高等數(shù)學11.5隨機變量數(shù)字特征ppt課件

1、11. 5 隨機變量的數(shù)字特征隨機變量的數(shù)字特征 前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函前面討論了隨機變量的分布函數(shù)，分布函數(shù)可以完好地描畫隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一數(shù)可以完好地描畫隨機變量的統(tǒng)計特性。但在一些實踐問題中，不需求去全面調(diào)查隨機變量的變些實踐問題中，不需求去全面調(diào)查隨機變量的變化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因此化情況，而只需知道隨機變量的某些特征，因此并不需求求出它的分布函數(shù)。例如，在評定某一并不需求求出它的分布函數(shù)。例如，在評定某一地域糧食產(chǎn)量的程度時，在許多場所只需知道該地域糧食產(chǎn)量的程度時，在許多場所只需知道該地域的平均產(chǎn)量；地域的平均產(chǎn)量； 從上面的例子看到，與隨機

2、變量有關的某些從上面的例子看到，與隨機變量有關的某些數(shù)值，雖然不能完好地描畫隨機變量，但能描畫數(shù)值，雖然不能完好地描畫隨機變量，但能描畫隨機變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征隨機變量在某些方面的重要特征。這些數(shù)字特征在實際和實際上都具有重要的意義。在實際和實際上都具有重要的意義。一、期望一、期望例：有甲、乙兩射手，他們的射擊技術用下表表出：例：有甲、乙兩射手，他們的射擊技術用下表表出： 甲射手甲射手 乙射手乙射手試問哪個射手身手較好？試問哪個射手身手較好？解：設兩個選手各射解：設兩個選手各射N 槍，那么有槍，那么有 平均甲射中平均甲射中9.3環(huán)，乙射中環(huán)，乙射中9.1環(huán)，環(huán)，因此甲射手的身

3、手好些。因此甲射手的身手好些。甲：甲：80.3N90.1N100.6N=9.3N乙：乙：80.2N90.5N100.3N=9.1N1、定義、定義 設設X是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是是離散型隨機變量，它的概率函數(shù)是: P(X=Xk)=pk , k=1,2,離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的離散型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的級數(shù)的和和.它是隨機變量一切取值的以概率為權的加權平均它是隨機變量一切取值的以概率為權的加權平均 1()kkkE Xx p 1|kkkxp 假設假設有限有限,定義定義X 的數(shù)學期望的數(shù)學期望1|kkkxp 假設假設發(fā)散發(fā)散, 稱稱X 的數(shù)學期望不存在的數(shù)學

4、期望不存在例例 1例例 2假設假設XB( n, p)，那么，那么 EX n p， X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布 EX= , 設隨機變量設隨機變量Y 是隨機變量是隨機變量X 的延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函數(shù)Y=g(X) 設設 X 為離散型隨機變量為離散型隨機變量,其分布列為其分布列為 P(X=Xi)=pi , i=1,2,1|() |iiig xp 假設假設 收斂收斂,1;)()(kkkpxgXgEEY那么那么 例例 5 設隨機變量設隨機變量X 的分布列為的分布列為pkX -1 0 1 20.1 0. 2 0.4 0.3求求 E(2X - 1), E(X 2). 解解 E(2X -1)=()

5、()2110.12 010.2()2 110.42 210.3 （22222()10.100.210.420.31.7EX = 0.8 ; 2、定義：、定義： 設設X是延續(xù)型隨機變量，其密度是延續(xù)型隨機變量，其密度 函數(shù)函數(shù) f (x),假設假設dxxfx)(|有限有限,定義定義X的數(shù)學期望為的數(shù)學期望為dxxfxXE)()(也就是說也就是說,延續(xù)型隨機變量的數(shù)學延續(xù)型隨機變量的數(shù)學期望是一個絕對收斂的積分期望是一個絕對收斂的積分.例例3：設均勻分布的隨機變量：設均勻分布的隨機變量XU(a,b),求求E(X)。1,:( )0,axbXf xba 解解： 的的概概率率密密度度其其它它()()EX

6、x fxd x X 數(shù)學期望為數(shù)學期望為2ab 00ababxxdxdxxdxba 例例4 求求 指數(shù)分布的期望與方差指數(shù)分布的期望與方差 ,服服從從指指數(shù)數(shù)分分布布設設隨隨機機變變量量 X那么有那么有 , 0,e1 xx. 0, 0 x)(xf 其概率密度為其概率密度為)(XE xxxfd)( xxxde10 xxxxdee00 . X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布， 1EX X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 , 的正態(tài)分布，的正態(tài)分布，XN( , 2)。EX= 假設假設 收斂收斂 ，那么，那么dxxfxg)(| )(|設隨機變量設隨機變量Y 是隨機變量是隨機變量X 的延續(xù)函數(shù)的延續(xù)函

7、數(shù)Y=g(X)設設X 是延續(xù)型隨機變量是延續(xù)型隨機變量,其密度函數(shù)為其密度函數(shù)為 f (x),.)()()(dxxfxgXgEEY 例例6. 設設XUa, b，計算，計算EX222200ababxxdxdxxdxba 21baxdxba 223aabb 22( )EXxf x dx 三、數(shù)學期望的性質(zhì)三、數(shù)學期望的性質(zhì) 1. 設設C是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(C)=C; 2. 假設假設k是常數(shù)，那么是常數(shù)，那么E(kX)=kE(X);3. E(X+Y)=EX+EY11()()()nnE XXE XE X 推行推行 設設1，2 ，每一個隨機變量每一個隨機變量Xi 的數(shù)學期望都存在，那么的數(shù)學期望

8、都存在，那么4. 假設假設X、Y相互獨立，且相互獨立，且EX 、EY存存在，在， 那么那么E(XY )= EX EY ;四、方差的定義四、方差的定義 采用平方是為了保證一切采用平方是為了保證一切差值差值X-E(X)都起正面的作用都起正面的作用 由于它與由于它與X具有一樣的度量單位，在實具有一樣的度量單位，在實踐問題中經(jīng)常運用踐問題中經(jīng)常運用. 方差的算術平方根方差的算術平方根 稱為規(guī)范稱為規(guī)范差差)(XD1、設、設X是一個隨機變量，假設是一個隨機變量，假設E(X-E(X)2，那，那么稱么稱D(X)=VarX=EX-E(X)2 (1)為為X的方差的方差.X為離散型，為離散型，P(X=xk)=pk

9、 由定義知，方差是隨機變量由定義知，方差是隨機變量X的函數(shù)的函數(shù)g(X)=X-E(X)2的數(shù)學期望的數(shù)學期望 .212()()()( )kkkxE XpD XxE Xf x dx X為延續(xù)型，為延續(xù)型，Xf(x) 2、D(X)=E(X2)-E(X)2 展開展開證：證：D(X)=EX-E(X)2=EX2-2XE(X)+E(X)2=E(X2)-2E(X)2+E(X)2=E(X2)-E(X)2利用期望利用期望性質(zhì)性質(zhì)22()()()D XE XE X 2(1)pppp例例3. 設設XUa, b，計算，計算DX解：解：EX=21baxdxbaab 222200ababxEXxdxdxxdxba 22212baDXEXEX 21baxdxba 223aabb 假設假設XB( n, p)，那么，那么 EX n p，DXn p qEX= , DX= X服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的泊松分布的泊松分布 XUa, b，2EXab 212baDX X 服從參數(shù)為服從參數(shù)為 的指數(shù)分布，的指數(shù)分布， 211EXDXXN( , 2)。2EXDX 1. 設設C是常數(shù)是常數(shù),那么那么D(C)=0; 反之，假設反之，假設DX=0，那么存在常數(shù)，那么存在常數(shù)C，使使 PX=C=1, 且且C=E(X