排列和逆序數(shù)

1、緒緒 論論線性代數(shù)是是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。線性代數(shù)是是中學(xué)代數(shù)的繼續(xù)和發(fā)展。一、課程內(nèi)容一、課程內(nèi)容 “線性線性”即一次，一次函數(shù)、方程、不等式即一次，一次函數(shù)、方程、不等式均稱為線性的。本課程一重要內(nèi)容均稱為線性的。本課程一重要內(nèi)容解含解含n個個未知數(shù)、未知數(shù)、m個方程的任一線性方程組。課程給出個方程的任一線性方程組。課程給出了一套有關(guān)線性方程組的理論，其中用到一些了一套有關(guān)線性方程組的理論，其中用到一些新知識，如矩陣、向量及相關(guān)概念。新知識，如矩陣、向量及相關(guān)概念。 行列式與矩陣概念是人們從求解線性方程行列式與矩陣概念是人們從求解線性方程組的需要中建立起來的，又遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出求解線性組的需要中

2、建立起來的，又遠(yuǎn)遠(yuǎn)越出求解線性方程組的范圍，成為重要的數(shù)學(xué)工具。矩陣在方程組的范圍，成為重要的數(shù)學(xué)工具。矩陣在眾多數(shù)學(xué)分支以及自然科學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)眾多數(shù)學(xué)分支以及自然科學(xué)、現(xiàn)代經(jīng)濟學(xué)、工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用。教材在工程技術(shù)等方面也有廣泛應(yīng)用。教材在Ch4進(jìn)一進(jìn)一步研究線性方程組問題步研究線性方程組問題。二、課程應(yīng)用二、課程應(yīng)用 線性問題廣泛存在于自然科學(xué)、管理科學(xué)線性問題廣泛存在于自然科學(xué)、管理科學(xué)和技術(shù)科學(xué)的各個領(lǐng)域，某些非線性問題在一和技術(shù)科學(xué)的各個領(lǐng)域，某些非線性問題在一定條件下也可以線性化，在線性問題中一次不定條件下也可以線性化，在線性問題中一次不等式又可以通過引進(jìn)新變量轉(zhuǎn)化為等式

3、等式又可以通過引進(jìn)新變量轉(zhuǎn)化為等式(“線性線性規(guī)劃規(guī)劃”課程課程)即線性方程。即線性方程。 因此線性代數(shù)的概念和方法應(yīng)用廣泛，尤因此線性代數(shù)的概念和方法應(yīng)用廣泛，尤其計算機的應(yīng)用使得復(fù)雜的線性模型得以迅速其計算機的應(yīng)用使得復(fù)雜的線性模型得以迅速、準(zhǔn)確求解。準(zhǔn)確求解。三、課程特點三、課程特點學(xué)習(xí)方法學(xué)習(xí)方法代數(shù)繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學(xué)好代數(shù)繁且抽象。只有一步步穩(wěn)打穩(wěn)扎，才能學(xué)好.預(yù)習(xí)預(yù)習(xí)適當(dāng)適當(dāng)筆記筆記適時適時復(fù)習(xí)復(fù)習(xí)獨立獨立作業(yè)作業(yè)及時及時小結(jié)小結(jié)四、作業(yè)要求四、作業(yè)要求: 及時、獨立完成及時、獨立完成; 格式格式; 上交時間上交時間.第一章第一章 行列式行列式(1)排列排列: 自

4、然數(shù)自然數(shù)1,2, n組成的一個有序數(shù)組組成的一個有序數(shù)組i1i2in稱為稱為一個一個n級級(元元)排列排列.例例 123、231、312、自然排列自然排列:(2)逆序逆序: 大數(shù)碼排在小數(shù)碼前面大數(shù)碼排在小數(shù)碼前面, 稱兩者構(gòu)成一稱兩者構(gòu)成一個逆序個逆序. 排列中的逆序總數(shù)稱作排列中的逆序總數(shù)稱作逆序數(shù)逆序數(shù), 記記1.1 排列的逆序數(shù)排列的逆序數(shù) 51243、41352、五級排列五級排列. .不是排列不是排列. .1242三級排列三級排列, ,共共3! !6種；種；一般排列：不按自然數(shù)順序排列一般排列：不按自然數(shù)順序排列.() (3241) 例例(12345) 2+1+1=4;(1)2n

5、n =0;=5;(51243) ( (1)(2)21)n nn 按自然數(shù)順序排列按自然數(shù)順序排列(左數(shù)碼左數(shù)碼右數(shù)碼右數(shù)碼)= n-1+n-2+2+1 =(3) 奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列奇排列：逆序數(shù)為奇數(shù)的排列 偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列偶排列：逆序數(shù)為偶數(shù)的排列上例逆序數(shù)為上例逆序數(shù)為0, ,是偶排列是偶排列. .n=4=4k或或4 4k1, 偶排列偶排列; n=4=4k2或或4 4k3,奇排列奇排列.(4)排列的對換排列的對換: :1 21 2stntsni iiiii iiii 排列經(jīng)對換后逆序數(shù)改變排列經(jīng)對換后逆序數(shù)改變. 奇偶性是否改變奇偶性是否改變?定理定理1.1.1 對換改變排列的奇偶性。對換改變排列的奇偶性。 證證 對換相鄰數(shù)碼：對換相鄰數(shù)碼： ，Ai jB一般對換：一般對換： ，對換，對換(i, j)可看成可看成:12sAik kk jB12sAk kk jiB12sAjk kk iBi 經(jīng)經(jīng)s+1+1次相鄰對換得次相鄰對換得j再經(jīng)再經(jīng)s次相鄰對換得次相鄰對換得奇偶性共改變奇偶性共改變2s+1次。次。(1)2n n 逆序數(shù)增加或減少逆序數(shù)增加或減少1 對換對換(is , it)例例 選擇i, j, k,使得 21i36jk 97 為偶排列. 解解 在排列中可供 i, j, k選擇的數(shù)字僅為4,5,8,不妨設(shè)i=4, j=5, k=8,則 511111)21