固定收益證券分析第三章

1、第三章 債券價格的利率敏感性3.1 什么是債券價格的利率敏感性假設(shè)市場上只存在一個利率水平y(tǒng)。債券價格的變化就是市場利率變化的一元函數(shù)22211( )().().2! nnndBd Bd BB yyyydydyn dy 222( )111().().2! nnnB ydBd Bd ByyyBB dyB dynB dy第三章 債券價格的利率敏感性3.2久期 久期最早由美國經(jīng)濟(jì)學(xué)家麥考利（Frederick Macauley,1938）于1938年提出，被稱為麥考利久期或傳統(tǒng)久期。3.2.1久期對債券現(xiàn)金流發(fā)生時間的度量麥考利久期1938年，麥考利將債券各期現(xiàn)金流的現(xiàn)值與債券現(xiàn)金流總現(xiàn)值（也就是債

2、券的當(dāng)前價格或者市場價值）的比重作為權(quán)重，通過該權(quán)重對收回現(xiàn)金流的時間進(jìn)行加權(quán)平均，所計算的結(jié)果作為人們投資債券收回現(xiàn)金流所需要的平均時間，并將這個“平均時間”定義為債券的久期（duration，用D代表）。TtttByctD1)1 (第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-1】當(dāng)前利率是5%。某國債的信息是“3y-5%100”。試計算其久期這里的2.859后面的單位是時間（年），表示理論上投資這一債券2.859年后收回債券本息。由于計算結(jié)果的單位是半年，所以要轉(zhuǎn)化成年單位?！鞍肽昃闷凇背?就轉(zhuǎn)換成年久期：DS/2=D。859. 2100%)51 (1053100%)51 ( 52100%)5

3、1 ( 51321DTtttSByctD1)2/1 (第三章 債券價格的利率敏感性【案例3-1】2013年2月28日，張三想計算05國債（1）的久期，以便估算該債券價格利率敏感性的大小。他查閱該債券的情況是“2y-4.44%2.31%（s.a.）”。第一步：根據(jù)到期收益率可以計算當(dāng)前時刻債券的理論價格（也可以直接用市場價格，此時，該步驟可以省去。）第二步：依據(jù)公式3-4計算債券的半年久期第三步：將半年久期轉(zhuǎn)化成年久期。3.874/2=1.937，即該債券的久期為1.937。零息債券在到期日之前沒有部分現(xiàn)金流的提前歸還，所以其麥考利久期就等于它的剩余期限。2342.222.222.22102.2

4、2104.13982.31%2.31%2.31%2.31%(1)(1)(1)(1)2222tB 12342.22*(12.31%/ 2)2.22*(12.31%/ 2)1*2*104.1398104.13982.22*(12.31%/ 2)102.22*(12.31%/ 2) 3*4*3.874104.1398104.1398D第三章 債券價格的利率敏感性3.2.2 久期對利率敏感度的度量修正久期然后對利率求導(dǎo)，得出兩邊除以B，得到tTttycB11 tTttttTtytcyyctdydB111)1 (11)1 ()(DyByctyBdydBnttt11)1 (1111dydBByD1)1 (

5、)1 (1yydBdBdydBByD第三章 債券價格的利率敏感性修正久期（modified duration，用Dm表示）的公式。修正久期是一定利率變化情況下債券價格的變化率。改寫上式，債券價格的變動率是修正久期與利率變動量的乘積。比如某債券的修正久期是2.7，表明當(dāng)利率下降（上漲）1%時，債券價格將上漲（下降）2.7%。dydBBDm1dyDBdBm第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-2】某債券價格為108.1757元，修正久期是7.92，如果利率上漲10個基點，債券的價格變動如何？該債券價格的變動率是-7.920.001=-0.792%，轉(zhuǎn)換成絕對變動額的形式，就是下降0.792%108

6、.1757=0.857（元）。【案例3-2】延續(xù)前面【案例3-1】的例子，2013年2月28日計算的05國債（1）的久期為3.874，當(dāng)前的年化到期收益率為2.31%，半年期的到期收益率為2.31%/2=1.155%，故其修正久期Dm=3.874/(1+1.155%)=3.83。其年化的修正久期為3.83/2=1.915。如果年化到期收益率上漲10個基點，該債券價格將下降約1.915*0.001=0.1915%，即下降0.1915%*104.1398=0.1994元。第三章 債券價格的利率敏感性3.2.3 影響久期的因素從計算公式看出，債券久期由票面利率、剩余期限和到期收益率決定。下面我們就具

7、體分析這三個因素對久期的影響。3.2.3.1 債券票息率對久期的影響票息率與久期是反向關(guān)系高票息債券的久期小，低票息債券的久期大。先在兩邊取對數(shù)，然后對利率y求導(dǎo)數(shù)，得到)1 ()1 (1)/(1TTTTyyBcyBByyBcyBcyTyDTTT 1)1)(/()1 ()/(11第三章 債券價格的利率敏感性如果其他因素保持不變，當(dāng)票息率（c/BT）增大時，債券久期變小，當(dāng)票息率（c/BT）變小時，債券久期變大。圖3-1 久期與票面利率第三章 債券價格的利率敏感性3.2.3.2 債券剩余時間對久期的影響 對于溢價債券來說，債券剩余時間越長，久期越大，剩余時間越短，久期越小。圖3-2 久期與債券剩

8、余期限第三章 債券價格的利率敏感性3.2.3.3 債券到期收益率對久期的影響到期收益率反向影響久期，即到期收益率越大，久期越小，到期收益率越小，久期越大。該反向影響的關(guān)系也可以通過久期公式對到期收益率的求導(dǎo)來展現(xiàn)，圖3-3 久期與到期收益率第三章 債券價格的利率敏感性3.2.4 其他的久期種類3.2.4.1 債券組合的久期【例子3-3】某投資者擁有下面的投資組合，見表3-1。該債券組合的到期收益率為5%，計算組合的久期與修正久期。1,)()(,11njjjjnjjjpXyPyBXDXD簡稱交易方向久期市值占比02國債(3)做多2.372340%05國債(1)做多4.719525% 05國債(1

9、2)做多8.844035%表3-1 三只國債組成的投資組合（組合到期收益率5%）第三章 債券價格的利率敏感性該組合的久期與修正久期分別是債券市場可以做空債券，即先賣出不持有的債券，然后買進(jìn)。這樣以來，空頭債券的久期的符號要與多頭債券的久期的符號相反。組合權(quán)重相加的結(jié)果也不一定等于100%。22. 58440. 8%357195. 4%253723. 2%401njjjpDXD97. 4%5122. 51pppmyDD第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-4】 其他條件與前例一樣，只是把其中的一只債券改為做空的債券（即“空頭”），就產(chǎn)生了下面的債券組合，見表3-2。該組合的久期和修正久期分別為簡

10、稱交易方向久期市值占比02國債(3)做多2.372340%05國債(1)做空4.719525% 05國債(12)做多8.844035%表3-2 三只國債組成的可以做空的投資組合（組合到期收益率5%）86. 28440. 8%357195. 4%253723. 2%401njjjpDXD72. 2%5186. 21pppmyDD第三章 債券價格的利率敏感性3.2.4.2 近似久期（或有效久期）方法是：第一，記錄當(dāng)前債券的價格（B0）與收益率。第二，讓收益率下降一個比較小的幅度，得到稍高的債券價格Bup，再讓收益率上漲一個同樣的幅度，得到一個較低的債券價格Bdown。收益率y下降與上升的幅度用y表

11、示。第三，按照下式計算久期。把上面的式子換個寫法，有助于我們對該式的理解上式是個分?jǐn)?shù)。分子中方括號里的內(nèi)容代表“價格變化率”，它除以2代表“價格對平均值的偏離”。所以，公式的意思是：當(dāng)收益率發(fā)生變動時，債券價格發(fā)生變動的程度。這顯然符合修正久期的定義。02ByBBDdownupAyBBBDdownupA2/ )(0第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-5】 某債券當(dāng)前價格為100元，當(dāng)收益率下降0.1%時，債券價格為100.24元，當(dāng)收益率上漲0.1%時，債券價格為99.78元，求債券的近似久期?！景咐?-3：近似久期的“精確度”有多高？】2013年7月1日，張三想計算一下案例3-1中的“05

12、國債（1）”的近似久期，并且與該債券當(dāng)天的久期對比一下，看看誤差有多少。當(dāng)天，該債券的到期收益率為2.9033%，價格為103.9784，久期是1.502。當(dāng)天距上一個付息日的天數(shù)d為123天，所在計息區(qū)間包含的天數(shù)為181天。假設(shè)該債券在當(dāng)日的到期收益率分別上下浮動0.01%。我們可以計算得到：3 . 2100001. 0278.9924.100AD第三章 債券價格的利率敏感性根據(jù)公式得到近似久期為：12312312181181123123341811812.222.22(1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2)2.22102.22 (1 (2.90

13、33% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2) 103.9948upB12312312181181123123341811812.222.22(1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2)2.22102.22 (1 (2.9033% 0.01%)/2)(1 (2.9033% 0.01%)/2) 103.962downB103.9947728 103.96203591.5742*0.01%*103.9784026AD第三章 債券價格的利率敏感性3.2.4.3 金額久期金額久期（或美元久期）是給定收益率變動量條件下債券價格變動的絕對額。把

14、債券價格變動率的式子（3-10）兩邊同乘以債券價格，就可得到債券價格變動的絕對量上式等號右邊的前兩項就是金額久期，它的公式是yBDdBmBDDmdyDdBd第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-6】當(dāng)前利率是5%。某國債的信息是“3y-5%100”，久期為2.859。試計算其金額久期，并計算當(dāng)收益率上升0.3%時債券價格的絕對損失額。由于其修正久期為2.859/（1+5%）=2.72，所以金額久期是當(dāng)收益率上漲0.3%時，（市值為100的）債券價格的損失額是27210072. 2dD816. 0003. 0272dB第三章 債券價格的利率敏感性3.3 基點值基點值同久期一樣，在市場上也被普遍用

15、作測量債券利率敏感度的工具。一個基點是0.01%，當(dāng)一個百元面值（也可以是百萬面值的債券組合）的債券在收益率上漲或下降一個基點時，債券價格的絕對變動額就是該債券的基點值。用來表示基點值的符號有DV01（the dollar value of an “01”），PVBP（present value of a basis point），BPV（BPV：basis point value）等等，它們說的是都是某個債券基點值的意思?；c值越大，表示債券價格針對利率的敏感度越高。它的計算公式是或者上式表明，“基點值”其實就是金額久期乘以1個基點后的數(shù)值?！纠?-7】當(dāng)前利率是5%。某國債的信息是“3y

16、-5%100”，修正久期為2.72。試計算其基點值。0001. 0BDPVBPm0001. 0dDPVBP0272. 00001. 010072. 2PVBP第三章 債券價格的利率敏感性3.4 凸性 222( )111().().2! nnnB ydBd Bd ByyyBB dyB dynB dy222)(21)(ydyBdyDByBmdyDBdBm圖3-4 到期收益率等量變化對債券價格的影響示意圖第三章 債券價格的利率敏感性3.4.1 凸性的概念與計算凸性（convexity，用Con表示）即債券價格曲線的曲率，反映了該曲線的彎曲程度，是債券價格對收益率變動的二階敏感性指標(biāo)，即式（3-24）

17、等號右邊的第二項（把1/2去掉）。價格曲線彎曲的程度越大，凸性就越大。凸性的公式是凸性是債券價格對收益率的二階導(dǎo)數(shù)再除以債券價格。普通債券的凸性是正數(shù)。ttTtycttyBdyBdBdydBdydBCon)1 ()1 ()1 (1111222第三章 債券價格的利率敏感性【例子3-8】某國債的信息是“10-6%6.5%”。請計算這個債券的凸性。計算過程見下表。tctct(1+y)-tt(1+t) ct(1+y)-t165.6311.27265.2931.74364.9759.61464.6693.28564.38131.38664.11172.7763.86216.22863.63261.039

18、63.40306.3710656.476211.59加總96.417495.18表3-3 計算凸性的中間步驟根據(jù)上表計算的結(jié)果，代入凸性計算公式以后，得到凸性的單位是時間的平方，一般情況下為年的平方。如果債券1年付息次數(shù)不是1次，則凸性的結(jié)算結(jié)果要除以付息頻率的平方。如債券1年付息2次，此時m=2，則凸性的結(jié)算結(jié)果要除以4。由于存在凸性，當(dāng)收益率變動時，債券價格的變動幅度受到影響。這個由凸性帶來的影響被稱為凸性調(diào)整。凸性調(diào)整（Acon）由下式給出54.6818.7495%)5 . 61 (41.961)1 ()1 ()1 (1212ttTtycttyBCon221yConAcon第三章 債券價

19、格的利率敏感性【例子3-9】某債券的信息是“2y-5%98”，凸性為34。如果利率上漲2%，債券價格將按照久期的預(yù)測下跌，但凸性的存在在一定程度上抵消了這個下跌的幅度。問在債券價格變化中，由凸性帶來的變化有多大？凸性帶來的債券價格變動是0.68%。%68. 00068. 002. 034212conA第三章 債券價格的利率敏感性近似凸性（或有效凸性，用ConA代表）的計算與近似久期類似之處，其公式是比如，某債券當(dāng)前價格為103.9784026，收益率上下波動一個基點的幅度時，兩個相應(yīng)的債券價格分別是103.9947728和103.9620359。該債券的近似凸性是2+-2()updowntAt

20、BBBConyB2103.9947728 103.96203592*103.97840263.366(0.01%) *103.9784026ACon金額凸性（美元凸性，用ConD代表）的計算方法與金額久期類似，它代表了收益率變化對債券價格造成的絕對影響，其公式是凸性乘以債券價格。例如，某債券的信息是“2y-5%98”，凸性為34。它的金額凸性就是9834=3332。ConBConD第三章 債券價格的利率敏感性考慮凸性的因素后，債券價格變動率可以近似寫成如下形式【案例3-4：05國債1的凸性計算】“05國債1”在2013年2月28日的情況是“2y-4.44%2.31%（s.a.）”，其價格是10

21、4.1398。根據(jù)式3-25，可計算該債券的凸性為考慮到該債券1年付息2次，將其轉(zhuǎn)化為年化的凸性，應(yīng)除以4（即付息頻率的平方m2），為4.6823。21()2mBDyConyB 223412.222.22*1*2*2*3*104.1398*(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)2.22102.22 +3*4*4*5* 18.7292(1 2.31%/2)(1 2.31%/2)Con第三章 債券價格的利率敏感性由此，我們可以對【案例3-2】中測算的債券價格的利率敏感性進(jìn)行修正。如果到期收益率上漲0.1%，原先的的預(yù)測債券價格變動-0.1915%。考慮凸性以后，債券價格

22、的下跌幅度要按照（3-29）式子計算。%1913. 0001. 06823. 421001. 0915. 1)(22yConyDBBm市場利率債券價格債券A債券B圖3-5 債券A相對于債券B的凸性大，A的價格也往往高于B第三章 債券價格的利率敏感性債券組合的凸性計算的方法與債券組合久期的計算方法相同。如果有n個債券構(gòu)成一個組合，Xj是第j個債券市值占組合市值的比重，Conj是第j個債券的凸性，債券組合的凸性Conp是組合內(nèi)各個債券凸性的加權(quán)平均數(shù)。1npjjjConX Con【例子3-10】某投資者擁有下面的投資組合，請計算組合的凸性該組合的凸性是簡稱交易方向凸性市值占比02國債(3)做多6.9240%05國債(1)做多26.1725% 05國債(12)做多93.7535%表3-4 三只國債組成的投資組合123.42%3575.93%2517.26%4092. 6pCon第三章 債券價格的利率敏感性3.5 圖形引起的誤導(dǎo)誤導(dǎo)產(chǎn)生的結(jié)論包括以下幾點。第一，在債券價格與收益率關(guān)系圖中（見下圖），債券價格曲線上各個點的斜率代表久期。第二，久期的大小可以用圖形中那條切線的陡峭程度代表，直線越陡峭，表示久期越大，直線越平緩，表示久期越小。第三，債券的凸性是由圖中債券價格曲線的曲率