小球與圓環(huán)的

1、小球與圓環(huán)的“不解之緣”摘要:小球與圓環(huán)的搭配是一種典型的運(yùn)動(dòng)模型，對(duì)于題目的難度更是難以把握，可易可難，變動(dòng)性較大。對(duì)于難度適中的題目即單純的小球與圓環(huán)的構(gòu)造模型，多利用動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、以及向心運(yùn)動(dòng)等理論知識(shí)的題目，大多是求解是否能達(dá)到最高點(diǎn)，最高點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度，最低點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)速度亦或是能達(dá)到的最高高度。對(duì)于難度較大的題目即在小球與圓環(huán)之上為小球加上電荷、在模型上加勻強(qiáng)電場(chǎng)，使小球受到電場(chǎng)力和重力的共同作用；亦或是在小球與圓環(huán)上不只加勻強(qiáng)電場(chǎng)還可以加以磁場(chǎng)，而此類題目更在高考中以“高分大題”的姿態(tài)出現(xiàn)。關(guān)鍵詞：小球圓環(huán)最高點(diǎn)最低點(diǎn)動(dòng)能定理機(jī)械能守恒向心運(yùn)動(dòng)速度高度正文：不論是在考場(chǎng)上還是在

2、平時(shí)的習(xí)題訓(xùn)練上，小球與圓環(huán)的身影比比皆是，而他值得同學(xué)注意的是要學(xué)會(huì)“審題”發(fā)覺(jué)題目中的隱藏含義，物理題目中總喜歡玩“恰好”“剛好”等類文字游戲。當(dāng)小球恰好達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)即為此時(shí)只有重力充當(dāng)向心力，也就是說(shuō)圓環(huán)此時(shí)對(duì)小球無(wú)壓力，利用動(dòng)能定理和向心運(yùn)動(dòng)可解的：設(shè)小球在最高點(diǎn)初速度為Vt,在最高點(diǎn)時(shí)速度為V01212_,動(dòng)能TE理：mvt-mv0=-2mgR2mv一向心運(yùn)動(dòng)：=mgRvo=gR當(dāng)小球達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)仍受到圓環(huán)對(duì)其的壓力，則可解1cle,動(dòng)能TE理：-mv2mv；=-2mgR222向心運(yùn)動(dòng)：m"=mgFR.1212mvt-mv0-2mgR222Vt二(mg"R即mmg

3、FRv°=V4gR+>"5gR綜上述情況總結(jié)得小球能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)的初速度Vo>V5gR當(dāng)小球不能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)v0Vv;5gR,此時(shí)小球運(yùn)動(dòng)還沒(méi)到最高點(diǎn)時(shí)就脫離了圓環(huán)軌道而做斜拋運(yùn)動(dòng)。2.以上模型與“輕純類”模型完全相同（如右圖），值得注意的是，繩對(duì)小球只能產(chǎn)生沿純收縮方向的拉力，即只能沿某一個(gè)方向給物體力的作用，同圓環(huán)軌道一樣可分為以上三種情況且結(jié)論相同即：小球恰好達(dá)到最高點(diǎn)時(shí)v0=v1gR當(dāng)小球通過(guò)最高點(diǎn)且純存在拉力時(shí)v0>y5gR小球不能通過(guò)最高點(diǎn)時(shí)v0Vl/5原2、小球的最局局度（h）【例如】如圖所示，半徑為R的豎直光滑圓環(huán)軌道內(nèi)側(cè)底部靜止著一個(gè)光滑

4、小球，現(xiàn)給小球一個(gè)沖擊使其在瞬間得到一個(gè)水平初速度V。，若V。大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同，下列說(shuō)法正確的是（）A.如果v0=而反，則小球能夠上升的最大高度等于b.如果v0=j3gR，則小球能夠上升的最大高度小于C. 如果V0=<4gR,則小球能夠上升的最大高度等于D. 如果V0=v;5gR,則小球能夠上升的最大高度等于2R對(duì)以上題目進(jìn)行分析若小球能上升至最高點(diǎn)由以上對(duì)“小球的最高點(diǎn)問(wèn)題”分析可得知V0>；5gR當(dāng)V0<V5gR時(shí)，小球無(wú)法上升至圓環(huán)最高點(diǎn)，此時(shí)設(shè)小球在最低點(diǎn)速度為V0時(shí)能夠上升的最大高度h,根據(jù)機(jī)械能守恒定理可得1 22 mw二mg

5、h.h二mvo2g當(dāng)V0=.gRRh=a;當(dāng)V0=v3gR時(shí)h=3R/2由以上結(jié)論貌似題目中的A項(xiàng)正確B項(xiàng)是錯(cuò)誤的；但是必須注意的因小球沿圓環(huán)軌道上升高度大于R時(shí)，由于軌道對(duì)小球產(chǎn)生壓力，是小球具有了水平分速度即此時(shí)為Imv；mv；mgh2222h=v°_1VL.當(dāng)”."J顓時(shí)，h=3R_2gv°22g;綜述B項(xiàng)正確;該題目選擇ABD總結(jié)可得小球沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球上升高度小于，一12、一據(jù)動(dòng)能th理mv0=-mgh計(jì)算。2R時(shí)，此時(shí)小球末速度為0,可根小球沿圓環(huán)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球上升高度大于.一191根據(jù)動(dòng)能th理-mvt-mv0=-mgh計(jì)算。R時(shí)，此時(shí)小球末速度不為

6、0,可小球能上升至圓環(huán)最高處時(shí)，其初速度一定大于或等于j5gR事實(shí)上，不論小球在圓環(huán)上的何種運(yùn)動(dòng)，求解何值都是圍繞動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的理論知識(shí)進(jìn)行展開(kāi)。雙圓環(huán)小球1.小球在最高點(diǎn)處問(wèn)題（此類問(wèn)題大多以小球初速度為0為主）當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且N=0時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知2mvtT=mgVt=gR當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且0vNvmg時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知=mg-N(mg-N)Rm當(dāng)內(nèi)側(cè)圓環(huán)對(duì)小球提供支持力N且N=mg時(shí)，此時(shí)由向心運(yùn)動(dòng)可知=mg-NVt=0該狀態(tài)意味著小球恰好到達(dá)最高點(diǎn)時(shí)停止當(dāng)外側(cè)圓環(huán)提供壓力時(shí)即由向心運(yùn)動(dòng)可知2mvt=mg+NVt二(mg

7、N)Rm2、上述模型可類比于“輕桿類”模型(如右圖)小球過(guò)最高點(diǎn)時(shí)，輕桿對(duì)小球的彈力情況：當(dāng)v二0時(shí)，輕桿對(duì)小球有豎直向上的支持力N=mg.2N,其大小等于小球的重力，即2gR,七皿N=mg-mV當(dāng)Ovvv，9時(shí)，因mg-N=mR，則r輕桿對(duì)小球支持力N豎直向上其大小隨速度的增大而減小，其取值范圍是mg>N>0.當(dāng)vrgR時(shí)，N=0；2mgN=mV當(dāng)v、'gR時(shí)，則R2=mm-mg桿對(duì)小球有指向圓心的拉力，其大小隨速度的增大而增大，注意桿與繩不同，在最高點(diǎn)，桿對(duì)球既能產(chǎn)生拉力，也能對(duì)球產(chǎn)生支持力，還可對(duì)球的作用力為零如圖所示，桿長(zhǎng)為L(zhǎng),一端固定一質(zhì)量為m的小球，桿的質(zhì)量忽略

8、不計(jì)，整個(gè)系統(tǒng)g=10m2繞桿的另一端在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)./s求：(1)小球在最高點(diǎn)A的速度VA為多少時(shí)，才能使桿和小球m的作用力為零(2)小球在最高點(diǎn)A時(shí)，桿對(duì)小球的作用力F為拉力和推力時(shí)的臨界速度分別是多少？若m=0.5kg,L=0.5m,VA=0.4m/s,則在最高點(diǎn)A和最低點(diǎn)B,桿對(duì)小球m的作用力多大？【解析】此題屬于輕桿類”.若桿和小球m之間無(wú)相互作用力，那么小球做圓周運(yùn)2mg=mvA動(dòng)的向心力僅由重力mg提供，根據(jù)牛頓第二定律，有：L解得Va=gL(2)若小球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受拉力F,受力如圖11所示，由牛頓第二定律，有：2F-mg=mv1-Vi解得gLF->VgLm若小

9、球m在最高點(diǎn)A時(shí)，受推力F,受力如圖12所示，由牛頓第二定律，有：2V2mg-F=mfV2=JgL-工4gL解得：Vm由此可見(jiàn)Va="gL是桿對(duì)小球m的作用力F在推力和拉力之間突變的臨界速度.gL=2.2桿長(zhǎng)L=0.5m時(shí)，臨界速度Vo92VA"4%<V0,桿對(duì)小球有推力Fa,有以一FA=啜則Fa=3.由a至B只有重力做功，機(jī)械能守恒.設(shè)B點(diǎn)所處水平面為參考平面，則12122mvA2mgL-&mvB解得.Vb1VA4gL=4.5ms在最低點(diǎn)B,小球m受拉力Fb,由Fb-mg=mvB2解得Fb=mg+mvB=25.3N.總結(jié)：小球與圓環(huán)類題目在平時(shí)的聯(lián)系中我們將會(huì)常見(jiàn)，同時(shí)此類題目的難度并不小，甚至?xí)霈F(xiàn)過(guò)難現(xiàn)象，但筆者再次提醒各位同學(xué)，千萬(wàn)不要見(jiàn)到此類題目就退避三舍，要試著盡力學(xué)會(huì)分析。值得注意的是解決此類題目的關(guān)鍵仍是能夠靈活運(yùn)用機(jī)械能守恒、動(dòng)能定理和向心運(yùn)動(dòng)的知識(shí)，并能夠