結(jié)構(gòu)力學(xué)——第7章力法課件

1、第 七 章 力 法7-2 超靜定次數(shù)的確定7-3 力法的基本概念7-4 力法的典型方程7-6 對稱性的利用 7-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 7-8 最后內(nèi)力圖的校核7-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱7-12 兩鉸拱及系桿拱7-5 力法的計(jì)算步驟和示例7-1 概述7-13 超靜定結(jié)構(gòu)的特性 7-1 概述超靜定結(jié)構(gòu)：用平衡條件不能確定全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。超靜定結(jié)構(gòu)：用平衡條件不能確定全部反力和內(nèi)力的結(jié)構(gòu)。圖圖a所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。所示梁僅由平衡條件無法確定豎向反力。其幾何構(gòu)造特征是具有一個(gè)多余聯(lián)系。其幾何構(gòu)造特征是

2、具有一個(gè)多余聯(lián)系。多余未知力多余未知力：多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力。如圖：多余聯(lián)系中產(chǎn)生的力。如圖b中的中的X1?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯(lián)系?？蓪⑷我回Q向支座鏈桿作為多余聯(lián)系。 圖圖a所示桁架僅由平衡條件無所示桁架僅由平衡條件無法確定桿件內(nèi)力。其幾何構(gòu)造特征法確定桿件內(nèi)力。其幾何構(gòu)造特征是具有兩個(gè)多余聯(lián)系。是具有兩個(gè)多余聯(lián)系?？蓪筛睏U作為多余聯(lián)系如圖可將兩根斜桿作為多余聯(lián)系如圖b。常見的超靜定結(jié)構(gòu)類型常見的超靜定結(jié)構(gòu)類型超靜定拱超靜定拱7-1 概述超靜定剛架超靜定剛架超靜定桁架超靜定桁架求解超靜定結(jié)構(gòu)的條件求解超靜定結(jié)構(gòu)的條件（1）平衡條件：）平衡條件： 受力狀態(tài)滿足平衡方程受力狀態(tài)滿足平衡

3、方程（2）幾何條件：）幾何條件： 結(jié)構(gòu)的變形和位移符合支結(jié)構(gòu)的變形和位移符合支 承約束條件和各部件之間承約束條件和各部件之間 的變形連續(xù)條件的變形連續(xù)條件（3）物理?xiàng)l件：）物理?xiàng)l件： 變形或位移與力之間的物變形或位移與力之間的物 理關(guān)系理關(guān)系從靜力分析看：從靜力分析看：超靜定次數(shù)超靜定次數(shù) = 多余未知力的數(shù)目多余未知力的數(shù)目從幾何構(gòu)造看：從幾何構(gòu)造看：超靜定次數(shù)超靜定次數(shù) = 多余聯(lián)系的數(shù)目多余聯(lián)系的數(shù)目（1）去掉或切斷一根鏈桿，）去掉或切斷一根鏈桿， 相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。相當(dāng)于去掉一個(gè)聯(lián)系。7-2 超靜定次數(shù)的確定（2）拆開一個(gè)單鉸，相當(dāng)于）拆開一個(gè)單鉸，相當(dāng)于 去掉兩個(gè)聯(lián)系。去掉兩個(gè)聯(lián)系

4、。（3）切開一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，或去掉）切開一個(gè)剛結(jié)點(diǎn)，或去掉 一個(gè)固定端，相當(dāng)于去掉一個(gè)固定端，相當(dāng)于去掉 三個(gè)聯(lián)系。三個(gè)聯(lián)系。（4）剛結(jié)改為單鉸聯(lián)結(jié)，相當(dāng)）剛結(jié)改為單鉸聯(lián)結(jié)，相當(dāng) 于去掉一個(gè)聯(lián)系。于去掉一個(gè)聯(lián)系。21次次超超靜靜定定7-2 超靜定次數(shù)的確定圖圖a所示結(jié)構(gòu)，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結(jié)處后，得到圖所示結(jié)構(gòu)，在拆開單鉸、切斷鏈桿、切開剛結(jié)處后，得到圖b所示靜定結(jié)構(gòu)所示靜定結(jié)構(gòu)6次超靜定次超靜定同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以用不同方式去掉多余聯(lián)系，如圖c、d所示靜定結(jié)構(gòu)所示靜定結(jié)構(gòu)對于有較多框格的結(jié)構(gòu)，一個(gè)封閉無鉸的框格，其超靜定次數(shù)等于對于有較多

5、框格的結(jié)構(gòu)，一個(gè)封閉無鉸的框格，其超靜定次數(shù)等于3。16次次超超靜靜定定9次次超超靜靜定定7-3 力法的基本概念基本未知量基本未知量多余聯(lián)系上的多余未知力多余聯(lián)系上的多余未知力 圖圖a所示梁是一次超靜定結(jié)構(gòu)。把支座所示梁是一次超靜定結(jié)構(gòu)。把支座B作為多余聯(lián)系去掉得到圖作為多余聯(lián)系去掉得到圖b中的靜定結(jié)構(gòu)。中的靜定結(jié)構(gòu)?；窘Y(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)去掉多余聯(lián)系后得到的去掉多余聯(lián)系后得到的 靜定結(jié)構(gòu)靜定結(jié)構(gòu)基本體系基本體系基本結(jié)構(gòu)作用原荷載和基本結(jié)構(gòu)作用原荷載和 多余未知力多余未知力基本體系基本體系 圖圖c表示表示X1單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，B點(diǎn)點(diǎn)沿沿X1方向的位移，沿方向的位移，沿X1方

6、向?yàn)檎?。方向?yàn)檎?圖圖d表示荷載表示荷載q單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，單獨(dú)作用在基本結(jié)構(gòu)上，B點(diǎn)沿點(diǎn)沿X1方向的位移。方向的位移。 1= 11 + 1P=0原結(jié)構(gòu)原結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿點(diǎn)沿X1方向的位移方向的位移 1 =0。力法基本方程力法基本方程可寫為可寫為7-3 力法的基本概念11表示表示X1=1時(shí)，時(shí)，B點(diǎn)沿點(diǎn)沿X1方向的位移，方向的位移，11= 11X1。 11 + 1P=00P1111 X 繪出基本結(jié)構(gòu)在繪出基本結(jié)構(gòu)在X1=1、荷載、荷載q作用作用下的彎矩圖，如圖下的彎矩圖，如圖a、b。EIlllEI332213211EIqlllEI8)231(142P1可得可得)(831qlX疊加法繪彎矩圖疊加

7、法繪彎矩圖P11MXMM圖圖a是三次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉固定支座是三次超靜定結(jié)構(gòu)，去掉固定支座A，得如圖得如圖b所示的基本結(jié)構(gòu)。所示的基本結(jié)構(gòu)。7-4 力法的典型方程位移條件：位移條件：A處不能有任何位移。處不能有任何位移。 1= 0， 2=0， 3=0111321XXX、和和F分別作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)分別作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)A點(diǎn)沿點(diǎn)沿X1方向的位移分別為方向的位移分別為1P131211、A點(diǎn)沿點(diǎn)沿X2方向的位移分別為方向的位移分別為2P232221、A點(diǎn)沿點(diǎn)沿X3方向的位移分別為方向的位移分別為3P333231、位移條件可寫為位移條件可寫為000P33332321313P23232221212P1313

8、2121111XXXXXXXXX7-4 力法的典型方程 n次超靜定結(jié)構(gòu)，有次超靜定結(jié)構(gòu)，有n個(gè)多余未知力，有個(gè)多余未知力，有n個(gè)已知位移條個(gè)已知位移條件，可建立件，可建立n個(gè)方程。當(dāng)個(gè)方程。當(dāng)n個(gè)已知位移條件都為個(gè)已知位移條件都為0時(shí)，方程為時(shí)，方程為000P2211P2211P111212111nnnnininnininiiiiinniiXXXXXXXXXXXX力法典型方程力法典型方程ii主系數(shù)，恒大于主系數(shù)，恒大于0。ij副系數(shù)，副系數(shù)，jiijPi自由項(xiàng)自由項(xiàng)柔度系數(shù)柔度系數(shù)柔度方程柔度方程圖圖a所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座所示剛架為兩次超靜定，去掉鉸支座B，得基本體系如圖，得基本體

9、系如圖b 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例基本體系基本體系由由B點(diǎn)的位移條件，建立力法典型方程為點(diǎn)的位移條件，建立力法典型方程為00P2222121P1212111XXXX求系數(shù)和自由項(xiàng)求系數(shù)和自由項(xiàng)7-5 力法的計(jì)算步驟和示例132111632221EIaaaEI1321212265322121EIaaaEIaaEI132121124221EIaaEI131P196565)2221(21EIFaaaFaEI131P216)2221(21EIFaaaFaEI代入典型方程解得代入典型方程解得88311421FXFX，疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖P22111MXMXMM 在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力

10、只與各桿的剛度相對值在荷載作用下，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力只與各桿的剛度相對值有關(guān)，與其剛度絕對值無關(guān)。同一材料組成的結(jié)構(gòu)，內(nèi)力與材有關(guān)，與其剛度絕對值無關(guān)。同一材料組成的結(jié)構(gòu)，內(nèi)力與材料性質(zhì)無關(guān)。料性質(zhì)無關(guān)。力法的計(jì)算步驟力法的計(jì)算步驟（1）確定超靜定次數(shù)，去掉多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)，）確定超靜定次數(shù)，去掉多余聯(lián)系，得到靜定的基本結(jié)構(gòu)， 以多余未知力代替相應(yīng)多余聯(lián)系。以多余未知力代替相應(yīng)多余聯(lián)系。（2）根據(jù)多余聯(lián)系處的位移條件，建立力法的典型方程。）根據(jù)多余聯(lián)系處的位移條件，建立力法的典型方程。（3）作基本結(jié)構(gòu)各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖，）作基本結(jié)構(gòu)各單位內(nèi)力圖和荷載內(nèi)力圖， 計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。

11、計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。（4）解算典型方程，求出各多余未知力。）解算典型方程，求出各多余未知力。（5）由平衡條件或疊加法求得最后內(nèi)力。）由平衡條件或疊加法求得最后內(nèi)力。7-5 力法的計(jì)算步驟和示例例例7-1 試試分析圖分析圖a所示兩端固定梁所示兩端固定梁。EI=常數(shù)。常數(shù)。解：取簡支梁為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖解：取簡支梁為基本結(jié)構(gòu)，基本體系如圖b所示。所示。 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例基本體系基本體系典型方程為典型方程為 000P3333232131P2323222121P1313212111XXXXXXXXX各彎矩圖如圖各彎矩圖如圖c、d、e、f 。 000NPN2N1S33FFFFM，因因故故

12、0003P32233113，033EAl03X0333X可得可得 兩端固定的梁在垂直于梁軸線兩端固定的梁在垂直于梁軸線的荷載作用下，不產(chǎn)生水平反力。的荷載作用下，不產(chǎn)生水平反力。典型方程變?yōu)榈湫头匠套優(yōu)?-5 力法的計(jì)算步驟和示例00P2222121P1212111XXXX求各系數(shù)和自由項(xiàng)（只考慮彎矩影響）求各系數(shù)和自由項(xiàng)（只考慮彎矩影響）EIlblFablblllFabEI6)(3)21(1P1EIlalFab6)(P2EIlEIlEIl63321122211，代入典型方程解得代入典型方程解得222221lbFaXlFabX，最后彎矩圖如下圖最后彎矩圖如下圖7-5 力法的計(jì)算步驟和示例例例7

13、-2 試試用力法計(jì)算圖用力法計(jì)算圖a所示超靜定桁架的內(nèi)力所示超靜定桁架的內(nèi)力。設(shè)各桿設(shè)各桿EA相同。相同。解：這是一次超靜定結(jié)構(gòu)，解：這是一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷上弦桿用切斷上弦桿用X1 代替代替，基本體系如圖，基本體系如圖b所示。所示。 基本體系基本體系位移條件：桿件切口兩側(cè)軸向相對位移為位移條件：桿件切口兩側(cè)軸向相對位移為0。0P1111 X典型方程為典型方程為各內(nèi)力圖如圖各內(nèi)力圖如圖c、d。 FaEAaEA1P11，)223(2231FX7-5 力法的計(jì)算步驟和示例NP1N1NFXFF各桿最后內(nèi)力按疊加法計(jì)算如圖。各桿最后內(nèi)力按疊加法計(jì)算如圖。也可也可將上弦桿去掉用將上弦桿去掉用X1代替代替

14、，基本體系如圖，基本體系如圖a所示。所示。 EAaXX21P1111典型方程為典型方程為典型方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在典型方程的物理意義：基本結(jié)構(gòu)在F和和X1共同作用下，結(jié)點(diǎn)共同作用下，結(jié)點(diǎn)3、4 所產(chǎn)生的水平相對線位移等于原結(jié)構(gòu)的所產(chǎn)生的水平相對線位移等于原結(jié)構(gòu)的 相對線位移。相對線位移。 注意：系數(shù)注意：系數(shù)11中不包含中不包含34桿件。桿件。 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例例例7-3 圖圖a為一加勁梁，橫梁為一加勁梁，橫梁I=110-4m4，鏈桿，鏈桿A=110-3m2， E=常數(shù)。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈常數(shù)。試求梁的彎矩圖和各桿的軸力，并討論改變鏈 桿截面桿截面A時(shí)的內(nèi)

15、力變化。時(shí)的內(nèi)力變化。解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，切斷豎向鏈桿解：這是一次超靜定組合結(jié)構(gòu)，切斷豎向鏈桿 用用X1代替，基本體系如圖代替，基本體系如圖b所示。所示。 基本體系基本體系位移條件：切口處相對軸向位移為位移條件：切口處相對軸向位移為0。 0P1111 X典型方程為典型方程為各內(nèi)力圖如圖各內(nèi)力圖如圖c、d。梁只計(jì)彎矩影響。梁只計(jì)彎矩影響。 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例EEAlFFEIsMMEEAlFEIsMkN/m10333. 5dm10189. 1d6NP1NP11P-1521N2111由位移計(jì)算公式由位移計(jì)算公式 解得解得 kN9 .441X最后內(nèi)力最后內(nèi)力 NP1N1NP11FXF

16、FMXMM梁的彎矩、各桿軸力如圖梁的彎矩、各桿軸力如圖e。 與沒有鏈桿時(shí)比較最大彎矩值減少了與沒有鏈桿時(shí)比較最大彎矩值減少了80.7% 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例EAlFFEIsMMEAlFEIsMNP1NP11P21N2111dd由位移計(jì)算公式由位移計(jì)算公式 A減小時(shí)：減小時(shí)：11增大，增大，X1絕對值減小，梁的正彎矩值增大負(fù)彎絕對值減小，梁的正彎矩值增大負(fù)彎 矩值減小。矩值減小。 A0時(shí)：梁的彎矩圖與簡支梁彎矩時(shí)：梁的彎矩圖與簡支梁彎矩 圖相同。圖相同。 A增大時(shí)：梁的正彎矩值減小負(fù)彎矩增大時(shí)：梁的正彎矩值減小負(fù)彎矩 值增大。值增大。 A時(shí)：梁的中點(diǎn)相當(dāng)于有一剛性支時(shí)：梁的中點(diǎn)相當(dāng)于有一

17、剛性支 座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù)座，梁的彎矩圖與兩跨連續(xù) 梁的彎矩圖相同。如圖梁的彎矩圖相同。如圖f。 7-5 力法的計(jì)算步驟和示例例例7-4 圖圖a所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結(jié)構(gòu)的計(jì)所示為裝配式鋼筋混凝土單跨單層廠房排架結(jié)構(gòu)的計(jì) 算簡圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為算簡圖，其中左、右柱為階梯形變截面桿件，橫梁為 EA=的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿的二力桿。試用力法求其彎矩圖。豎桿E為常數(shù)。為常數(shù)。解：排架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷二力桿解：排架為一次超靜定結(jié)構(gòu)，切斷二力桿 用用X1代替，基本體系如圖代替，基本體系如圖b所示。所示。 基本體系基本體系0P1111 X典型

18、方程為典型方程為各內(nèi)力圖如圖各內(nèi)力圖如圖c、d。7-5 力法的計(jì)算步驟和示例計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)。EIl275311EIql216741P解得解得qlX4071彎矩圖如圖彎矩圖如圖e。 疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖P11MXMM7-6 對稱性的利用對稱的意義對稱的意義：（：（1）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對稱）結(jié)構(gòu)的幾何形狀和支承情況對稱 （2）各桿的剛度（）各桿的剛度（EI、EA等）也對稱等）也對稱 圖圖a為一對稱結(jié)構(gòu)，有一個(gè)對稱軸。為一對稱結(jié)構(gòu)，有一個(gè)對稱軸。將對稱軸穿過的截面切開，得到一個(gè)對稱的將對稱軸穿過的截面切開，得到一個(gè)對稱的基本結(jié)構(gòu)如圖基本結(jié)構(gòu)如圖b。正對稱的力：對稱

19、軸兩側(cè)的力大小相等，沿正對稱的力：對稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿 對稱軸對折后作用點(diǎn)和作用線對稱軸對折后作用點(diǎn)和作用線 重合且指向相同。重合且指向相同。反對稱的力：對稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿反對稱的力：對稱軸兩側(cè)的力大小相等，沿 對稱軸對折后作用點(diǎn)和作用線對稱軸對折后作用點(diǎn)和作用線 重合且指向相反。重合且指向相反。X1、X2是正對稱的，是正對稱的，X3是反對稱的。是反對稱的。1、選取對稱的基本結(jié)構(gòu)、選取對稱的基本結(jié)構(gòu)7-6 對稱性的利用繪出基本結(jié)構(gòu)各單位彎矩圖如圖繪出基本結(jié)構(gòu)各單位彎矩圖如圖a、b、c。 圖圖a、b是正對稱的，圖是正對稱的，圖c是反對稱的。是反對稱的。 可得可得 00，323231

20、31典型方程簡化為典型方程簡化為 000P3333P2222121P1212111XXXXX只包含正對稱的只包含正對稱的X1、X2 只包含反對稱的只包含反對稱的X37-6 對稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用正對稱荷載時(shí)，如圖當(dāng)結(jié)構(gòu)作用正對稱荷載時(shí)，如圖a。 MP圖是正對稱的，如圖圖是正對稱的，如圖b。 0P303X 只存在正對稱的只存在正對稱的X1、X2，最后，最后彎矩圖是正對稱的，形狀如圖彎矩圖是正對稱的，形狀如圖c。 注意：剪力圖是反對稱的。注意：剪力圖是反對稱的。 7-6 對稱性的利用當(dāng)結(jié)構(gòu)作用反對稱荷載時(shí)，如圖當(dāng)結(jié)構(gòu)作用反對稱荷載時(shí)，如圖a。 MP圖是反對稱的，如圖圖是反對稱的，如圖b。 002P

21、P1，0021XX， 只存在反對稱的只存在反對稱的X3，最后彎矩，最后彎矩圖是反對稱的，形狀如圖圖是反對稱的，形狀如圖c。 注意：剪力圖是正對稱的。注意：剪力圖是正對稱的。 7-6 對稱性的利用對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下：對稱結(jié)構(gòu)在正對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是正對稱的，彎矩圖和軸力圖是正對稱的， 剪力圖是反對稱的；剪力圖是反對稱的； 反力與位移是正對稱的。反力與位移是正對稱的。 對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下：對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下：彎矩圖和軸力圖是反對稱的，彎矩圖和軸力圖是反對稱的，剪力圖是正對稱的；剪力圖是正對稱的；反力與位移是反對稱的。反力與位移是反對稱的。 7-6 對稱性的利用例

22、例7-5 試分析圖試分析圖a所示剛架。設(shè)所示剛架。設(shè)EI=常數(shù)。常數(shù)。解：荷載是反對稱的，只有反對稱的多余未知力，解：荷載是反對稱的，只有反對稱的多余未知力， 取對稱的基本體系如圖取對稱的基本體系如圖b?；颈倔w體系系作各彎矩圖如圖作各彎矩圖如圖c、d。7-6 對稱性的利用由圖乘法由圖乘法311m1442m3m6m32m)2m3m321(EImkN18002mkN80m3m321mkN30m6m3(1PEI代入典型方程代入典型方程kN5 .121X疊加法作彎矩圖疊加法作彎矩圖P11MXMM2、未知力分組及荷載分組、未知力分組及荷載分組7-6 對稱性的利用圖圖a所示對稱剛架作用非對稱荷載。所示

23、對稱剛架作用非對稱荷載?；倔w系如圖基本體系如圖b。基本體系基本體系為利用對稱性，將未知力進(jìn)行分組。為利用對稱性，將未知力進(jìn)行分組。212211YYXYYX，或或22212211XXYXXY，Y1為一對正對稱的未知力組。為一對正對稱的未知力組。Y2為一對反對稱的未知力組。為一對反對稱的未知力組。7-6 對稱性的利用將求解未知力將求解未知力X1、X2的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓪ξ粗M的問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍蠼鈨蓪ξ粗MY1、Y2。如圖。如圖a。作作Y1=1、 Y2=1的彎矩圖，如圖的彎矩圖，如圖b、c。圖圖b為正對稱的、圖為正對稱的、圖c為反對稱的。為反對稱的。02112典型方程簡化為典型方程簡化為 00P2

24、222P1111YY Y1、 Y2為廣義力，典型方程的物理意義也為廣義力，典型方程的物理意義也轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的廣義位移條件。轉(zhuǎn)變?yōu)橄鄳?yīng)的廣義位移條件。第一式代表第一式代表A、B兩點(diǎn)同方向的豎向位移之和為兩點(diǎn)同方向的豎向位移之和為0。第二式代表第二式代表A、B兩點(diǎn)反方向的豎向位移之和為兩點(diǎn)反方向的豎向位移之和為0。7-6 對稱性的利用 對稱結(jié)構(gòu)作用一般非對稱荷載時(shí)，可以將荷載分解為正、對稱結(jié)構(gòu)作用一般非對稱荷載時(shí)，可以將荷載分解為正、反對稱兩組，如下圖。反對稱兩組，如下圖。正對稱荷載作用只有正對稱的多余未知力，正對稱荷載作用只有正對稱的多余未知力，反對稱荷載作用只有反對稱的多余未知力，反對稱荷載作用

25、只有反對稱的多余未知力，兩者疊加即為原結(jié)構(gòu)的解。兩者疊加即為原結(jié)構(gòu)的解。3、取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算（利用對稱性）、取一半結(jié)構(gòu)計(jì)算（利用對稱性）7-6 對稱性的利用（1）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)）奇數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu) 作用正對稱荷載如圖作用正對稱荷載如圖a，C截面只有豎向位移，有彎矩和截面只有豎向位移，有彎矩和剪力，截取一半剛架如圖剪力，截取一半剛架如圖b。 作用反對稱荷載如圖作用反對稱荷載如圖c，C截截面不能有豎向位移，只有剪力，面不能有豎向位移，只有剪力，截取一半剛架如圖截取一半剛架如圖d。7-6 對稱性的利用（2）偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu)）偶數(shù)跨對稱結(jié)構(gòu) 作用正對稱荷載如圖作用正對稱荷載如圖a，C結(jié)點(diǎn)不能有任何位移，截取一

26、結(jié)點(diǎn)不能有任何位移，截取一半剛架如圖半剛架如圖b。 作用反對稱荷載如圖作用反對稱荷載如圖c，將，將中間柱視為兩根剛度為中間柱視為兩根剛度為I/2的豎桿的豎桿組成，在頂點(diǎn)與梁剛結(jié)。如圖組成，在頂點(diǎn)與梁剛結(jié)。如圖e。 由于荷載是反對稱的，兩柱由于荷載是反對稱的，兩柱中間的橫梁中間的橫梁C處只有剪力。如圖處只有剪力。如圖f。 剪力剪力FSC對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形對結(jié)構(gòu)的內(nèi)力和變形無影響。簡化的一半剛架如圖無影響。簡化的一半剛架如圖d。7-6 對稱性的利用解：結(jié)構(gòu)是一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)，有兩個(gè)對稱軸。解：結(jié)構(gòu)是一個(gè)三次超靜定結(jié)構(gòu)，有兩個(gè)對稱軸。 可取可取1/4結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算簡圖如圖結(jié)構(gòu)分析，計(jì)算簡圖如圖b。

27、基本體系如圖基本體系如圖c。取極坐標(biāo)系，取極坐標(biāo)系，單位彎矩和荷載彎矩分別為：單位彎矩和荷載彎矩分別為：sin21P1FRMM例例7-6 試計(jì)算圖試計(jì)算圖a所示圓環(huán)的內(nèi)力。所示圓環(huán)的內(nèi)力。EI=常數(shù)。常數(shù)。7-6 對稱性的利用各彎矩圖如圖各彎矩圖如圖a、b。 位移計(jì)算時(shí)略去軸力、剪力及曲位移計(jì)算時(shí)略去軸力、剪力及曲率影響，只計(jì)彎矩一項(xiàng)。則：率影響，只計(jì)彎矩一項(xiàng)。則：EIREIsM2d2111EIFREIsMM2d2PP1可得可得FRX11P117-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)及彎矩圖如圖結(jié)構(gòu)的實(shí)際狀態(tài)及彎矩圖如圖a。試求試求CB桿中點(diǎn)桿中點(diǎn)K的豎向位移的豎向位移Ky。虛設(shè)力狀態(tài)及彎矩

28、圖如圖虛設(shè)力狀態(tài)及彎矩圖如圖b。 為作出圖為作出圖b，需要解算一個(gè)，需要解算一個(gè)2次超靜定結(jié)構(gòu)。次超靜定結(jié)構(gòu)。比較麻煩！比較麻煩！7-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算由力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可知：由力法計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)可知： 在荷載及多余未知力共同作用下，基本結(jié)構(gòu)的在荷載及多余未知力共同作用下，基本結(jié)構(gòu)的受力和位受力和位移移與原結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)完全一致完全一致。求超靜定結(jié)構(gòu)的位移可以用求求超靜定結(jié)構(gòu)的位移可以用求基本結(jié)構(gòu)基本結(jié)構(gòu)的的位移位移代替。虛擬狀態(tài)如圖代替。虛擬狀態(tài)如圖c、d。由圖由圖c)(1408313EIFaKy由圖由圖d)(1408313EIFaKy7-7 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算 計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移步

29、驟計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)位移步驟（1）計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，求出實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力。）計(jì)算超靜定結(jié)構(gòu)，求出實(shí)際狀態(tài)的內(nèi)力。（2）任選一種基本結(jié)構(gòu)，虛擬力狀態(tài)。）任選一種基本結(jié)構(gòu)，虛擬力狀態(tài)。（3）計(jì)算所求位移。）計(jì)算所求位移。7-8 最后內(nèi)力圖的校核平衡條件校核平衡條件校核彎矩圖校核彎矩圖校核：如圖如圖a，取，取E點(diǎn)為隔離體，如圖點(diǎn)為隔離體，如圖b。應(yīng)滿足應(yīng)滿足 0EM即即0EFEBEDMMM剪力圖和軸力圖校核剪力圖和軸力圖校核：可取可取結(jié)點(diǎn)、桿件結(jié)點(diǎn)、桿件或或結(jié)構(gòu)的一部分結(jié)構(gòu)的一部分為隔為隔離體，考察是否滿足：離體，考察是否滿足：和和 0 xF 0yF7-8 最后內(nèi)力圖的校核位移條件校核位移條件校核 圖圖a為

30、剛架的最后彎矩圖。檢為剛架的最后彎矩圖。檢查查A處的水平位移是否為處的水平位移是否為0，虛擬，虛擬力狀態(tài)并作彎矩圖如圖力狀態(tài)并作彎矩圖如圖b。利用圖利用圖a與圖與圖b圖乘，得圖乘，得01滿足位移條件滿足位移條件7-8 最后內(nèi)力圖的校核 對于具有封閉無鉸框格的剛架對于具有封閉無鉸框格的剛架如圖如圖a，取圖，取圖b所示的虛擬力狀態(tài)，所示的虛擬力狀態(tài)，檢查檢查K截面相對轉(zhuǎn)角是否為截面相對轉(zhuǎn)角是否為0。0ddEIsMEIsMMKK 上式表明，在任一封閉無鉸的上式表明，在任一封閉無鉸的框格上，彎矩圖的面積除以相應(yīng)剛框格上，彎矩圖的面積除以相應(yīng)剛度的代數(shù)和等于度的代數(shù)和等于0。7-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)

31、的計(jì)算 圖圖a所示靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，所示靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁可以自由地變形不受任何阻礙。梁可以自由地變形不受任何阻礙。 圖圖b所示超靜定梁，當(dāng)溫所示超靜定梁，當(dāng)溫度改變時(shí)，梁的變形受到兩端度改變時(shí)，梁的變形受到兩端支座的限制，因而產(chǎn)生支座反支座的限制，因而產(chǎn)生支座反力及內(nèi)力。力及內(nèi)力。圖圖c所示剛架，溫度改變?nèi)鐖D。取圖所示剛架，溫度改變?nèi)鐖D。取圖d所示基本體系。所示基本體系。 基本結(jié)構(gòu)在外因和多基本結(jié)構(gòu)在外因和多余未知力共同作用下，去余未知力共同作用下，去掉多余聯(lián)系處的位移與原掉多余聯(lián)系處的位移與原結(jié)構(gòu)的位移相符。結(jié)構(gòu)的位移相符。7-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 式中系數(shù)的計(jì)算與以前

32、相同，與外因無關(guān)。自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)由于溫式中系數(shù)的計(jì)算與以前相同，與外因無關(guān)。自由項(xiàng)為基本結(jié)構(gòu)由于溫度變化引起的位移，計(jì)算式為度變化引起的位移，計(jì)算式為 典型方程為典型方程為000333323213123232221211313212111tttXXXXXXXXXsMhttlFiiitdN最后彎矩為最后彎矩為 332211XMXMXMM對于剛架位移計(jì)算公式為對于剛架位移計(jì)算公式為 sMhttlFEIsMMEIsMMKKKKtKKdddN對多余未知力對多余未知力Xi方向的位移校核式為方向的位移校核式為 0ditiiEIsMM7-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例例7-7 圖圖a所示剛架外側(cè)溫度升高

33、所示剛架外側(cè)溫度升高25，內(nèi)側(cè)溫度升高，內(nèi)側(cè)溫度升高35 ，試，試 繪制其彎矩圖并計(jì)算橫梁中點(diǎn)的豎向位移。繪制其彎矩圖并計(jì)算橫梁中點(diǎn)的豎向位移。EI=常數(shù)，截常數(shù)，截 面對稱于形心軸，高度面對稱于形心軸，高度h=l/10，材料的線膨脹系數(shù)為，材料的線膨脹系數(shù)為。 解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖解：這是一次超靜定剛架，基本體系如圖b。 典型方程為典型方程為 01111tX虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖c EIlEIsM35d32111lsMhttlFt230d11N17-9 溫度變化時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算解典型方程得解典型方程得21111138lEIXt溫度變化時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)

34、力與各桿剛度的絕對值有關(guān)。溫度變化時(shí)，超靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力與各桿剛度的絕對值有關(guān)。 求橫梁中點(diǎn)豎向位移虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖求橫梁中點(diǎn)豎向位移虛擬力狀態(tài)及內(nèi)力圖如圖b。)(75.34ddNlsMhttlFEIsMMKKKK最后彎矩為最后彎矩為 11XMM 彎矩圖如圖彎矩圖如圖a。7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 圖圖a所示靜定梁，當(dāng)支座所示靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)不會受到任何阻發(fā)生豎向位移時(shí)不會受到任何阻礙。結(jié)構(gòu)只隨之發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生彈性變形和內(nèi)力。礙。結(jié)構(gòu)只隨之發(fā)生剛體位移，不產(chǎn)生彈性變形和內(nèi)力。 圖圖b所示超靜定梁，當(dāng)支座所示超靜定梁，當(dāng)支座B發(fā)生豎向位移時(shí)將受到發(fā)生豎向位移時(shí)將

35、受到AC梁的梁的牽制，使各支座產(chǎn)生反力，梁產(chǎn)生內(nèi)力。牽制，使各支座產(chǎn)生反力，梁產(chǎn)生內(nèi)力。7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算 圖圖a所示剛架，當(dāng)支座所示剛架，當(dāng)支座B由于某種由于某種原因發(fā)生圖示位移?；倔w系如圖原因發(fā)生圖示位移?；倔w系如圖b。典型方程為典型方程為aXXXXXXXXX3333232131232322212113132121110 系數(shù)的計(jì)算同前。自由項(xiàng)代表基系數(shù)的計(jì)算同前。自由項(xiàng)代表基本結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移，計(jì)本結(jié)構(gòu)由于支座移動引起的位移，計(jì)算式為算式為cFiiR7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算多余未知力分別等于多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖時(shí)的彎矩圖如圖c、d

36、、e。0，)1(，)1(321lbbllbbl最后彎矩為最后彎矩為 332211XMXMXMMcFEIsMMKKKRd位移計(jì)算為位移計(jì)算為 0dRcFEIsMMiiiXi方向位移條件校核式為方向位移條件校核式為 或?yàn)橐阎祷驗(yàn)橐阎?7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例例7-8 圖圖a所示兩端固定的等截面梁所示兩端固定的等截面梁A段發(fā)生了轉(zhuǎn)角，試分析其段發(fā)生了轉(zhuǎn)角，試分析其 內(nèi)力。內(nèi)力。 解：取基本體系如圖解：取基本體系如圖b。因因X3=0，典型方程為，典型方程為022221211212111XXXX多余未知力分別等于多余未知力分別等于1時(shí)的彎矩圖如圖時(shí)的彎矩圖如圖c、d。EIlEIl6，3

37、212122110，021可得可得lEIXlEIX2，4217-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算最后彎矩為最后彎矩為 2211XMXMM如圖如圖e校核：檢查校核：檢查B支座轉(zhuǎn)角是否為支座轉(zhuǎn)角是否為0。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如圖。虛擬力狀態(tài)及彎矩圖如圖f。0)1 ()24(21)1 (1d1R1lEIlEIlEIcFEIsMMB位移計(jì)算為位移計(jì)算為 7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算例例7-9 圖圖a所示連續(xù)梁所示連續(xù)梁EI=常數(shù)，常數(shù)，B處為彈性支座，彈簧剛度處為彈性支座，彈簧剛度 k=10EI/l3。試作其彎矩圖并求。試作其彎矩圖并求D點(diǎn)的豎向位移。點(diǎn)的豎向位移。 解解：（：（1）取基本體系一

38、如圖）取基本體系一如圖b。典型方程為典型方程為 kXX1P1111相應(yīng)彎矩圖如圖相應(yīng)彎矩圖如圖c、d。EIqlEIl425，641P311可得可得)(32251qlX最后彎矩為最后彎矩為 P11MXMM如圖如圖e7-10 支座位移時(shí)超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算（2）取基本體系二如圖）取基本體系二如圖f。典型方程為典型方程為 0P1111 X相應(yīng)彎矩圖如圖相應(yīng)彎矩圖如圖g、h。EIlcFEIsM1516d1R2111EIqlcFEIsMM607d3P1RP1P1可得可得64721qlX 彎矩圖同彎矩圖同e（3）求）求D點(diǎn)豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖點(diǎn)豎向位移，虛擬狀態(tài)彎矩圖如圖i。)(3072181d4RE

39、IqlcFEIsMMDDy7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱常用超靜定拱型式常用超靜定拱型式超靜定拱超靜定拱：彎矩分布比較均勻，夠造簡單，工程中應(yīng)用較多。彎矩分布比較均勻，夠造簡單，工程中應(yīng)用較多。無鉸拱無鉸拱兩鉸拱兩鉸拱7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱計(jì)算超靜定拱：需事先確定計(jì)算超靜定拱：需事先確定拱軸線方程拱軸線方程和和截面變化截面變化規(guī)律。規(guī)律。常用的拱軸線形式：常用的拱軸線形式：懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓懸鏈線，拋物線，圓弧，多心圓等。等。超靜拱合理拱軸線：超靜拱合理拱軸線：忽略軸向變形影響忽略軸向變形影響時(shí)，與相應(yīng)時(shí)，與相應(yīng)三鉸拱相同三鉸拱相同。考慮軸向變形考慮軸向變形時(shí)：超靜定拱產(chǎn)

40、生彎矩，但數(shù)值不大，可進(jìn)行修時(shí)：超靜定拱產(chǎn)生彎矩，但數(shù)值不大，可進(jìn)行修 改調(diào)整。改調(diào)整。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。超靜定拱拱截面：變截面，等截面。無鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設(shè)計(jì)成由拱頂向拱址逐漸無鉸拱截面：拱址處彎矩大，截面常設(shè)計(jì)成由拱頂向拱址逐漸 增大的形式。增大的形式。拱橋設(shè)計(jì)中的經(jīng)驗(yàn)公式拱橋設(shè)計(jì)中的經(jīng)驗(yàn)公式cos)1 (1 1lxnIIC（7-8）IC：拱頂截面二次矩，：拱頂截面二次矩，n ：拱厚變化系數(shù)。：拱厚變化系數(shù)。KKCIIncosIK：拱址處截面二次矩，：拱址處截面二次矩， ：拱址處拱軸切線傾角。：拱址處拱軸切線傾角。Kn 愈小，拱厚變化愈激烈。愈小，拱厚變化愈激烈

41、。n的范圍：的范圍：0.251。n =1時(shí)時(shí)KCIIcos截面面積截面面積A近似為近似為KCAAcos當(dāng)拱高當(dāng)拱高fl/8時(shí)可近似為時(shí)可近似為CAA常數(shù)常數(shù)7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱 圖圖a所示無鉸拱是三次超靜定結(jié)構(gòu)。所示無鉸拱是三次超靜定結(jié)構(gòu)。利用對稱性取基本體系如圖利用對稱性取基本體系如圖b。00，322331130211202112如何做？如何做？ 將圖將圖a所示無鉸拱沿拱頂截面切開，所示無鉸拱沿拱頂截面切開，再切口糧邊沿對稱軸方向引出兩個(gè)剛度無再切口糧邊沿對稱軸方向引出兩個(gè)剛度無窮大的剛臂，如圖窮大的剛臂，如圖c。 剛臂本身是不變形的，保證切口兩剛

42、臂本身是不變形的，保證切口兩邊截面無任何相對位移，此結(jié)構(gòu)與原無鉸邊截面無任何相對位移，此結(jié)構(gòu)與原無鉸拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。拱的變形一致，可以代替原無鉸拱。7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱 取基本體系如圖取基本體系如圖d，這是兩個(gè)帶剛臂，這是兩個(gè)帶剛臂的懸臂曲梁。的懸臂曲梁。 利用對稱性，適當(dāng)選擇剛臂的長度，利用對稱性，適當(dāng)選擇剛臂的長度，可以使典型方程中全部可以使典型方程中全部系數(shù)都為系數(shù)都為0。符符號號規(guī)規(guī)定定坐標(biāo)原點(diǎn)：剛臂端點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)：剛臂端點(diǎn)O；坐標(biāo)方向：坐標(biāo)方向：x軸向右為正，軸向右為正，y軸向下為正；軸向下為正；彎彎 矩：拱內(nèi)側(cè)受拉為正；矩：拱內(nèi)側(cè)受拉為正；剪剪 力：繞隔離

43、體順時(shí)針方向?yàn)檎涣Γ豪@隔離體順時(shí)針方向?yàn)檎惠S軸 力：壓力為正。力：壓力為正。7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱多余未知力分別為多余未知力分別為1作用時(shí)，如圖作用時(shí)，如圖a、b、c。sincoscossin0013N3S32N2S21N1S1FFxMFFyMFFM，00，32233113EIsyEIsyEIsyyEIsyEIsMMGAsFFkEAsFFEIsMMSSddd)(d00dddd11212S1S2N1N2121127-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱0dd12112EIsyEIsyS令令沿拱軸線作寬度為沿拱軸線作寬度為1/EI的圖形（如圖）。的圖形（如圖）。 ds/EI代表圖中的微面積，

44、代表圖中的微面積，ys即為這個(gè)圖形面積的形心坐標(biāo)。圖形的面積即為這個(gè)圖形面積的形心坐標(biāo)。圖形的面積與與EI有關(guān)有關(guān)稱為彈性面積圖，其形心稱為稱為彈性面積圖，其形心稱為彈性形心彈性形心。彈性中心法：彈性中心法：把剛臂端點(diǎn)引到彈性中心上，將把剛臂端點(diǎn)引到彈性中心上，將X2、X3置于主軸置于主軸 方向上，使全部系數(shù)都等于方向上，使全部系數(shù)都等于0?？傻脛偙坶L度可得剛臂長度yS為為EIsEIsyySdd17-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱典型方程簡化為三個(gè)獨(dú)立方程典型方程簡化為三個(gè)獨(dú)立方程 000P3333P2222P1111XXX 由于拱的曲率對計(jì)算結(jié)果影響很小，可用直桿計(jì)算公式求系數(shù)和自由由于拱的曲

45、率對計(jì)算結(jié)果影響很小，可用直桿計(jì)算公式求系數(shù)和自由項(xiàng)，多數(shù)情況可忽略軸向變形和剪切變形的影響。如下表項(xiàng)，多數(shù)情況可忽略軸向變形和剪切變形的影響。如下表fhc22332P ， 3Pfl/5hcl/10M，F(xiàn)N， FSM，F(xiàn)SHcl/10MM計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)需考慮影響的內(nèi)力計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)需考慮影響的內(nèi)力7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱拱頂截面高度拱頂截面高度hcl/10，fl/5時(shí)，時(shí)，22中的軸力影響項(xiàng)可略去。中的軸力影響項(xiàng)可略去。7-11 用彈性中心法計(jì)算無鉸拱當(dāng)當(dāng)cos，cosCCAAII時(shí)時(shí)CCCAxAsIxIsIsdd, dcosdd有有可得可得xxMEIxyMEIxMEIxxEIxAIxyEIlxEICCCCCCCCdddddcosddPP3PP2PP1233222211用數(shù)值積分法即總和法計(jì)算用數(shù)值積分法即總和法計(jì)算任一截面內(nèi)力按疊加法求得任一截面內(nèi)力按疊加法求得NP32NSP32SP321sincoscossinFXXFFXXFMxXyXXM基本結(jié)構(gòu)荷載作用下產(chǎn)生的基本結(jié)構(gòu)荷載作用下產(chǎn)生的7-12 兩鉸拱及系桿拱 圖圖a為一次超靜定的兩鉸拱，為一次超靜定的兩鉸拱，支座發(fā)生豎向位移時(shí)不引起內(nèi)力，支座發(fā)生豎向位移時(shí)不引起內(nèi)力，適用于不均勻沉陷的地基。適用于不均勻沉陷的地基。 拱址處彎矩為拱址處彎矩為0逐