復(fù)變函數(shù)課件,第1章

1、復(fù)變函數(shù)與積分變換復(fù)變函數(shù)與積分變換第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)第二章第二章 解析函數(shù)解析函數(shù)第三章第三章 復(fù)變函數(shù)的積分復(fù)變函數(shù)的積分第四章第四章 級數(shù)級數(shù)第五章第五章 留數(shù)留數(shù)第六章第六章 保角映射保角映射第七章第七章 FourierFourier變換變換第八章第八章 LaplaceLaplace變換變換第一章第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)復(fù)數(shù)及其代數(shù)運算復(fù)數(shù)的表示復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)平面點集與區(qū)域復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)i為虛數(shù)單位， 復(fù)數(shù)：形為復(fù)數(shù)：形為 z=x+ i y的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。的數(shù)稱為復(fù)數(shù)。yx ,12i1）實部Rez=x；虛部Imz=y2）復(fù)數(shù)無大小3）

2、復(fù)數(shù)相等：設(shè) 則：222111,iyxziyxz212121,yyxxzz4）復(fù)數(shù)、實數(shù)、虛數(shù)的關(guān)系 復(fù)平面復(fù)平面一對有序?qū)崝?shù)（x，y）平面上一點P，向量復(fù)數(shù) z = x + i y xyz = x + i yO實軸、 虛軸、復(fù)平面Z 平面、 w 平面opzr 復(fù)數(shù)的 模z Arg復(fù)數(shù)的 幅角1）z=0的輻角不定2）主輻角3）輻角4) 輻角有無窮多個-rctanyAx復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式復(fù)數(shù)的三角形式與指數(shù)形式利用極坐標(biāo)來表示復(fù)數(shù)z，sincosryrx22rctanrxyyAx則復(fù)數(shù) z 可表示為：三角式三角式：sincosirzirez 指數(shù)式指數(shù)式：復(fù)數(shù)的四則運算復(fù)數(shù)的四則運算規(guī)定：

3、規(guī)定：)()(212121yyixxzz)()(2121212121xyyxiyyxxzz221121iyxiyxzz22222211iyxiyxiyxiyx222221122121 yxyxyxiyyxxb) 按上述定義容易驗證按上述定義容易驗證 加法交換律、結(jié)合律加法交換律、結(jié)合律 乘法交換律、結(jié)合律和分配律乘法交換律、結(jié)合律和分配律 均成立。均成立。幾何意義：幾何意義：平面上一矢量與一復(fù)數(shù)z構(gòu)成一一對應(yīng)，復(fù) 數(shù)的加減與矢量的加減一致。xyO21zz 1z2z2121zzzz加法運算xyO21zz 1z2z2z2121zzzz減法運算復(fù)數(shù)乘法設(shè)),sin(cos1111irz)sin(co

4、s2222irz)sin)(cossin(cos22112121iirrzz)sin()cos(212121irr定理：2121zzzz)()()(2121zArgzArgzzArgxyO1z2z21zz指數(shù)形式表示)(2121212121iiierrererzz推廣至有限個復(fù)數(shù)的乘法)(2121212121 nnininiinerrrerererzzz除法運算除法運算01z1122zzzz 1122zzzz1122 Arg Arg Argzzzz ,1212zzzz1212 Arg- Arg Argzzzz)(121212ierrzz或者利用復(fù)數(shù)的三角形式或指數(shù)形式作乘除法比較方便。例：已知

5、正三角形的兩個頂點為例：已知正三角形的兩個頂點為, 11ziz 22求三角形的另一個頂點。xyO1z2z3z31213)(iezzzz)2321)(1 (iiiz2312333iz2312333i231231c) 共軛復(fù)數(shù)：共軛復(fù)數(shù)：iyxz,iyxz互為共軛復(fù)數(shù), zz 22yxz z,Re22zxzzziiyzzIm222121zzzz2121zzzz2121zzzz容易驗證1）2）3）復(fù)數(shù)的乘冪復(fù)數(shù)的乘冪n個相同復(fù)數(shù)z的乘積稱為z的n次冪nz)sin(cosninrzzzznn復(fù)數(shù)的方根復(fù)數(shù)的方根設(shè)irez 為已知復(fù)數(shù)，n為正整數(shù)，則稱滿足方程zwn的所有w值為z的n次方根，并且記為nz

6、w 設(shè),iew 則iinnreerniinee,nr,2kn, 2, 1, 0k即,nr,2nk, 2, 1, 0k)2sin2(cos12nkinkrerwnnkin當(dāng)k0，1，2，n1時，得到n個相異的根：)sin(cos10ninrwn)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn)4sin4(cos12ninrwn例：例：38)sin(cos283i)32sin32(cos283kik2 , 1 , 0k即2103123183kkkii復(fù)平面點集與區(qū)域（1）鄰域),(00zzzzU（2）去心鄰域0 ),(000zzzzzU（3）內(nèi)點點z是點

7、集E的內(nèi)點存在z的某個 鄰域含于E內(nèi)，即EzU),(0（4）外點點z是點集E的外點存在z的某個 鄰域不含E內(nèi)的點EzU),(0（5）邊界點點z 既非 E 的內(nèi)點，又非 E 的外點邊界點的任一鄰域無論多小，都既含有E的內(nèi)點，又同時含有E的外點。（6）開集點集E中的點全是內(nèi)點（7）閉集開集的余集空集和整個復(fù)平面既是開集，又是閉集。（8）連通集E中任意兩點可以用一條全在E中的折線連接起來。（9）區(qū)域非空的連通開集（10）有界區(qū)域如果存在正數(shù)M，使得對于一切E中的點z，有Mz （11）簡單曲線、光滑曲線簡單曲線、光滑曲線ttiytxtzzz),()()(點集稱為z平面上的一條有向曲線。)(tzz )(

8、zA )(zB 則稱 E為有界區(qū)域。簡單曲線：簡單曲線：)()(,2121tztztt簡單閉曲線：簡單閉曲線：光滑曲線：光滑曲線：存在、連續(xù)且不全為零)(),(tytx（12）單連通區(qū)域設(shè)D為復(fù)平面上的區(qū)域，若在D內(nèi)的任意簡單閉曲線的內(nèi)部仍屬于D，則稱D為單連通區(qū)域單連通區(qū)域，否則稱多連通區(qū)域。沒有交叉點。（方向）平面圖形的復(fù)數(shù)表示 求平面圖形的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）；也可以由給定的復(fù)數(shù)形式的方程（或不等式）來確定所表示的平面圖形。例：Z平面上以原點為中心、R為半徑的圓周方程為Rz Z平面上以 為中心、R為半徑的圓周方程為Rzz00z（1）連接z1 和z2兩點的線段的參數(shù)方程為) 10(

9、),(121tzztzz（2）過兩點 z1 和z2的直線L的參數(shù)方程為)( ),(121tzztzz（3）z1、z2，z3 三點共線得充要條件為)(t ,1213為一非零實數(shù)tzzzz例： 考察下列方程（或不等式）在平面上所描繪的幾何圖形。（1）22ziz該方程表示到點2i和2距離相等的點的軌跡，所以方程表示的曲線就是連接點2i 和2的線段的垂直平分線，它的方程為y = x。（2）4)Im( zi設(shè) z = x+ iy,4)1 (Im()Im(yixzi3y（3）4)arg(iz)arg(iz 表示實軸方向與由點i 到 z 的向量之間交角的主值，因此滿足方程的點的全體是自 i 點出發(fā)且與實軸正

10、向夾角為45度的一條半射線。（不包括 i點）（4）1Re2zixyyxiyxz2)()(22221Re222yxz例： 指出不等式4arg0iziz中點z的軌跡所在范圍。解：222222) 1(2) 1(1yxxiyxyxiziz因為,4arg0iziz所以0) 1(2) 1(1222222yxxyxyx于是有xyxyxx21010222222) 1(102222yxyxx它表示在圓2) 1(22yx外且屬于左半平面的所有點的集合i復(fù)復(fù) 變變 函函 數(shù)數(shù) 設(shè) D 是復(fù)平面內(nèi)的一個集合，對于 D 中的每一個z，按照一定的規(guī)律，在另一個復(fù)平面有一個或多個復(fù)數(shù)w的值與之對應(yīng)，則稱w為定義在 D 上的

11、復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)，記做D)(z )(zfw單值函數(shù)單值函數(shù) f(z):對于D中的每個z，有且僅有一個w與之對應(yīng)。多值函數(shù)多值函數(shù) f(z):對于D中的每個z，有兩個或兩個以上 w 與之對應(yīng)。我們主要考慮單值函數(shù)注：定義集合D所在的復(fù)平面稱作z平面，函數(shù)值集合 所在的復(fù)平面稱作w平面f D映射映射f(z)是單射單射（或一對一映射）對于任意,21zz ).()(21zfzff(z)是滿射滿射GDf)(f(z)是雙射雙射f(z) 既是單射，又是滿射。單射，又是滿射。G)(D )(zfw象 、原象wzG)D ()(zfwiyxz),(),(yxivyxuivuw22iyxzwi222xyyx例：xyy

12、xvyxyxu2),(,),(22一個復(fù)變函數(shù)等價于兩個二元實函數(shù)0rz 2zw 20rw zarg0r2argw20r平面z平面w復(fù)變函數(shù)的幾何意義2zw ayx22bxy 2au bv 2zw 復(fù)變函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限函數(shù)的極限定義：設(shè)函數(shù)w = f (z)定義在z0的去心鄰域,00rzz如果有一確定的數(shù)A存在，對于任意給定的, 0相應(yīng)地必有一正數(shù),使得當(dāng) 時有00zz Azf)(那么稱A為f (z) 當(dāng)z 趨向z0時的極限，記作Azfzz)(lim0)(zfw 幾何意義：當(dāng)變點z一旦進入z0的充分小的去心鄰域時，它的象點 f(z)就落入A的預(yù)先給定的小鄰域內(nèi)。注意注意：z趨于z0的

13、方式是任意的平面z平面w定理一ibaAzfzz)(lim0ayxuyyxx),(lim00byxvyyxx),(lim00定理二)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz)(lim)(lim)()(lim000zgzfzgzfzzzzzz關(guān)于極限的計算，有下面的定理。例證明函數(shù)zzzfRe)(當(dāng)z趨于0時的極限不存在。解法一令z=x+iy, 則22Re)(yxxzzzf0),(,),(22yxvyxxyxu2220011)(lim),(limkkxxxyxukxyxkxyx所以極限不存在。解法2利用復(fù)數(shù)的三角表示式coscosRe)(rrzzzf當(dāng)z沿著不同的射線zarg趨于零時，f(z) 趨于不同的值。如0argz2argz1)(zf0)(zf極限不存在。函數(shù)的連續(xù)函數(shù)的連續(xù)),()(lim00zfzfzz如果那么f(z)在z0處連續(xù)。如果 f(z)在D內(nèi)各點都連續(xù)，那么 f(z) 在 D 內(nèi)連續(xù)。定理： f(z)在z0處連續(xù)的充分必要條