含參變量積分連續(xù)性ppt課件

1、 )().(, bxadyyxfx 一、含參變量積分的延續(xù)性一、含參變量積分的延續(xù)性是變量是變量 在在 上的一個(gè)一元延續(xù)函數(shù)上的一個(gè)一元延續(xù)函數(shù),設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 是在矩形是在矩形 ),(yxf),( bbxaR dyyxf),(, 上的延續(xù)函數(shù)上的延續(xù)函數(shù). 在在 上恣意確定上恣意確定 的一個(gè)值的一個(gè)值, 于是于是),(x x,bax),(yxfy從而積分從而積分xx,ba存在存在, 這個(gè)積分的值依賴(lài)于取這個(gè)積分的值依賴(lài)于取定的定的 值值. 當(dāng)當(dāng) 的值改動(dòng)時(shí)的值改動(dòng)時(shí),普通來(lái)說(shuō)這個(gè)積分的值也普通來(lái)說(shuō)這個(gè)積分的值也跟著改動(dòng)跟著改動(dòng). 這個(gè)積分確定一個(gè)定義在這個(gè)積分確定一個(gè)定義在上的上的 的函的函數(shù)

2、數(shù), 我們把它記作我們把它記作即即定理定理1 1 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在矩形在矩形 ),(yxf),( bbxaR )(),()(bxadyyxfx,ba上延續(xù)，那么由積分上延續(xù)，那么由積分確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上也延續(xù)上也延續(xù). . )(x 證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，那么上的兩點(diǎn)，那么xxx ,ba)1(.),(),()()( dyyxfyxxfxxx這里變量這里變量 在積分過(guò)程中是一個(gè)常量，通常稱(chēng)它為在積分過(guò)程中是一個(gè)常量，通常稱(chēng)它為參變量參變量.x由于由于 在閉區(qū)域在閉區(qū)域 上延續(xù)，從而一致延續(xù)上延續(xù)，從而一致延續(xù).),(yxfR因此對(duì)于恣意取定的因此對(duì)于恣意取定的 ,存在存在

3、 ,使得對(duì)于使得對(duì)于 內(nèi)內(nèi)的恣意兩點(diǎn)的恣意兩點(diǎn) 及及 ,只需它們之間的間隔只需它們之間的間隔小于小于 ,即即0 0 R),(11yx),(22yx ,)()(212212 yyxx就有就有.),(),(1122 yxfyxf由于點(diǎn)由于點(diǎn) 與與 的間隔等于的間隔等于 ,所以當(dāng)所以當(dāng)),(yxx ),(yxx 時(shí)時(shí),就有就有 x.),(),( yxfyxxf于是由于是由1式有式有).(),(),()()( dyyxfyxxfxxx所以所以 在在 上延續(xù)上延續(xù). 定理得證定理得證)(x ,ba注注 既然函數(shù)既然函數(shù) 在在 上延續(xù)上延續(xù),那么它在那么它在 上上的積分存在的積分存在,這個(gè)積分可以寫(xiě)為這個(gè)

4、積分可以寫(xiě)為)(x ,ba,ba.),(),()( bababadyyxfdxdxdyyxfdxx 右端積分式函數(shù)右端積分式函數(shù) 先對(duì)先對(duì) 后對(duì)后對(duì) 的二次積分的二次積分.),(yxfyx定理定理2 2 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR上延續(xù)上延續(xù), ,那么那么)2(.),(),(dydxyxfdxdyyxfbaba 公式公式2也可寫(xiě)成也可寫(xiě)成)2(.),(),( babadxyxfdydyyxfdx 我們?cè)趯?shí)踐中還會(huì)遇到對(duì)于參變量我們?cè)趯?shí)踐中還會(huì)遇到對(duì)于參變量 的不同的值，的不同的值，積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量積分限也不同的情形，這時(shí)積分限也是參變量

5、 的函的函數(shù)數(shù).這樣這樣,積分積分xx 3,dyyxfxxx 也是參變量也是參變量 的函數(shù)的函數(shù).下面我們思索這種更為廣泛地下面我們思索這種更為廣泛地依賴(lài)于參變量的積分的某些性質(zhì)依賴(lài)于參變量的積分的某些性質(zhì).x定理定理3 3 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 在矩形在矩形),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 上延續(xù)，又函數(shù)上延續(xù)，又函數(shù) 與與 在區(qū)間在區(qū)間 上延續(xù)，上延續(xù)，并且并且那么由積分那么由積分3 3確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上也延續(xù)上也延續(xù). .證證設(shè)設(shè) 和和 是是 上的兩點(diǎn)，那么上的兩點(diǎn)，那么,baxxx .),(),()()()()()()

6、(dyyxfdyyxxfxxxxxxxxx ,),(),(),(),()()()()()()()( xxxxxxxxxxxxdyyxxfdyyxxfdyyxxfdyyxxf )4(.),(),(),(),()()()()()()()()( xxxxxxxxdyyxfyxxfdyyxxfdyyxxfxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，時(shí)，上式右端最后一個(gè)積分的積分限不變，0 x根據(jù)證明定理根據(jù)證明定理1時(shí)同樣的理由，這個(gè)積分趨于零時(shí)同樣的理由，這個(gè)積分趨于零.又又. )()(),(, )()(),()()()()(xxxMdyyxxfxxxMdyyxxfxxxxxx 其中其中 是

7、是 在矩形在矩形 上的最大值上的最大值. 根據(jù)根據(jù) 與與 在在 上延續(xù)的假定，由以上兩式可見(jiàn)，上延續(xù)的假定，由以上兩式可見(jiàn)， 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，4式右端的前兩個(gè)積分都趨于式右端的前兩個(gè)積分都趨于零零. 于是，當(dāng)于是，當(dāng) 時(shí)，時(shí)，M),(yxfR)(x )(x ,ba0 x0 x),(0)()(bxaxxx ,ba)(x 所以函數(shù)所以函數(shù) 在在 上延續(xù)上延續(xù). 定理得證定理得證下面思索由積分下面思索由積分(*)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 的微分問(wèn)題的微分問(wèn)題.)(x xyxf ),(定理定理4 4 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x ,ba)5(.),()

8、,()( dyxyxfdyyxfdxdx矩形矩形 上延續(xù)上延續(xù), ,那么由積分那么由積分(1)(1)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上可微分上可微分, ,并且并且二、含參變量的函數(shù)的微分二、含參變量的函數(shù)的微分證證由于由于,)()(lim)(0 xxxxxx 為了求為了求 ，先利用公式，先利用公式(1)作出增量之比作出增量之比)(x .),(),()()(dyxyxfyxxfxxxx 由拉格朗日中值定理，以及由拉格朗日中值定理，以及 的一致延續(xù)性，我們有的一致延續(xù)性，我們有xf )6(),(),(),(),(),(xyxxyxfxyxxfxyxfyxxf 其中其中 ， 可小于恣意給定的正數(shù)可小于恣

9、意給定的正數(shù) ，只需，只需 10 x 小于某個(gè)正數(shù)小于某個(gè)正數(shù) . 因此因此),()(),( xdydyxyx這就是說(shuō)這就是說(shuō). 0),(lim0 dyxyxx綜上所述有綜上所述有,),(),()()( dyxyxdyxyxfxxxx令令 取上式的極限，即得公式取上式的極限，即得公式5.0 x定理定理5 5 假設(shè)函數(shù)假設(shè)函數(shù) 及其偏導(dǎo)數(shù)及其偏導(dǎo)數(shù) 都在都在),(yxf),( ybxaR)(x )(x ,ba,ba),()(,)(bxaxx )(x 那么由積分那么由積分(3)(3)確定的函數(shù)確定的函數(shù) 在在 上可微，并上可微，并且且xyxf ),(矩形上矩形上 延續(xù)，又函數(shù)延續(xù)，又函數(shù) 與與 在

10、區(qū)間在區(qū)間 上可微，并且上可微，并且)7().()(,)()(,),(),()()()()()(xxxfxxxfdyxyxfdyyxfdxdxxxxx 三、萊布尼茨公式三、萊布尼茨公式證證由由(4)式有式有)8(.),(1),(1),(),()()()()()()()()(dyyxxfxdyyxxfxdyxyxfyxxfxxxxxxxxxxxx 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，上式右端的第一個(gè)積分的積分限時(shí)，上式右端的第一個(gè)積分的積分限不變，那么不變，那么0 x.),(),(),()()()()(dyxyxfdyxyxfyxxfxxxx 對(duì)于對(duì)于(8)右端的第二項(xiàng)，運(yùn)用積分中值定理得右端的第二項(xiàng)，運(yùn)用積分中值定理得

11、),()()(1),(1)()( xxfxxxxdyyxxfxxxx 其中其中 在在 與與 之間之間. 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),)(x )(xx 0 x),(,),(),()()(1xxfxxfxxxxx 類(lèi)似地可證類(lèi)似地可證,當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí),0 x).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 因此，令因此，令 ，取，取(8)式的極限便得公式式的極限便得公式(7). 0 x公式公式(7)稱(chēng)為萊布尼茨公式稱(chēng)為萊布尼茨公式.于是于是).()(,),(1)()(xxxfdyyxxfxxxx 運(yùn)用萊布尼茨公式，得運(yùn)用萊布尼茨公式，得1sin2sincos)(2222 xxxxxxydyxxx例例1 1 2

12、,sin)(xxdyyxyx).(x 設(shè)設(shè)求求xxxxxxyxx23sinsin2sin2 .sin2sin323xxx 解解例例2 2 求求).0(ln10badxxxxIab 解解 ,lnlnxxxyxdyxabbaybay .10 baydyxdxI這里函數(shù)這里函數(shù) 在矩形在矩形yxyxf ),()0 , 10(byaxR 上延續(xù)，根據(jù)定理上延續(xù)，根據(jù)定理2，可交換積分次序，由此有，可交換積分次序，由此有 baydyxdyI10.11ln11 abdyybadyyxbay1011 例例3 3 計(jì)算定積計(jì)算定積分分.1)1ln(102 dxxxI 思索含參變量思索含參變量 的積分所確定的函

13、數(shù)的積分所確定的函數(shù) .1)1ln()(102 dxxx 顯然，顯然， 根據(jù)公式根據(jù)公式(5)得得.)1(, 0)0(I .)1)(1()(102 dxxxx 解解把被積函數(shù)分解為部分分式把被積函數(shù)分解為部分分式,得到得到.11111)1)(1(2222xxxxxxx 11111)(102102102 xdxxxdxxdx 于是于是,42ln21)1ln(112 上式在上式在 上對(duì)上對(duì) 積分積分,得到得到1 , 0 ,1412ln211)1ln()0()1(102102102 ddd即即.22ln422ln4422ln III從而從而. 2ln8 I1、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義、含參變量的積分所確定的函數(shù)的定義 ；四、小結(jié)四、小結(jié)2、含參變量的積分所確定的函數(shù)的延續(xù)性；、含參變量的積分所確定的函數(shù)的延續(xù)性；3、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；、含參變量的積分所確定的函數(shù)的微分；4、萊布尼茨公式及其運(yùn)用、萊布尼茨公式及其運(yùn)用.練習(xí)題練習(xí)題.)cos(lim2;1lim120201220 dyxyyyxdyxxxx限限：積積分分所所確確定定的的函函數(shù)數(shù)的的極極一一、求求下下列列含含參參變變量量的的.)(2;)1ln()(