隨機(jī)過(guò)程方兆本引言ppt課件

1、吳述金吳述金: 辦公室：金統(tǒng)樓3271.1 1.1 引言引言第一章第一章 引引 論論定義定義1.1 1.1 隨機(jī)過(guò)程就是一族隨機(jī)變量隨機(jī)過(guò)程就是一族隨機(jī)變量 其中其中t t是參數(shù)是參數(shù), ,它屬于某個(gè)目的集它屬于某個(gè)目的集T,T, T T稱為參數(shù)集稱為參數(shù)集. .),(TttX普通地, t表示時(shí)間. 當(dāng)T=0,1,2,時(shí)稱隨機(jī)過(guò)程為隨機(jī)序列.對(duì)對(duì)X(t)可以這樣看可以這樣看:隨機(jī)變量是定義在空間隨機(jī)變量是定義在空間上的上的,所以是隨所以是隨 t與與而變化的而變化的.于是可以記為于是可以記為X(t,).當(dāng)固定一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn)當(dāng)固定一次隨機(jī)實(shí)驗(yàn),即取定即取定0時(shí)時(shí),

2、X(t,0)就是一條樣本途徑就是一條樣本途徑.它是它是t的函數(shù)的函數(shù); 另一方另一方面面,固定時(shí)間固定時(shí)間t = t0, X(t0,)就是一個(gè)隨機(jī)變量就是一個(gè)隨機(jī)變量, 其取值隨著隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果而變化其取值隨著隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的結(jié)果而變化, 變化有一定變化有一定的規(guī)律的規(guī)律,用概率分布來(lái)描畫(huà)用概率分布來(lái)描畫(huà).隨機(jī)過(guò)程在t時(shí)辰的值稱為過(guò)程所處的形狀,形狀的全體稱為形狀空間.按照形狀空間不同可分為延續(xù)形狀和離散形狀; 按照參數(shù)集T,當(dāng)T為有限集或可數(shù)集那么稱為離散參數(shù)過(guò)程,否那么稱為延續(xù)參數(shù)過(guò)程.當(dāng)T是高維向量時(shí)稱X(t)為隨機(jī)場(chǎng).例例1.1 英國(guó)植物學(xué)家英國(guó)植物學(xué)家Brown留意到漂浮在液面上留意到漂浮

3、在液面上的微小粒子不斷進(jìn)展不規(guī)那么的運(yùn)動(dòng)的微小粒子不斷進(jìn)展不規(guī)那么的運(yùn)動(dòng),這種這種運(yùn)動(dòng)叫做運(yùn)動(dòng)叫做Brown運(yùn)動(dòng)運(yùn)動(dòng).它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程它是一個(gè)隨機(jī)過(guò)程.Brown運(yùn)動(dòng)是分子大量隨機(jī)碰撞的結(jié)果. 假設(shè)記(xt,yt)為粒子在平面坐標(biāo)上的位置,那么它是平面上的Brown運(yùn)動(dòng).例例1.2 假設(shè)某人在一個(gè)直線格子點(diǎn)上假設(shè)某人在一個(gè)直線格子點(diǎn)上, 從原點(diǎn)出發(fā)從原點(diǎn)出發(fā)進(jìn)展行走進(jìn)展行走, 規(guī)那么如下規(guī)那么如下: 擲一枚硬幣擲一枚硬幣, 假設(shè)正假設(shè)正面向上那么前進(jìn)一個(gè)格子面向上那么前進(jìn)一個(gè)格子; 假設(shè)反面向上那假設(shè)反面向上那么后退一個(gè)格子么后退一個(gè)格子. 以以X(t)表示他在表示他在t時(shí)辰所在時(shí)辰所在的位置

4、的位置, 那么那么X(t)就是一種直線上的隨機(jī)游就是一種直線上的隨機(jī)游動(dòng)動(dòng).-2 -1 0 1 2 3例例1.3 到達(dá)總機(jī)交換臺(tái)的呼叫次數(shù)為到達(dá)總機(jī)交換臺(tái)的呼叫次數(shù)為Poisson過(guò)程過(guò)程.每次呼叫是相互獨(dú)立的每次呼叫是相互獨(dú)立的,而間隔時(shí)間服從指而間隔時(shí)間服從指數(shù)分布數(shù)分布.交換臺(tái)在同一時(shí)間只能接通交換臺(tái)在同一時(shí)間只能接通K個(gè)呼個(gè)呼叫叫.人們常要了解在某一時(shí)辰的排隊(duì)長(zhǎng)度以人們常要了解在某一時(shí)辰的排隊(duì)長(zhǎng)度以及呼叫的平均等待時(shí)間及呼叫的平均等待時(shí)間.這是一種排隊(duì)模型這是一種排隊(duì)模型.該模型可以運(yùn)用于對(duì)超市、公交車站的管該模型可以運(yùn)用于對(duì)超市、公交車站的管理或效力研討。理或效力研討。例例1.4 流

5、行病學(xué)的研討中有如下模型流行病學(xué)的研討中有如下模型: 在時(shí)辰在時(shí)辰0時(shí)易時(shí)易感人群大小為感人群大小為X(0), Y(0)是已受傳染的人數(shù)是已受傳染的人數(shù).假假定易感人群被傳染的概率為定易感人群被傳染的概率為p, 那么經(jīng)過(guò)一段那么經(jīng)過(guò)一段傳染周期后傳染周期后(記為單位時(shí)間記為單位時(shí)間)X(0)中有中有X(1)沒(méi)有沒(méi)有染上病而染上病而Y(1)卻遭到傳染卻遭到傳染.傳染過(guò)程不斷蔓延傳染過(guò)程不斷蔓延到再?zèng)]有人會(huì)染上這種流行病時(shí)停頓到再?zèng)]有人會(huì)染上這種流行病時(shí)停頓.于是于是 且當(dāng)時(shí)且當(dāng)時(shí) 有有 X(t), t=1,2,就是以上式為形狀轉(zhuǎn)移概率的就是以上式為形狀轉(zhuǎn)移概率的Markov過(guò)程過(guò)程.) 1()(

6、) 1(tYtXtXij jjijiippCitXjtXP)1 ()(|) 1(例例1.5 記記X(t)為時(shí)辰為時(shí)辰t的商品價(jià)錢的商品價(jià)錢.假設(shè)假設(shè)X(t)適宜適宜線性模型線性模型 其中其中 為實(shí)參數(shù)為實(shí)參數(shù), Z(t)為獨(dú)立同分布的為獨(dú)立同分布的不可觀測(cè)的隨機(jī)變量不可觀測(cè)的隨機(jī)變量,那么那么X(t)服從服從ARMA模型模型自回歸滑動(dòng)平均模型自回歸滑動(dòng)平均模型. 這這是在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中非常有用的時(shí)間序列模是在經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)中非常有用的時(shí)間序列模型型.)() 1()()()2() 1()(121qtZtZtZptXtXtXtXqpkk, 有限維分布和數(shù)字特征有限維分布和數(shù)字特征對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 , TttX)

7、,(過(guò)程的一維均值函數(shù)為)()(tXEtX過(guò)程的方差函數(shù)為)t (XVar) t (2X過(guò)程的一維分布為)()(xtXPxFt過(guò)程的自相關(guān)函數(shù)為)()(),(2121tXtXEttrX過(guò)程的協(xié)方差函數(shù)為)()()()()(),(),(22112121ttXttXEtXtXCovttRXXX)(,)(),(221121,21xtXxtXPxxFtt對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 , 其中隨機(jī)變量 與 的關(guān)系有X(t1)與X(t2)的結(jié)合分布為TttX),()(1tX)(2tX即過(guò)程在t1, t2兩個(gè)不同時(shí)辰值的結(jié)合二維分布.自相關(guān)函數(shù)和協(xié)方差函數(shù)性質(zhì):1. 對(duì)稱性, 即對(duì)任何s, t有),(),(strtsrXX

8、),(),(stRtsRXX2. 非負(fù)定性, 即對(duì)任何t1, t2,tnT及恣意系數(shù)b1, b2,bn有0),(11jiXninjjittrbb0),(11jiXninjjittRbb)(,)(,)(),(221121,21nnntttxtXxtXxtXPxxxFn對(duì)于隨機(jī)過(guò)程 , 其有限維分布族為TttX),( 有限維分布的性質(zhì):1. 對(duì)稱性),(),(21,212121ntttiiitttxxxFxxxFnnniii2. 相容性),(),(21,1,2111mtttmttttxxxFxxFmnmm例例1.6 記記Xn為第為第n次獨(dú)立地扔一枚骰子的結(jié)果次獨(dú)立地扔一枚骰子的結(jié)果,那那么么Xn,

9、 n1為一隨機(jī)過(guò)程為一隨機(jī)過(guò)程.參數(shù)集參數(shù)集T為為1,2,而形狀空間為而形狀空間為1,2,3,4,5,6.5 . 31XEXEn均值函數(shù)為:nmnmnmRX,0,1235),(協(xié)方差函數(shù)為:任何有限維分布:)()()(),(2121,21kknnnxFxFxFxxxFk其中F(x)為X1的分布函數(shù). 平穩(wěn)過(guò)程和獨(dú)立增量過(guò)程平穩(wěn)過(guò)程和獨(dú)立增量過(guò)程假設(shè)一個(gè)隨機(jī)向量 與另一個(gè)隨機(jī)向量 有一樣的結(jié)合分布函數(shù),那么稱這兩個(gè)隨機(jī)向量是同分布的,記為 .),(1nXXX),(1nYYYYXd定義定義1.2 1.2 假設(shè)隨機(jī)過(guò)程假設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)對(duì)恣意的對(duì)恣意的t1,tnt1,tnT T和任何和任何

10、h h 有有 那么稱那么稱X(t)X(t)為嚴(yán)厲平穩(wěn)的為嚴(yán)厲平穩(wěn)的. .)(,),()(,),(11ndntXtXhtXhtX定義定義1.3 1.3 假設(shè)隨機(jī)過(guò)程假設(shè)隨機(jī)過(guò)程X(t)X(t)的一切二階矩存在的一切二階矩存在, ,并并且且EX(t)=mEX(t)=m及協(xié)方差函數(shù)及協(xié)方差函數(shù)RX(t,s)RX(t,s)只與時(shí)間只與時(shí)間差差t-st-s有關(guān)有關(guān), ,那么稱那么稱X(t)X(t)為寬平穩(wěn)的或二階矩為寬平穩(wěn)的或二階矩平穩(wěn)的平穩(wěn)的. .對(duì)于寬平穩(wěn)過(guò)程,由于對(duì)-s, t+, RX(t,s)=RX(0,t-s)所以可以記之為RX(t-s).顯然對(duì)一切t, RX(t)=RX(-t), 即為偶函數(shù)

11、.定義定義1.4 1.4 對(duì)恣意的對(duì)恣意的t1t2tnt1t2tn且且t1,tnt1,tnT,T,假假設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(t2)-X(t1), X(t3)-X(t2), , X(tn)-X(tn-1), X(tn)-X(tn-1), 是相互獨(dú)立的是相互獨(dú)立的, ,那么稱那么稱X(t)X(t)為獨(dú)立增量過(guò)程為獨(dú)立增量過(guò)程. .假設(shè)進(jìn)一步有對(duì)恣意的假設(shè)進(jìn)一步有對(duì)恣意的t1, t2,t1, t2,那么稱那么稱X(t)X(t)為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程為平穩(wěn)獨(dú)立增量過(guò)程. .)()()()(2211tXhtXtXhtXd例例1.7 設(shè)設(shè)Zi, i=0,1,2, 是一串獨(dú)立同分布的隨機(jī)是一串獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量變量, 定義定義 那么那么Xn, n0就是獨(dú)立增量過(guò)程就是獨(dú)立增量過(guò)程.普通稱普通稱Xn為獨(dú)立和為獨(dú)立和.niinZX