山東高三數(shù)學(xué)沖刺模擬一試題理含解析

1、2015年山東省高考數(shù)學(xué)一模試卷（理科）一、選擇題（共10小題，每小題5分，滿分50分）1. （5分）（2015?山東一模）復(fù)數(shù)z=|（如T）i|+i5（i為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)為（）A.2-iB.2+iC.4-iD.4+i【考點(diǎn)】：復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算.【專題】：數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù).【分析】：直接利用復(fù)數(shù)模的公式求復(fù)數(shù)的模，再利用虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)化簡(jiǎn)后得z,則復(fù)數(shù)z的共軻復(fù)數(shù)可求.【解析】：解：由z=|（我一i）i|+i5=（貶、2+（T）=2+i，得：z=2-i.故選：A.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查復(fù)數(shù)模的求法，考查了虛數(shù)單位i的運(yùn)算性質(zhì)，是基礎(chǔ)題.2. （5分）（2015?山東一模

2、）若-1,1?x|x2-tx+t|<1,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是（）A.-1,0B.2-2近，0C.（-oo,-2D.2-2&,2+2訴【考點(diǎn)】：集合的包含關(guān)系判斷及應(yīng)用.【專題】：計(jì)算題；函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；集合.【分析】：令y=x2-tx+t,由題意，將集合的包含關(guān)系可化為求函數(shù)的最值的范圍.【解析】：解：令y=x2-tx+t,若t=0,則x|x2<1=-1,1,成立，若t>0,2則ymax=（1）t（1）+t=2t+1W1,即t<0,不成立；若tV0,則ymak（1）2-t+t=1<1,成立，ymin=（工）2-t?+t>-1,22即t2-4t-4&

3、lt;0,解得，2-2&wtW2+2加，則2-2忐4<0,綜上所連2- 2&wtW0.故選B.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了集合的包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.3. （5分）（2015?山東一模）已知M（2,項(xiàng)是拋物線y2=2px（p>0）上一點(diǎn)，則“p>1”是“點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離不少于3”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條【考點(diǎn)】：必要條件、充分條件與充要條件的判斷.【專題】：簡(jiǎn)易邏輯.【分析】：根據(jù)拋物線的定義和性質(zhì)，利用充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論.【解析】：解：拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)為F（國(guó)，0）,準(zhǔn)線方程為x=22

4、則點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離PF=2-（-&）=2+222若的1,則PF=2+£>也，此時(shí)點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離不少于3不成立，即充分性不成立，22若點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離不少于3,即PF=2+P>3,即p>2,則p>1,成立，即必要性成2立，故“p>1”是“點(diǎn)M到拋物線焦點(diǎn)的距離不少于3”的必要不充分條件，故選：B【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，利用拋物線的定義和性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵.4. （5分）（2015?山東一模）若m是2和8的等比中項(xiàng)，則圓錐曲線x2工二1的離心率為（）TOA.立B.V5C.立或立D,立或立2222【考點(diǎn)】：

5、圓錐曲線的共同特征；等比數(shù)列的性質(zhì).【專題】：計(jì)算題.【分析】：先根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)求得m的值，分別看當(dāng)m大于0時(shí)，曲線為橢圓，進(jìn)而根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程求得a和b,則c可求得，繼而求得離心率.當(dāng)m<0,曲線為雙曲線，求得a,b和c,則離心率可得.最后綜合答案即可.【解析】：解：依題意可知m=±爽乂g=±4當(dāng)m=4時(shí)，曲線為橢圓，a=2,b=1,貝Uc=V3,e=£=Wa2當(dāng)m=-4時(shí)，曲線為雙曲線，a=1,b=2,c=J芍則，e=/故選D【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查了圓錐曲線的問(wèn)題，考查了學(xué)生對(duì)圓錐曲線基礎(chǔ)知識(shí)的綜合運(yùn)用，對(duì)基礎(chǔ)的把握程度.5. （5分）（2015?山東一

6、模）在ABC中，若b=2,A=120°,三角形的面積S=/5,則三角形外接圓的半徑為（）A.6B,2C.2近D.4【考點(diǎn)】：正弦定理.【專題】：解三角形.【分析】：由條件求得c=2=b,可得B的值，再由正弦定理求得三角形外接圓的半徑R的值.c=2=b,【解析】：解：ABC中，b=2,A=120°,三角形的面積S=/53bc?sinA=c?爽,22故bJ(180°-A)=30°.2再由正弦定理可得b=2R=2=4,三角形外接圓的半徑R=2,sinBsin300故選：B.【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.6. （5分）（2015?山東一模）某

7、幾何體的三視圖如圖所示，正視圖、側(cè)視圖、俯視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，則此幾何體的外接球的表面積為（）僻視困A.37tB.4ttC.2ttD.互冗2【考點(diǎn)】：由三視圖求面積、體積.【專題】：空間位置關(guān)系與距離.2R=【分析】：如圖所示，該幾何體是正方體的內(nèi)接正四棱錐.因此此幾何體的外接球的直徑正方體的對(duì)角線灰，利用球的表面積計(jì)算公式即可得出.【解析】：解：如圖所示，該幾何體是正方體的內(nèi)接正四棱錐.因此此幾何體的外接球的直徑2R=E方體的對(duì)角線相，其表面積S=4tt口=3兀.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了正方體的內(nèi)接正四棱錐、球的表面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7. （5分）（2015

8、?山東一模）定義maxa,b="'a）、,設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足約束條件用42b,a<b|y|<2貝Uz=max4x+y,3x-y的取值范圍是（）A.-8,10B.-7,10C.-6,8D,-7,8【考點(diǎn)】：簡(jiǎn)單線性規(guī)劃.【專題】：分類討論；轉(zhuǎn)化思想；不等式的解法及應(yīng)用.【分析】：由約束條件作出可行域，結(jié)合新定義得到目標(biāo)函數(shù)的分段函數(shù)，然后化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，求出最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【解析】：解：由約束條件2作出可行域如圖，I|y|<2f/日L，得由定義maxa,b=a,b,kx+2y>0）（x+2jr<0）

9、z=max4x+y,3xy=*-yt當(dāng)x+2y>0時(shí)，化z=4x+y為y=-4x+z,當(dāng)直線y=-4x+z過(guò)B(-2,1)時(shí)z有最小值為4X(-2)+1=-7;當(dāng)直線y=-4x+z過(guò)A(2,2)時(shí)z有最大值為4X2+1X2=10;當(dāng)x+2y<0時(shí)，化z=3x-y為y=3x-z,當(dāng)直線y=3x-z過(guò)B(-2,1)時(shí)z有最小值為3X(-2)-1=-7;當(dāng)直線y=-4x+z過(guò)A(2,-2)時(shí)z有最大值為4X2-1X(-2)=10.綜上，z=max4x+y,3x-y的取值范圍是-7,10.故選：B.【點(diǎn)評(píng)】：本題是新定義題，考查了簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合及數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題.

10、8. (5分)(2015?山東一模)函數(shù)y=log3(x+3)-1(a>0,且a1)的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,若點(diǎn)A在直線mx+ny+1=0上，其中m,n均大于0,則一J的最小值為()mnA.2B.4C.8D.16【考點(diǎn)】：基本不等式；對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì).【專題】：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用；不等式的解法及應(yīng)用.【分析】：現(xiàn)根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，再根據(jù)點(diǎn)在直線上，代入化簡(jiǎn)得到2m+n=1,再根據(jù)基本不等式，即可求出結(jié)果【解析】：解：丁y=log3（x+3）-1（a>0,且awl）的圖象恒過(guò)定點(diǎn)A,當(dāng)x+3=1時(shí)，即x=2時(shí)，y=-1,，A點(diǎn)的坐標(biāo)為（-2,-1）,一點(diǎn)A在直線mx+

11、ny+1=0上，-2m-n+1=0,即2m+n=1,mn均大于0,.1/=2/口+叱2=2+8+生+2A4+2回里=8,當(dāng)且僅當(dāng)m=l,nJ時(shí)取等號(hào)，mnmnnn42故aj的最小值為8,mn故選：C【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)圖象和性質(zhì)以及基本不等式，屬于中檔題9. （5分）（2015?山東一模）已知ABC中，內(nèi)角A、BC所對(duì)的邊分別為a,b,且acosC哲c=b,2若a=1,V3c-2b=1,則角8為（）a.2b.-Hc.-Hd.2L46312【考點(diǎn)】：余弦定理；正弦定理.【專題】：解三角形.【分析】：已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)，整理求出cosA的值，求出A的度數(shù)，利用余弦定理列出關(guān)系式，把a(bǔ)

12、與sinA的值代入得到關(guān)于b與c的方程，與已知等式聯(lián)立求出b與c的值，再利用正弦定理求出sinB的值，即可確定出B的度數(shù).【解析】：解：已知等式利用正弦定理化簡(jiǎn)得：sinAcosC+YsinC=sinB=sin（A+。2=sinAcosC+cosAsinC,由sinCw0,整理得：cosA=,即A=2-,26由余弦定理得：a2=b2+c2-2bccosA,即1=b2+c2一娟bc，bsinA2112'與mc-2b=1聯(lián)立，解得：c=J5,b=1,由正弦定理-4-=-,得：sinB=sinAsinB.bvc,B<C,則B.6故選：B.【點(diǎn)評(píng)】：此題考查了正弦、余弦定理，以及特殊角的

13、三角函數(shù)值，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵.10. (5分)(2015?山東一模)設(shè)定義在D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(X0,h(X0)處的切線方.,(貸)一三(1,一.一程為l:y=g(x),當(dāng)XWX0時(shí)，右>0在D內(nèi)恒成立，則稱P為函數(shù)y=h(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”，則f(x)=x2-6x+4lnx的"類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo)是()A.1B.&C.eD.正【考點(diǎn)】：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程.【專題】：計(jì)算題；新定義；導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用；導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】：當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=H(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x0,f(x。)處的切線方程為y=g(x)=(2x0+-6)(x-xO

14、)+x02-6x0+4lnx0.由此能推導(dǎo)出y=h(x)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”，2是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo).【解析】：解：當(dāng)a=4時(shí)，函數(shù)y=h(x)在其圖象上一點(diǎn)P(x°,h(x°)處的切線方程為：y=g(x)=(2x0+-6)(x-x0)+x02-6x0+4lnx0,設(shè)m(x)=h(x)-g(x)=x2-6x+4lnx-(2x0+-6)(x-x0)-x02+6x0-4lnx0,x0則m(xo)=0.m'(x)=2x+£-6-(2x0+-6)=2(x-xo)(1)J(x-xo)(x-)KXqKXqKXq若Xo近,(j)(x)在(x0,)上單調(diào)遞減，x0，當(dāng)x

15、C(x0,)時(shí)，m(x)vm(x0)=0,此時(shí)m'''<0；町LX。若X0>di,(j)(x)在(2,x°)上單調(diào)遞減，9m(y)當(dāng)xC(,x°)時(shí)，m(x)>m(x0)=0,此時(shí)<0;XQLXq-y=h(x)在(0,如)U(4£+00)上不存在“類對(duì)稱點(diǎn)”.若x0=&,-(x-V2)2>0,ym(x)在(0,+8)上是增函數(shù)，當(dāng)x>xo時(shí)，m(x)>m(xo)=0,當(dāng)xvx0時(shí)，m(x)vm(x0)=0,故二(。L工口即此時(shí)點(diǎn)P是y=f(x)的“類對(duì)稱點(diǎn)”綜上，y=h(x)存在“類對(duì)稱點(diǎn)”

16、，血是一個(gè)“類對(duì)稱點(diǎn)”的橫坐標(biāo).故選B.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間的求法，探索滿足函數(shù)在一定零點(diǎn)下的參數(shù)的求法，探索函數(shù)是否存在“類對(duì)稱點(diǎn)”.解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意分類討論思想和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的合理運(yùn)用，此題是難題.二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.11. （5分）（2015?山東一模）已知函數(shù)f（x）=|2x-a|+a,若不等式f（x）<6的解集為x|-2<x<3,則實(shí)數(shù)a的值為a=1.【考點(diǎn)】：其他不等式的解法.【專題】：不等式的解法及應(yīng)用.【分析】：不等式即|2x-a|<6-a,解得a-3<x<3,再由已知不等式的解集為x|-2&

17、lt;x<3,可得a-3=-2,由此求得實(shí)數(shù)a的值.【解析】：解：由題意可得，不等式即|2x-a|<6-a,a-6<2x-a<6-a,解得a-3<x<3.再由不等式的解集為x|-2<x<3,可得a-3=-2,故a=1,故答案為a=1.【點(diǎn)評(píng)】：本題主要考查絕對(duì)值不等式的解法，體現(xiàn)了等價(jià)轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題.12. （5分）（2015?山東一模）已知點(diǎn)A（2,0）拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F,射線FA與拋物線C相交于點(diǎn)M,與其準(zhǔn)線相交于點(diǎn)N,則|FM|:|MN|=1:【考點(diǎn)】：拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì).【專題】：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程.【分析】

18、：求出拋物線C的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)，從而得到AF的斜率k=-l.過(guò)M作MPLl于P,2根據(jù)拋物線物定義得|FM|=|PM|.RtAMPN,卞據(jù)tan/MNP=,從而得到|PN|二2|PM|,進(jìn)而2算出|MN|二詆|PM|,由此即可得到|FM|:|MN|的值.【解析】：解：二.拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F（0,1）,點(diǎn)A坐標(biāo)為（2,0）,拋物線的準(zhǔn)線方程為l:y=-1,直線AF的斜率為k=一-=-i,2-02過(guò)M作MPLl于P,根據(jù)拋物線物定義得|FM|二|PM|,RtAMPN,tan/MNPhk=-l,2.-P-L=-l,可得|PN|=2|PM|,|PN|2得|MN|=7T_=FM|因此可得|FM

19、|:|MN|=|PM|:|MN|=1:逃.故答案為：1:巡.【點(diǎn)評(píng)】：本題給出拋物線方程和射線FA,求線段的比值.著重考查了直線的斜率、拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題.13.（5分）（2015?山東一模）w，y產(chǎn)x>l【考點(diǎn)】：定積分.【專題】：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.【分析】：I"fdx=jLNiTdx+j浮改，由定積分的幾何意義可知:丁，五二/五禾山微J表示上半圓x2+y2=1（y>0）的面積，即可得出積分基本定理即可得出年zdx=eK|2.【解析】：解：J"f（Q*=JLM1dx+，jddx，由定積分的幾何意義可知：J.21工表示上半圓x2

20、+y2=1（y>0）的面積,JLNLJ又-,.；-dx=.-=e2-e.J'f（k）dx=JLi-JJ；巴51d工二好-R故答案為：，-.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了定積分的幾何意義、微積分基本定理，屬于中檔題.14. （5分）（2015?山東一模）把座位編號(hào)為1、2、3、4、5的五張電影票全部分給甲、乙、丙、丁四個(gè)人，每人至少一張，至多兩張，且分得的兩張票必須是連號(hào)，那么不同的分法種數(shù)為96.（用數(shù)字作答）【考點(diǎn)】：排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問(wèn)題.【專題】：概率與統(tǒng)計(jì).【分析】：根據(jù)題意，先將票分為符合題意要求的4份，可以轉(zhuǎn)化為將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三

21、連號(hào)的問(wèn)題，用插空法易得其情況數(shù)目，再將分好的4份對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，由排列知識(shí)可得其情況數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理，計(jì)算可得答案.【解析】：解：先將票分為符合條件的4份，由題意，4人分5張票，且每人至少一張，至多兩張，則三人一張，1人2張，且分得的票必須是連號(hào)，相當(dāng)于將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分且不存在三連號(hào).在4個(gè)空位插3個(gè)板子，共有C3=4種情況，再對(duì)應(yīng)到4個(gè)人，有A4=24種情況，則共有4X24=96種情況.故答案為96.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查排列、組合的應(yīng)用，注意將分票的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為將1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)用3個(gè)板子隔開(kāi)，分為四部分的問(wèn)題，用插空法進(jìn)行解決.15. (5分

22、)(2015?山東一模)已知函數(shù)f(x)=xeX,記fo(x)=f'(x),f1(x)=f'(x。)，,fn(x)=f'n-1(x)且x2>x1,對(duì)于下列命題：函數(shù)f(x)存在平行于x軸的切線；>0;rA2f，2012(x)=xex+2014ex;f(X1)+X2<f(X2)+X1.其中正確的命題序號(hào)是(寫出所有滿足題目條件的序號(hào))【考點(diǎn)】：導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算.【專題】：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用.【分析】：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義判斷正確，根據(jù)導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性判斷錯(cuò)；根據(jù)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，得到正確，根據(jù)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系判斷錯(cuò)【解析】：解：對(duì)于，因?yàn)閒'(x)=(

23、x+1)ex,易知f'(-1)=0,函數(shù)f(x)存在平行于x軸的切線，故正確；對(duì)于，因?yàn)閒'(x)=(x+1)ex,所以xC(-巴1)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，xCf(Xi)_f(-1,+8)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，故>0的正負(fù)不能定，故錯(cuò);叼一”對(duì)于，因?yàn)閒1(x)=f'(x°)=xex+2ex,f2(x)=f'(x。=xex+3ex,，fn(x)=f'n-1(x)=xex+(n+1)ex,所以f'2012(x)=f2013(x)=xex+2014ex;故正確；對(duì)于，f(x。+x2<f(x2)+x1等價(jià)于f(x。-x1&

24、lt;f(x2)-x2,構(gòu)建函數(shù)h(x)=f(x)x,貝Uh'(x)=f'(x)-1=(x+1)ex-1,易知函數(shù)h(x)在R上不單調(diào)，故錯(cuò)；故答案為：【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系，以及導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則，屬于中檔題三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答時(shí)應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.16. (12分)(2015?山東一模)已知函數(shù)f(x)=2sinx+2sin(x-JE).3(1)求f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在ABC中，角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c.已知f(A);正,a=Jb,證明：C=3B.【考點(diǎn)】：兩角和與差的正弦函

25、數(shù)；正弦定理.【專題】：計(jì)算題；三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)；解三角形.【分析】：(1)運(yùn)用兩角差的正弦公式，即可化簡(jiǎn)，再由正弦函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間，即可得到；(2)由f(A)=<3,及0VAV兀，即可得到A，再由正弦定理，及邊角關(guān)系，即可得證.3【解析】：(1)解：函數(shù)f(x)=2sinx+2sin(x-三)3=2(sinx+-Isinx-/cosx)=23(Isinx-_!cosx)2222令2k兀則2k%貝Uf(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是2k兀-2L,2k兀J|I,kCZ.(2)證明：由f(A)=J5,貝Usin(A1)=i,由0vAv%,則<A-2£<-2L,666貝UA=-

26、,由=,a=«b,貝UsinB=,sinAsinB2由a>b,A=一,B=一,C=一,362故C=3B【點(diǎn)評(píng)】：本題考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)，正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，考查正弦定理及邊角關(guān)系，注意角的范圍，屬于中檔題.17. (12分)(2015?山東一模)2008年中國(guó)北京奧運(yùn)會(huì)吉祥物由5個(gè)“中國(guó)福娃”組成，分別叫貝貝、晶晶、歡歡、迎迎、妮妮.現(xiàn)有8個(gè)相同的盒子，每個(gè)盒子中放一只福娃，每種福娃的數(shù)量如下表：福娃名稱貝貝晶晶歡歡迎迎妮妮數(shù)量11123從中隨機(jī)地選取5只.(I)求選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率；(n)若完整地選取奧運(yùn)會(huì)吉祥物記以此類推.設(shè)E表示所得的分?jǐn)?shù)，求10分

27、；若選出的5只中僅差一種記E的分布列及數(shù)學(xué)期望.8分；差兩種記6分;離散型隨機(jī)變量及其分布列；離散型隨機(jī)變量的期望與方差.概率與統(tǒng)計(jì).11CiC(I)根據(jù)排列組合知識(shí)得出P=-9運(yùn)算求解即可.c5(n)確定W的取值為：10,8,6,4,分別求解P(E=10),P(E=8),P(E=6),P(E=4),列出分布列即可.【解析】：解：(I)選取的5只恰好組成完整“奧運(yùn)吉祥物”的概率p=一=JL=A,Cl5628(n)E的取值為:10,8,6,4.11clcP(E=10)=：C5,28=,561,22q(4C3+C；c，c3)3Cg3156E的分布列為：E10864P二23562856EE嚕Y瑁&#

28、163;=7.5.28562856【點(diǎn)評(píng)】：本題綜合考查了運(yùn)用排列組合知識(shí)，解決古典概率分布的求解問(wèn)題，關(guān)鍵是確定隨機(jī)變量的數(shù)值，概率的求解，難度較大，仔細(xì)分類確定個(gè)數(shù)求解概率，屬于難題.18. (12分)(2015?山東一模)在正三角形ABC中，E、F、P分別是ARAGBC邊上的點(diǎn)，滿足AEEB=CFFA=CPPB=1:2(如圖1).將AEF沿EF折起到AEF的位置，使二面角A-EF-B成直二面角，連結(jié)A1B、AF(如圖2)(1)求證：AEL平面BEP(2)求直線AiE與平面AiBP所成角的大小;(3)求二面角B-AiP-F的余弦值.圖1圖2【考點(diǎn)】：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題；直線與平面

29、垂直的判定；直線與平面所成的角.【專題】：空間角.【分析】：(1)設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3.在圖1中，取BE的中點(diǎn)D,連結(jié)DF.由已知條件推導(dǎo)出ADF是正三角形，從而得到EF±AD.在圖2中，推導(dǎo)出/AEB為二面角Ai-EF-B的平面角，且AiE±BE由此能證明AE，平面BEP.(2)建立分別以EREF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AE與平面ABP所成的角的大小.(3)分別求出平面AiFP的法向量和平面BAF的法向量，利用向量法能求出二面角B-AiP-F的余弦值.【解析】：(1)證明：不妨設(shè)正三角形ABC的邊長(zhǎng)為3.圖1圖2在圖i中，取BE

30、的中點(diǎn)D,連結(jié)DF.AE:EB=CFFA=i:2,.AF=AD=2而/A=60度，.ADF是正三角形，又AE=DE=i.EF,AD在圖2中，AiE±EF,BEXEF,/AiEB為二面角Ai-EF-B的平面角.由題設(shè)條件知此二面角為直二面角，AiE±BE.又BEAEF=EAE,平面BEF,即AE,平面BEP(2)建立分別以EREF、EA為x軸、y軸、z軸的空間直角坐標(biāo)系，則E(0,0,0),A(0,0,i),B(2,0,0),F(0,如，0),P(i,0),則說(shuō)二(0,0,-1),族二(2,0,-1),而=(T,遍，0)設(shè)平面ABP的法向量為另二(打，町)，由同！平面ABP知

31、，五！血,2xi-z1=0f令x1二，得-勺+V5yl=0.1¥廣1,zl=2V3n/（仁L2行）一、3X0+1X0+23x(_1)_V3匚口£&AE，m：-=j=j-r-向I，I口11/(V5)2+i'+<273)-7o£+o2+(-1)22，<標(biāo)，五>=1200，直線AiE與平面AiBP所成的角為60度.虹二（0,心-1）,PF=（-匕0,0），設(shè)平面AiFP的法向量為口廣（SyrZ2）由E_L平面AiFP知，-2K2=0V3y27廠0.令y2=l,得k2=0,工廣對(duì)，二(o,iiVs)sw<口2V3X0+1X1+273

32、XVsI(正)(2a)，Jo2+：2+(vf)2S7所以二面角B-AP-F的余弦值是一.8【點(diǎn)評(píng)】：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成的角的求法，考查二面角的余弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用.19.（12分）（2015?山東一模）數(shù)列an中，ai=i,當(dāng)n>2時(shí)，其前n項(xiàng)和為$,滿足Sn2=an（Sn-工）.2（1）求Sn的表達(dá)式；（2）設(shè)bn=S門,數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Tn,不等式Tn>（m2-5ni）對(duì)所有的nCN*恒成立，2n+l18求正整數(shù)m的最大值.【考點(diǎn)】：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式.【專題】：等差數(shù)列與等比數(shù)列.【分析】：（1）當(dāng)n>

33、;2時(shí)，an=S-Sn-1,代入利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得出;(2)利用“裂項(xiàng)求和”、一元二次不等式的解法即可得出.【解析】：解：(1)”(S)=-數(shù)列卜L是首項(xiàng)為_(kāi)L=_=i,公差為2的等差數(shù)列.%siai故-i-=1+2(n-1)=2n-1,SSi=-.2nli(2)bn=-(=-),2n+l-1)(2n+l)22n-12n+l2n12n+l*,nCN恒成立,故Tn=|：|:,+2335又不等式Tn>-(m2-5m)對(duì)所有的18丁,，2一、.>(m5倒,318化簡(jiǎn)彳導(dǎo):m2-5m-6<0,解得：-1Wmc6.正整數(shù)m的最大值為6.【點(diǎn)評(píng)】：本題考查了遞推式的應(yīng)用、“裂項(xiàng)

34、求和”、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、一元二次不等式的解法，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.20. (13分)(2015?山東一模)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓G的中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，左焦點(diǎn)為F1(-1,0),P為橢圓G的上頂點(diǎn)，且/PFQ=45.(I)求橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)已知直線l1：y=kx+m與橢圓G交于A,B兩點(diǎn)，直線12：y=kx+m2(mm2)與橢圓G交于CD兩點(diǎn),且|AB|=|CD|,如圖所示.(i)證明：m+m=0;(ii)求四邊形ABCD勺面積S的最大值.【考點(diǎn)】：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.【專題】：綜合題.【分析】：(I)根據(jù)F1(T,0),/PFQ=45,

35、可得b=c=1,從而a2=b2+c2=2,故可得橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(n)設(shè)A(X1,yO,B(X2,y2),C(X3,y3),D(X4,y4).(i)直線li：y=kx+m與橢圓G聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，可求AB,CD的長(zhǎng)，利用|AB|二|CD|,可得結(jié)論；(ii)求出兩平行線AB,CD間的距離為d,則,表示出四邊形ABCD勺面積S,利用基本不等式，即可求得四邊形ABCM面積S取得最大值.22【解析】：(I)解：設(shè)橢圓G的標(biāo)準(zhǔn)方程為任一+J1(a>b>0).b2b=c=1.因?yàn)镕i（-1,0）,/PFiO=45,所以所以,a2=b2+c2=2.（2分）2所以,橢圓（n）G的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

36、（3分）2（xi,yi）,B（X2,y2）,C（X3,y3）,D（X4,y4）.證明:尸kx+叫矍2£消去y得：（i+2k?）k'+4kmik+2iti；-2二04kmi則二8（2k2m；+l）>0，'或1+K廣-o1£l+2k3.55分）2mj-2x1x產(chǎn)rr.l+2k，所以4kml+2k2+l+jJ（工+k/町電2mj-21+2k21+2k2I-J2k2-君+1同理|CD|=2VWl+k2-（7分）l+2k?因?yàn)閨AB|=|CD|,l.+2k2k2-m£+ll+2k2因?yàn)閙iWm2,所以m+m=0.(9分)(ii)解：由題意得四邊形ABCD平行四邊形，設(shè)兩平行線AB,CD間的距離為d,則d-IDID271+k'因?yàn)閙i+m=0,所以dJ：叫(i0分)Vl+k2所以S=|AB|-d=2V2Vl+k討2/一小沁l+2k2JC2k2-m?+l）W22-l+2kz2mi一一一.2222k-m+1+叫9一2叫2l+2kafr-I（2k2+l）-,iTiji1/l（或