數(shù)字圖像處理(岡薩雷斯)-4_Fourier變換與頻域介紹(DIP3E)

1、第第4章章頻率域濾波頻率域濾波圖像的頻域分析圖像的頻域分析l頻率域濾波頻率域濾波l頻率域平滑（低通）濾波器頻率域平滑（低通）濾波器l頻率域銳化（高通）濾波器頻率域銳化（高通）濾波器4.1 背景知識背景知識將空域中的信號（圖像）變換到另外一個域（頻域），即使將空域中的信號（圖像）變換到另外一個域（頻域），即使用該域中的一組用該域中的一組單位正交基函數(shù)單位正交基函數(shù)（相同基函數(shù)內(nèi)積為（相同基函數(shù)內(nèi)積為1 1，不，不同基函數(shù)的內(nèi)積為同基函數(shù)的內(nèi)積為0 0）的）的線性組合線性組合來表示任意函數(shù)來表示任意函數(shù)使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)使用這組基函數(shù)的線性組合得到任意函數(shù)f f，每個基函數(shù)的，每

2、個基函數(shù)的系數(shù)就是系數(shù)就是f f與該基函數(shù)的內(nèi)積與該基函數(shù)的內(nèi)積使圖像處理問題簡化；使圖像處理問題簡化；有利于圖像特征提??；有利于圖像特征提??；有助于從概念上增強對圖像信息的理解；有助于從概念上增強對圖像信息的理解；l圖像變換通常是一種圖像變換通常是一種。一般要求：一般要求： 1. 1. 正交變換必須是可逆的；正交變換必須是可逆的； 2. 2. 正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜；正變換和反變換的算法不能太復(fù)雜； 3. 3. 正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻正交變換的特點是在變換域中圖像能量將集中分布在低頻率成分上，邊緣、線狀信息反映在高頻率成分上，有利于圖像率成分上，邊緣、線狀

3、信息反映在高頻率成分上，有利于圖像處理處理因此因此廣泛應(yīng)用在圖像增強、圖像恢復(fù)、特征提取、圖廣泛應(yīng)用在圖像增強、圖像恢復(fù)、特征提取、圖像壓縮編碼和形狀分析等方面像壓縮編碼和形狀分析等方面4.2 傅里葉變換傅里葉變換(一種正交變換一種正交變換)從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)（正、余弦函數(shù)）來處理的。從物理效為一系列周期函數(shù)（正、余弦函數(shù)）來處理的。從物理效果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域果看，傅立葉變換是將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域為什么要在頻率域研究圖像為什么要在頻率域研究圖像? 可以利用可以利用。一些

4、在空。一些在空間域表述困難的增強任務(wù)，在頻率域中變得非常普通間域表述困難的增強任務(wù)，在頻率域中變得非常普通濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質(zhì)濾波在頻率域更為直觀，它可以解釋空間域濾波的某些性質(zhì)給出一個問題，尋找某個濾波器解決該問題，頻率域處理對給出一個問題，尋找某個濾波器解決該問題，頻率域處理對于試驗、迅速而全面地控制濾波器參數(shù)是一個理想工具于試驗、迅速而全面地控制濾波器參數(shù)是一個理想工具一旦找到一個特殊應(yīng)用的濾波器，通常在空間域用硬件實現(xiàn)一旦找到一個特殊應(yīng)用的濾波器，通常在空間域用硬件實現(xiàn)圖像的頻率指什么？圖像的頻率指什么？ 是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標，是是表征圖像

5、中灰度變化劇烈程度的指標，是。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。在圖像中是一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。 u傅里葉變換及其反變換傅里葉變換及其反變換u傅里葉變換的性質(zhì)傅里葉變換的性質(zhì)u快速傅里葉變換（快速傅里葉變換（FFT）一維傅里葉變換對一維傅里葉變換對l一維連續(xù)函數(shù)一維連續(xù)函數(shù) 的傅里葉變換對定義為的傅里葉變換對定義為( )f x2( )( )( )(4.216

6、)juxjxF uf x edxf x edx2( )( )( )(4.217)ujxjxf xF u eduFed離散形式（離散形式（DFT）：）：2100,1,2,11( )( ),(4.46)0,1,2,1MMjuxxxMF uf x eMuM 2100,1,2,1( )( ),(4.47)0,1,2,1MjuxuMxMf xF u euM 1(4.413)uM x 傅里葉變換傅里葉變換傅里葉變換的極坐標表示傅里葉變換的極坐標表示 幅度或頻率譜為幅度或頻率譜為 相角或相位譜為相角或相位譜為22( )( )( )F uRuIu( )( )arctan( )I uuR u 功率譜（譜密度）為

7、功率譜（譜密度）為 222( )( )( )( )P uF uR uIu ( )( )( )( )( )(4.21)uF uF u eR ujI u 4.5.5二維傅里葉變換對二維傅里葉變換對一一二維離散函數(shù)二維離散函數(shù) 的傅里葉變換對的傅里葉變換對定義為：定義為：( , )f x y11()0020,1,2,1( , )( , ),(4.515)0,1,2,1uxvyMNjMNxyuMF u vf x y evN 11()0020,1,2,11( , )( , ),(4.516)0,1,2,1uxvyMNjMNuvxMf x yF u v eMNyN 注：注：u u和和v v是圖像的頻率變量

8、，是圖像的頻率變量，x x和和y y是圖像的空域變量是圖像的空域變量11001(0,0)( , )( , )(4.621)MNxyFMNf x yMNf x yMN 這說明：這說明：在原點的傅里葉變換和圖像的在原點的傅里葉變換和圖像的平均灰度成正比平均灰度成正比直流份量直流份量(0,0)( , )(4.622)FMN f x y 譜譜的的最最大大分分量量4.6 二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.1 空間域抽樣間隔和頻域間隔之間的關(guān)系：空間域抽樣間隔和頻域間隔之間的關(guān)系：1(4.61)uM x 1(4.62)vN y 4.6.2 傅里葉變換對的平移和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：傅里葉變換對的

9、平移和旋轉(zhuǎn)性質(zhì)：00002 ()002 ()00( , )(,)(4.63)(,)( , )(4.64)ju x M v y NjuxM vyNf x y eF uu vvf xxyyF u v e 002()()00,( 1)22ju x Mv y NjxyxyMNuvee 當時，( , )( 1)(2,2)(4.68)(2,2)( , )( 1)x yu vf x yF uMvNf xMyNF u v 旋轉(zhuǎn)特性：旋轉(zhuǎn)特性：得到得到引入極坐標引入極坐標cos ,sin ,cos ,sinxryruv00( ,)( ,)(4.65)f rF 原圖像及其原圖像及其傅里葉變換傅里葉變換旋轉(zhuǎn)后圖像及

10、旋轉(zhuǎn)后圖像及其傅里葉變換其傅里葉變換4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.3 周期性：周期性：F u, v F u M , v F u, v N F u M , v N f x, y f x M , y f x, y N f x M , y N 上述公式表明上述公式表明盡管盡管F(u,v)F(u,v)對無窮多個對無窮多個u u和和v v的值重復(fù)出現(xiàn)，但的值重復(fù)出現(xiàn)，但只需根據(jù)只需根據(jù)在任一個周期里的在任一個周期里的N N個值就可以從個值就可以從F(u,v)F(u,v)得到得到f(x,y)f(x,y)只需一個周期里的變換就可將只需一個周期里的變換就可將F(u,v)F(u,

11、v)在頻域里完全確定在頻域里完全確定同樣的結(jié)論對同樣的結(jié)論對f(x,y)f(x,y)在空域也成立在空域也成立( , )( 1)(,)(4.68)22xyMNf x yF uv 說明：（說明：（4.64.68 8）將）將F(u,v)F(u,v)的原點的原點(0,0)(0,0)變換到頻率坐標下的變換到頻率坐標下的(M/2(M/2，N/2)N/2)，它是，它是M MN N區(qū)域的中心（區(qū)域的中心（M M、N N為偶數(shù)）。這樣，在區(qū)域為偶數(shù)）。這樣，在區(qū)域0,M-0,M-1(0,N-1)1(0,N-1)內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一個完整周期。（見圖個完整周期。（見圖4.23 (c)4.23 (c

12、)、(d)(d)） 的原點變換：的原點變換：( , )F u v4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)( )( 1)()2xMf xF u 說明：上式將說明：上式將F(u)F(u)的原點變換到的原點變換到 (M/2)(M/2)處。這樣，在區(qū)間處。這樣，在區(qū)間0,M-10,M-1內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一個完整周期。內(nèi)就包含了數(shù)據(jù)的一個完整周期。（見圖（見圖4.23 (a)4.23 (a)、(b)(b)）4.23圖圖( )a( )b( )c( )d4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.4 對稱性：對稱性：共軛對稱性共軛對稱性l l共軛對稱共軛對稱（實部相等實部相等

13、, ,虛部互為相反數(shù)虛部互為相反數(shù)）的，即的，即l l傅里葉變換的頻率譜是關(guān)于原點偶對稱的傅里葉變換的頻率譜是關(guān)于原點偶對稱的( , )(,)(4.614)F u vFuv ( , )(,)(4.619)F u vFuv 如果如果f(x,y)是實函數(shù)，它的傅里葉變換是實函數(shù)，它的傅里葉變換是是l復(fù)習(xí)：當兩個復(fù)數(shù)實部相等復(fù)習(xí)：當兩個復(fù)數(shù)實部相等, ,虛部互為相虛部互為相反數(shù)時反數(shù)時, ,這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)這兩個復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù). .4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì) 其他性質(zhì)：其他性質(zhì)：尺度變換（縮放）及線性性尺度變換（縮放）及線性性1( , )( , )(,)(

14、,)|af x yaF u vf ax byF u a v bab ( , )( , )( , )( , )af x ybg x yaF u vbG u v 線線性性性性：a)Image A;b)Image B;c)0.25 * A + 0.75 * Ba)spectrum A;b)spectrum B;c)0.25 * A + 0.75 * B4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.5二維傅里葉譜和相角：二維傅里葉譜和相角： 幅度或幅度或為為 相角或相角或為為22( , )( , )( , )(4.616)F u vRu vIu v ( , )( , )arctan(4

15、.617)( , )I u vu vR u v 功率譜為功率譜為 222( , )( , )( , )( , )(4.618)P u vF u vRu vIu v ( , )( , )( , )( , )( , )(4.615)ju vF u vF u v eR u vjI u v 二維傅里葉變換的極坐標表示二維傅里葉變換的極坐標表示4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)4.6.6二維卷積定理：二維卷積定理：大小為大小為MN的兩個函數(shù)的兩個函數(shù)f(x,y)和和h(x,y)的離散（循環(huán)）卷積的離散（循環(huán)）卷積卷積定理卷積定理1100( , )( , )(, ) (,)(4.623

16、)MNmnf x yh x yf m n h xm yn ( , )( , )( , )( , )(4.624)( , ) ( , )( , )( , )(4.625)f x yh x yF u v H u vf x y h x yF u vH u v 代代表表“循循環(huán)環(huán)卷卷積積”計算空間循環(huán)卷積計算空間循環(huán)卷積 時，要對圖像補時，要對圖像補0 0以使進行卷以使進行卷積運算的兩圖像尺寸相同。積運算的兩圖像尺寸相同。( , )( , )f x yh x y( , ):,( , ):,1,1f x yABh x yCDPACQBD設(shè)設(shè)( , )0,1,0,1( , )(4.627)0 , ,P Q

17、f x yxAyBfx yxA PyB Q 補補零零：( , )0,1,0,1( , )(4.628)0 ,P Qh x yxCyDhx yxC PyD Q 4.6二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維離散傅里葉變換的性質(zhì)二維相關(guān)定理：二維相關(guān)定理：大小為大小為MN的兩個函數(shù)的兩個函數(shù)f(x,y)和和h(x,y)的相關(guān)系數(shù)：的相關(guān)系數(shù)：相關(guān)定理相關(guān)定理*1100( , )( , )(, ) (,)MNmnff x yh x yfm n hmfxfyfn 表表示示 的的復(fù)復(fù)共共軛軛，對對實實函函數(shù)數(shù)（圖圖像像）有有：*( , )( , )*( , )( , )( , ) ( , )( , )( , )f

18、x yh x yFu v H u vfx y h x yF u vH u v 代代表表求求“相相關(guān)關(guān)系系數(shù)數(shù)” ( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft conj F u vH u vf x yh x yifft F u vH u v l自相關(guān)理論自相關(guān)理論注：復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積是復(fù)數(shù)模的平方注：復(fù)數(shù)和它的復(fù)共軛的乘積是復(fù)數(shù)模的平方222( , )( , )( , )( , )( , )f x yf x yF u vRu vIu v 2( , )( , )( , )f x yF u vF u v l l卷積和相關(guān)性理論總結(jié)

19、卷積和相關(guān)性理論總結(jié)卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶卷積是空間域過濾和頻率域過濾之間的紐帶相關(guān)的重要應(yīng)用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域相關(guān)的重要應(yīng)用在于匹配：確定是否有感興趣的物體區(qū)域例例f(x,y)f(x,y)是原始圖像，是原始圖像， h(x,y)h(x,y)作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）作為感興趣的物體或區(qū)域（模板）如果匹配，兩個函數(shù)的相關(guān)值會在如果匹配，兩個函數(shù)的相關(guān)值會在h h找到找到f f中相應(yīng)點的位置上中相應(yīng)點的位置上達到最大達到最大( )( )()( )f xh xfxh x 相關(guān)性匹配舉例相關(guān)性匹配舉例( , ):256 256f x y( , ):38 42h x

20、 y( , ):298 298f x y延拓圖像延拓圖像f(x,y)f(x,y)延拓圖像延拓圖像h(x,y)h(x,y)( , )( , ):298 298f x yh x y兩個大小不等的圖像作兩個大小不等的圖像作循環(huán)卷積或相關(guān)運算時，循環(huán)卷積或相關(guān)運算時，需先將兩圖像進行周期需先將兩圖像進行周期延拓后再運算！延拓后再運算！例：例：f(x,y): AB h(x,y): CD延拓周期：延拓周期：x方向：方向：P=A+C-1y方向：方向：Q=B+D-1l頻域計算卷積的框圖頻域計算卷積的框圖( , )( , )( , )P QA BC Dgx yfx yhx y ( , ):f x yA B( ,

21、 ):h x yCD:fP Q:h P QDFTDFT1PAC1QBD1PAC1QBD周期延拓周期延拓( , )F u v( , )H u v( , )( , )F u v H u vIDFT( , ):g x yP Q( , ):f x yA B( , ):h x yCD:fP Q:h P QDFTDFT1PAC1QBD1PAC1QBD周期延拓周期延拓( , )F u v( , )H u v*( , )( , )F u v H u vIDFT( , ):R x yP Q*( , )F u v l頻域計算相關(guān)的框圖頻域計算相關(guān)的框圖( , )( , )( , )P QA BC DRx yfx

22、yhx y ( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft conj F u vH u v ( , )( , )( , )( , )f x yh x yifft F u vH u v4.11 二維二維DFT的實現(xiàn)的實現(xiàn)4.11.1二維二維DFT的可分離性：的可分離性：212211000( , )(4.( , )111)NMMjuxjuxjvyNMMxxyeF x vF u vee沿著沿著f(x,y)f(x,y)的一行所的一行所進行的傅里葉變換。進行的傅里葉變換。 先通過先通過沿沿輸入圖像的輸入圖像的每一行計算一維變換每一行計算一維變換再沿再沿中間結(jié)果的中間結(jié)果的每一列計算

23、一維變換每一列計算一維變換可以改變上述順序，即先列后行可以改變上述順序，即先列后行上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換上述相似的過程也可以計算二維傅里葉反變換4.11 4.11 二維二維DFTDFT的實現(xiàn)的實現(xiàn)4.11.2 用用DFT計算計算IDFT：( , )F u v*( , )Fu v( , )f x y * *DFT1MN*( , )DFT F u v*( , )DFT F u v 11*2 ()*00( )( , )( , )(4.113)MNjux Mvy NuvMNfxFu v eDFT Fu v *1( , )( , )f x yDFT Fu vMN 圖像傅立葉變換的物理意

24、義圖像傅立葉變換的物理意義傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實空間）上的采樣得到一系列點的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各上的采樣得到一系列點的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各點，則圖像可由點，則圖像可由z=f(x,y)z=f(x,y)來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，來表示。由于空間是三維的，圖像是二維的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由來表示，這樣我們可以來表示，這樣我們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提及梯度？通過

25、觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提及梯度？因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到因為實際上對圖像進行二維傅立葉變換得到，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一，當然頻譜圖上的各點與圖像上各點并不存在一一對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉對應(yīng)的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉我們看我們看到的到的，也叫該點，也叫該點(u,v)(u,v)的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的的頻率的大?。梢赃@么理解，圖像中的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的低頻部分指低梯度的點，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點的亮度強，否則該點亮度弱。這

26、樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫亮度強，否則該點亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖就可分析原始圖像中灰度的變化情況。功率圖就可分析原始圖像中灰度的變化情況。例例4.2,log 1,l,og 1D u vF u vKD u vK F uFvvu譜圖象就是把作為亮度顯示出來：。人的視覺可分辨灰度有限：實用公式常用 系數(shù)調(diào)整：xy( , )( , )f x yx y ( )auv( , )( , )D u vu v ( )b從譜圖像中可看出：從譜圖像中可看出： 圖像的能量分布。如果圖像的能量分布。如果，那么那么（因為（因為各點與鄰域灰度差異都不大，梯度相對較?。?，反之，各點與鄰

27、域灰度差異都不大，梯度相對較?。?，反之，那么那么，邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。邊界分明且邊界兩邊像素差異較大的。圖像的頻譜分布。頻譜移頻到顯示屏中心后，圖像的圖像的頻譜分布。頻譜移頻到顯示屏中心后，圖像的頻譜頻譜分布是分布是以中心為圓以中心為圓心，對稱分布心，對稱分布的。的。頻譜移中的好處頻譜移中的好處 對頻譜移頻到顯示屏中心以后，可以看出圖像的頻譜分布對頻譜移頻到顯示屏中心以后，可以看出圖像的頻譜分布是以中心為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可是以中心為圓心，對稱分布的。將頻譜移頻到圓心除了可以清晰地看出圖像頻譜分布以外，還有一個好處，它以清晰地看出圖像頻譜分布以外，還有一個好處，它，比如正弦干擾，一副帶，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾的圖像，移頻到中心的頻譜圖上可以看出除了有正弦干擾的圖像，移頻到中心的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點為中心，對稱分布的亮點集合，中心以外還存在以某一點為中心，對稱