一元二次方程教學(xué)案例及反思

1、一元二次方程教學(xué)案例及反思一、案例背景1、教材分析：一元二次方程在初中代數(shù)學(xué)習(xí)中， 具有重要的地位， 起著承前啟后的作用。 一方面對(duì)以前學(xué)習(xí)過的各種知識(shí)進(jìn)行綜合地應(yīng)用， 比如說整式、 開平方、 一元一次方程、 一次方程組以及不等式的知識(shí)在這一章里都有應(yīng)用， 另一方面， 一元二次方程又是前面所學(xué)知識(shí)的繼續(xù)和發(fā)展， 它還是以后學(xué)習(xí)其他方程以及數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)，比如說，二次函數(shù)、高中要學(xué)習(xí)的指數(shù)方程、對(duì)數(shù)方程等等都與一元二次方程有關(guān)。 這節(jié)課是人教版第 22 章的第一節(jié)課時(shí)， 主要學(xué)習(xí)一元二次方程的定義、一般形式及其根的概念。 本節(jié)在引言方程的基礎(chǔ)上， 首先通過兩個(gè)實(shí)際問題面積問題和比賽問題， 進(jìn)一步

2、引出一元二次方程的具體例子， 然后再引導(dǎo)學(xué)生觀察列出這三個(gè)具體方程， 并發(fā)現(xiàn)它們?cè)谛问缴系墓餐c(diǎn)， 給出一元二次方程的定義。2、學(xué)生分析在前面學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程， 二元一次方程組， 可化為一元一次方程的分式方程等等， 已經(jīng)初步地感受了方程的模型作用， 并且積累了一些利用方程解決實(shí)際問題的一些經(jīng)驗(yàn)， 解決了一些實(shí)際問題。 教師要在這基礎(chǔ)上， 通過實(shí)際問題，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)一元二次方程的定義、一般形式及其根的概念。3、教學(xué)目標(biāo)：（ 1）理解一元二次方程概念是以未知數(shù)的個(gè)數(shù)和次數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的；掌握一元二次方程的一般形式以及三種特殊形式， 能將一個(gè)一元二次方程化為一般形式； 理解二次根式的根的概念，會(huì)

3、判斷一個(gè)數(shù)是否是一個(gè)一元二次方程的根。（ 2）經(jīng)歷觀察，歸納一元二次方程的概念，一元二次方程的根的概念及其一般形式和其它三種特殊形式。（ 3）通過生活學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，并用數(shù)學(xué)解決生活中的問題來激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。4、教學(xué)重點(diǎn)：一元二次方程的概念，一般形式和一元二次方程的根的概念。5、教學(xué)難點(diǎn)：通過提出問題，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型， ?再由一元一次方程的概念遷移到一元二次方程的概念。6、教學(xué)思路：以實(shí)際問題為背景， 引出一元二次方程及其有關(guān)概念， 通過學(xué)生分組討論， 得到一元二次方程的一般形式， 給出一元二次方程根的概念， 組織學(xué)生分析一元二次方程的根的不唯一性。二、課堂實(shí)錄 ：（一）復(fù)習(xí)引入師：

4、我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程及其解法、可化為一元一次方程的分式方程，知道運(yùn)用方程方法可以解決眾多代數(shù)問題和幾何求值問題， 是非常常見的一種數(shù)學(xué)方法。今天我們來學(xué)習(xí)一種新的方程一元二次方程。師：在學(xué)習(xí)之前，同學(xué)們回憶一下，什么叫一元一次方程？生 1：含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的次數(shù)是1 的式子是一元一次方程。生 2：不是“式子”應(yīng)該是整式方程。師：對(duì)了，一定是整式方程才行，要不然有可能是分式方程，大家要記住哦。(二)探究新知師：請(qǐng)同學(xué)們閱讀課本問題1、問題2,你們發(fā)現(xiàn)了什么？生1:用方程解實(shí)際問題。生2:列出的兩個(gè)方程是一個(gè)未知數(shù)，不過未知數(shù)的指數(shù)是2師：很好，我們看下列的方程，它們都有什么共同點(diǎn)

5、？分組討論下？X2 +2x-4=0； x2 -75x+350=0； x2 - X= 56小組1：它們都有一個(gè)未知數(shù)，而且是個(gè)等式。小組2:它們的未知數(shù)的最大次數(shù)都是 2。小組3:和一元一次方程類似，我們可以把它叫做一元二次方程。師：大家都講得很好，特別是小組 3,通過和以前學(xué)過的知識(shí)比較，總結(jié)出一個(gè)新的知識(shí)來，這個(gè)做法很好，在數(shù)學(xué)上叫做類比思想，我們要好好利用這種方法。師：那么什么是一元二次方程？(受到老師的激勵(lì)，學(xué)生紛紛舉手)生：只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的方程，叫做一元二次方程。師：我們知道一元一次方程的一般形式是 ax+b=0 (aw 0),那么一元二次方程的 一般形式是

6、怎樣的呢？2生：ax bx c = 0師：那個(gè)同學(xué)還有什么意見？可以討論一下。學(xué)生在討論，老師提示：a、b、c表示常數(shù)，這些字母可以取任意數(shù)的，在這里可以嗎？小組1： a、b不能等于0,等于0,未知數(shù)就沒了，不是方程了。小組2：我們組認(rèn)為，aw0, b、c可以等于0,這樣方程還是一元二次方程，只 不過缺項(xiàng)了。師：小組2的總結(jié)比較精確，在一般形式av2 + bx+c = 0中，aw 0。如果b=0或xc=0的話，一元二次方程還有哪些特殊的形式？生 1 ： ax2 + bx = 0(a。0)生 2 ： ax2 + c = 0(a 0 0)生 3： ax2 = 0(a = 0)師：很好，還有三種特殊

7、的形式，最難得的是大家都明白aw0師：一般形式ax2+bx+c = 0 (a*0)其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)的系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)的系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)。教師講解課本26頁例題，類比一元一次方程的去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，進(jìn)行同解變形，化為一般形式后再寫出各項(xiàng)系數(shù)，注意方程一般形式中的“-”是性質(zhì)符號(hào)負(fù)號(hào)，不是運(yùn)算符號(hào)減號(hào)。(三)學(xué)生練習(xí)老師出示題目(1)在下列方程中，一元二次方程的個(gè)數(shù)是().3x2+7=0 ax2+bx+c=0 (x-2) (x+5) =x2-1 3x2- - =0xA. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)(2)關(guān)于x的方程(a-1) x2+3x=0是一元二

8、次方程，則a范圍(3)寫出下列方程的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)老師叫兩個(gè)學(xué)生到黑板上寫 5x2 -1 =4x 4x x 2 =25生 1:解：(1)選 C(2) a *1(3) 5 x2 -1 =4x二次項(xiàng)系數(shù)是5, 一次項(xiàng)系數(shù)是-4 ,常數(shù)項(xiàng)是-1生 2:解：(1)選 B(2) a *1(3): 5x2 _1=4x二次項(xiàng)系數(shù)是5, 一次項(xiàng)系數(shù)是4,常數(shù)項(xiàng)是-14x(x+2 )=25二次項(xiàng)系數(shù)是4, 一次項(xiàng)系數(shù)是1,常數(shù)項(xiàng)是25師：同學(xué)們對(duì)兩位同學(xué)在黑板上的解答有什么意見？生3:第(1)題我選A,第(2)題是a *1,第(3)題5x2 1=4x二次項(xiàng)系數(shù)是5, 一次項(xiàng)系數(shù)是-4 ,常數(shù)項(xiàng)是

9、-1、4x(x + 2)=25二次項(xiàng)系數(shù)是4, 一次項(xiàng) 系數(shù)是8,常數(shù)項(xiàng)是-25師：請(qǐng)你說說一下你的理由。生3:第(1)題的理由是：ax2+bx+c=0一元二次方程的二次項(xiàng)系數(shù)不能是 0, 當(dāng)a=0時(shí)，不合題意，(x-2) (x+5) =x2-1要把它變?yōu)橐辉畏匠痰臉?biāo)準(zhǔn)形 式，化簡(jiǎn)后是3x-9=0不是一元二次方程，3x2- 5 =0分母有未知數(shù)，而一元x二次方程是整式方程，所以它也不是一元二次方程，所以只有一個(gè)是一元二次方 程，選A；第(2)題的理由是：一元二次方程的系數(shù)不能為0即a-1w0解得a* 1;第(3)題的理由是：要把這2道題變成標(biāo)準(zhǔn)形式才能找出它們的系數(shù)和常數(shù) 項(xiàng)。師：說得非常

10、棒，你把老師想說的都說出來了，同學(xué)們要記住，一元二次方程是 個(gè)整式方程，分母不能有未知數(shù)，二次項(xiàng)系數(shù)不能是0,要找它們的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)時(shí)先要化成標(biāo)準(zhǔn)形式。(四)探究新知師：那個(gè)同學(xué)知道什么是方程的解？生：使方程左右兩邊相等的數(shù)是方程的解師：對(duì)了，問題2我們列出方程x2-x=56,那么它的解是多少？各小組討論 一下。老師提問每個(gè)小組的代表，答案都是 x=8師：我們可不可以從負(fù)數(shù)考慮下？ 小組1: x=-7也行，把-7代入方程的左邊x2-x=(_7)2-( -7) =56左右兩邊都 相等師：對(duì)了，x=-7也是方程的解，方程X2-x=56勺解有兩個(gè)x=8或x=-7。我們 也把x=8或x=-7叫做方程的

11、根。師：雖然方程x2-x = 56的根有兩個(gè)，但是排球邀請(qǐng)賽問題只有一個(gè)，即應(yīng)邀請(qǐng)8個(gè)隊(duì)參賽，-7不合題意，舍去。列方程解實(shí)際問題，我們要考慮解是否符合 實(shí)際。（五）學(xué)生練習(xí)師：請(qǐng)同學(xué)們做課本第28頁的練習(xí)，請(qǐng)個(gè)同學(xué)上黑板來做。生：解：1、-2和3是方程的根2、1是方程的根師：我們看黑板的答案，那個(gè)同學(xué)有意見？生：我認(rèn)為第2題還有個(gè)根是0,因?yàn)?代入方程左右兩邊也相等。師：所以第2題的方程的根應(yīng)該是0或1（六）小結(jié) 師：這節(jié)課我們學(xué)到了哪些知識(shí)？生1:什么是一元二次方程，一元二次方程的標(biāo)準(zhǔn)形式。生2:我還學(xué)到一元二次方程的根（七）作業(yè)師：今天的作業(yè)是第1第3題。下課 三、案例反思這是一節(jié)概念課

12、，我從以下幾個(gè)環(huán)節(jié)進(jìn)行教學(xué)：第一環(huán)節(jié)：由實(shí)際問題引出一元二次方程的，說明學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性。通過2個(gè)問題讓學(xué)生建立一元二次方程，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念的產(chǎn)生來源于實(shí)際的需要體會(huì)學(xué)習(xí)一元二次方程的必要性， 通過分組討論，切實(shí)提高立學(xué)生的合 作能力和應(yīng)用的意識(shí)；第二環(huán)節(jié)：與一元一次方程做比較建立一元二次方程的概念， 介紹一元二次方程 的一般形式，并說明有關(guān)的概念。讓學(xué)生在對(duì)實(shí)際事例觀察的基礎(chǔ)上，通過比較、 分析、歸納，在進(jìn)一步概括得到結(jié)論，在此過程學(xué)生的邏輯思維能力得到發(fā)展。首先通過把所得的3個(gè)方程進(jìn)行橫向的比較，概括出方程的共同點(diǎn)，然后把所得 的方程與一元一次方程進(jìn)行縱向的比較抽象出一元二次方程的概念以及一般形式，通過分