數(shù)的整除知識(shí)點(diǎn)

1、數(shù)的整除知識(shí)點(diǎn)數(shù)的整除問題，內(nèi)容豐富，思維技巧性強(qiáng)。它是小學(xué)數(shù)學(xué)中的重要課 題，也是小學(xué)數(shù)學(xué)競(jìng)賽命題的內(nèi)容之一。數(shù)的整除1. 整除因數(shù)和倍數(shù)例如：15 + 3=5, 63+ 7=9一般地，如a、b、c為整數(shù)，b*0,且a + b=c,即整數(shù)a除以整除b ( b 不等于0) ， 除得的商c 正好是整數(shù)而沒有余數(shù)(或者說余數(shù)是0) ，我們就說，a能被b整除(或者說b能整除a)。記作b I a.如果整數(shù) a 能被整數(shù)b 整除， a 就叫做 b 的倍數(shù)，b 就叫做 a 的因數(shù)。例如：在上面算式中，15 是 3 的倍數(shù)，3 是 15 的因數(shù)；63 是 7 的倍數(shù)， 7 是 63 的因數(shù)。2. 數(shù)的整除性

2、質(zhì)性質(zhì) 1 ：如果 a、 b 都能被 c 整除，那么它們的和與差也能被c 整除。即：如果 c | a, c I b,那么 c I ( a ± b)。例如：如果 2 | 10, 2 | 6,那么 2 | (10+6), 并且 2 | (106)。性質(zhì)2：如果b與c的積能整除a,那么b與c都能整除a.即：如果 bc | a,那么 b | a, c | a。性質(zhì)3:如果b、c都能整除a,且b和c互質(zhì)，那么b與c的積能整 除 a。即：如果 b | a, c | a,且（b, c） =1,那么 bc | a。例如：如果 2 | 28, 7 | 28,且（2, 7） =1,那么（2X7） | 2

3、8。性質(zhì)4：如果c能整除b, b能整除a,那么c能整除a。即：如果c I b, b I a,那么c | a。例如：如果3 | 9, 9 | 27,那么3 | 27。. 數(shù)的整除特征能被 2 整除的數(shù)的特征：個(gè)位數(shù)字是0、 2、 4、 6、 8 的整數(shù).“特征”包含兩方面的意義：一方面，個(gè)位數(shù)字是偶數(shù)（包括0）的整數(shù)，必能被 2 整除； 另一方面，能被 2 整除的數(shù)，其個(gè)位數(shù)字只能是偶數(shù)（包括 0） . 下面“特征”含義相似。能被 5 整除的數(shù)的特征：個(gè)位是0 或 5。能被3（或9）整除的數(shù)的特征：各個(gè)數(shù)位數(shù)字之和能被3（或9）整除。能被4（或25）整除的數(shù)的特征：末兩位數(shù)能被4（或25）整除。

4、例如：1864=1800 64，因?yàn)?100 是 4 與 25 的倍數(shù)，所以1800 是 4與25的倍數(shù).又因?yàn)? | 64,所以1864能被4整除.但因?yàn)?564,所 以 1864 不能被 25 整除 .能被8（或125）整除的數(shù)的特征：末三位數(shù)能被8（或125）整除。例如：29375=29000+375,因?yàn)?000是8與125的倍數(shù)，所以29000 是8與125的倍數(shù).又因?yàn)?25 | 375,所以29375能被125整除.但因?yàn)?8375，所以829375。能被 11 整除的數(shù)的特征：這個(gè)整數(shù)的奇數(shù)位上的數(shù)字之和與偶數(shù)位上的數(shù)字之和的差（大減?。┦?1 的倍數(shù)。解：這個(gè)數(shù)奇數(shù)位上的數(shù)字

5、之和是9 7 5 3 1=25，偶數(shù)位上的數(shù)字之和是8 +6+4+2= 20.因?yàn)?5一再例如：判斷13574 是否是 11 的倍數(shù)？解： 這個(gè)數(shù)的奇數(shù)位上數(shù)字之和與偶數(shù)位上數(shù)字和的差是：（ 4 5 1）-（7+3） =0.因?yàn)?是任何整數(shù)的倍數(shù)，所以 11 | 0.因此13574是 11 的倍數(shù)。能被7（ 11 或 13）整除的數(shù)的特征：一個(gè)整數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差（以大減?。┠鼙?（ 11 或 13）整除。例如：判斷1059282 是否是 7 的倍數(shù)？解：把1059282分為1059和282兩個(gè)數(shù).因?yàn)?059-282 =777,又7 | 777,所以7 | 1059

6、282.因此1059282是7的倍數(shù)。再例如：判斷3546725 能否被 13 整除？解： 把 3546725分為3546和 725兩個(gè)數(shù) . 因?yàn)?3546-725=2821. 再把 2821分為2和821兩個(gè)數(shù)，因?yàn)?21 2 = 819,又13 | 819,所以13 | 2821, 進(jìn)而 13 | 3546725.質(zhì)數(shù)和合數(shù)1. 質(zhì)數(shù)與合數(shù)一個(gè)數(shù)除了1 和它本身，不再有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（也叫做素?cái)?shù)） 。一個(gè)數(shù)除了1 和它本身，還有別的因數(shù)，這個(gè)數(shù)叫做合數(shù)。要特別記?。? 不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù)。2. 質(zhì)因數(shù)與分解質(zhì)因數(shù)如果一個(gè)質(zhì)數(shù)是某個(gè)數(shù)的因數(shù)，那么就說這個(gè)質(zhì)數(shù)是這個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)。把

7、一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例：把 30 分解質(zhì)因數(shù)。解：30=2X3X5。其中2、 3、 5 叫做 30 的質(zhì)因數(shù)。又如12 = 2X2X3=22X3, 2、3者B叫做12的質(zhì)因數(shù)。例 1 三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積是210，求這三個(gè)數(shù).解：: 210=2X3X 5X7可知這三個(gè)數(shù)是5、6和7。例 2 兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和是40，求這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的最大值是多少？解：把 40 表示為兩個(gè)質(zhì)數(shù)的和，共有三種形式：40=17+23=11 29=3+37。.17X23=391 >11X29=3193X37=111。所求的最大值是391。答：這兩個(gè)質(zhì)數(shù)的最大乘積是391。因?yàn)樗擞?/p>

8、約數(shù)1 和它本身外，至少還有約數(shù)3，所以它是一個(gè)合數(shù)。例 4 連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有幾個(gè)質(zhì)數(shù)？為什么？解： 如果這連續(xù)的九個(gè)自然數(shù)在1 與 20 之間， 那么顯然其中最多有4個(gè)質(zhì)數(shù)（如：19中有4個(gè)質(zhì)數(shù)2、3、5、7）。如果這連續(xù)的九個(gè)自然中最小的不小于3，那么其中的偶數(shù)顯然為合數(shù)，而其中奇數(shù)的個(gè)數(shù)最多有5 個(gè) . 這 5 個(gè)奇數(shù)中必只有一個(gè)個(gè)位數(shù)是5， 因而 5 是這個(gè)奇數(shù)的一個(gè)因數(shù)，即這個(gè)奇數(shù)是合數(shù). 這樣，至多另 4 個(gè)奇數(shù)都是質(zhì)數(shù)。綜上所述，連續(xù)九個(gè)自然數(shù)中至多有4 個(gè)質(zhì)數(shù)。例 5 把 5、 6、 7、 14、 15 這五個(gè)數(shù)分成兩組，使每組數(shù)的乘積相等。解：5=5, 7=7, 6=2

9、X3, 14=2X7, 15=3X 5,這些數(shù)中質(zhì)因數(shù)2、 3、 5、 7 各共有 2 個(gè)，所以如把14 (=2X 7)放在第一組，那么 7和6 (=2X 3)只能放 在第二組，繼而15)( =3X5)只能放在第一組，則5必須放在第二組。這樣 14X 15=210=5X 6X7。這五個(gè)數(shù)可以分為14 和 15， 5、 6 和 7 兩組。例 6 有三個(gè)自然數(shù)，最大的比最小的大6，另一個(gè)是它們的平均數(shù)，且三數(shù)的乘積是42560. 求這三個(gè)自然數(shù)。分析 先大概估計(jì)一下，30X30X 30=27000,遠(yuǎn)小于X 40X40 = 64000,遠(yuǎn)大于42560.因此，要求的三個(gè)自然數(shù)在 3040之間。解：

10、42560=26X 5X7X 19= 25X (5X7) X ( 19X2)= 32X35X38 (合題意)要求的三個(gè)自然數(shù)分別是32、 35 和 38。例7有3個(gè)自然數(shù)a、b、c.已知axb=6, bXc=15,axc=10.求 axbx c 是多少？解：6 = 2X3, 15=3X 5, 10=2X5。(axb) x ( bx c) x (aXc)=(2X3) x ( 3X 5) x ( 2X5).a2xb2xc2=22x 32X5222 (ax bx c) = (2X 3X5)aXbXc=2X3X5 = 30在例 7 中有 a2=22, b2=3： c2=52,其中 22=4, 32=9

11、, 52=25,像 4、9、25 這樣的數(shù)，推及一般情況，我們把一個(gè)自然數(shù)平方所得到的數(shù)叫做完全平方數(shù)或叫做平方數(shù)。如.1 2=1, 22 = 4, 32 = 9, 42=16,，112=121, 122=144,其中 1,4, 9, 16,，121, 144,都叫做完全平方數(shù).下面讓我們觀察一下，把一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)有什么特征。例如：把下列各完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)：9， 36， 144， 1600， 275625。解：9=32 36=2 2 X 32 144=32X24 1600=26X 52 275625=32X 54X72可見， 一個(gè)完全平方數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)

12、的指數(shù)均是偶數(shù)。反之，如果把一個(gè)自然數(shù)分解質(zhì)因數(shù)之后，各個(gè)質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是偶數(shù)，那么這個(gè)自然數(shù)一定是完全平方數(shù)。如上例中，36=62, 144=122, 1600=402, 275625=5252。例 8 一個(gè)整數(shù)a 與 1080 的乘積是一個(gè)完全平方數(shù). 求 a 的最小值與這個(gè)平方數(shù)。分析:a與1080的乘積是一個(gè)完全平方數(shù)，乘積分解質(zhì)因數(shù)后，各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)一定全是偶數(shù)。解：.1080X a=23x33X5Xa,又 1080=23X 33X 5的質(zhì)因數(shù)分解中各質(zhì)因數(shù)的指數(shù)都是奇數(shù)，.a必含質(zhì)因數(shù)2、3、5,因此a最小為2X3X5。 . 1080X a= 1080x 2X 3X 5= 1080

13、x 30= 32400。答： a 的最小值為30，這個(gè)完全平方數(shù)是32400。例 9 問 360 共有多少個(gè)約數(shù)？分析 360=23 X 32X 5。為了求360有多少個(gè)約數(shù)，我們先來看32X 5有多少個(gè)約數(shù)， 然后再把所有這些約數(shù)分別乘以1、2、22、23,即得到23X32X 5 (=360)的所有約數(shù).為了求32X5有多少個(gè)約數(shù)，可以先求出5有多少個(gè)約數(shù)， 然后再把這些約數(shù)分別乘以 1、3、32,即得到32X5的所有約數(shù)。解：記 5 的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y1，32X5的約數(shù)個(gè)數(shù)為Y2,360 (=23X 32X5)的約數(shù)個(gè)數(shù)為 Y3.由上面的分析可知：Y3=4X Y2, Y2= 3XY1,顯然Y1

14、=2( 5 只有 1 和 5 兩個(gè)約數(shù))。因止匕 Y3= 4 X Y2=4X 3 X Y1=4X 3 X 2=24。所以 360 共有 24 個(gè)約數(shù)。說明：Y3=4X Y2中的“4”即為“1、2、22、2中數(shù)的個(gè)數(shù)， 也就是其中2的最大指數(shù)加1,也就是360=23X32X5中質(zhì)因數(shù)2的 個(gè)數(shù)加1; Y2=3X Y1中的“3”即為“1、3、32”中數(shù)的個(gè)數(shù)，也就是 23X 32X 5中質(zhì)因數(shù)3的個(gè)數(shù)加1;而Y1=2中的“ 2”即為“1、5”中 數(shù)的個(gè)數(shù)，即23X 32X5中質(zhì)因數(shù)5的個(gè)數(shù)加1.因此丫3= (3+1) X (2+1) X (1+1) =24。對(duì)于任何一個(gè)合數(shù)，用類似于對(duì)23X32X

15、 5 (=360)的約數(shù)個(gè)數(shù)的討論方式，我們可以得到一個(gè)關(guān)于求一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)的重要結(jié)論：一個(gè)合數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個(gè)質(zhì)因數(shù)的個(gè)數(shù)(即指數(shù))加1 的連乘的積。例 10 求 240 的約數(shù)的個(gè)數(shù)。解：240=24X3X 5, .240的約數(shù)的個(gè)數(shù)是(4+1) X ( 1+1) X (1 + 1) =20, .240有20個(gè)約數(shù)。請(qǐng)你列舉一下240 的所有約數(shù)，再數(shù)一數(shù)，看一看是否是20 個(gè)？公因數(shù)和最大公因數(shù)1. 公因數(shù)和最大公因數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)；其中最大的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。例如： 12 的因數(shù)有：1， 2， 3， 4， 6， 12；18的因數(shù)有：1， 2， 3， 6， 9， 18。12和 18的公數(shù)因有：1， 2， 3， 6. 其中 6 是 12和 18的最大公約數(shù)，記作（12， 18） =6。2. 公倍數(shù)和最小公倍數(shù)幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)；其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。例如：12 的倍數(shù)有：12, 24, 36, 48, 60, 72, 84,18 的倍數(shù)有：18, 36, 54, 72, 90,12和18的公倍數(shù)有：36, 72,.其中36是12和18的最小公倍數(shù)，記作12 ， 18=36 。3. 互質(zhì)數(shù)如果兩個(gè)數(shù)只有公因