滿足 11 . 0 a 對二進(jìn)制滿足 121 a 例：例： 若2, 1, 3, 2ULtp 則相應(yīng)的規(guī)格化浮點(diǎn)數(shù)共有 33 個浮點(diǎn)數(shù)。 J=-1 J=0 J=1 J=2 41 21 1 2 165 85 45 25 83 43 23 3 167 87 47 27 以及數(shù) 0. 令 xxxR 則對十進(jìn)制系統(tǒng)有tRxx105),1 ( (6.11)對二進(jìn)制系統(tǒng)有 t2 (6.16)若用只

8、“舍”不“入”的斷位法，則界為 t 110 或 t 12 浮點(diǎn)數(shù)計(jì)算時，對加減法，首先要對階， 即將兩數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對齊，使其階相等。 對階方法是：階小的向大的對。然后尾數(shù)相加。 浮點(diǎn)數(shù)加減法分別記為 例 1： 10, 5pt，用斷位法。計(jì)算 0.3124910 0.82718撞=0.11396壯 例 2： 10, 5pt，用舍入法。計(jì)算 0.2106210-5 0.12345 10-3=0.1255610-3 例 3 在5, 3,10ULtp的斷位機(jī)上 對數(shù) 0.0438 , 0.0693 , 13.2 進(jìn)行加法運(yùn)算那么 先加前兩個數(shù)后再加第三個數(shù)為 0.13310 若先加后兩個數(shù)再加第一個數(shù)為

9、 0.13210 由此可見，對于浮點(diǎn)運(yùn)算，通常的運(yùn)算規(guī)律通常的運(yùn)算規(guī)律 不再成立。不再成立。 例 4 在5, 3,10ULtp的斷位機(jī)上求 x=0.12378, y=0.12362 的差。則 3101000. 0RRyxRx的相對誤差為 410467. 6RRxxxRy的相對誤差為 410618. 1RRyyy但00016. 0 yx， RRyx 的相對誤差為 6 . 00001. 000006. 0 出現(xiàn)相減相消。 作乘法運(yùn)算時，不必對階。下面考察計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的舍入誤差：下面考察計(jì)算機(jī)中浮點(diǎn)數(shù)的算術(shù)運(yùn)算的舍入誤差： 設(shè) Fyx,，均為規(guī)格化的浮點(diǎn)數(shù)。 用)/(),(),(yxfl

10、yxflyxfl分別表示得到準(zhǔn)確的yxyxyx/,后按相關(guān)舍入規(guī)則進(jìn)行舍入的結(jié)果，即 Ryxyxfl)()( RRyxyxflyxyxfl)/()/(,)()(就上述例 2， 3101255562. 0 yx因此31012556. 0)(,yxflFyx而據(jù)(6.11)和(6.16)式，立得下述定理：定理定理 1 )1)()(1yxyxfl (6.17) )1)()(2yxyxfl (6.18) )1)()(3yxyxfl (6.19) )1)(/()/(4yxyxfl (6.20)其中 , 4 , 3 , 2 , 1, iepsi （二進(jìn)制系統(tǒng)）（十進(jìn)制系統(tǒng)）tteps2105下面討論更復(fù)雜

11、的浮點(diǎn)運(yùn)算的誤差界：下面討論更復(fù)雜的浮點(diǎn)運(yùn)算的誤差界： 通過例子可見，在做三個以上的數(shù)的加法運(yùn)算時，做三個以上的數(shù)的加法運(yùn)算時，需要考慮相加的兩個同號數(shù)的階數(shù)應(yīng)盡量接近。需要考慮相加的兩個同號數(shù)的階數(shù)應(yīng)盡量接近。 定義 )()(zyxflflzyxfl據(jù)(6.17)式，)1 ()1)(1)()1)()1)()1)()(221211zyxzyxzyxflzyxfl (6.21)其中 . 2 , 1, iepsi為估計(jì))1 (i，先證明下面的引理引理引理（Lemma） 若), 2 , 1(niepsi， 且01. 0epsn，則 niiepsnepsn101. 11)1 (1， (6.23)其中

12、二進(jìn)制系統(tǒng)）十進(jìn)制系統(tǒng)）；(2(105tteps(6.23)式還可改寫成 1,01. 11)1 (1niiepsn (6.24)證明證明 ( Proof ) 由假設(shè)epsi，有 nininepseps1)1 ()1 ()1 ( (6.25)對函數(shù)nx)1 ( 作 Taylor 展開 nxxxnnnxxnn1)1 (2) 1(1)1 (22(6.26)由(6.25)的左邊不等式及(6.26)式，便證得(6.23)的左邊不等式。又由于 ! 3! 2132xxxex )! 4231 (212xxxxx當(dāng)01. 00 x，有 xxexexx01. 11201. 01101. 0于是有 epsneepsepsnn01. 11)1 ( （6.27）由(6.25)右邊不等式及(6.27)式，便證得(6.23)的右邊不等式 用歸納法可以證明下面的定理：定理（Theorem）若01. 0epsn，則 )2(01. 11 )01. 11 ()(21111epsinyxepsnyxyxfliiniiinii (6.28)其中 ., 2 , 1, 1nii以上誤差分析的一個特點(diǎn)是，將初始數(shù)據(jù)的實(shí)際浮點(diǎn)運(yùn)算歸結(jié)為初始近似數(shù)據(jù)的精確數(shù)學(xué)運(yùn)算。誤差分析的方法誤差分析的方法 向后誤差分析-將計(jì)算過程的誤差歸結(jié)為初始誤差的誤差，這種誤差分析方法稱為向后誤差分析； 向前誤差分