巧解雙曲線的離心率

1、巧解雙曲線的離心率離心率是雙曲線的重要性質(zhì)，也是高考的熱點。經(jīng)?？疾椋呵箅x心率的值,求離心率的取值范圍，或由離心率求參數(shù)的值等。卜面就介紹一下常見題型和巧解方法。1、求離心率的值(1)利用離心率公式e-,先求出a,c,再求出e值。a(2)利用雙曲線離心率公式的變形：e-Ji(b)2,先整體求出-,再求a.aa出e值。41y-x,則雙曲線的離心3bx,由已知可得24aa322例1已知雙曲線xy'1(a0,b0)的一條漸近線方程為ab率為.22分析：雙曲線、與1(a0,b0)的漸近線方程為yab解答：由已知可得ba4cb2口5一,再由er：1()，可行e-.3a，a3(3)構(gòu)造關(guān)于a,c的

2、齊次式，再轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的一元二次方程，最后求出e值,即“齊次化e”。例如：c2aca20e2e10例2設(shè)雙曲線的一個焦點為F,虛軸的一個端點為B,如果直線FB與該雙曲線的一條漸近線垂直,那么此雙曲線的離心率為.分析：利用兩條直線垂直建立等式，然后求解。解答：因為兩條直線垂直，()1b2acc2a2e2e10aci所以e巫(負(fù)舍)22、求離心率的取值范圍求離心率的取值范圍關(guān)鍵是建立不等關(guān)系。(1)直接根據(jù)題意建立a,b,c的不等關(guān)系求解e的取值范圍。22例3若雙曲線與41(ab0),則雙曲線離心率的取值范圍是ab分析：注意到ab0的條件解答：ab01b0eJi(-)2(1,西a'a(2)

3、利用平面幾何性質(zhì)建立a,c不等關(guān)系求解e的取值范圍。22例4雙曲線、41(a0,b0)的兩個焦點為Fi,F2,若P為其上非頂點的一a2例6雙曲線1、1(a0,b0)的右焦點為F,若過點F且傾斜角為60的直ab線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是b2點，且PFj2PFz|,則雙曲線離心率的取值范圍為.分析：由雙曲線上非頂點的點和兩個焦點構(gòu)成三角形，利用三角形性質(zhì)構(gòu)建不等式。PF12PF2_一解答：因為PF14a,PF22a,而F1F22c,又因為二角PF1PF22a形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，2a2c6a,所以1e3。(3)利用圓錐曲線相關(guān)性質(zhì)建立a,c不

4、等關(guān)系求解e的取值范圍。22例5已知雙曲線xy與1,(a0,b0)的左，右焦點分別為下2,點P在雙曲ab線的右支上，且|PF1|4|PF2|,則此雙曲線離心率e的取值范圍是分析：此題和上題類似，但也可以換一種辦法找不等關(guān)系解答：由PF1PF14PF2PF2可得2aPF2絲,又因為點P在雙曲線的右支上,3PF2ca,即2aca3ec5,所以1e5.a33(4)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想建立a,c不等關(guān)系求解e的取值范圍。解答：由圖象可知漸近線斜率-tan60褥，再由e-J(-)220aa.a(5)運(yùn)用函數(shù)思想求解e的取值范圍。22例7設(shè)a1,則雙曲線與1的離心率e的取值范圍是.a2(a1)2分析：把離心率

5、e表示成關(guān)于a的函數(shù)，然后求函數(shù)的值域2a22a11c1解答：把e或e2表示成關(guān)于a的函數(shù)，e2-a2-a(-)22-2,然后用aaa求函數(shù)值域的方法求解，e(J2J5)。小結(jié)：通過以上例題，同學(xué)們應(yīng)該體會到求離心率e的值或取值范圍有很多種辦法，求值不一定非要先求出a,c的值，能夠得到a,b,c中某兩者的關(guān)系即可；求取值范圍關(guān)鍵就是找到不等關(guān)系建立不等式，不等關(guān)系可以來自已知條件、可以來自圖形特點、也可以來自雙曲線本身的性質(zhì)?？傊?，要認(rèn)真審題、分析條件，巧解離心率。練習(xí)：(1)設(shè)直線l過雙曲線C的一個焦點，且與C的一條對稱軸垂直，l與C交于A,B兩點，|AE|為C的實軸長的2倍，則C的離心率為

6、().C.2D.32222解：設(shè)雙曲線C的方程為3=1,焦點F(c,0),將乂=c代入、=11(b)2-3a.4.22bb.22可得y=不，所以|AB=2Xl=2X2a,.b=2a,e一aaa答案：B(2)已知雙曲線C：H1(a>0,b>0)的離心率為上,則C的漸近線方程為ab2().A.y=±：xB.y=±1xC.y=±；xD.y=±x432b解：由題意可知，雙曲線的漸近線萬程為y=±x,又離心率為a_ce=一=ab21+a=坐，所以=；，所以雙曲線的漸近線方程為y=±；x.2a222x(3)雙曲線？a2y9=1(a&g

7、t;0,b>0)的左、右焦點分別為Fi,F2,漸近線分別為I1,12,點P在第一象限內(nèi)且在Il上，若12±PFi,12PF2,則雙曲線的離心率是(解：如圖1,由l2±PF,12/PE,可得PF，P區(qū)則|OP1習(xí)FEI=c,b設(shè)點P的坐標(biāo)為m,am,則am+bm2=Cm=c,aa'解得ea,即得點P的坐標(biāo)為(a,b),bbc則由Kpf2=一可得2a=c,即e=g=2.acaa答案：B4八、x2y2(4)若雙曲線1m=1的離心率為45,則m的值為解：由題意，雙曲線的焦點在x軸上，所以e=圖1=，5,所以m=2.答案：Cx圖2*丫答案：2(5)如圖2,中心均為原點O

8、的雙曲線與橢圓有公共焦點，MN是雙曲線的兩頂點.若MO,N將橢圓長軸四等分，則雙曲線與橢圓的離心率的比值是答案：222(6)設(shè)點P在雙曲線：一、=1(a>0,b>0)的右支上，雙曲線的左、右焦點分別為Fi,F2,若|PFi|=4|PE|,則雙曲線離心率的取值范圍是.解：由雙曲線的定義得|PF|PE|=2a,又|PFi|=4|PE|,所以4|PE|PE|=2a,|PE|=|a,|PF|=8a,338、,§a1c+a,所以整理得)ac,所以葭|,即e<|,23a333ac-a，又e>1,所以1<ew5.3答案：(1,5322(7)已知點F是雙曲線一1(a&g

9、t;0,b>0)的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過點F且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A,B兩點，若ABE是銳角三角形，則該雙曲線的離心率e的取值范圍為.解：由題意知，ABE為等腰三角形.若ABE是銳角三角形，則只需要/AEB兀一.、一一.一一.為銳角.根據(jù)對稱性，只要/AER7即可.直線AB的方程為x=c,代入雙曲42b4什一b2b2線方程得丫2=孑，取點A-c,-,則|AF|EF=a+c,只要|AF<|EF|就能使/AEF<+,即=<2+5即b2<a2+ac,即c2-ac-2a2<0,即e2-e-2<0,4a即1<e<2.又e>1

10、,故1<e<2.答案：(1,2)22,xy(8)如圖3,F1,F2分別是雙曲線C：3=1(a>0,b>0)的左，右焦點，B是虛軸的端點，直線F1B與C的兩條漸近線分別交于P,Q兩點，線段PQ的垂直平分線與x軸交于點M若|MF|=|FiF2|,求C的離心率.b解：依題意，知直線FiB的方程為y=-x+b,cb,y=F+b，c聯(lián)立方程得點acQ，ca'bc圖3聯(lián)立方程b.y=cx+b,得點xy八a+b=0.acbcc+a'c+a'所以PQ的中點坐標(biāo)為a2cc2豆，bc2c所以pq的垂直平分線方程為yb=ba2cxTb22人aaa令y=0,得x=c1+

11、b2,所以c1+b2=3c.所以a2=2b2=2c22a2,即3a2=2c2.所以e=?.答案：-622xy以原點O為圓心，c為(9)雙曲線1一泉=1(a>0,b>0)的右焦點為F(c,0).半徑作圓，該圓與雙曲線在第一象限的交點為A,過A作圓的切線，斜率為一43,求雙曲線的離心率.解：設(shè)點A的坐標(biāo)為（皿y。，.直線AO的斜率滿足¥（，3）=1,x0.x0=3y0,依題意，圓的方程為x2+y2=c2,1將代入圓的方程，得3y0+y0=c2,即y°=2c,3c21C2x°=*c,.前A的坐標(biāo)為乎C,2,代入雙曲線方程，得一=1,即3b2c2_1a2c2=

12、a2b2,3，又=a+b=c,.將b=ca代入式，整理得-c-2ac+a=0,.3C4-8C2+-0,.(3e22)(e2-2)=0,aae>1,；e=2.雙曲線的離心率為小.22(10)如圖4,雙曲線，一/=1(a>0,b>0)的兩頂點為A,虛軸兩端點為Bi,B2,兩焦點為Fi,F2.若以AiA為直徑的圓內(nèi)切于菱形F1B1F2B2,切點分別為A,B,C,D.求雙曲線的離心率e；菱形F1BF2&的面積Si與矩形ABCD勺面積S的比值S1.Sh解：由題意可得aRb2+c2=bc,；a43a2c2+c4=0,e43e2+1=0,g=3+一b設(shè)sin0=22,b2+c2cos0=cb2+c2'Si