動(dòng)力氣象學(xué) 第三章 尺度分析與基本方程組簡化

1、第三章第三章 尺度分析與基本方程組的簡化尺度分析與基本方程組的簡化（SCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONSSCALE ANALYSIS OF THE BASIC EQUATIONS） 為什么要簡化基本方程組？為什么要簡化基本方程組？數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難數(shù)學(xué)上：方程組是高度非線性的，求解上異常困難物理上：影響大氣運(yùn)動(dòng)的因子很多，重點(diǎn)不突出物理上：影響大氣運(yùn)動(dòng)的因子很多，重點(diǎn)不突出原因：描述大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組非常復(fù)雜原因：描述大氣運(yùn)動(dòng)的基本方程組非常復(fù)雜因此：需要簡化因此：需要簡化數(shù)學(xué)上：略去方程中相對(duì)較小的項(xiàng)，保留大項(xiàng)，使方程簡單，容

2、易求解數(shù)學(xué)上：略去方程中相對(duì)較小的項(xiàng)，保留大項(xiàng)，使方程簡單，容易求解物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質(zhì)；物理上：略去次要因子，突出最主要因子的作用，即把握現(xiàn)象本質(zhì)；最終結(jié)果：最終結(jié)果：使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。使簡化的方程反映的物理規(guī)律更加清晰，求解起來更加方便。 具體來說，大氣中存在各種具體來說，大氣中存在各種不同尺度不同尺度的運(yùn)動(dòng)，雖然它們都用同一個(gè)基本方程組的運(yùn)動(dòng)，雖然它們都用同一個(gè)基本方程組來描述，但由于運(yùn)動(dòng)的來描述，但由于運(yùn)動(dòng)的尺度尺度不同，使其運(yùn)不同，使其運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不一樣。動(dòng)性質(zhì)不一樣。 當(dāng)我們研究某一特定當(dāng)我們研究某一特定尺度尺度

3、運(yùn)動(dòng)時(shí)，只運(yùn)動(dòng)時(shí)，只有抓住決定該有抓住決定該尺度尺度運(yùn)動(dòng)的主要因子，忽略運(yùn)動(dòng)的主要因子，忽略那些次要因子，才能把握該運(yùn)動(dòng)的基本特那些次要因子，才能把握該運(yùn)動(dòng)的基本特性。性。途徑：尺度分析途徑：尺度分析 一般，采用一般，采用尺度分析尺度分析方法。它是一種方法。它是一種對(duì)物理方程進(jìn)行分析和簡化的有效方法。對(duì)物理方程進(jìn)行分析和簡化的有效方法。 這一方法是恰尼（這一方法是恰尼（1948年）首先倡導(dǎo)年）首先倡導(dǎo)的。以后經(jīng)伯格（的。以后經(jīng)伯格（Burger,1958年）、年）、菲利普斯（菲利普斯（1963）等人進(jìn)一步發(fā)展完善，）等人進(jìn)一步發(fā)展完善，現(xiàn)在大氣動(dòng)力學(xué)和數(shù)值天氣預(yù)報(bào)的研究中現(xiàn)在大氣動(dòng)力學(xué)和數(shù)值天

4、氣預(yù)報(bào)的研究中得到廣泛的應(yīng)用。得到廣泛的應(yīng)用。 一、尺度的概念一、尺度的概念 由實(shí)際觀測(cè)資料可知，任一物理量都有一定的變動(dòng)范圍，我們可以用各物理量場具有代表意義的量值來表示它的基本特征。 各物理量具有代表意義的量值稱為該物理量的特征值特征值。這一特征值就是尺度尺度。一般是用它的數(shù)量級(jí)來表征它的大小。 例如例如，在天氣圖上常見的天氣系統(tǒng)中（中低層大氣），水平風(fēng)速大致在5到25ms-1 之間，故可取10ms-1 作為它的尺度。 若水平速度尺度（特征值）記作V，實(shí)際水平速度可以寫為：u=Vu* v=Vv*，u*、v*為一無量綱量，其量值在0.5-2.5之間。 將任一物理量寫作： *Qqq 其中： Q

5、特征量， 表示該物理量的一般大??； 常量；有量綱 無量綱量，量級(jí)在 100左右，表示物理量的具體大?。皇亲兞?；沒有量綱 *q 這里的q是廣義的，不僅包括氣象要素，還包括方程各項(xiàng)。 比較物理量的大小，可以比較特征量Q的大?。础俺叨取保?。 如：已知：*,TttVuu則：則：*tuTVtu是其無量綱量。的特征量，是*tutuTV二、二、“尺度分析尺度分析”概念概念 依據(jù)表征某類運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)某類運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)各場變量的特征值，來估計(jì)大氣運(yùn)動(dòng)方程中各項(xiàng)量級(jí)大小的一種方法。根據(jù)尺度分析的結(jié)果，結(jié)合物理上的考慮，略去小項(xiàng)，保留大項(xiàng)，以得到突出某類運(yùn)動(dòng)特征的簡化方程。“尺度分析尺度分析”的步驟：的步驟：明確要分析的運(yùn)

6、動(dòng)系統(tǒng)， 即（大、中、?。┏叨冗\(yùn)動(dòng)；了解該尺度運(yùn)動(dòng)中各基本物理量的特征量的量級(jí)大??；將q=Qq*代入方程，寫出方程中各項(xiàng)的特征量；計(jì)算各項(xiàng)特征量的量級(jí)；比較大小，保留大項(xiàng)，略去小項(xiàng)。410410431010104101051051051061041010待定尺度待定尺度 ., PW在中高緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)中，各物理量的特征量為： smHmLmsWmsV54612111010;10;10;10；基本尺度：303253/10,/101010mkgmkgPaPPPaPzhzh，氣壓和密度的變化：FFWWWVVVhtzhzh即：其水平變化尺度相同的時(shí)間變化尺度與同時(shí)認(rèn)為：任意物理量物理量變化尺度：,F

7、; 12510 :sm空氣分子的粘性系數(shù)1151424360022210292. 72sin210SSfsff對(duì)中高緯地區(qū)ufvwfxpzuwyuvxuutu21TVLV2HVWLPh1Wf0Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-6 10-3 10-12 ms-2其中： 2222222zuyuxuu222HVLVLV三、運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析三、運(yùn)動(dòng)方程的尺度分析2HVvfuypzvwyvvxvutv21TVLV2HVWLPh01Vf02HV 10-4 10-4 10-5 10-3 10-3 10-12 ms-2wufgzpzwwywvxwutw21TwLVWHW2HPz1G

8、Vf02HW 10-7 10-7 10-8 101 101 10-3 10-15 ms-2 分子粘性力可以忽略不考慮分子粘性和湍流粘性“自由大氣”對(duì)短期天氣過程來說，分子粘性很小，即日常天氣過程可以不計(jì)；對(duì)氣候?qū)W來說，分子粘性累積起來就很大了，所以不能忽略！流邊界層，分子粘性力可略湍低層：湍流粘性力重要?dú)?；流粘性力可略自由大高層：層流，分子、湍討論：討論?取“零級(jí)近似”，即只保留量級(jí)最大項(xiàng)，得到的簡化方程為：010101gzpfuypfvxp 水平方向上： 01Vk fph水平氣壓梯度力水平科氏力0 地轉(zhuǎn)平衡“零級(jí)近似”的特點(diǎn)：這表明“大尺度”運(yùn)動(dòng)中水平氣壓梯度力與科氏力基本相平衡的，運(yùn)動(dòng)是

9、準(zhǔn)地轉(zhuǎn)的。0101fuypfvxp矢量形式：矢量形式：(Geostrophic balance)地轉(zhuǎn)平衡關(guān)系的重要性： 揭示了風(fēng)場與氣壓場之間最簡單，最基本的聯(lián)系。大尺度運(yùn)動(dòng)處于準(zhǔn)地轉(zhuǎn)平衡狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動(dòng)一個(gè)重要性質(zhì)。 The geostrophic balance is a diagnostic expression that gives the approximate relationship between the pressure field and horizontal velocity in large-scale extratropical systems.地轉(zhuǎn)平衡運(yùn)動(dòng)的特征

10、：動(dòng)力學(xué)特征： 水平壓力梯度力與科氏力相平衡運(yùn)動(dòng)學(xué)特征： 風(fēng)沿等壓線吹；背風(fēng)而立，高壓在右， 低壓在左（南半球相反）。地轉(zhuǎn)風(fēng)的表達(dá)式： PkfVhg1南半球：南半球：0, 0f在南半球：高壓反氣旋逆時(shí)針 垂直方向上： 01gzp靜力平衡 上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，上式表示：在垂直方向上氣壓梯度力與重力基本平衡，在大尺度運(yùn)動(dòng)中，任何一點(diǎn)的氣壓相當(dāng)精確地等于該點(diǎn)在大尺度運(yùn)動(dòng)中，任何一點(diǎn)的氣壓相當(dāng)精確地等于該點(diǎn)以上單位截面積的重量。以上單位截面積的重量。注意：這不意味沒有垂直運(yùn)動(dòng)，只是近似平衡。注意：這不意味沒有垂直運(yùn)動(dòng)，只是近似平衡。Hydrostatic equilibri

11、um靜力平衡關(guān)系的重要性： 給出了瞬時(shí)氣壓場、密度場、溫度場之間的關(guān)系。 大尺度運(yùn)動(dòng)經(jīng)常處于準(zhǔn)準(zhǔn)靜力平衡狀態(tài)，這是大尺度運(yùn)動(dòng)又一重要性質(zhì)。 運(yùn)動(dòng)方程的零級(jí)近似式中不含有氣象要素的時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，稱其為診斷方程。不能對(duì)速度場作確定，因此不能作為預(yù)報(bào)方程。注意：注意：0yvxu四、連續(xù)方程的零級(jí)簡化形式：四、連續(xù)方程的零級(jí)簡化形式：水平無輻散連續(xù)方程的零級(jí)簡化說明大尺度運(yùn)動(dòng)是準(zhǔn)水平無幅散的。小結(jié)：“零級(jí)近似”得到的平衡方程：0010101yvxugzpfuypfvxp這組方程中不含有時(shí)間偏導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，所以稱之為“平衡簡化方程組”。這組方程中不含有熱力學(xué)方程 由此可見，中高緯度大尺度大氣運(yùn)動(dòng)的主要特征是：準(zhǔn)

12、地轉(zhuǎn)平衡、準(zhǔn)靜力平衡、準(zhǔn)水平無輻散、準(zhǔn)水平、準(zhǔn)定常。五、一級(jí)簡化方程pCRpppRpRTpdtdpdtdTCzwyvxutzwyuxugzpfuypyvvxvutvfvxpyuvxuutu00001000111其中或 一級(jí)簡化方程組可稱為“非平衡簡化方程組”。在這一方程組中，運(yùn)動(dòng)方程是不含有W項(xiàng)。由于垂直運(yùn)動(dòng)對(duì)于大氣變化有重要影響，雖在運(yùn)動(dòng)方程中一般對(duì)流項(xiàng)比其它項(xiàng)要小，但作為預(yù)報(bào)方程，一般還應(yīng)保留對(duì)流項(xiàng)。一級(jí)簡化方程組中的連續(xù)方程不含時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)，這表明密度場基本上是定常的，可作為預(yù)報(bào)方程有時(shí)也保留時(shí)間導(dǎo)數(shù)項(xiàng)。此外，熱力學(xué)方程此時(shí)常采用絕熱形式：01dtdpdtdTCp由尺度分析可以證明，氣壓的

13、全導(dǎo)數(shù)幾乎由垂直運(yùn)動(dòng)決定。對(duì)于中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)zpwypvxputpdtdp11111210101sHPwzpwsPLUypvxputpzhgwzpwdtdp0wCgzTwyTvxTutTpzTCgdp,0wyTvxTutTd尺度分析得：略去小項(xiàng)有：由此得到熱力學(xué)一級(jí)簡化方程：其中，上式改寫為：靜力平衡關(guān)系 這說明大尺度運(yùn)動(dòng)中溫度的局地變化主要是由溫度平流和垂直運(yùn)動(dòng)決定的。 一級(jí)簡化方程與原方程組最大的差異在于垂直運(yùn)動(dòng)方程采用了靜力平衡關(guān)系，這樣簡化了數(shù)學(xué)處理，它能濾去聲波。 鉛直厚度特征值大氣（有必要引入單獨(dú)的層結(jié)氣中，乎發(fā)生在同樣地層結(jié)大因?yàn)楦鞣N范圍的運(yùn)動(dòng)幾同（合理）為與其它運(yùn)動(dòng)學(xué)變量相氣

14、壓擾動(dòng)的時(shí)空尺度?。ê竺嬗浱?hào)此時(shí)且認(rèn)為，將其分解為為了處理和分析的方便且它類似）表明（以氣壓舉例，其層結(jié)大氣的觀測(cè)事實(shí)，有點(diǎn)麻煩?。┏叨龋簾崃W(xué)變量（),),(,(,pPPPPPPPgzpTRptzyxpzppPPypxpzpTpzhzhhh的尺度也視為視為等溫大氣的溫度，其中（怎么來的？）也稱為大氣的標(biāo)高時(shí)的厚度。隨高度的變化為是認(rèn)為厚度尺度（熱力學(xué)基本狀態(tài)的鉛直TTmgRTHHeppH*4*10.) LDUWLUDWDWLULUDWHWDWDWLULULUzwyvxuzwzwVtxxxxxtzyxzzwyvxudtd或結(jié)論：僅僅是高度的函數(shù)）注意若（數(shù)學(xué)技巧：，忽略二階小量靜力扣除，先來

15、看連續(xù)性方程,0ln() 1,111,)1ln(),(0ln討論尺度取決于你關(guān)心同一件事物的哪個(gè)方面既然如此，為何不同尺度的運(yùn)動(dòng)方程，同一物理項(xiàng)為何會(huì)有不同的量級(jí)？因?yàn)?，不同尺度的運(yùn)動(dòng)方程，使用不同的資料處理方法（這是資料同化研究的中心課題）（初始場與模式的協(xié)調(diào)性）尺度分析的經(jīng)驗(yàn)性和非嚴(yán)謹(jǐn)性（小項(xiàng)一定不重要么；小項(xiàng)總是小的么）六、無量綱動(dòng)力學(xué)參數(shù) 在動(dòng)力氣象學(xué)中，經(jīng)常利用特征尺度，引進(jìn)無量綱變量，將動(dòng)力學(xué)方程無量綱化，并由此得到一些由基本尺度 和環(huán)境參數(shù) 組成的無量綱參數(shù)無量綱參數(shù)，這些無量綱參數(shù)都具有明確的物理意義。無量綱方程和無量綱參數(shù)在對(duì)大氣運(yùn)動(dòng)進(jìn)行動(dòng)力分析時(shí)十分有用。UDL,Hfg,0

16、方程無量綱化的步驟：1）把方程各項(xiàng)寫作 “特征量無量綱量”的形式。2）化為“無量綱方程” ： 用方程中某一項(xiàng)的特征量同除方程的每一項(xiàng)（量綱齊次性原理）無量綱方程各項(xiàng)前面的系數(shù)無量綱（數(shù)）體現(xiàn)各項(xiàng)的相對(duì)重要性。 例：例：fvxpyuvxuutu1*tuTV*2yuvxuuLV)1(1*0 xPLPh)(*0vfVf 兩邊同除以科氏力的特征量 Vf0以水平運(yùn)動(dòng)方程的以水平運(yùn)動(dòng)方程的“一級(jí)近似一級(jí)近似”為例為例*01)(vfxpyuvxuutuR特征科氏力項(xiàng)特征慣性力項(xiàng)VfLVR020VfLPVLTh001;其中：其中：非地轉(zhuǎn)。，滿足準(zhǔn)地轉(zhuǎn)；度很小，可忽略特征慣性力很小，加速000010,10RR（

17、Rossy數(shù)）數(shù)）（所以可以通過Rossy數(shù)判斷是否準(zhǔn)地轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng)）上式即無量綱方程上式即無量綱方程特征無量綱參數(shù)特征無量綱參數(shù)牽連渦度尺度相對(duì)渦度尺度000020/ffLVVfLVR又：運(yùn)動(dòng)平流時(shí)間慣性特征時(shí)間aiVLfVfLVR/10020R0=1時(shí)，非線性平流項(xiàng)不能忽略，因此，方程式非線性的，相對(duì)渦度大于或等于牽連渦度，運(yùn)動(dòng)的平流時(shí)間小于或等于慣性運(yùn)動(dòng)時(shí)間，這樣的運(yùn)動(dòng)過程稱為快過程快過程。a) 中緯度大尺度運(yùn)動(dòng)： smVsf14010,10mL610110100LfVR準(zhǔn)地轉(zhuǎn)RossbyRossby數(shù)的應(yīng)用：數(shù)的應(yīng)用： b) 中緯度中小尺度運(yùn)動(dòng)： smVsf14010,10mL5100001

18、0LfVR非地轉(zhuǎn)c) 熱帶大尺度運(yùn)動(dòng)： smVsf15010,10mL61000010LfVR 非地轉(zhuǎn)七、地轉(zhuǎn)參數(shù)的簡化、及平面近似afyfayffyffyyyfyyyfyyyfff注意：其中高次項(xiàng)，則處如設(shè)高次項(xiàng)0000000222cos2sin20! 210000000aLfy000sincos現(xiàn)對(duì)地轉(zhuǎn)參數(shù)來進(jìn)行分析。將f在緯度0處展開成泰勒級(jí)數(shù)，則有：若令L代表運(yùn)動(dòng)的徑向水平尺度，則（）式前兩項(xiàng)之比為： 因此，在中緯度地區(qū)，若運(yùn)動(dòng)的經(jīng)向水平尺度遠(yuǎn)小于地球半徑時(shí) ，可以取 既把f作為常數(shù)處理，這種近似稱為 近似。取這種近似相當(dāng)于完全沒有考慮地球球面性所引起的f隨緯度的變化。 高一級(jí)近似是所

19、謂 平面近似，其主要內(nèi)容是：（一）當(dāng)f處于系數(shù)地位不被微商時(shí)，?。?；（二）當(dāng)f處于對(duì)y求導(dǎo)時(shí)，取 為常數(shù)。 即：f=f0+y1aL0ff 0f0ff dydf 局地直角坐標(biāo)系中，垂直坐標(biāo)軸Z是以長度長度（米）（米）為單位來度量，描述大氣運(yùn)動(dòng)方程組的物理意義比較清楚。在這種坐標(biāo)系中運(yùn)動(dòng)方程中（如氣壓梯度力）與連續(xù)方程中均含有密度密度項(xiàng)。八、八、P坐標(biāo)坐標(biāo)But：“密度密度”一般不是常規(guī)測(cè)量的物理量，這樣分析對(duì)比不同高度處氣壓梯度力時(shí)很不方便。于是，在氣象學(xué)中常采用氣壓P作為垂直坐標(biāo)，在這種坐標(biāo)系中，氣壓梯度力已不含密度的因子，用起來較方便，所以在實(shí)際工作中也進(jìn)行等壓面圖的分析。1、P坐標(biāo)系的概念用氣壓P替換z坐標(biāo)系中的垂直坐標(biāo)就可得到P坐標(biāo)系。水平坐標(biāo)x,y不變。把z坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為P坐標(biāo)的基本關(guān)系是靜力平靜力平衡方程衡方程 :它與z的坐標(biāo)方向相反。gdzdp2. 垂直坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換（Z P）任一氣象要素FF(x,y,z,t)=F(x,y,z(x,y,p,t),t)=F(x,y,p,t)zpztPPFtFtFzpzxPPFxFxFzpzyPPFyFyFzPPFzFpzt