第3章分析力學(xué)基礎(chǔ)ppt課件

1、 在空間：一個(gè)自在質(zhì)點(diǎn)位置需求3個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即自在質(zhì)點(diǎn)在空間有3個(gè)自在度。 在平面：需求2個(gè)獨(dú)立參數(shù)，即質(zhì)點(diǎn)有2個(gè)自在度。遭到運(yùn)動(dòng)約束：質(zhì)點(diǎn)自在度數(shù)將減少。完好約束：約束方程中不含速度項(xiàng)；穩(wěn)定定常約束：約束方程中不顯含時(shí)間t假設(shè)具有n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系，有s個(gè)完好約束方程：snN3 3-1 3-1 自在度和廣義坐標(biāo)自在度和廣義坐標(biāo)那么：n個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)點(diǎn)系總自在度數(shù)為：描畫質(zhì)點(diǎn)系在空間位置的獨(dú)立參數(shù)，稱廣義坐標(biāo)；完好系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)數(shù)目等于自在度數(shù)目。sxyMl由無重剛桿與小球構(gòu)成平面擺，做定軸轉(zhuǎn)動(dòng)，擺長為l，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的平面質(zhì)點(diǎn)系，自在度為2，有1個(gè)約束方程：222lyx用一個(gè)獨(dú)立參數(shù)表示。假設(shè)質(zhì)

2、點(diǎn)限定在半球面上運(yùn)動(dòng)，球半徑為R，是具有1個(gè)質(zhì)點(diǎn)的空間質(zhì)點(diǎn)系，自在度數(shù)為3，有1個(gè)約束方程：xyzM)(222yxlz1, 1sn自在度數(shù)為：2133snN1, 1sn通常用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)和表示1122snN自在度數(shù)為：用q1、q2、qN表示質(zhì)點(diǎn)系廣義坐標(biāo)：對完好約束質(zhì)點(diǎn)系，各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)可表示為廣義坐標(biāo)的函數(shù)。),(21Niiqqqrr進(jìn)展變分計(jì)算：NkkkiNNiiiiqqrqqrqqrqqrr12211,s, krrrfnk21 0),(21設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束snN 3NkkkiNNiiiiqqxqqxqqxqqxx12211NkkkiiNkkkiiqqzzqqyy11kq為廣

3、義虛位移。虛位移用廣義坐標(biāo)表示。),(),(),(212121NiiNiiNiiqqqzzqqqyyqqqxxkzjyixriiiikzjyixriiii同理：在虛位移原理中，以質(zhì)點(diǎn)直角坐標(biāo)的變分表示虛位移。 這些虛位移通常不獨(dú)立，需求建立虛位移之間的關(guān)系。假設(shè)直接用廣義坐標(biāo)變分來表示虛位移，廣義虛位移之間相互獨(dú)立，虛位移原理可表示為簡約方式。 3-2 3-2 以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件niiiziiyiixniiiFzFyFxFrFW11)(NkkkiiNkkkiiNkkkiiqqzzqqyyqqxx111niNkkkiizNkkkiiyNkkkiixqqz

4、FqqyFqqxF1111)(0)(1111kNknikiiznikiiynikiixqqzFqyFqxFnikiiznikiiynikiixkqzFqyFqxFQ11101kNkkFqQW設(shè)：那么：:kq它的量綱由對應(yīng)的廣義虛位移而定。為廣義虛位移:kQ稱為廣義力k為線位移， Qk 量綱是力的量綱；k為角位移， Qk 量綱是力矩的量綱。由于廣義坐標(biāo)都是獨(dú)立的，廣義虛位移是恣意的。上式成立必需滿足：021NQQQ質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是一切的廣義力都等于零0)(1111kNknikiiznikiiynikiixFqqzFqyFqxFW 質(zhì)點(diǎn)系具有N個(gè)自在度，有N個(gè)廣義力，那么有N個(gè)平衡方程是相互獨(dú)立

5、的，可聯(lián)立求解質(zhì)點(diǎn)系的平衡問題 。 大多數(shù)工程機(jī)構(gòu)只需一個(gè)自在度，這只需求列出一個(gè)廣義力等于零的平衡問題。廣義力求解方法有兩種：廣義力求解方法有兩種：01kNkkFqQWnikiiznikiiynikiixkqzFqyFqxFQ111法法1. 1. 給質(zhì)點(diǎn)系一個(gè)廣義虛位移不等于零，而其它N-1個(gè)廣義虛位移等于零。法法2.2.kkFqQWkFkqWQ質(zhì)點(diǎn)系在權(quán)利場中，質(zhì)點(diǎn)系上的自動(dòng)力都為有權(quán)利，那么勢能應(yīng)為各質(zhì)點(diǎn)坐標(biāo)的函數(shù)，總勢能為V表示為：),;,(111nnnzyxzyxVVixiVFx iyiVFy iziVFz )(iiziiyiixFzFyFxFW虛功為：虛位移原理表達(dá)為：0V在權(quán)利場

6、中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢能在平衡位置處的一階變分為零。)(iiiiiizzVyyVxxVV用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系位置。在權(quán)利場中，質(zhì)點(diǎn)系勢能可表示為廣義坐標(biāo)函數(shù)，總勢能為V為：);,(21NqqqVViixxVFiiyyVFiizzVF廣義力為：在權(quán)利場中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢能對于每個(gè)坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。)(kiizkiiykiixkqzFqyFqxFQkkqVQ)(kiikiikiiqzzVqyyVqxxVkqV平衡條件為：法法3:3:0kkqVQ)21(0NkqVQkk，314即：在權(quán)利場中具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢能對于每個(gè)廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)

7、分別等于零。在穩(wěn)定平衡的平衡位置處，系統(tǒng)勢能具有極小值在不平衡位置上，系統(tǒng)勢能具有極大值對于隨遇平衡，系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變的，所以其附近任何能夠位置都是平衡位置。穩(wěn)定平衡穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡不穩(wěn)定平衡對于一個(gè)自在度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個(gè)廣義坐標(biāo)q因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)， 即)(qVV 當(dāng)系統(tǒng)平衡時(shí)，根據(jù)式314，在平衡位置處有0ddqV 假設(shè)系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡形狀，那么在平衡位置處。系統(tǒng)勢能具有極小值，即系統(tǒng)勢能對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零。0dd22qV上式是一個(gè)自在度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)。對于多自在度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)可參考其他書籍。例1 復(fù)合擺機(jī)構(gòu)， A、B點(diǎn)位置作用力F1

8、,F2， F. 。用廣義坐標(biāo)表示A、B點(diǎn)位置，求平衡時(shí)作用力F1 ,F2， F與1，2關(guān)系。xy11l1F2F2AB2lF解：方法 1：1取整個(gè)系統(tǒng)為研討對象，A,B 2個(gè)質(zhì)點(diǎn)具有4個(gè)自在度。兩個(gè)約束方程：2122lyxAA2222)()(lyyxxABAB該質(zhì)點(diǎn)系自在度數(shù)為：4-2=2,可以用2個(gè)獨(dú)立參數(shù)。21,表示1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB2用廣義坐標(biāo)表示A,B1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB111111111cos,sinsinlxlylyBBAxy11l1F2F2AB2

9、lF222222222cos,sinsinlxlylyBBA)()(222212112111ABAABAxFyFyFQxFyFyFQ0cossinsin0cossinsin2222222111112111FllFlFFllFlF0cossin22222FllF0cossinsin11112111FllFlF22FFtg211FFFtgxy11l1F2F2AB2lF0cossinsin0cossinsin2222222111112111FllFlFFllFlF1111cossinlylxAA22112211coscossinsinllyllxBB111111sincoslylxAA2221112

10、22111sinsincoscosllyllxBB021BBAxFyFyF4虛位移原理：xy11l1F2F2AB2lF0)coscos()sinsin()sin(22211122211121111llFllFlF直接計(jì)算：0)cossin()cossinsin(22222211112111FllFFllFlF0cossin22222FllF0cossinsin11112111FllFlF22FFtg211FFFtgxy11l1F2F2AB2lFxy11l1F2F2AB2lF方法 2：111l11l 不變，給 虛位移211111sinlyA111111sincoslylxBB121111BBAx

11、FyFyFWQ111111121111)cos()sin()sin(lFlFlF111121cossin)(FllFFxy11l1F2F2AB2lF212l 不變，給 虛位移122222222sincoslylxBB221222BBAxFyFyFWQ0Ay22222222)cos()sin(lFlF22222cossinFllF0cossin)(1111211FllFFQ0cossin222222FllFQ22FFtg211FFFtg選題選題 設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，質(zhì)點(diǎn)系中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量為mi，作用在該質(zhì)點(diǎn)上的自動(dòng)力的合力為Fi，約束反力的合力為FNi . 假設(shè)假想地加上該質(zhì)點(diǎn)的慣性力F

12、Ii=-miai，由達(dá)朗貝爾原理，F(xiàn)i 、Fni、 FIi構(gòu)成平衡力系。整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系應(yīng)組成平衡力系，質(zhì)點(diǎn)系具有理想約束. 運(yùn)用虛位移原理，得到：3-3 動(dòng)力學(xué)普遍方程動(dòng)力學(xué)普遍方程0)(iIiirFFkFjFiFFiziyixikzjyixriiiiIiiiiiiiFmxim y jmzk0)()()(1niiiiiziiiiyiiiixzzmFyymFxxmF 在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的各個(gè)質(zhì)點(diǎn)在任一瞬時(shí)所受的自動(dòng)力和慣性力在虛位移上所作的虛功和等于零。稱為動(dòng)力學(xué)普遍方程。 0)(iIiirFF得到：例1 圖示滑輪系統(tǒng)，動(dòng)滑輪上懸掛質(zhì)量為m1的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛質(zhì)量m2重物，滑輪和繩

13、子分量以及輪軸摩擦忽略不計(jì)，求m2重物下降的加速度。 1s2s2a1agm1gm21IF2IF解：1取整個(gè)系統(tǒng)為研討對象，2受力分析系統(tǒng)的自動(dòng)力為：m1g、 m2g 111amFI212amFI2給系統(tǒng)虛位移s1 和s2慣性力為： 設(shè)m2重物下降的加速度為a2，設(shè)m1重物下降的加速度為a1。0)()(11112222samgmsamgm代入加速度和虛位移關(guān)系得到：2121aa , 2121ssgmmmma121224243動(dòng)力學(xué)普遍方程： 1s2s2a1agm1gm21IF2IF選題選題Co例3-5 如圖二一樣圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m，輪可繞O軸轉(zhuǎn)動(dòng)，二輪相連繩鉛直時(shí)，輪中心C的加速度。 1

14、2gm1IM2IMIF解：1取系統(tǒng)為研討對象2力分析： 作用的自動(dòng)力mg3設(shè)輪的角加速度為1輪的角加速度為2輪慣性力偶：MI=J11輪I 慣性力偶：MI=J22慣性力：FI=maC21RRaC4)加虛位移： 輪： 輪I ：C121IM2IMIFgm12ABCaAaBaI 輪定軸轉(zhuǎn)動(dòng)1RaA1RaaABII 輪平面運(yùn)動(dòng)取B為基點(diǎn)CBBCaaa5) 動(dòng)力學(xué)普遍方程：2122210IIImg sMFsM2122221212111()21()()02mg RRmRm RRRRmR 0)(21)(21222122122112RmmRmgRRmmRmgR212RRsC121IM2IMIFgm12ABCaA

15、aBa由虛位移的恣意性： 0)(210)(212212222112RmmRmgRRmmRmgRRg5221gRa54)(21解得：選題選題C121IM2IMIFgm12ABCaAaBa 3-4 第一類拉格朗日方程第一類拉格朗日方程,s, krrrfnk21 0),(21設(shè)n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成質(zhì)點(diǎn)系受s個(gè)雙面約束kzfjyfixfrfikikikik0)()(1111 niskiikkskniiikkrrfrrf設(shè)：01niiikrrf0)(1niiiiirrmF 由動(dòng)力學(xué)普遍定理：nirfrmFskikkiii, 1 01 第一類拉格朗日方程例3-6 如下圖的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑程度面挪動(dòng)的重物M1的

16、質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿銜接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。2M1MxyCO解：1取整個(gè)系統(tǒng)為研討對象。選取坐標(biāo)軸如下圖，那么M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2 、y2。2運(yùn)動(dòng)分析： 系統(tǒng)遭到程度面和剛性桿的約束，有2個(gè)約束方程。 011 yf0)()(22212212lyyxxf2 , 1 01irfrmFskikkiii 1, 011212111yfyfxfxf011 yf0)()(22212212lyyxxf)(2),(2)(2),(22122211221222112yyyfyyyfxxxfxxxf2M1MxyCOgm1gm20)(0)(

17、00)(0)(02222111222222112212211111112211111yfyfymgmxfxfxmyfyfymgmxfxfxm 0)(20)(20)(20)(222121221222121211121211gmyyymxxxmgmyyymxxxm 0)(20)(20)(20)(222122221222121211121211gmyyymxxxmgmyyymxxxm 01y0)()(2221221lyyxx0)()()()(0)()(00)(22121212212121222112121122111yyyyyyxxxxxxgmymxmxxyyyxyymxm 約束方程微分，消去21,

18、2M1MxyCOgm1gm2 當(dāng)系統(tǒng)各質(zhì)點(diǎn)的虛位移不獨(dú)立時(shí)，要找到虛位移之間的關(guān)系不方便。 動(dòng)力學(xué)普遍方程用獨(dú)立的廣義坐標(biāo)表示，可推導(dǎo)出第二類拉格朗日方程，這種方法便于求解非自在質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)力學(xué)問題。 設(shè)一質(zhì)點(diǎn)系由n個(gè)質(zhì)點(diǎn)組成，系統(tǒng)具有s個(gè)完好理想約束，具有N=3n-s個(gè)自在度。用q1、q2、qn表示系統(tǒng)的廣義坐標(biāo)。 設(shè)系統(tǒng)中第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m1，矢徑為 ri，矢徑ri可表示為廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)： 3-5 第二類拉格朗日方程第二類拉格朗日方程),(21tqqqrrNii由質(zhì)點(diǎn)系普遍方程： 011niiiiniiiramrF上式第一項(xiàng)又可以表示為： 11nNiikkikFrQqNkkkiiqq

19、rr1留意：這里不是研討平衡問題，所以Qk不一定為零。 代入上式第二項(xiàng)得:111nnNiiiii ikiiikrmarmrqqnikkiiiNiqqrrm11)( niiiiniiiramrF110)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1Niikkkrrqq011niiiiniiiramrF11nNiikkikFrQq對于完好約束的系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。所以廣義坐標(biāo)的變分是恣意的，為使上式成立，必需有： ),3 , 2 , 1(01nkqrrmQNikiiik 這是具有N個(gè)方程的方程組，其中第二項(xiàng)與廣義力對應(yīng)，稱為廣義慣性力。 闡明廣義力與廣義慣性力相平衡，是達(dá)朗伯原理的廣義坐標(biāo)表

20、示。對廣義力做如下變換Nikiiiqrrm1 )()(11NikiiiNikiiiqrdtdvmqrvdtdm0)(11NikkiiikNiqqrrmQ 1.證明： kikiqrqr),(21tqqqrrNii進(jìn)一步簡化，先證明兩個(gè)等式kikiqrqrkikiqrqrdtd)(對時(shí)間求導(dǎo)數(shù) trqqrrdtrdikNikiii1其中 ,kiqrtri是廣義坐標(biāo)和時(shí)間的函數(shù)，而不是廣義速度的函數(shù)。kikiqrqrkq 再對 求偏導(dǎo)數(shù)：得證在完好約束下trqqrrdtrdikNikiii1對某qj求偏導(dǎo)數(shù) 1NiiikijjkrrrqqqqttqrqqqrjikNikji212將 jiqr對時(shí)間求

21、導(dǎo)數(shù)得： tqrqqqrqrdtdjikNikjiji212)(2.證明 ：kikiqrqrdtd)(kikiqrqrdtd)(由此得證 )()(11NikiiiNikiiiqrdtdvmqrvdtdmjiiiavvr,kikiqrqrkikiqrqrdtd)(Nikiiiqrvm1NikiiiNikiiiqvvmqvvdtdm11)()()21()(11iNiiikNikiiivvmqqvvmdtdNiiikNiiikvmqvmqdtd1212)21()21(kkqTqTdtd其中 )21(12NiiivmT為質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能kkkQqTqTdtd該方程組中方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自在度數(shù)，每一

22、個(gè)方程都是二階常微分方程。 ),3 , 2 , 1(01NkqrrmQNikiiik kkNikiiiqTqTdtdqrvm1得 上式稱為拉格朗日方程kkqVQ于是拉格朗日方程可寫成kkkqVqTqTdtd上式就是保守系統(tǒng)的拉格朗日方程。記L=T-V，L稱為拉格朗日函數(shù)或動(dòng)勢。假設(shè)作用在質(zhì)點(diǎn)系上的自動(dòng)力都是有權(quán)利，那么廣義力Qk可寫成拉格朗日方程用動(dòng)勢L =T-V表示 ), 2 , 1(0NkqLqLdtdkk 拉格朗日方程是處理具有完好約束的質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)力學(xué)問題的普遍方程，是分析力學(xué)中重要的方程。 拉格朗日方程的表達(dá)式非常簡約，運(yùn)用時(shí)只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力； 對于保守系統(tǒng)，只需計(jì)算系統(tǒng)的動(dòng)能

23、和勢能。0kqV由于勢能是坐標(biāo)的函數(shù)ABCO0 x解：1取系統(tǒng)為研討對象 此系統(tǒng)具有一個(gè)自在度。 以物塊平衡位置為原點(diǎn)，取x為廣義坐標(biāo)如圖。2以平衡位置為重力勢能零點(diǎn)，系統(tǒng)在恣意位置x處的勢能為例 6 如下圖的系統(tǒng)中，A輪沿程度面純滾動(dòng)，輪心以程度彈簧聯(lián)于墻上，質(zhì)量為m1的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于A點(diǎn)。A、B二輪皆為均質(zhì)圓輪，半徑為R，質(zhì)量為m2。彈簧剛度為k，質(zhì)量不記。當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能一直堅(jiān)持張緊的條件下，求此系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。gxmxkV120)(210為平衡位置彈簧伸長量。2運(yùn)動(dòng)分析；B輪角速度為 Rx A輪質(zhì)心速度為 x A輪角速度為 Rx 2222222221)(21212

24、1)(212121RxRmxmRxRmxmTABCO0 xx 物塊速度為212)21(xmm此系統(tǒng)的動(dòng)能為：gxmxkxmmVTL120212)(21)21(3代入拉格朗日方程 0)(LLdtd0)2(1012gmkxkxmm gmk104系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程為0)2(12kxxmm ABCO0 x得留意系統(tǒng)的動(dòng)勢為：選題選題例7 如下圖的運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)中，可沿光滑程度面挪動(dòng)的重物M1的質(zhì)量為m1；可在鉛直面內(nèi)擺動(dòng)的擺錘M2的質(zhì)量為m2。兩個(gè)物體用無重桿銜接，桿長為l。求此系統(tǒng)微幅擺動(dòng)的周期。2M1MxyCO解：1取整個(gè)系統(tǒng)為研討對象。選取坐標(biāo)軸如下圖，那么M1和M2的坐標(biāo)各為x1、y1和x2 、y2

25、。2運(yùn)動(dòng)分析： 系統(tǒng)遭到程度面和剛性桿的約束，所以具有兩個(gè)自在度。 01ysin12lxxcos2ly 3拉格朗日方程列出系統(tǒng)的微分方程。 系統(tǒng)的動(dòng)能為：2212112121vmvmT選x1和為廣義坐標(biāo)，那么有：2M1MxyCO11xv222222yxv 22121cos2lx lx)cos2(2)(211222121xllmxmmT其中：選M1在程度面上而M2在最低處為系統(tǒng)的零勢能位置，那么系統(tǒng)的勢能為： )cos1 (2glmV2M1MxyCO01xTcos)(21211lmxmmxT2221211sincos)()( lmlmxmmxTdtd)cos2(2)(211222121xllmx

26、mmT011xVQxsin12xlmTcos1222x lmlmT)cos1 (2glmV)cos2(2)(211222121xllmxmmT2M1MxyCO)sincos()(112 xxllmTdtdsin2glmVQ代入拉格朗日方程0sincos)(222121 lmlmxmmsin)sincos(2112glmxxllm 2M1MxyCOQTTdtdQxTxTdtdx)()(111)sincos()(112 xxllmTdtd2221211sincos)()( lmlmxmmxTdtd01xT011xVQxsin12xlmTsin2glmVQ1cos,sin假設(shè)M2擺動(dòng)很小，那么可近似

27、地以為 且可忽略高階小量，上式可改寫為0sincos)(222121 lmlmxmmsin)sincos(2112glmxxllm 2M1MxyCO0)(2121 lmxmmgxl1 glx 10121lgmmm 解為 ：)sin(tAn圓頻率為 ：lgmmmn1210)(2121 lmxmmgxl1 glmmm21122 擺動(dòng)周期假設(shè)m1遠(yuǎn)大于m2，那么M1的位移x1將很小，M2的擺動(dòng)周期將趨近于普通單擺的周期：glm2lim12M1MxyCO選題選題 3-6 3-6 拉格朗日方程的初積分拉格朗日方程的初積分對于保守系統(tǒng)，在一定條件下，可以直接給出初積分的普通方式。1.1.能量積分能量積分假

28、設(shè)系統(tǒng)所遭到的約束均為定常約束，那么式34中不顯含時(shí)間t， 從而kNikiiiqqrr1lkNlkklnilNllikNkkiiiniiiqqmqqrqqrmmT1111121)()(2121，327為關(guān)于 的二次齊次函數(shù)，iq 其中l(wèi)ikiniiklqrqrmm1是廣義坐標(biāo)的函數(shù)， 稱為廣義質(zhì)量，容易證明TqqTkNkk21328上式也稱為關(guān)于齊次函數(shù)的歐拉定理，留意勢能V不含 項(xiàng)，iq 從而TqqTqqLkNkkkNkk211將式326b對k求和0)2(dddddd2)()(dd)(dd)(dd1111LTttLtTqqLqqLqqLtqqLqqLqLtqqLqqLtkkNkkkNkkkNkkkkkkNkkkkk 329積分上式，有2T-L