數(shù)學(xué)分析(西北師范大學(xué))16

1、S F 01（數(shù)） Ch 16 多元函數(shù)的極限與連續(xù)計(jì)劃課時(shí)： 1 0 時(shí)P 207 2142002. 08.20 .Ch 16 多元函數(shù)的極限與連續(xù) ( 1 0 時(shí) )§ 1 平面點(diǎn)集與多元函數(shù) ( 3 時(shí) )一. 平面點(diǎn)集: 平面點(diǎn)集的表示: 滿足的條件. 余集.1. 常見平面點(diǎn)集: 全平面和半平面:, , ,等.矩形域: , .圓域: 開圓 , 閉圓 , 圓環(huán).圓的個(gè)部分. 極坐標(biāo)表示, 特別是和.角域: .簡單域: 型域和型域.2. 鄰域: 圓鄰域和方鄰域，圓鄰域內(nèi)有方鄰域，方鄰域內(nèi)有圓鄰域.空心鄰域和實(shí)心鄰域 , 空心方鄰域與集的區(qū)別.二. 點(diǎn)集拓?fù)涞幕靖拍?1. 內(nèi)點(diǎn)、

2、外點(diǎn)和界點(diǎn)：集合的全體內(nèi)點(diǎn)集表示為, 邊界表示為. 集合的內(nèi)點(diǎn), 外點(diǎn) , 界點(diǎn)不定 .例1 確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)集和邊界 .例2 為Dirichlet函數(shù).確定集的內(nèi)點(diǎn)、外點(diǎn)和界點(diǎn)集 .2. ( 以凝聚程度分為 ) 聚點(diǎn)和孤立點(diǎn): 孤立點(diǎn)必為界點(diǎn) .例3 . 確定集的聚點(diǎn)集 .解 的聚點(diǎn)集.3. ( 以包含不包含邊界分為 ) 開集和閉集:時(shí)稱為開集 , 的聚點(diǎn)集時(shí)稱為閉集. 存在非開非閉集.和空集為既開又閉集.4. ( 以連通性分為 ) 開區(qū)域、閉區(qū)域、區(qū)域：以上常見平面點(diǎn)集均為區(qū)域 .5. 有界集與無界集:6. 點(diǎn)集的直徑： 兩點(diǎn)的距離.7. 三角不等式：（或）.三. 點(diǎn)列的極限: 設(shè), .

3、定義 的定義 ( 用鄰域語言 ) .例4 , , .例5 設(shè)為點(diǎn)集的一個(gè)聚點(diǎn) . 則存在中的點(diǎn)列, 使. 四. 中的完備性定理:1. Cauchy收斂準(zhǔn)則: 先證為Cauchy列和均為Cauchy列.2. 閉集套定理: 1P116.3. 聚點(diǎn)原理: 列緊性 , Weierstrass聚點(diǎn)原理.4. 有限復(fù)蓋定理:五. 二元函數(shù):1. 二元函數(shù)的定義、記法、圖象：2. 定義域：例6 求定義域：> > .3. 二元函數(shù)求值:例7 , 求 .例8 , 求.4. 三種特殊函數(shù): 變量對(duì)稱函數(shù):,例8中的函數(shù)變量對(duì)稱. 變量分離型函數(shù): .例如, 等 .但函數(shù)不是變量分離型函數(shù) . 具有奇、

4、偶性的函數(shù)：Ex1P120 18 .4P354 12，13，14.§ 2 二元函數(shù)的極限 ( 3 時(shí) )一. 全面極限與相對(duì)極限: 全面極限亦稱為二重極限.1. 全面極限的定義: 亦可記為.由的定義引入.例1 用“”定義驗(yàn)證極限 . 1P122 E1.例2 用“”定義驗(yàn)證極限 . 例3證明 . ( 用極坐標(biāo)變換 ) 1P123 E2.2. 相對(duì)極限及方向極限:相對(duì)極限 和方向極限的定義.3. 全面極限與相對(duì)極限的關(guān)系:Th 1 , 對(duì)D的每一個(gè)子集E , 只要點(diǎn)是E的聚點(diǎn) ,就有.系1 設(shè), 是的聚點(diǎn) . 若極限不存在 , 則極限也不存在 .系2 設(shè), 是和的聚點(diǎn). 若存在極限, 但

5、, 則極限不存在. 系3 極限存在, 對(duì)D內(nèi)任一點(diǎn)列, 但,數(shù)列收斂 . 通常為證明極限不存在, 可證明沿某個(gè)方向的極限不存在 , 或證明沿某兩個(gè)方向的極限不相等, 或證明方向極限與方向有關(guān) . 但應(yīng)注意 , 沿任何方向的極限存在且相等 全面極限存在 ( 以下例5 ).例4 證明極限不存在.( 考慮沿直線的方向極限 ). 1P124 E3.例5 1P124 E4. 全面極限具有與一元函數(shù)極限類似的運(yùn)算性質(zhì).例6 求下列極限:> > > ; >.4 極限的定義: 其他類型的非正常極限， 無窮遠(yuǎn)點(diǎn)的情況.例7 驗(yàn)證.Ex1P129130 1，4，5.二. 累次極限:1. 累

6、次極限的定義: 定義.例8 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 . 1P127 E6.例9 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 .例10 , 求在點(diǎn)的兩個(gè)累次極限 .2. 全面極限與累次極限的關(guān)系:兩個(gè)累次極限存在時(shí), 可以不相等. ( 例9 )兩個(gè)累次極限中的一個(gè)存在時(shí), 另一個(gè)可以不存在. 例如函數(shù)在點(diǎn)的情況 .全面極限存在時(shí), 兩個(gè)累次極限可以不存在. 例如例10中的函數(shù), 由. 可見全面極限存在 , 但兩個(gè)累次極限均不存在.兩個(gè)累次極限存在( 甚至相等 ) 全面極限存在 . ( 參閱例4和例8 ).綜上 , 全面極限、兩個(gè)累次極限三者的存在性彼此沒有關(guān)系 . 但有以下確定關(guān)系. Th 2 若全面極限和累次

7、極限(或另一次序)都存在 , 則必相等. ( 證 ) 1P128.系1 全面極限和兩個(gè)累次極限三者都存在時(shí) , 三者相等 . 系1給出了累次極限次序可換的一個(gè)充分條件.系2 兩個(gè)累次極限存在但不相等時(shí) , 全面極限不存在 .但兩個(gè)累次極限中一個(gè)存在 , 另一個(gè)不存在 全面極限不存在 . 參閱的例.Ex 1P129 2 作業(yè)提示: 取取. 分別取和.§ 3 二元函數(shù)的連續(xù)性 ( 4 時(shí) )一 二元函數(shù)的連續(xù)（相對(duì)連續(xù)）概念：由一元函數(shù)連續(xù)概念引入 .1. 連續(xù)的定義: 定義 用鄰域語言定義相對(duì)連續(xù) . 全面連續(xù) .函數(shù)有定義的孤立點(diǎn)必為連續(xù)點(diǎn) . 例1證明函數(shù)在點(diǎn)沿方向連續(xù) . 例2 ( 1P124 E4 )證明函數(shù)在點(diǎn)沿任何方向都連續(xù) , 但并不全面連續(xù).函數(shù)的增量: 全增量、 偏增量 . 用增量定義連續(xù)性 .函數(shù)在區(qū)域上的連續(xù)性 .2. 二元連續(xù)( 即全面連續(xù) ) 和單元連續(xù) : 定義 ( 單元連續(xù) ) 二元連續(xù)與單元連續(xù)的關(guān)系: 參閱1P132 圖169.3. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì): 運(yùn)算性質(zhì)、局部有界性、局部保號(hào)性、復(fù)合函數(shù)連續(xù)性. 僅證復(fù)合函數(shù)連續(xù)性.二. 二元初等函數(shù)及其連續(xù)性: 二元初等函數(shù) , 二元初等