數(shù)學(xué)歸納法測(cè)試題及答案

1、選修2-2 2. 3 數(shù)學(xué)歸納法一、選擇題1用數(shù)學(xué)歸納法證明1<n(nN*，n>1)時(shí)，第一步應(yīng)驗(yàn)證不等式()A1<2B12C13 D13答案B解析nN*，n1，n取第一個(gè)自然數(shù)為2，左端分母最大的項(xiàng)為，2用數(shù)學(xué)歸納法證明1aa2an1(nN*，a1)，在驗(yàn)證n1時(shí)，左邊所得的項(xiàng)為()A1 B1aa2 C1a D1aa2a3答案B解析因?yàn)楫?dāng)n1時(shí)，an1a2，所以此時(shí)式子左邊1aa2.故應(yīng)選B.3設(shè)f(n)(nN*)，那么f(n1)f(n)等于()A. B.C. D.答案D解析f(n1)f(n).4某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若nk(kN*)時(shí)，該命題成立，那么可推得nk1時(shí)該命

2、題也成立現(xiàn)在已知當(dāng)n5時(shí)，該命題不成立，那么可推得()A當(dāng)n6時(shí)該命題不成立B當(dāng)n6時(shí)該命題成立C當(dāng)n4時(shí)該命題不成立D當(dāng)n4時(shí)該命題成立答案C解析原命題正確，則逆否命題正確故應(yīng)選C.5用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xnyn能被xy整除”，在第二步的證明時(shí)，正確的證法是()A假設(shè)nk(kN*)，證明nk1時(shí)命題也成立B假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk1時(shí)命題也成立C假設(shè)nk(k是正奇數(shù))，證明nk2時(shí)命題也成立D假設(shè)n2k1(kN)，證明nk1時(shí)命題也成立答案C解析n為正奇數(shù)，當(dāng)nk時(shí)，k下面第一個(gè)正奇數(shù)應(yīng)為k2，而非k1.故應(yīng)選C.6凸n邊形有f(n)條對(duì)角線，則凸n1邊形對(duì)角線的條

3、數(shù)f(n1)為()Af(n)n1 Bf(n)nCf(n)n1 Df(n)n2答案C解析增加一個(gè)頂點(diǎn)，就增加n13條對(duì)角線，另外原來的一邊也變成了對(duì)角線，故f(n1)f(n)1n13f(n)n1.故應(yīng)選C.7用數(shù)學(xué)歸納法證明“對(duì)一切nN*，都有2n>n22”這一命題，證明過程中應(yīng)驗(yàn)證()An1時(shí)命題成立Bn1，n2時(shí)命題成立Cn3時(shí)命題成立Dn1，n2，n3時(shí)命題成立答案D解析假設(shè)nk時(shí)不等式成立，即2k>k22，當(dāng)nk1時(shí)2k12·2k>2(k22)由2(k22)(k1)24k22k30(k1)(k3)0k3，因此需要驗(yàn)證n1,2,3時(shí)命題成立故應(yīng)選D.8已知f(n

4、)(2n7)·3n9，存在自然數(shù)m，使得對(duì)任意nN*，都能使m整除f(n)，則最大的m的值為()A30 B26C36 D6答案C解析因?yàn)閒(1)36，f(2)1083×36，f(3)36010×36，所以f(1)，f(2)，f(3)能被36整除，推測(cè)最大的m值為36.9已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和Snn2an(n2)，而a11，通過計(jì)算a2、a3、a4，猜想an()A. B. C. D.答案B解析由Snn2an知Sn1(n1)2an1Sn1Sn(n1)2an1n2anan1(n1)2an1n2anan1an(n2)當(dāng)n2時(shí)，S24a2，又S2a1a2，a2a3a2，a4

5、a3.由a11，a2，a3，a4猜想an，故選B.10對(duì)于不等式n1(nN)，某學(xué)生的證明過程如下：(1)當(dāng)n1時(shí)，11，不等式成立(2)假設(shè)nk(kN)時(shí)，不等式成立，即<k1，則nk1時(shí)，<(k1)1，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立，上述證法()A 過程全都正確 Bn1驗(yàn)證不正確 C歸納假設(shè)不正確 D從nk到nk1的推理不正確答案D解析n1的驗(yàn)證及歸納假設(shè)都正確，但從nk到nk1的推理中沒有使用歸納假設(shè)，而通過不等式的放縮法直接證明，不符合數(shù)學(xué)歸納法的證題要求故應(yīng)選D.二、填空題11用數(shù)學(xué)歸納法證明“2n1n2n2(nN*)”時(shí)，第一步的驗(yàn)證為_答案當(dāng)n1時(shí)，左邊4，右邊4，左右，不等

6、式成立解析當(dāng)n1時(shí)，左右，不等式成立，nN*，第一步的驗(yàn)證為n1的情形12已知數(shù)列，通過計(jì)算得S1，S2，S3，由此可猜測(cè)Sn_.答案解析解法1：通過計(jì)算易得答案解法2：Sn1.13對(duì)任意nN*,34n2a2n1都能被14整除，則最小的自然數(shù)a_.答案5解析當(dāng)n1時(shí)，36a3能被14整除的數(shù)為a3或5，當(dāng)a3時(shí)且n3時(shí)，31035不能被14整除，故a5.14用數(shù)學(xué)歸納法證明命題：1×42×73×10n(3n1)n(n1)2.(1)當(dāng)n0_時(shí)，左邊_，右邊_；當(dāng)nk時(shí)，等式左邊共有_項(xiàng)，第(k1)項(xiàng)是_(2)假設(shè)nk時(shí)命題成立，即_成立(3)當(dāng)nk1時(shí)，命題的形式是

7、_；此時(shí)，左邊增加的項(xiàng)為_答案(1)1；1×(3×11)；1×(11)2；k；(k1)3(k1)1(2)1×42×73×10k(3k1)k(k1)2(3)1×42×7(k1)3(k1)1(k1)(k1)12；(k1)3(k1)1三、解答題15求證：12223242(2n1)2(2n)2n(2n1)(nN*)證明n1時(shí)，左邊12223，右邊3，等式成立假設(shè)nk時(shí)，等式成立，即12223242(2k1)2(2k)2k(2k1)2.當(dāng)nk1時(shí)，12223242(2k1)2(2k)2(2k1)2(2k2)2k(2k1)(2

8、k1)2(2k2)2k(2k1)(4k3)(2k25k3)(k1)2(k1)1，所以nk1時(shí)，等式也成立由得，等式對(duì)任何nN*都成立16求證：>(n2)證明當(dāng)n2時(shí)，左>0右，不等式成立假設(shè)當(dāng)nk(k2，kN*)時(shí)，不等式成立即>成立那么nk1時(shí)，>>，當(dāng)nk1時(shí)，不等式成立據(jù)可知，不等式對(duì)一切nN*且n2時(shí)成立17在平面內(nèi)有n條直線，其中每?jī)蓷l直線相交于一點(diǎn)，并且每三條直線都不相交于同一點(diǎn)求證：這n條直線將它們所在的平面分成個(gè)區(qū)域證明(1)n2時(shí)，兩條直線相交把平面分成4個(gè)區(qū)域，命題成立(2)假設(shè)當(dāng)nk(k2)時(shí)，k條直線將平面分成塊不同的區(qū)域，命題成立當(dāng)nk1

9、時(shí)，設(shè)其中的一條直線為l，其余k條直線將平面分成塊區(qū)域，直線l與其余k條直線相交，得到k個(gè)不同的交點(diǎn)，這k個(gè)點(diǎn)將l分成k1段，每段都將它所在的區(qū)域分成兩部分，故新增區(qū)域k1塊從而k1條直線將平面分成k1塊區(qū)域所以nk1時(shí)命題也成立由(1)(2)可知，原命題成立18(2010·衡水高二檢測(cè))試比較2n2與n2的大小(nN*)，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論分析由題目可獲取以下主要信息：此題選用特殊值來找到2n2與n2的大小關(guān)系；利用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的結(jié)論解答本題的關(guān)鍵是先利用特殊值猜想解析當(dāng)n1時(shí)，2124>n21，當(dāng)n2時(shí)，2226>n24，當(dāng)n3時(shí)，23210>n29，當(dāng)n4時(shí)，24218>n216，由此可以猜想，2n2>n2(nN*)成立下面用數(shù)學(xué)歸納法證明：(1)當(dāng)n1時(shí)，左邊2124，右邊1，所以左邊>右邊，所以原不等式成立當(dāng)n2時(shí)，左邊2226，右邊224，所以左邊>右邊；當(dāng)n3時(shí)，左邊23210，右邊329，所以左邊>右邊(2)假設(shè)n