大學(xué)物理論文_剛體轉(zhuǎn)動

1、第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）物理論文受力分析剛體的轉(zhuǎn)動摘要：物體內(nèi)任意二點距離不變的物體稱為剛體。關(guān)鍵字：剛體是理想模型剛體模型是為簡化問題引進的。第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）1、剛體運動剛體運動：（1）平動：剛體內(nèi)任一直線方位不變。特點：各點運動狀態(tài)一樣，如：a、v等都相同，故可用一個點來代表剛體運動。（2）轉(zhuǎn)動：1）繞點轉(zhuǎn)動2）繞軸轉(zhuǎn)動：剛體中所有點都繞一直線作圓周運動說明：剛體的任何運動都可看作平動與轉(zhuǎn)動的合成。（如：乒乓球飛行等）2、定軸轉(zhuǎn)動（本章僅討論此情況）定義：轉(zhuǎn)軸固定時稱為定軸轉(zhuǎn)動。轉(zhuǎn)動特點：剛體上各點的角位移相同（如：皮帶輪），各點的、相同。2剛體

2、上各點的v（r）、an（r）、atr一般情況下不同。說明：是矢量，方向可由右手螺旋法則確定。見圖4-1。vr3、力矩1、外力F在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-2:定義：力矩：MrF（4-1）力矩：大?。篗FdFrsin（drsin,稱為力臂）；方向：沿（rF）方向,它垂直于r、F構(gòu)成的平面即M與軸平行。注意：是r、F間夾角。2、外力F不在垂直于軸的平面內(nèi)如圖4-3:FF（平行軸）F（垂直軸）F對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)對轉(zhuǎn)動有貢獻(xiàn)的僅是F。圖4-3F產(chǎn)生的力矩即F的力矩，第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）故上面的結(jié)果仍適用。說明：F平行軸或經(jīng)過軸時M0。4、轉(zhuǎn)動定律M0時，轉(zhuǎn)動狀態(tài)改變，即0,那么與M的關(guān)

3、系如何？這就是轉(zhuǎn)動定律的內(nèi)容。推導(dǎo)：如圖4-4,把剛體看成由許多質(zhì)點組成的系統(tǒng)，這些質(zhì)點在垂直于軸的平面內(nèi)作圓周運動。考慮第i個質(zhì)點：質(zhì)量：mi到軸的距離：ri受力：外力：Fj；內(nèi)力：fi（設(shè)Fi、fi在垂直于轉(zhuǎn)軸的平面內(nèi)）在切線方向上由牛頓定律有：圖4-4(4-3)(4-4)Fitfit即(4-3)Xri：miatmiriFisin(4-2)Fmsinifisinifirisinmiriimiri每一個質(zhì)點都有一個這樣方程，所有質(zhì)點對應(yīng)方程求和之后,Firisinfirisini2miri(4-5)可證明合內(nèi)力力IFjiSin0。證明如下：如圖4-5,剛體內(nèi)力是各質(zhì)點間的相互作用力，他們是一

4、對一對的作用力和反作用力。對i、j兩質(zhì)點，相互作用力的力矩之和=?設(shè)%為第i個質(zhì)點對第j個質(zhì)點作用力，fji為第j個質(zhì)點對第i個質(zhì)點作用力。Vfj與fji共線.力臂相等又f與fj等值反向fj與fji產(chǎn)生力矩等值反向，故fj與fji力矩合=0由此可知：剛體的所有內(nèi)力矩之和兩兩抵消，結(jié)果為0firisini0第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）fiUsini2mm(4-6)即：剛體角加速度與合外力矩成正比，與轉(zhuǎn)動慣量成反比，這稱為轉(zhuǎn)動定律。,1iHiII/口,!/",fli.WaWWWWWWWa.-0-JJ：-BHil、IH.說明：MJ,與M方向相同MJ為瞬時關(guān)系Jma轉(zhuǎn)動中MJ與

5、平動中Fma地位相同，F(xiàn)是產(chǎn)生a的原因，M是產(chǎn)生的原因。*比較M為合外力矩=各個外力力矩的矢量和5、轉(zhuǎn)動慣量1、Jmji2:轉(zhuǎn)動慣量=剛體中每個質(zhì)點的質(zhì)量與它到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積的和m2m2r；mnrn2（剛體由n個質(zhì)點組成）JrdmrdV（為餐'度，dV為體積兀）（由連續(xù)體組成的剛體）mm2、轉(zhuǎn)動慣量的意義：轉(zhuǎn)動慣性的量度。例4-1:如圖4-6,在不計質(zhì)量的細(xì)桿組成的正三角形的頂角上，各固定一個質(zhì)量為m的小球，三角形邊長為l系統(tǒng)對過質(zhì)心且與三角形平面垂直軸C的轉(zhuǎn)動慣量；系統(tǒng)對過A點，且平行于軸C的轉(zhuǎn)動慣量；o求:若A處質(zhì)點也固定在解：Jcm2l.31Ml3ml22(M3m)JAml2m

6、l22ml2-Ml3MlB處，的結(jié)果如何?2l圖4-6討論：J與質(zhì)量有關(guān)（見、結(jié)果）J與軸的位置有關(guān)（比較、結(jié)果）J與剛體質(zhì)量分布有關(guān)（比較、結(jié)果）第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）平行軸定理：對平行于質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量=對質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動慣量+剛體質(zhì)量X該軸與質(zhì)心軸之距離平方。如221212JA-Ml2-Ml2-Ml2333Jc2l,3例4-2:如圖4-7,質(zhì)量為m長為的勻質(zhì)桿，求：它對過質(zhì)心且與桿垂直的軸c的轉(zhuǎn)動慣量為多少?它對過一端且平行于c軸的A軸轉(zhuǎn)動慣量為多少?軸ACdmb1IX,l0k工二lx2xdx2解：如圖4-7所取坐標(biāo),Jc如圖4-8所取坐標(biāo),l/22mxdxl/2ll2mx

7、dx0l12ml1212-ml3用平行軸定理解:JaJc工ml212m,21-2l一ml43dmB2221*«klxxdx圖4-7A0圖4-8說明：一些特殊形狀的剛體轉(zhuǎn)動慣量應(yīng)會計算并記住。如：勻質(zhì)桿、圓柱、圓盤、圓環(huán)、球等。例4-3:如圖4-9,輕繩經(jīng)過水平光滑桌面上的定滑輪c連接兩物體A和B,AB質(zhì)量分別為mA、mB,滑輪視為圓盤，其質(zhì)量為mc半徑為R,AC水平并與軸垂直，純與滑輪無相對滑動，不計軸處摩擦，求B的加速度，ACBC問繩的張力大小。解：受力分析：mAmB:重力:重力:重力mAg，桌面支持力Ni,純的拉力Ti；mBgmcg,純的拉力丁2；,軸作用力N2,純作用力Ti&#

8、39;、取物體運動方向為正，由牛頓定律及轉(zhuǎn)動定律得:TimAamBgT2T'2RT'1R及T1'Ti,T2'T2,mBa1mcR22aRmAT2圖4-9第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）解得:mBg1mAmBmc2TimAmBgT21mAmB-mc21mA2mcmBgmA1mB-mcB2c*mBg討論：不計mc時,amAmBmAmBgmAmB圖4-10（即為質(zhì)點情況）例4-4:一質(zhì)量為m的物體懸于一條輕繩的一端,繩繞在一輪軸的軸上，如圖4-11。軸水平且垂直于輪軸面，其半徑為r,整個裝置架在光滑的固定軸承上。當(dāng)物體從靜止釋放后，在時間t內(nèi)下降了一段距離S

9、,試求整個滑輪的轉(zhuǎn)動慣量（用m,r,解：受力分析m:重力mg、繩作用力T輪：重力Mg、軸作用力N、繩作用力T'由牛頓第二定律及轉(zhuǎn)動定律得：mgT'rmar,S2gt2mr(2S-at221)6、轉(zhuǎn)動動能如圖4-13,剛體繞過O處軸（垂直圖面）轉(zhuǎn)動點都具有動能，剛體轉(zhuǎn)動動能=各個質(zhì)點動能之和。設(shè)各質(zhì)點質(zhì)量為m2m31Ek212m1r12mj1m2m32m2r22m33圖4-11RMg圖4-12,2,3,，轉(zhuǎn)動動能為:與軸距離為m1m2第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）221.miri-J2*比較：7、力矩的功如圖4-14,12Ek2J(4-6)EkEk一J2轉(zhuǎn)動21mv平

10、動2剛體繞定軸轉(zhuǎn)動,設(shè)作用在剛體P點力F（可以是內(nèi)力，或外力，也可以是合力或單個力）在F作用下剛體有一角位移ddr,則F在該位移中作的功為:,力的作用點的位移為dWFdrFdrcosFdrsinFrsindFdrcos(一)2Md(4-7)即：力矩元功=力矩X角位移（力矩與角位移點積）在力矩作用卜，從12過程中，力矩的功為2WMd1(4-8)說明:常力矩功WM（21）力矩功是力矩的空間積累效應(yīng)內(nèi)力矩功之和=0（與質(zhì)點情況不同）力矩的功功率：p比較:pFv平動pM轉(zhuǎn)動dWdtbFabMaMddtdr8、剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理做如下積分MJdtMd2Md1第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）

11、可得9）1212W-J2-J122(4-即：合外力矩功等于剛體轉(zhuǎn)動動能增量，稱此為剛體的轉(zhuǎn)動動能定理。例4-5:在例4-3中，若B從靜止開始下落h時,合外力矩對c做白功=?c的角速度=?解：由例M3知，對c的合外力矩為T'2RT'1RmA1-mcmBg2mA1mBmc21一-mcmBgR2-一(常力矩)1*mAmBmAmAShMMRRmBgR12(mAmB-mc)2h/RmcmBgh1一、2(mAmB*)2AJmcmBgh1mAmBmc22mcR12mBmc)R22mBgh0例4-6:如圖4-16所示，一輕彈簧與一勻質(zhì)細(xì)桿l1m相不連，彈簧倔強系數(shù)K40Nm1,細(xì)桿質(zhì)量為m3k

12、g。桿可繞c軸無摩擦轉(zhuǎn)動。若當(dāng)0時彈簧為原長，那么細(xì)桿在0的位1.5m8第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）置上至少具有多大的角速度才能轉(zhuǎn)到水平位置？解：Wk、桿、地為系統(tǒng)，由題意知系統(tǒng)機械能守恒。1K,1.521.020.5mg11ml222223._1_2、一K40Nm,m3kg。l1m,g9.8ms代入得一一16.18rads注意：機械能守恒定律條件及應(yīng)用。9角動量1、角動量定義：LJ，稱L為剛體角動量（或動量矩）說明：L為矢量大?。篖方向：與J同向比較動量p角動量Lmv平動J轉(zhuǎn)動2、沖量矩(4-10)(4-11)(4-12)轉(zhuǎn)動定律MdJdtdtMdtdLt2做如下積分：MdtL

13、2LiJ22Ji1t1、t2,止義：Mdt為M在t1t2內(nèi)對剛體的沖量矩t1說明：（1）沖量矩是矢量（2）沖量矩是力矩的時間積累效應(yīng)t2.-沖量tFdt平動*比較：*沖量矩2Md電動t110、角動量定理rr乙一t2由上知MdtJ22J11（4-13）即：合外力矩對剛體的沖量矩等于剛體角動量增量。稱此為角動量（或動量矩）定理。第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）11、角動量守恒定律已知MdtdL-當(dāng)M0時，0dt有|LJ（4-14）即：當(dāng)合外力矩M0時，則此情況下剛體角動量守恒，稱此為角動量守恒定律。說明：角動量守恒條件是某一過程中M0a）J、J不變b）J、均不變均變，但J不變角動量守恒定

14、律、動量守恒定律和能量守恒定律是自然界中的普遍規(guī)律,不僅適用于宏觀物體的機械運動，而且也適用于原子、原子核和基本耳子（如電子，中子，原子，光子，）等微觀粒子的運動。例4-7:如圖4-17,輕繩一端系著質(zhì)量為m的質(zhì)點，另一端穿過光滑水平桌面上的小孔0用力F拉著,如圖所示。質(zhì)點原來以等速率v作半徑為r的圓周運動，當(dāng)F拉動繩子向正下方移動r/2時，F(xiàn)質(zhì)點的角速度？解：研究對象：m受力分析：重力、桌面支持力、純的作用力。圖4-1710可見轉(zhuǎn)動中，受合外力矩=0,即L常矢J11J2222vrmr()m2r2得24V/r注意：角動量守恒條件及應(yīng)用（L守恒時，p不一定守恒，反過來也如此）例4-8:如圖4-1

15、8,A、B兩圓盤分別繞過其中心的垂直軸轉(zhuǎn)動，角速度分別是A、B,它們半徑和質(zhì)量分別為RA、和mA、mB。求A、B對心銜接后的最后角速度。解：研究對象：A、B系統(tǒng)在銜接過程中,對軸無外力矩作用，故有L常矢JAJBJAAJBB即:第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）-m2ARaAmBRbb21m2EaRAARA-mBRB2EaR/mBRBBEbRB討論：假若的轉(zhuǎn)動方向與題中相反，則假設(shè)A為正，則有：EaRAaEbRBEaRamBRbB000原A、與A原轉(zhuǎn)動同向與A原轉(zhuǎn)動反向B角動量等值反向停止例4-9:如圖4-19,長為l,質(zhì)量為m的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞過O的光滑水平軸轉(zhuǎn)動。起初桿水平靜止。求：t

16、=0時，？桿到豎直位置時，？桿從水平到豎直過程中外力矩功=?桿從水平到豎直過程中桿受沖量矩大小為多少？解：mg23gJ12-ml32l以m、地為系統(tǒng)，其能量方程有0;j2mglJ1.-mgl2mgl沖量矩=J3m1.-mgl221-ml33gl3gm*30V。例4-10:長為l,質(zhì)量為M的勻質(zhì)細(xì)桿，可繞上端的光滑水平軸轉(zhuǎn)動，起初桿豎直靜止。一質(zhì)量為m的小球在桿的轉(zhuǎn)動面內(nèi)以速度v0垂直射向桿的A點，求下列情況下11第四章剛體的轉(zhuǎn)動沈陽工業(yè)大學(xué)郭連權(quán)（教授）手寸出。1）彈射入桿過程。、m、M為系統(tǒng),角動量守恒，即m”l1Ml2433.mv0l42123-Mlm-l3436mv016Ml27ml（強調(diào)：此過程動量不守恒及原因）2）上擺過程。112Ml23M、地為系統(tǒng)，系統(tǒng)機械能守恒，有2312m-14初態(tài)3mg4llMg-cos3mg-1cos末態(tài)arccos