備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題精選與解析

1、備戰(zhàn)2022年新高考數(shù)學圓錐曲線壓軸題精選與解析一、有關圓哥定理型壓軸題【方法點撥】1 .相交弦定理：如下左圖，圓O的兩條弦AB、PC相交于圓內一點P,則PAPBPCPD.2 .切割線定理：如下右圖，PT為圓O的切線，PAB、PCD為割線，則PT2PAPB3 .割線定理：如下右圖，PAB、PCD為圓O的割線，則PAPBPCPD.說明：上述三個定理可以統(tǒng)一為PAPBPO2R2(其中R是半徑)，統(tǒng)稱為圓哥定理【典型題示例】22例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1,0),點P是圓O：xy的任意一點，過點B(1,0)作直線BT垂直于AP,垂足為T,則2PA+3PT的最小值是3PT2PA9中

2、招6aPA【分析】從題中已知尋求PA、PT間的關系是突破口，也是難點，思路一是從中線長定理入手，二是直接使用圓哥定理.【解法一】由中線長公式可得PO12(PA2PB2)AB2,則PA2PB2=1023PAPBcPA2PB2AB2cosP,貝UcosP2PAPB在RtPBT中，PTPBcosP，即PTPA932所以2PA3PT2PA2，彳86尬(當且僅當PA二時取等)PA2【解法二】;BTAP,.點T的軌跡是圓，其方程是：x2+y2=1,過點P作該圓的切線PC,C為切點，則PC=J3,由切割線定理得：PC2PAPT3所以2PA3PT2PA2而6折(當且僅當PA2時取等).PA2點評：解法二中，先

3、運用定直線張直角，得到隱圓，然后運用切割線定理得出定值，最后再使用基本不等式予以解決，思路簡潔、解法明快.在有關解析幾何的題目中，首先考慮相關的幾何性質是解決這類問題的首選方向.例2在平面直角坐標系xOy中，已知。C:x2+(y-1)2=5,A為。C與x負半軸的交點，過A作。C的弦AB,記線段AB的中點為M.若OA=OM,則直線AB的斜率為1015【分析】看到“弦的中點”想到作“弦心距”4,得至UCMAB,故/CMA+ZAOC=180o,所以A、O、C、M四點共圓，AC為直徑.在該外接圓中，使用正弦定理求出sinA即可.【解析】連結C、M,則CMXAB,在四邊形AOCM中，/CMA+ZAOC=

4、180o,故A、O、C、M四點共圓，且AC為直徑.x2+(y1)2=5中，令y=0,得*=2,A8(2,0),AC=v5即為AOM外接圓的直徑,在AOM中，由正弦定理得：-=v5,而OA=OM=2,sinA所以sinA=2=,所以tanA=2.v5故直線AB的斜率為2.例3在平面直角坐標系xOy中，過點M(1,0)的直線l與圓x2y25交于A,B兩點,其中A點在第一象限，且BM2MA,則直線l的方程為x爪【答案】y=x-1【分析】本題思路有下列幾種：利用向量坐標設點轉化，點參法；設直線方程的在軸上的截距式，聯(lián)立方程組；垂徑定理后二次解三角形；相交弦定理；利用2 1型結構，得OM-OA-OB,兩

5、邊平方求得AOB的余弦值.3 3【解法一】：易知直線l的斜率必存在，設直線l的方程為y=k(x-1).由BM=2MA,設BM=2t,MA=t.3t如圖，過原點O作OHl于點H,則BH=y.3tcc設OH=d,在RtOBH中，d2+2=r2=5.ct1在RtAOMH中，d2+22=OM2=1,解得d2=2，k21則d2=-=解得k=1或k=1.k2+12因為點A在第一象限，BM=2MA,由圖知k=1,所以所求的直線l的方程為y=x1.【解法二】由BM2MA,設BM=2t,MA=t又過點M的直徑被M分成兩段長為J51、J51由相交弦定理得2t2J51J51,解之得tJ2過原點O作OH，l于點H,，

6、3t1在RtOBH中，d2+-2=r2=5,解得d2=,(下同解法一，略)【解法三】設A(xi,yi),B(x2,y2),則BM=(1x2,皿,MA=(xi-1,yi).一一1-x2=2xi-1,因為BM=2MA,所以y2=2yi.當直線AB的斜率不存在時，BM=MA,不符合題意.當直線AB的斜率存在時，設直線AB的方程為y=k(x-1),-2kyi+y2=1+k2得(1+k2)y2+2ky4k2=0,則-4k2yiy2=1+k2y=kx-1,聯(lián)立/+=5,y2=2yi,解得2ky12,1+k2-4ky22,1+k2所以yiy28k24k2iThjm即k2=1.又點A在第一象限,所以k=1,即

7、直線AB的方程為y=x1.【解法四】設A(xi,yi),B(x2,y2),則BM=(1x2,y2),MA=(xi1,yi).x2=2xi3,即y2=2yi.1-x2=2xi-1,因為BM=2MA,所以y2=2yi,x2+y2=5,x2+y2=5,又代入可得解得xi=2,代入可得yi=1又點Ax2+y2=5,2xi32+4y2=5,在第一象限，故A(2,1),由點A和點M的坐標可得直線AB的方程為y=x-1.點評:上述各種解法中，以解法一、解法二最簡、最優(yōu)【鞏固訓練】1 .在平面直角坐標系xoy中，M是直線x3上的動點，以M為圓心的圓M,若圓M截x軸所得的弦長恒為4,過點O作圓M的一條切線，切點

8、為P,則點P到直線2xy100距離的最大值為.2222 .在平面直角坐標系xOy中，圓C：(xm)yr(m0).已知過原點O且相互垂直的兩條直線li和12,其中l(wèi)i與圓C相交于A,B兩點，12與圓C相切于點D.若AB=OD,則直線1i的斜率為.3 .在平面直角坐標系xOy中，設直線yx2與圓x2y2r2(r0)交于A、B兩點，O為一一一5-3坐標原點，若圓上一點C滿足OC-OAOB,則r.4 4222,4 .在平面直角坐標系xOy中，已知點P0,1在圓C:xy2mx2ym4m10內，若存在過點P的直線交圓C于A、B兩點，且4PBC的面積是APAC的面積的2倍，則實數(shù)m的取值范圍為.225 .在

9、平面直角坐標系xOy中，圓C:(x2)(ym)3.若圓C存在以G為中點的弦AB,且AB2GO,則實數(shù)m的取值范圍是.226.已知直線yax3與圓xy2x80相交于A,B兩點，點Px0,y0在直線y2x上且PAPB,則Xo的取值范圍為.1 .【答案】3.5252 .【答案】5【答案與提示】【解析一】作CEAB于點E,則CE2BC2BE2BC2122AB2BC24-OD2421,2r-(m42_25rm)4由OECD是矩形,CE2=OD2,5r24r2，化簡得-mCD即cos/OCD=OCr、52.5-,tan/COB=tan/OCD=,m35直線1i的斜率為【解析二】作CELAB于點E,則OEC

10、D是矩形2tt2設OD=t(t0),則由切割線定理OD2=OAXOB得t(r)(r),即r22422299r2又m2t2r2,將(X)代人得m29r2,即L24m3r2RtCOE,sinCOEm3，直線1i的斜率為2.53.【答案】：/0【解法一】遇線性表示想求模，將向量問題實數(shù)化2OC25一3一-OA-OB4425-OA16532OAOB449一2OB,16即r225915999一r一rcosAOB一r,整理化簡得cosAOB16816過點O作AB的垂線交AB于D,則cosAOB2cosAOD一2又圓心到直線的距離OD_x/2,3211得cosAOD.5522-1OD疙,所以cos12AOD

11、-5r2馬，r,10.r【解法二】注意到線性表示時的系數(shù)和為2,聯(lián)想“三點共線”.,一53一1一5一3一由OC-OAOB,即一OC-OA-OB44288得A、B、D三點共線(其中D是AB的中點)，且AD:BD3:5,設AD3x,BD5x思路一：垂徑定理后二次解三角形,2工x(4)|AF|+|BF|=p.、.222,解之得rr24x2.22r3r3x5x思路二：相交弦定理，22,解之得rJ而.r24x2.24 .【答案】4,495 .【答案】2,.2【提示】易知OAOB,考察臨界狀態(tài)，只需過原點作圓的切線，切點弦的張角大于等于直角即可.6 .【答案】(1,0)(0,2)二、拋物線過焦點的弦【方法

12、點撥】設AB是過拋物線y2=2px(p0)焦點F的弦，若A(x1，y1)，B(x2,y2),a為弦AB的傾斜角.則(1)xiX2=pj-,yy2=_p2.(2)|AF|=dL，|BF尸J”(其中點A在x軸上側，點B在x軸下側).一cos1十cos民2p(3)弦長AB|=x1+x2+p=蕭.(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切.【典型題示例】例1已知拋物線C：y22pxp0的焦點F到其準線的距離為4,圓M:x22y21,過F的直線l與拋物線C和圓M從上到下依次交于A,P,Q,B四點，則AP4BQ的最小值為.【答案】13【分析】易知p4,圓心M(2,0)即為焦點F,故AP4BQAF4BF5,再利用拋

13、物線的定義，進一步轉化為AP4BQxA4xB5,利用xAxB4、基本不等式即可.【解析】易知p4,圓心M(2,0)即為焦點F所以AP4BQAF14BF1AF4BF5根據(jù)拋物線的定義AFXa-Xa2,BFXb-Xb222所以AP4BQxA24xB25xA4xB52又XAXB-44Xa4一所以AP4BQxA4xB52jxA4xB513,當且僅當xA4xB,即時Xb1等號成立，此時直線l的方程是y2瓜472所以AP4BQ的最小值為13.例2已知斜率為k的直線l過拋物線C：y2=2px(p0)的焦點，且與拋物線C交于A,B兩點，拋物線C的準線上一點M(1,1)滿足MAMB=0,則|AB|=()A.3亞

14、B.4亞C.5D.6【答案】C【分析】將MAMB=0直接代入坐標形式，列出關于A,B中點坐標的方程，再利用斜率布列一方程，得到關于A,B中點坐標的方程組即可.這里需要說明的是，MA-MB=0轉化的方法較多，如利用斜邊中線等于斜邊一半等，但均不如上法簡單【解析】易知p=2設A(X1,yi),B(X2,y2),則X1X2=1,yiy2=-4,MA(x11,y11),MB(x21,y21)MAMB=0(X11)(x21)(x1)(y21）0,化簡得X1X2V1V2設A、B中點坐標為（X0,yo),又由直線的斜率公式得kkAByX1yX2Vi-2左4y2-2丫24y1y2Lky。y。X。1-y。一,即

15、y。x。1y。2(x。1)由、解得X。ABX1X2p2x。p5,答案選C.點評:本題的命題的原點是阿基米德三角形，即從圓錐曲線準線上一點向圓錐曲線引切線,.以此為切入點解決此則兩個切點與該點所構成的三角形是以該點為直角頂點的直角三角形題，方法則更簡潔.例3過拋物線y2=4x的焦點F的直線l與拋物線交于A,B兩點，若|AF|=2|BF|,則|AB|等于（A.4B.2C.5D.6由對稱性不妨設點A在x軸的上方，如圖設A,B在準線上的射影分別為D,C,作BELAD于E,設|BF|=m,直線l的傾斜角為&則AB|=3m,由拋物線的定義知|AD|=|AF|=2m,|BC|=|BF|=m,.28sin2e

16、=9.2p9又y2=4x,知2P=4,故利用弦長公式IABLs【鞏固訓練】1 .設F為拋物線C：y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A,B兩點，O為坐標原點，則4OAB的面積為（）B.863C.329D.42 .已知拋物線C:y2=2px（p0）的焦點F到準線的距離為2,過點F的直線與拋物線交于P,Q兩點，M為線段PQ的中點，O為坐標原點，則下列結論正確的是（）A.拋物線C的準線方程為y=-1B.線段PQ的長度最小為C.點M的坐標可能為（3,2)d.Op(OQ=-3恒成立3 .已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過F的直線l交C于A,B兩點，分別過A,B作準線l的垂線，垂足分別為P

17、,Q.若|AF|=3|BF|,則|PQ|=4 .已知拋物線C的焦點為F,過F的直線與拋物線C交于A,B兩點,411若2,則AFBF符合條件的拋物線C的一個方程為2_5 .過拋物線y2x的焦點F作直線交拋物線于A,B兩點，若ABf5,AFAF=6 .過拋物線y24x的焦點F的直線交該拋物線于A,B兩點，若|AF|3,則|BF|【答案與提示】1.【答案】D【解析一】由已知得焦點坐標為F3,0,因此直線AB的方程為y=gx-3,即4x-43443y-3=0.與拋物線方程聯(lián)立，化簡得4y212-J3y9=0,故|yA_yB|=勺(yA+yB)24yAyB=6.1139因此生oAB=2|oF|yA-yB

18、|=20,則y+y2=4m,所以x+x2=m(y1+y2)+2=4m2+2,所以M(2m2+1,2m).當m=1時，可得M(3,2),C正確.可得y1y2=4,x1x2=(my+1)(my2+1)=m2y1y2+m(y1+y2)+1=1,所以OPOQ=xx2+y1y2=-3,D正確.故選BCD.c833 .【答案】33【解析】F(1,0),不妨設A在第一象限，A(x1,y1),B(x2,y2),由|AF|=3|BF|得yi=-3y2設Iab：y=k(x1)與拋物線方程聯(lián)立得,24ky2-4y-4k=0,yi+y2=-,kyiy2=-4,結合解得y2=孕，|PQ|=|yi一y2|=|-3y2y2

19、|=-4y2=p.334 .【答案】滿足焦準距為1即可，如y22x.1122【解析】由公式得一2,解得p1,滿足焦準距為1即可，如y22x等.AFBFpp55.【答案】-6【解析一】設AF=m,mn=121+1=255一,解得m一或m-（舍）mnp=1P64BF=n,則有，211p2144【解析二】拋物線y2x的焦點坐標為（萬,。），準線方程為x-設A,B的坐標分別為(x1,y1),(x2,y2),則x1x2、一-11設AFm,BFn,貝Ux1m-,x2n-22,1、，1、1(m-)(n-)-所以有224,2512-55.5解得m或n,所以AF.64636.【答案】-2【解析】直接由1工2立得

20、(其中m,n是焦點弦被焦點所分得的兩線段長，p就是焦nmp準距).三、橢圓、雙曲線的焦點弦被焦點分成定比【方法點撥】2X1.設橢圓C:二a2yb21(ab0)的右焦點為F,過F的直線l與橢圓相交于AB兩點，直線l的傾斜角為，且AF=FB(0),則e間滿足ecos2.長短弦公式：如下圖，長弦AF=ep，短弦BF=ep(其中p是焦參數(shù),1ecos1ecos即焦點到對應準線的距離，是直線l與x軸的夾角，而非傾斜角).說明:(1)公式1的推導使用橢圓的第二定義，不必記憶，要有“遇過將焦半徑轉化為到準線距離”的意識即可.(2)雙曲線也有類似結論.2X已知橢圓方程為一【典型題示例】1,AB為橢圓過右焦點F

21、的弦，則|AF|2|FB|的最小值【答案】3224【解析】由2X2y1,得a4氧,則橢圓的離心率為右準線方程為l:x型3如圖，過A作AM設AB的傾斜角為則|AM|CF|AF|cos4_33|AF|cos立|AF|cos3聯(lián)立，可得|af|同理可得|BF|123cos|AF|2|BF|123cos22.3cos23cos6.3cosZ243cos1，1，|AF|2|FB|63t3t2(6、3t)212(63t)3213263t122沛6323t故答案為:42X例2(2021江蘇南京鹽城二調7)已知雙曲線C:Ja2yr1a0,b0的左、b右焦點分別為Fi,F2,過點F2作傾斜角為。的直線l交雙曲線C的右支于A,B兩點，其1中點A在第一象限，且cos0=4.若|AB|=|AFi|,則雙曲線C的離心率為A.4B.痂C.|D.2【解析】AF2,BF2accosABAF2BF2AF12aAF2b2accosBF22a2a1a-c4例3已知橢圓C:x2+A=1(ab0)的離心率為專,與過右焦點F且斜率為k(k0)的直線相交于A,B兩點.若AF=3fB,則k=【答案】2【解析】如右圖，設l為橢圓的右準線，過A、ByD是垂足分別向l作