向量與解析幾何ppt課件

1、向量的向量的線性運算線性運算向量的向量的表示法表示法向量積向量積數(shù)量積數(shù)量積混合積混合積向量的積向量的積向量概念向量概念（一向量代數(shù)（一向量代數(shù)一、向量代數(shù)和空間解幾一、向量代數(shù)和空間解幾1 1、向量的概念、向量的概念定義定義:既有大小又有方向的量稱為向量既有大小又有方向的量稱為向量.自由向量、自由向量、 相等向量、相等向量、 負向量、負向量、向徑向徑.重要概念重要概念:零向量、零向量、向量的模、向量的模、單位向量、單位向量、平行向量、平行向量、(1) 加法：加法：cba 2 2、向量的線性運算、向量的線性運算dba ab(2) 減法：減法：cba dba (3) 向量與數(shù)的乘法：向量與數(shù)的乘

2、法：設設 是是一一個個數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa 向量的分解式：向量的分解式：,zyxaaaa .,軸軸上上的的投投影影分分別別為為向向量量在在其其中中zyxaaazyxkajaiaazyx 在三個坐標軸上的分向量：在三個坐標軸上的分向量：kajaiazyx,向量的坐標表示式：向量的坐標表示式：向量的坐標：向量的坐標：zyxaaa,3 3、向量的表示法、向量的表示法向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式向量的加減法、向量與數(shù)的乘積等的坐標表達式,zyxaaaa ,

3、zyxbbbb ,zzyyxxbabababa ,zzyyxxbabababa ,zyxaaaa kbajbaibazzyyxx)()()( kbajbaibazzyyxx)()()( kajaiazyx)()()( 222|zyxaaaa 向量模長的坐標表示式向量模長的坐標表示式222coszyxxaaaa 222coszyxyaaaa 222coszyxzaaaa 向量方向余弦的坐標表示式向量方向余弦的坐標表示式)1coscoscos(222 4 4、數(shù)量積、數(shù)量積 cos|baba 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角(點積、內(nèi)積點積、內(nèi)積)zzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標表達式

4、數(shù)量積的坐標表達式ba 0 zzyyxxbababa222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa 兩向量夾角余弦的坐標表示式兩向量夾角余弦的坐標表示式5 5、向量積、向量積 sin|bac 其中其中 為為a與與b的夾角的夾角c的方向既垂直于的方向既垂直于a，又垂直于，又垂直于b，指向符合，指向符合右手系右手系.(叉積、外積叉積、外積)kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標表達式向量積的坐標表達式ba zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa ,cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa 6 6

5、、混合積、混合積abc ba h|,cbaV 直直 線線曲面曲面曲線曲線平平 面面參數(shù)方程參數(shù)方程旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱柱 面面二次曲面二次曲面一般方程一般方程參數(shù)方程參數(shù)方程一般方程一般方程對稱式方程對稱式方程 點法式方程點法式方程一般方程一般方程空間直角坐標系空間直角坐標系（二空間解析幾何（二空間解析幾何x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點定點o1 1、空間直角坐標系、空間直角坐標系空間的點空間的點有序數(shù)組有序數(shù)組),(zyxxyoz空空間間直直角角坐坐標標系系共有一個原點共有一個原點,三個坐標軸三個坐標軸,三個坐標面三個坐標面,八個卦限八個卦限. 21221221221zzyyxxMM 它們

6、距離為它們距離為設設),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點點兩點間距離公式兩點間距離公式:曲面方程的定義：曲面方程的定義：如如果果曲曲面面S與與三三元元方方程程0),( zyxF有有下下述述關關系系：(1) 曲面曲面S上任一點的坐標都滿足方程；上任一點的坐標都滿足方程；那那么么，方方程程0),( zyxF就就叫叫做做曲曲面面S的的方方程程，而而曲曲面面S就就叫叫做做方方程程的的圖圖形形.2 2、曲面、曲面(2) 不不在在曲曲面面S上上的的點點的的坐坐標標都都不不滿滿足足方方程程；研究空間曲面的兩個基本問題：研究空間曲面的兩個基本問題：（2已知坐標間的關系式，研究曲面形

7、狀已知坐標間的關系式，研究曲面形狀.（1已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程已知曲面作為點的軌跡時，求曲面方程.1 旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面定義：以一條平面曲線繞定義：以一條平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱之一周所成的曲面稱之.這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸這條定直線叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸.方程特點方程特點:0),()2(0),()1(00),(:2222 yzxfyLzyxfxLzyxfL方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線方程為方程為軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)曲面繞繞曲線曲線設有平面曲線設有平面曲線（2圓錐面圓錐面222zyx （1球面球

8、面（3旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面1222222 czayax1222 zyx2 柱面柱面定義：定義：平行于定直線并沿定曲線平行于定直線并沿定曲線C移動的直線移動的直線L所形成的曲面稱之所形成的曲面稱之.這條定曲線叫柱面這條定曲線叫柱面的準線，動直線叫的準線，動直線叫柱面的母線柱面的母線.從柱面方程看柱面的特征：從柱面方程看柱面的特征： 只只含含yx,而而缺缺z的的方方程程0),( yxF，在在空空間間直直角角坐坐標標系系中中表表示示母母線線平平行行于于z軸軸的的柱柱面面，其其準準線線為為xoy面面上上曲曲線線C.(1) 平面平面 xy (3) 拋物柱面拋物柱面 )0(22 ppyx(4) 橢圓柱面橢

9、圓柱面 12222 byax(2) 圓柱面圓柱面 222Ryx 3 二次曲面二次曲面定義定義:三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面三元二次方程所表示的曲面稱為二次曲面.（1橢球面橢球面1222222 czbyaxzqypx 2222（2橢圓拋物面橢圓拋物面)(同同號號與與qpzqypx 2222（3馬鞍面馬鞍面)(同同號號與與qp（4單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax（5圓錐面圓錐面222zyx 3 3、空間曲線、空間曲線 0),(0),(zyxGzyxF1 空間曲線的一般方程空間曲線的一般方程 )()()(tzztyytxx2 空間曲線的參數(shù)方程空間曲線的參數(shù)方程 22222)

10、21()21(1yxyxz 2sinsin2121cos21tztytx如圖空間曲線如圖空間曲線一般方程為一般方程為參數(shù)方程為參數(shù)方程為3 空間曲線在坐標面上的投影空間曲線在坐標面上的投影 0),(0),(zyxGzyxF消去變量消去變量z后得：后得：0),( yxH設空間曲線的一般方程：設空間曲線的一般方程： 00),(zyxH曲線在曲線在 面上的投影曲線為面上的投影曲線為xoy 00),(xzyR 00),(yzxT面上的投影曲線面上的投影曲線yoz面上的投影曲線面上的投影曲線xoz如圖如圖:投影曲線的研究過程投影曲線的研究過程.空間曲線空間曲線投影曲線投影曲線投影柱面投影柱面4 空間立體

11、或曲面在坐標面上的投影空間立體或曲面在坐標面上的投影空間立體空間立體曲面曲面4 4、平面、平面,CBAn ),(0000zyxMxyzon0MM1 平面的點法式方程平面的點法式方程0)()()(000 zzCyyBxxA2 平面的一般方程平面的一般方程0 DCzByAx1 czbyax3 平面的截距式方程平面的截距式方程xyzoabc0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA4 平面的夾角平面的夾角222222212121212121|cosCBACBACCBBAA 5 兩平面位置特征：兩平面位置特征：21)1( 0212121 CCBBAA21)2( /212121CCBB

12、AA 1 1n2 2n 5 5、空間直線、空間直線0:11111 DzCyBxA0:22222 DzCyBxA 00:22221111DzCyBxADzCyBxAL1 空間直線的一般方程空間直線的一般方程xyzo1 2 LxyzosL0M M 3 空間直線的參數(shù)方程空間直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 2 空間直線的對稱式方程空間直線的對稱式方程 ptzzntyymtxx000),(0000zyxM,pnms 直線直線:1L111111pzznyymxx 直線直線:2L222222pzznyymxx 22222221212121212121|),cos(pnmpnmppnnmmLL 兩直

13、線的夾角公式兩直線的夾角公式4 兩直線的夾角兩直線的夾角5 兩直線的位置關系：兩直線的位置關系：21)1(LL 0212121 ppnnmm21)2(LL/212121ppnnmm pzznyymxxL000: 0: DCzByAx6 直線與平面的夾角直線與平面的夾角222222|sinpnmCBACpBnAm 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式)20( 7 直線與平面的位置關系直線與平面的位置關系 L)1(pCnBmA L)2(/0 CpBnAm8 點到平面的距離公式點到平面的距離公式),(000zyx0 DCzByAx到到平平面面222000CBADCzByAxd 的的距距離離解：解

14、：22)cos()sin( abab 22ba 22)(,bababbaa 求求設設例例2222)cos()sin()( babababa 典型例題典型例題例例）（正正確確的的是是：均均為為向向量量，下下列列等等式式中中設設 ,cba22)()( .bababaA 222)( .babaB bbaababaC )()( .baabaD2)( . bbbabaaababa )()( 22ba 解解22),cos()(bababa bbabbaaababa )()(ba 2baaba2)(和和 兩兩個個向向量量。一一般般為為兩兩個個方方向向不不同同的的A故故選選00例例）（為為則則）設設（ )()

15、()(, 2accbbacba 6 D. 5 C. 4 B. 3 .A)()()(accbba 解解：)(accbbbcaba 0)(accbcaba acbacaabaccbccacba )()()()()()(4 cba )(2B 選選例例3 D. 2 C. 1 B. 0 .A）則則 ( cba, bacacbcbacba 為為非非零零向向量量，且且設設解：解：由由條條件件知知必必定定兩兩兩兩垂垂直直，cbacba 由由cba 知知1 cba從從而而有有cab 類類似似地地abc D 選選例例）直直線線方方程程為為（平平行行的的和和且且與與兩兩個個平平面面（過過點點 2312)4 , 2

16、, 0 zyzxPPl34120. zyxA24021. zyxB14322. zyxC14322. zyxD解：解：向向向向量量即即可可。只只要要求求出出所所求求直直線線的的方方1 , 3 , 2310201 kji方向向量方向向量D選選方方程程坐坐標標面面上上的的投投影影在在求求曲曲線線例例xoyzxzyxC 129222解解，得，得從方程組中消去從方程組中消去 z9)21(222 xyx化化簡簡，得得544)52(522 yx面上的投影為面上的投影為則在則在 xoy 0544)52(522zyx例例解解.02:01012:上的投影直線的方程上的投影直線的方程在平面在平面求直線求直線 zy

17、xzyxzyxL的平面束方程為的平面束方程為過直線過直線 L, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 L, 014 即即41 故故,代代入入平平面面束束方方程程將將 . 013 zyx得得所求投影直線方程為所求投影直線方程為.02013 zyxzyx, 垂直于平面垂直于平面又又. 0)1()1(2)1(1)2( 一、一、 選擇題：選擇題： 1 1、 若、 若a，b為共線的單位向量， 則它們的數(shù)量積為共線的單位向量， 則它們的數(shù)量積 ba （ ）. . （A A） 1 1； （B B）-1-1； （C C） 0 0； （D D）),cos(ba. .2 2、

18、 向向量量 ba與與二二向向量量a及及b的的位位置置關關系系是是（ ）. .（A A） 共共面面； （B B）共共線線；（C C） 垂垂直直； （D D）斜斜交交 . .測測 驗驗 題題 3 3、設向量、設向量Q與三軸正向夾角依次為與三軸正向夾角依次為 ,，當，當 0cos 時，有時，有（ ）4 4、設設向向量量Q 與與三三軸軸正正向向夾夾角角依依次次為為 ,當當 1cos 時時有有（ ）面面面面面面面面；xozQDxozQCyozQBxoyQA )(;)(;)()(面面面面面面面；面；xoyQDxozQCyozQBxoyQA)(;)(;)()( 5 5、 2)( （ ）（A A）22 ； （B B）222 ；（C C）22 ； （D D）222 . .6 6、 設平面方程為、 設平面方程為0 DCzBx， 且， 且0, DCB， 則則 平面平面（ ）. .（A A） 軸軸平行于平行于 x；（B B） 軸軸平行于平行于 y；（C C） 軸軸經(jīng)過經(jīng)過 y；（D D） 軸軸垂直于垂直于 y. .7