探究四點共圓的條件

1、人教版數(shù)學(xué)九年級上冊探究四點共圓的條件活動目標知識技能1、了解過某個四邊形的四個頂點能作一個圓的條件。2、掌握對角互補的四邊形四個頂點共圓的證明方法。數(shù)學(xué)思考1、通過觀察、比較、分析不同的四邊形四個頂點能否共圓，發(fā)展學(xué)生合情推理能力和演繹推理能力。2、通過觀察圖形，提高學(xué)生的識圖能力。3、通過引導(dǎo)學(xué)生添加合理的輔助線，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)造力。解決問題在探究四邊形四個頂點能否共圓的活動中，學(xué)會運用由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想，并能利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想解決問題。情感態(tài)度在數(shù)學(xué)活動中發(fā)展學(xué)生使其主動參與師生、生生的父流活動，學(xué)會和人合作，學(xué)會傾聽，培養(yǎng)學(xué)生大膽實踐、勇于創(chuàng)新、團結(jié)互助的精神，使學(xué)生在活動中獲取成功

2、的體驗，建立學(xué)習(xí)的自信心。重點通過活動探究四點共圓的條件。難點對角互補的四邊形四個頂點共圓的證明方法?；顒舆^程設(shè)計問題與情境師生行為設(shè)計意圖一、創(chuàng)設(shè)情境：問題演示課件：1、向?qū)W生展示一組圓在生活中的圖片。2、一些學(xué)生正在做投圈游戲，他們呈“一”字型排開，這樣的隊形對每個人公平嗎？你認為他們應(yīng)當排成什么樣的隊形？怎樣排？教師演示課件：教師解釋:古代人最早是從太陽，從陰歷十五的月亮得到圓的概念的,那么是什么人作出第一個圓的呢？會作圓并且真正了解圓的性質(zhì)，卻是在2000多年前，是由我國的墨子給出圓的概念的：“一中同長也”。意思是說，圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等。這個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得給圓

3、下定義要早100年。從生活中的實際問題入手，使學(xué)生認識到數(shù)學(xué)總是與現(xiàn)實問題密不可分，人們的需要產(chǎn)生了數(shù)學(xué)。將實際問題數(shù)學(xué)化，讓學(xué)生從一些簡單的實例中，不斷體會從現(xiàn)實世界中尋找數(shù)學(xué)模型、建立數(shù)學(xué)關(guān)系的方法。引導(dǎo)學(xué)生對圖形的觀察，發(fā)現(xiàn)，激發(fā)學(xué)生的好奇心和求知欲，并在運用數(shù)學(xué)問題與情境師生行為設(shè)計意圖對于問題2,教師引導(dǎo)學(xué)生將實際問題轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)問題，既到中間物體的距離相等的點應(yīng)該滿足什么條件？如何去找到這幾位同學(xué)的位置？知識解答問題的活動中獲取成功的體驗，建立學(xué)習(xí)的自信心。二、分析交流：問題1、過一個點能作圓嗎？能作幾個圓，圓心和半徑能確定嗎？2、過兩個點能作圓嗎？能作幾個圓，圓心和半徑能確定嗎？3

4、、過三個點能作圓嗎？能作幾個圓，圓心和半徑能確定嗎？過四個點呢？教師提出問題，引導(dǎo)學(xué)生利用作圖工具作出圖形。由學(xué)生經(jīng)過觀察，分析，總結(jié)歸納出簡單的點與圓的關(guān)系，并了解點共圓所必須滿足的基本條件。教師可利用課件進行演示，讓學(xué)生能直觀的對所作圖形進行觀察，以驗證自己所得到的結(jié)論是否正確。此環(huán)節(jié)的設(shè)計是為探究四點共圓的條件作好鋪墊工作。由簡單到復(fù)雜，讓學(xué)生在親自動手操作的過程中進行實驗、探究，得到問題的答案。激發(fā)學(xué)生的求知欲望，調(diào)動學(xué)生的積極性。三、合作探究：【活動1】1、過三點作圓可以看成是過三角形的頂點作圓，那過四點作圓同樣可以看作是過四邊形的頂點作圓，那同學(xué)們會作嗎？2、這里有一些四邊形，同學(xué)

5、們嘗試著作一下，看能否過它們的四個頂點作一個圓？3、作圓的方法有幾種？怎樣去判斷這四點共圓？教師提出問題，讓學(xué)生先進行思考，然后動手操作，在活動中探尋問題的答案。在學(xué)生動手畫四邊形的外接圓的過程中，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)有的四邊形的四個頂點能共圓，有的卻不行，那這些四邊形有什么不同呢？引導(dǎo)學(xué)生從四邊形的邊和角的方面去猜測，探究。在學(xué)生猜到對角互補的四邊形的四個頂點能共圓后，還需要引導(dǎo)學(xué)生進行證明。在證明這個推測時，要讓活動1、2的設(shè)計是讓學(xué)生學(xué)會利用載體去對問題進行研究。從單一的點過渡到形，讓學(xué)生由無法下手到主動探究，一步一步地向探究的目標靠近。在學(xué)生動手活動的過程中，通過交流和溝通，讓學(xué)生明確一個問題的

6、解決方案，在推測之后要進驗證，通過證明，讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)的嚴謹性，感受到數(shù)學(xué)結(jié)論的確定性和證明的必要性，問題與情境師生行為設(shè)計意圖4、按要求畫出圖形后，為學(xué)生先進行討論,思考最好的證培養(yǎng)學(xué)生和情推理能力。什么有的四邊形的四個頂點能共圓，有的卻不行,那這些四邊形有哪些不同呢？它們的邊長有關(guān)系嗎？它們的內(nèi)角有如何呢？5、剛才我們是先畫的四邊形，再作的圓，得到了這樣一個猜想。還有沒有另外的方法也能做到呢？【活動2】1、通過活動，同學(xué)們推測出了四邊形的四個頂點共圓的條件，可我們只畫了幾個圖形，要想運用這個推斷，還需要證明，那如何證明呢？2、不在同一條直線上的三點是能共圓的，如果四點不能共圓，但其中的三點

7、是可以保證共圓的，余下的點與過三點的圓是什么位置關(guān)系呢？3、圓周角定理有哪些內(nèi)容？4、怎樣利用圓中的性質(zhì)定理來解決問題呢？明方法。然后引導(dǎo)學(xué)生利用反證法進行證明。在證明的過程中要讓學(xué)生考慮到所有的圖形情況。證明過程：在四邊形ABCD中，若ZB+ZADC=180°，那么A、B、C、D四點共圓嗎？為什么？解：如圖1：假設(shè)A、B、C、D四點不共圓，過A、B、C三點作圓，D點在圓內(nèi)。延長AD與圓交于點E,連接CE則：ZB+ZE=180°ZZADC>ZEAZB+ZADC>180°這與已知條件ZB+ZADC=180°矛盾，故假設(shè)不成立，原結(jié)論正確，A、B

8、、C、D四點共圓。如圖2,假設(shè)A、B、C、D四點不共圓，D點在圓外。證明方法與證明圖1時同理。DC附圖:四、歸納反思：問題1、通過這節(jié)課的活動，你有哪些收獲？2、你還能借助第三種載體探究四點共圓的條件嗎？五、課外探究：問題1、過四個點還可以作出這樣的圖形，同學(xué)們觀察一下，它們有什么特征？2、先觀察具有公共斜邊的兩個直角三角形，這四個點共圓嗎？為什么？3、再觀察一般的圖形，探究過這兩個三角形頂點的四點共圓的條件？4、仿照活動1、2中的方法和步驟，對推測出來的條件應(yīng)該如何證明？教師帶領(lǐng)學(xué)生從知識、方法、數(shù)學(xué)思想等方面小結(jié)本節(jié)課所做活動，并關(guān)注不同層次的學(xué)生對所學(xué)內(nèi)容的理解和掌握。教師布置新的問題繼續(xù)激發(fā)學(xué)生的探究熱情。教師在學(xué)生完成一次探究后，提出新的問題：我們通過四邊形這種載體研究了四點共圓的條件。但這并不是探究四點共圓條件唯一的方法，我們還能找到另外的載體進行探究。讓學(xué)生明確解決問題方法的多樣性,在解決一個問題的時候應(yīng)該思維活躍,學(xué)會借助舊的知識點去尋找新的知識點。由于有了活動1、2作為基礎(chǔ)，學(xué)生在進行此探究時，教師只做引導(dǎo)，更多的讓學(xué)生去操作，去判斷，去證明。通過小節(jié)使學(xué)生總結(jié)本節(jié)課所學(xué)到的知識、技能、方法。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方