橢圓簡單幾何性質(zhì)

1、橢圓的簡單幾何性質(zhì)橢圓的簡單幾何性質(zhì)212. .,.小小、對對稱稱性性和和位位置置等等包包括括橢橢圓圓的的形形狀狀、大大程程研研究究它它的的幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)方方下下面面再再利利用用橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程立立了了建建出出發(fā)發(fā)幾幾何何特特征征上上面面從從橢橢圓圓的的定定義義 .來來研研究究橢橢圓圓的的幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)我我們們用用橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程1012222babyax.,.,幾幾何何性性質(zhì)質(zhì)其其特特性性等等來來研研究究它它們們的的及及點點、頂頂、對對稱稱性性分分范范圍圍章章對對幾幾種種圓圓錐錐曲曲線線都都是是本本所所以以形形狀狀、大大小小和和位位置置以以從從

2、整整體體上上把把握握曲曲線線的的可可稱稱性性及及特特殊殊點點的的討討論論通通過過對對曲曲線線的的范范圍圍、對對 yOx ?,比比較較特特殊殊點點些些哪哪上上橢橢圓圓它它具具有有怎怎樣樣的的對對稱稱性性圍圍嗎嗎你你能能從從圖圖上上看看出出它它的的范范的的形形狀狀觀觀察察橢橢圓圓觀觀察察012222 babyax范圍范圍1yOx1A2A1B2B2F1Fcba712 .圖圖 .,.,.究它的范圍究它的范圍研研代數(shù)方法代數(shù)方法我們利用方程我們利用方程面面下下縱坐標(biāo)的范圍是縱坐標(biāo)的范圍是點的橫坐標(biāo)的范圍是點的橫坐標(biāo)的范圍是容易看出橢圓上容易看出橢圓上觀察圖觀察圖bybaxa 712 .,axaaxaxb

3、y 即即都適合不等式都適合不等式橢圓上點的橫坐標(biāo)橢圓上點的橫坐標(biāo)所以所以可知可知由方程由方程1011222222即即同理有同理有, 122 by.byb 所所和和這這說說明明橢橢圓圓位位于于直直線線byax .712 圖圖圍成的矩形框里圍成的矩形框里對稱性對稱性2.,中心對稱圖形中心對稱圖形又是又是稱圖形稱圖形可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對可以發(fā)現(xiàn)橢圓既是軸對觀察橢圓的形狀觀察橢圓的形狀 ;,軸對稱軸對稱所以橢圓關(guān)于所以橢圓關(guān)于也在橢圓上也在橢圓上點點軸的對稱軸的對稱它關(guān)于它關(guān)于在橢圓上時在橢圓上時這說明當(dāng)點這說明當(dāng)點變變方程并不改方程并不改代代中以中以在橢圓在橢圓xyxPxyxPyybabyax 12

4、22201;,軸對稱軸對稱所以橢圓關(guān)于所以橢圓關(guān)于方程也不改變方程也不改變代代以以yxx ,同理同理.,中中心心對對稱稱所所以以橢橢圓圓關(guān)關(guān)于于原原點點方方程程也也不不變變代代以以代代以以yyxx 叫叫做做心心中中圓圓的的對對稱稱橢橢中中心心稱稱對對橢橢圓圓的的點點是是原原軸軸稱稱坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸是是橢橢圓圓的的對對這這時時軸軸對對稱稱軸軸、橢橢圓圓關(guān)關(guān)于于綜綜上上,yx.橢橢圓圓的的中中心心頂點頂點3.,.,標(biāo)標(biāo)軸的交點坐軸的交點坐軸、軸、常需要求出曲線與常需要求出曲線與常常的位置的位置要確定曲線在坐標(biāo)系中要確定曲線在坐標(biāo)系中線的位置線的位置可以確定曲可以確定曲的位置的位置研究曲線上某些特殊點研

5、究曲線上某些特殊點yx ?交交點點坐坐標(biāo)標(biāo)嗎嗎軸軸的的軸軸、得得出出橢橢圓圓與與程程你你能能由由橢橢圓圓的的方方探探究究yxbabyax012222 yOx1A2A2B1B812 .圖圖yOx1A2A2B1B812 .圖圖 .,.,8120000002121 圖圖軸軸的的兩兩個個交交點點圓圓與與是是橢橢這這說說明明得得令令同同理理交交點點軸軸的的兩兩個個是是橢橢圓圓與與這這說說明明得得令令在在橢橢圓圓的的標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)方方程程里里xaAaAaxyybBbBbyx這這四四個個交交點點叫叫做做橢橢圓圓的的稱稱軸軸有有四四個個交交點點所所以以橢橢圓圓與與它它的的對對軸軸是是橢橢圓圓的的對對稱稱軸軸軸軸、因

6、因為為,yx頂頂點點,分分別別叫叫做做線線段段2121BBAA橢橢圓圓的的長長軸軸和和短短軸軸他他們們.,長長和和短短半半軸軸長長分分別別叫叫做做橢橢圓圓的的長長半半軸軸和和和和的的長長分分別別等等于于baba22離心率離心率4 ?,.畫畫橢橢圓圓的的扁扁平平程程度度呢呢用用什什么么量量可可以以刻刻那那么么橢橢圓圓的的扁扁平平程程度度不不一一我我們們發(fā)發(fā)現(xiàn)現(xiàn)圖圖觀觀察察不不同同的的橢橢圓圓思思考考912 912 .圖圖ca = 0.66c = 1.20a = 1.81ca = 0.83a = 1.81c = 1.50 xyO1022 .圖圖 .,.,.,.以刻畫橢圓的扁平程度以刻畫橢圓的扁平程

7、度可可這兩個量這兩個量和和利用利用這樣這樣橢圓越扁平橢圓越扁平越接近越接近發(fā)現(xiàn)發(fā)現(xiàn)可以可以改變橢圓的半焦距改變橢圓的半焦距變變不不保持長半軸長保持長半軸長半焦距為半焦距為的長半軸的長為的長半軸的長為橢圓橢圓如圖如圖acaccacababyax0110122222 .,的的關(guān)關(guān)系系與與觀觀察察橢橢圓圓的的扁扁平平程程度度操操作作打打開開的的幾幾何何畫畫板板ac.,aceeac 即即表示表示用用稱為橢圓的離心率稱為橢圓的離心率軸長的比軸長的比我們把橢圓的焦距與長我們把橢圓的焦距與長.,;,.,近近于于圓圓這這時時橢橢圓圓就就越越接接越越接接近近于于從從而而于于越越接接近近越越接接近近于于反反之之此

8、此橢橢圓圓越越扁扁因因越越小小從從面面越越接接近近于于則則越越接接近近于于所所以以因因為為abcecabaceeca00110022 .,2220ayxcba 它它的的方方程程為為圖圖形形變變?yōu)闉閳A圓合合這這時時兩兩個個焦焦點點重重時時當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng).,質(zhì)帶來方便質(zhì)帶來方便統(tǒng)一性等性統(tǒng)一性等性圓錐曲線的圓錐曲線的給今后研究給今后研究這樣規(guī)定會這樣規(guī)定會心的程度心的程度焦點離開中焦點離開中兩個兩個前提下前提下軸長不變的軸長不變的在橢圓的長在橢圓的長象地理解為象地理解為心率可以形心率可以形橢圓的離橢圓的離 ?,?,.?.橢圓越圓嗎橢圓越圓嗎越小越小橢圓越扁橢圓越扁越大越大為什么為什么識解釋識解釋

9、你能運用三角函數(shù)的知你能運用三角函數(shù)的知為什么為什么的扁平程度嗎的扁平程度嗎的大小能刻畫橢圓的大小能刻畫橢圓或或探究探究aceacebcab 21.和和頂頂點點的的坐坐標(biāo)標(biāo)軸軸的的長長、離離心心率率、焦焦點點的的長長軸軸和和短短求求橢橢圓圓例例4002516422 yx, 1452222 yx程把已知方程化成標(biāo)準(zhǔn)方解.,3454522 cba于是 .,4040050503035382102212121BBAAFFaceba和是四個頂點坐標(biāo)分別和別是兩個焦點坐標(biāo)分離心率和分別是橢圓的長軸和短軸的長因此 ., ,.| ,.| ,.,.,.)(,.所所在在的的橢橢圓圓方方程程求求截截口口已已知知集集

10、中中到到另另一一個個焦焦點點經(jīng)經(jīng)過過旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢圓圓面面反反射射后后發(fā)發(fā)出出的的光光線線一一個個焦焦點點由由橢橢圓圓上上片片門門位位于于另另一一個個焦焦點點上上一一個個焦焦點點燈燈絲絲位位于于橢橢圓圓是是橢橢圓圓的的一一部部分分稱稱軸軸的的截截口口過過對對的的一一部部分分的的曲曲面面其其對對稱稱軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)一一周周形形成成橢橢圓圓繞繞是是旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)橢橢圓圓面面電電影影放放映映燈燈泡泡的的反反射射鏡鏡一一種種如如圖圖例例BACcmFFcmBFFFBCFFFFBAC548211125211212121 xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反射鏡面xy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反

11、射鏡面1112 .圖圖.,示示橢橢圓圓鏡鏡面面工工作作原原理理演演操操作作打打開開的的幾幾何何畫畫板板.,.111122222 byax圓方程為設(shè)所求橢的直角坐標(biāo)系所示建立圖解.|,22221212215482 FFBFBFFBFRt中在所以由橢圓的性質(zhì)知,| ,aBFBF221 ;.) | (1454828221212221 BFBFa.43252142222 cabxy2F1FABCDEO透明窗透明窗反射鏡面反射鏡面1112 .圖圖.,143142222 yx所求的橢圓方程為所以 .,:,的的軌軌跡跡求求點點是是常常數(shù)數(shù)的的距距離離的的比比線線的的距距離離和和它它到到直直與與定定點點點點例例MxlFyxM54425046 的軌跡就是集合點根據(jù)題意的距離到直線是點設(shè)解Mx