第14章機(jī)械振動課件

1、1第十四章第十四章 機(jī)械振動機(jī)械振動 14-1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動14-4 簡諧運(yùn)動的合成簡諧運(yùn)動的合成14-2 阻尼振動阻尼振動14-3 受迫振動受迫振動2一、簡諧振動的運(yùn)動方程簡諧振動的運(yùn)動方程fkx 222d0dxxt固有角頻率固有角頻率mk(4)( (弧度弧度/ /秒秒) )0v(2)0f 0v22ddxmamt 0f0v(3)(5)cos()xAt簡諧運(yùn)動方程簡諧運(yùn)動方程(1)平衡位置平衡位置14-1 簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動, k mxfvf v ffkx 0 x 3cos()xAt簡諧運(yùn)動方程簡諧運(yùn)動方程二、二、簡諧運(yùn)動中的簡諧運(yùn)動中的振幅振幅 周期周期 頻率頻率和和相位相位1. 振幅振幅

2、 A2. 周期周期 Tt +T 狀態(tài)不變狀態(tài)不變cos()xAtcos ()AtTsin()AtT dsin()dxvAtt 2T2T頻率頻率 1vT22 vT(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f4cos()xAt簡諧運(yùn)動方程簡諧運(yùn)動方程(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f3. 相位相位()tt = 0 時時t為初相位為初相位(1) . .描述振動系統(tǒng)描述振動系統(tǒng)形象狀態(tài)形象狀態(tài)的物理量的物理量()t02223A00A0 xvA00AA(2) . .描述振動系統(tǒng)描述振

3、動系統(tǒng)狀態(tài)的變化趨勢狀態(tài)的變化趨勢(3) . .描述描述頻率相同頻率相同的兩振動系統(tǒng)的兩振動系統(tǒng)或或（兩物理量）（兩物理量）的振動的振動變化步調(diào)變化步調(diào)相位超前相位超前相位落后相位落后5cos()xAt簡諧運(yùn)動方程簡諧運(yùn)動方程22002vAx100vtgx由初始條件由初始條件 x0 和和 v0 00c o sxA0sinvA 4. 常數(shù)常數(shù) A和和 的確定的確定(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f6三、簡諧運(yùn)動速度及加速度三、簡諧運(yùn)動速度及加速度22ddxat ddxvtsinAt cos()2At2cosAt 2cos()Atc

4、os()xAtmvA2Aam速度速度超前位移超前位移/2 相位相位加速度加速度超前位移超前位移相位相位TAA2A2AxatttAAoooTTv0取取cosxAt7cos()xAtt) 0( tAr四、四、旋轉(zhuǎn)矢量旋轉(zhuǎn)矢量AA)(tArxx0BBv簡諧運(yùn)動簡諧運(yùn)動(4)0v(2)0,0 xf0v0f0v(3)(5)(1)平衡位置平衡位置, k mxfvf v f8系統(tǒng)系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒KPEEE2211sin()cos()22mAtkAt2221122mAkA()k m五、五、 簡諧運(yùn)動的能量簡諧運(yùn)動的能量221122mvkx以水平彈簧振子為例以水平彈簧振子為例cos()xAt-AA9簡諧

5、運(yùn)動的判據(jù)簡諧運(yùn)動的判據(jù)1. .動力學(xué)判據(jù)動力學(xué)判據(jù)受正比而反向的恢復(fù)力作用受正比而反向的恢復(fù)力作用fkx 即即22d0dxkxtm2. .能量判據(jù)能量判據(jù)振動系統(tǒng)振動系統(tǒng)機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒d0dvkxtmdd0ddvxkxxtmdd0mvvkxx積分積分221122mkx 恒量v3. .運(yùn)動學(xué)判據(jù)運(yùn)動學(xué)判據(jù)cos()xAt相對平衡位置的位移隨相對平衡位置的位移隨時間按正余弦規(guī)律變化時間按正余弦規(guī)律變化（一次積分）（一次積分）（二次積分）（二次積分）101. 水平彈簧振子水平彈簧振子222d0dxxtkmsinmgmgmF2. 單擺單擺 很小時很小時222dsindmglmlt22d0dgt

6、l gl令令cos()xAt-AA22mTk固有周期固有周期glT2cos()t 六、舉例六、舉例固有周期固有周期l11sinMmgl -簡諧振動簡諧振動3. .復(fù)擺復(fù)擺 很小時很小時力矩力矩222d0dt mglJMmgl 令令C 質(zhì)心質(zhì)心mgsinl0軸軸Ml 周期周期2JTmgl22ddJt124. 豎直彈簧振子豎直彈簧振子mg自然自然平衡平衡任意任意x0 xm gkxmgfma()fk xxkxma由以上三式可得由以上三式可得22d0dxkxtm與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置。與水平彈簧振子相同，只改變平衡位置。fkm13彈簧串并聯(lián)時的勁度系數(shù)彈簧串并聯(lián)時的勁度系數(shù)（1） 兩個彈簧

7、串聯(lián)兩個彈簧串聯(lián)：pk1k2k對每個彈簧有對每個彈簧有對整個彈簧，有對整個彈簧，有22pkl11kl1212pplllkk pk l 121212k kppkpplkkkk12111kkk14（2） 兩個彈簧并聯(lián)兩個彈簧并聯(lián) ：pk1k2k對每個彈簧，有對每個彈簧，有對整個彈簧，有對整個彈簧，有222pkl111pkl1212pppklkl pk l 1212klklpkkkll 15例例1. 將勁度系數(shù)將勁度系數(shù) k 的輕彈簧截成三等分，取其中的兩根，將它的輕彈簧截成三等分，取其中的兩根，將它們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量們并聯(lián)在一起，下面掛一質(zhì)量 m 的物體，則振動系統(tǒng)的頻率的物體，則振動系統(tǒng)

8、的頻率1( )2kAm解解: : 設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為設(shè)每一等分彈簧的勁度系數(shù)為 k0 ，由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有由彈簧串聯(lián)關(guān)系，有兩個同樣的彈簧并聯(lián)，有兩個同樣的彈簧并聯(lián)，有振動頻率為振動頻率為答案答案：( B)16()2kBm13()2kCm12()2kDm013kk03kk02kk 116222kkmm16已知：簡諧振動曲線如圖，已知：簡諧振動曲線如圖，求：振動方程求：振動方程解解：0.5 cmA 2 sT 2(1 s)T初始條件初始條件0cos0.5cos0.25(cm)xAcos0.53)3cos(5 . 0tx對嗎？對嗎？初始條件初始條件00.5sinv sin03 3 0.5co

9、s()(cm)3xt例例2.0.25-0.50 t (s)2x(cm)00 xAA/2A33cos()xAt例例3. .水平彈簧振子，倔強(qiáng)系數(shù)水平彈簧振子，倔強(qiáng)系數(shù) k = 24N/m，m = 6kg的物體靜的物體靜止在平衡位置。設(shè)一水平恒力止在平衡位置。設(shè)一水平恒力 F =10N 向左作用于物體（不計(jì)向左作用于物體（不計(jì)摩擦），使之由平衡位置向左運(yùn)動了摩擦），使之由平衡位置向左運(yùn)動了 0.05m，此時撤去此時撤去 F。當(dāng)。當(dāng)重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置開始計(jì)時，求物體的運(yùn)動方程。重物運(yùn)動到左方最遠(yuǎn)位置開始計(jì)時，求物體的運(yùn)動方程。解：運(yùn)動方程解：運(yùn)動方程 恒外力做功等于彈簧獲得的機(jī)械能，恒外力做功等

10、于彈簧獲得的機(jī)械能，當(dāng)物體運(yùn)動到最左端時，這些能量當(dāng)物體運(yùn)動到最左端時，這些能量全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能全部轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢能222111222FsksmvkAmkFxA s Ocos()xAt22 10 0.050.204m24FsAk242rad/s6km物體運(yùn)動到A 時計(jì)時，初相 = 0.204cos(2)xt171814-2 阻尼振動阻尼振動阻尼振動阻尼振動粘性阻力粘性阻力rfCv22ddddxxkxCmtt2202dd20ddxxxtttex22020特征方程特征方程將試探解將試探解代入上式代入上式令令0km 2Cm無阻尼振動無阻尼振動2202d0dxxtmk0)cos(00tAx

11、水平彈簧諧振子水平彈簧諧振子運(yùn)動方程運(yùn)動方程220 阻尼系數(shù)阻尼系數(shù) -表征阻尼大小的常量表征阻尼大小的常量0 阻尼度阻尼度 192202dd20ddxxxtttex220( )cos()tx tAet220方程解為方程解為1. .阻尼振蕩阻尼振蕩（阻尼小）（阻尼?。﹖x阻尼振蕩阻尼振蕩220i cossinieicossiniei0220 0(1) 202. 過阻尼運(yùn)動過阻尼運(yùn)動（阻尼較大）（阻尼較大）當(dāng)當(dāng)方程解為方程解為無周期，非振動。無周期，非振動。3. 臨界阻尼運(yùn)動臨界阻尼運(yùn)動當(dāng)當(dāng)在在振幅衰減到原來的振幅衰減到原來的2200(1) 222200()()12( )ttx tc ec e2

12、20(1) 12( )()tx tcc t e1%371e時間，時間，tx臨界阻尼臨界阻尼過阻尼過阻尼阻尼振蕩阻尼振蕩220 21定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解周期性驅(qū)動力周期性驅(qū)動力式中式中cosppFFt22ddcosddpxxkxCFtmtt2202dd2cosddpxxxfttt2Cm0kmFfm0( )cos()cos()tppx tA etAt14-3 受迫振動受迫振動22二、定態(tài)解二、定態(tài)解振幅振幅 相位相位222220()4ppfAx 2202ppparctg()( )ppitx tAe令定態(tài)解令定態(tài)解定態(tài)解定態(tài)解暫態(tài)解暫態(tài)解2202dd2cosddpxxxfttt0( )cos()

13、cos()tppx tA etAt代入原方程代入原方程A和和 p220(2) ( )pitppix tfepitfe與初始條件無關(guān)與初始條件無關(guān)受迫振動穩(wěn)定后為形受迫振動穩(wěn)定后為形式上的簡諧振動式上的簡諧振動220( )()2pitppfx tei23三、共振三、共振當(dāng)當(dāng)由由時，振幅時，振幅 A 達(dá)到最大，達(dá)到最大， 稱為稱為位移共振位移共振prd0dpA2202pr振幅振幅相位相位222220()4ppfAx 2202ppparctg()( )ppitx tAe定態(tài)解定態(tài)解2202rfA 1. 位移共振位移共振00(,)pr 24在受迫振動中位移振幅出現(xiàn)極大值的在受迫振動中位移振幅出現(xiàn)極大值

14、的現(xiàn)象稱為現(xiàn)象稱為位移共振位移共振，簡稱，簡稱共振共振。 r 稱稱為共振的角頻率。為共振的角頻率。2. .共振峰的寬度或共振峰的寬度或共振寬度共振寬度在在弱阻尼弱阻尼情況下，可以證明共振情況下，可以證明共振寬度為寬度為3. .振動系統(tǒng)的振動系統(tǒng)的品質(zhì)因數(shù)品質(zhì)因數(shù)202QrA2rA202202rfA 共振共振: :A02202pr1940年年4月建成月建成華盛頓的塔科曼大橋華盛頓的塔科曼大橋同年同年7月的一場大風(fēng)引起橋月的一場大風(fēng)引起橋的共振使橋摧毀的共振使橋摧毀 25小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎小號發(fā)出的波足以把玻璃杯振碎262714-4 簡諧運(yùn)動的合成簡諧運(yùn)動的合成x1A2AA12010 x

15、20 x111cos()xAt222cos()xAt12cos()xxxAt0 x221212212cos()AAAA A11221122sinsintgcoscosAAAA一、兩個一、兩個同方向同方向同頻率同頻率簡諧運(yùn)動的合成簡諧運(yùn)動的合成212k 21(21)k 2121AAAAA21AAA21AAA21其它值同相同相反相反相28二二、多多個個同方向同頻率同方向同頻率簡諧運(yùn)動的合成簡諧運(yùn)動的合成taxcos12cos()xat3cos(2)xat cos(1)nxatn)cos(tAxP0 xBQARasin(2)2ARnsin(2)2aRsin(2)sin(2)nAa1()2POQn 1

16、()2POB12n29sin(2)sin(2)nAa討論：討論：1. 2,0, 1, 2.kk 0sin(/2)limsin(/2)nAa naaaaA主極大主極大2. 2nk不等于不等于 n 的整數(shù)倍的整數(shù)倍sin()sin(/ )kAakn0極小極小P0 xBQARa1, 2.k 30例例1. 一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，其表一質(zhì)點(diǎn)同時參與兩個在同一直線上的簡諧振動，其表達(dá)式為達(dá)式為14cos(2)6xt求合振動的振幅和初相。求合振動的振幅和初相。解：解：)652()612(tt兩振動相位差兩振動相位差合振動合振動cos()xAt振幅振幅431A初相初相6當(dāng)兩個分振動的相位差

17、為當(dāng)兩個分振動的相位差為 時，時，合振動的相位與振幅大的振動相位相同，合振動的相位與振幅大的振動相位相同，合振動振幅等于兩分振動振幅之差。合振動振幅等于兩分振動振幅之差。253cos(2)6xtx0/65/643例例2. . 一質(zhì)點(diǎn)同時參與了三個簡諧振動，振動方程分別一質(zhì)點(diǎn)同時參與了三個簡諧振動，振動方程分別x1=Acos( t+ /3)， x2=Acos( t+5 /3), , x3=Acos( t+ )，求其合振動方程。求其合振動方程。合振動方程合振動方程: : x=0 xo/35/3AAA31A32三、兩個三、兩個同方向同方向不同頻率不同頻率簡諧運(yùn)動的合成簡諧運(yùn)動的合成11cosxAt2

18、2cosxAt21xxx2)(cos2)(cos21212ttA)(1212當(dāng)當(dāng)準(zhǔn)諧振動準(zhǔn)諧振動tAtA21coscos（振幅相同初相為零）（振幅相同初相為零）合成振幅合成振幅21()2cos2AAt 拍拍: :頻率都較大但兩者頻率都較大但兩者相差很小相差很小的兩個同方向簡諧振動，的兩個同方向簡諧振動，合成時所產(chǎn)生的這種合成時所產(chǎn)生的這種合振幅時而加強(qiáng)時而減弱合振幅時而加強(qiáng)時而減弱的現(xiàn)象。的現(xiàn)象。拍的周期：拍的周期：121222221bT正向與反向正向與反向加強(qiáng)加強(qiáng)之間的時間間隔之間的時間間隔121221bbTv單位時間加強(qiáng)或減弱的次數(shù)單位時間加強(qiáng)或減弱的次數(shù)330.05s0.1s0.15s0

19、.2sttt0801v902vx1x2x1+x21234四四、兩個相互垂直的兩個相互垂直的同頻率同頻率的簡諧運(yùn)動的合成的簡諧運(yùn)動的合成11cos()xAt22cos()yAt221222212sincos2AAxyAyAx質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿順時針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動質(zhì)點(diǎn)沿逆時針方向運(yùn)動002或21令xy350221AyAx21AyAx1222212AyAx討論討論直線運(yùn)動直線運(yùn)動正橢圓正橢圓AAA21222Ayx變成圓變成圓當(dāng)當(dāng)則則(2)(1)2A12A2222A221222212sincos2AAxyAyAx36五、兩個相互垂直的五、兩個相互垂直的不同頻率不同頻率的簡諧運(yùn)動的

20、合成的簡諧運(yùn)動的合成m4m4mm45m23m47m2m2m431:1 1:21:3 2:3 3:4 :n m00 cos()xAm t)cos(0tnAy37總結(jié)總結(jié)1. 掌握掌握簡諧振動的基本特征（簡諧振動的基本特征（運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)和能量特征運(yùn)動學(xué)、動力學(xué)和能量特征），），掌握掌握描述簡諧振動描述簡諧振動各物理量的物理意義及其相互關(guān)系各物理量的物理意義及其相互關(guān)系。2. 會根據(jù)簡諧振動的特征判斷物體是否作簡諧振動，并能建會根據(jù)簡諧振動的特征判斷物體是否作簡諧振動，并能建立其運(yùn)動方程（微分方程）。立其運(yùn)動方程（微分方程）。3. 掌握掌握用用解析法解析法，旋轉(zhuǎn)矢量法旋轉(zhuǎn)矢量法或或所給的振動圖線所

21、給的振動圖線描述簡諧振動，描述簡諧振動，并根據(jù)所給條件建立振動表達(dá)式。并根據(jù)所給條件建立振動表達(dá)式。4. 掌握掌握兩個同頻率同方向簡諧振動的合成規(guī)律，兩個同頻率同方向簡諧振動的合成規(guī)律，了解了解兩個相互兩個相互垂直的同頻率簡諧振動的合成。垂直的同頻率簡諧振動的合成。5. 了解了解阻尼振動、受迫振動和共振現(xiàn)象。阻尼振動、受迫振動和共振現(xiàn)象。381. 勁度系數(shù)勁度系數(shù)k1，k2 兩彈簧和質(zhì)量兩彈簧和質(zhì)量 m 的小球相連，放在光滑的小球相連，放在光滑水平面上。使小球沿彈簧長度方向上有一個微小位移后放手，水平面上。使小球沿彈簧長度方向上有一個微小位移后放手，小球?qū)⒆髡駝樱@一振動是否為簡諧振動？振動周

22、期為多小球?qū)⒆髡駝?，這一振動是否為簡諧振動？振動周期為多少？少？k2k1m390sin0vA 2. 水平彈簧振子彈簧勁度系數(shù)水平彈簧振子彈簧勁度系數(shù) k=10N/m，物體質(zhì)量物體質(zhì)量 m=0.3 kg，初始位移和速度分別為初始位移和速度分別為 x0 = 0.1m，v0 = -1m/s，寫出彈簧振子的寫出彈簧振子的振動方程。振動方程。 220020.2(m )Axv解：解：103km0cos0.5 ,3xA 由于由于30 x0v1 00 .2 co s()(m )33xt403. 一彈簧振子，勁度系數(shù)一彈簧振子，勁度系數(shù) k=25 Nm-1, 當(dāng)物體以初動能當(dāng)物體以初動能 0.2J 和初勢能和初

23、勢能 0.6J 振動時，求：振動時，求： （1）振幅；振幅； （2）位移多大時勢能和動能相等？位移多大時勢能和動能相等？ （3）位移是振幅的一半時，勢能多大？位移是振幅的一半時，勢能多大？解：解： （1）求振幅求振幅: : 20010.8 (J)2kpEEEkA22 0.8,0.253(m)25AA（2）求勢能和動能相等時的位移求勢能和動能相等時的位移: :)(sin21022tkAEk)(cos21022tkAEp若若kpEE 則有則有20()1tgt0()1tgt 41相位相位40kt此時位移此時位移)4cos()cos(0kAtAx20.179(m)2xA（3）求位移是振幅一半時的勢能求

24、位移是振幅一半時的勢能: :)cos(0tAx當(dāng)當(dāng)2Ax 時時0cos()2AAt勢能勢能2201cos ()2pEkAt21)cos(0t210.8()0.2(J)24. .兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的兩個諧振子作同頻率同振幅的簡諧振動。第一個振子的振動表達(dá)式為振動表達(dá)式為 x1= Acos( t+ )，當(dāng)?shù)谝粋€振子從振動的正，當(dāng)?shù)谝粋€振子從振動的正方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。方向回到平衡位置時，第二個振子恰在正方向位移的端點(diǎn)。( (1) ) 求第二個振子振動表達(dá)式和二者的相差；求第二個振子振動表達(dá)式和二者的相差；( (2) ) 若若 t =0 時，時，x1= A/2，并向，并向 x 負(fù)方向運(yùn)動，畫出二負(fù)方向運(yùn)動，畫出二者的者的 x-t 曲線及相量圖。曲線及相量圖。解：解：(1) 由已知條件畫出相量圖，可見由已知條件畫出相量圖，可見第二個振子比第一個振子相位落后第二個振子比第一個振子相位落后 /2，故故 = =