完整證明線段相等,角相等,線段垂直的方法總結(jié),推薦文檔

1、線段相等，角相等，線段垂直方法總結(jié)一.證明線段相等的方法：1 .中點(diǎn)2 .等式的性質(zhì)性質(zhì)1:等式兩邊同時(shí)加上相等的數(shù)或式子，兩邊依然相等。若a=b那么有a+c=b+c性質(zhì)2：等式兩邊同時(shí)乘（或除）相等的非零的數(shù)或式子，兩邊依然相等若a=b那么有ac=bc或a=b8（a,bw0或a=b，cw。3 .全等三角形4借助中介線段（要證a=b,只需要證明a=c,c=b即可）二.證明角相等的方法1 .對(duì)頂角相等2 .等式的性質(zhì)3 .角平分線4垂直的定義5 .兩直線平行（同位角，內(nèi)錯(cuò)角）6 .全等三角形7 .同角的余角相等8等角的余角相等9 .同角的補(bǔ)角相等10等角的補(bǔ)角相等11.三角形的外角等于與它不相鄰

2、的兩內(nèi)角之和三.證明垂直的方法1 .證明兩直線夾角=9002 .證明鄰補(bǔ)角相等3 .證明鄰補(bǔ)角的平分線互相垂直4證明三角形兩內(nèi)角之和=9005 .垂直于平行線中的一條直線，必定垂直于另一條6 .證明此角所在的三角形與已知的直角三角形全等線段相等，角相等，線段垂直經(jīng)典例題1.利用角平分線的定義例題1.如圖，已知AB=AC,AD/BC,求證2、基本圖形“雙垂直”本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直（需對(duì)其對(duì)稱(chēng)性形成感覺(jué)）例題2.如圖，用C,hFAC與匕FBD的面積相等.求證：op平分.例題3、如圖，=E是BC的中點(diǎn)，DE平分,求證：AE是/nA?的平分線.由3 .利用等腰三角形三線合一例題4

3、.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=DC+CE,求證：AF平分/DAE4 .利用定理定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。例5.如圖，已知AABC的兩個(gè)外角/MAC、/NCA的平分線相交于點(diǎn)P,求證點(diǎn)P在/B的平分線上1.1. 平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段?；緢D形:P是/CAB的平分線上一點(diǎn)，PD/AB,則有/1=/2=/3,所以AD=DP。例6.如圖，AABC中，/B的平分線與/C外角的平分線交于D,過(guò)D作BC的平行線交AB、AC于E、F,求證EF=BE-CF6 .利用角平分線的對(duì)稱(chēng)性。例7.如圖，已知在AABC中，ABAC,AD是AABC

4、的角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證AB-ACPB-PC7 .角平分線與垂直平分線綜合例題8、如圖，在ABC中，AD平分/BAC,DGXBC,且平分BC于G,DELAB于E,DFXAC延長(zhǎng)線于F.國(guó)(1)求證：BE=CF.D一、平分線的應(yīng)用。線段相等，角相等，線段垂直經(jīng)典例題(解答部分)幾何題中，經(jīng)常出現(xiàn)已知角的平分線”這一條件。這個(gè)條件一般有下面幾個(gè)方面的應(yīng)用:(1)利用箱的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊距離相等”的性質(zhì)，證明兩條線段相等。(2)利用角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，構(gòu)造全等三角形。(3)構(gòu)造等腰三角形。二、應(yīng)用舉例:1.利用角平分線的定義例題1.如圖，已知AB=AC,AD/BC,求證AD平分/EAC

5、。證明：因AB=AC,故/B=/C。又因AD/BC，故/1=/B,/2=/C,故/1=/2,即AD平分/EACo2、基本圖形“雙垂直”本節(jié)常用輔助線是圍繞角平分線性質(zhì)構(gòu)造雙垂直(需對(duì)其對(duì)稱(chēng)性形成感覺(jué))例題2.如圖，AC二,橙曾。與BD的面積相等.求證：OP平分上月口呂.分析：觀察已知條件中提到&上RC與3F50,顯然與全等無(wú)關(guān)，而面積相等、底邊相等，于是自然想到可得兩三角形的高線相等，聯(lián)系到角平分線判定結(jié)論可得。證明：作尸加_LQ4于m,FW_L于n二35工團(tuán)3山.PM=PN又一一一?平分乙例題3、如圖，=E是BC的中點(diǎn)，DE平分乙C求證：AE是/療且F的平分線.由分析：在初一學(xué)習(xí)平行線時(shí)就圍

6、繞這個(gè)圖做過(guò)很多練習(xí)，當(dāng)時(shí)我們證明過(guò)DE垂直AE等。還是這個(gè)圖條件變了，由角平分線條件不難想到做輔助線構(gòu)造“雙垂直”的基本圖形，用“角平分線性質(zhì)”推得距離相等，再由另一側(cè)距離相等用“角平又：E是BC的中點(diǎn).CE=EBEF=EB又因F_LM,=9口口AE是的平分線3 .利用等腰三角形三線合一例題4.正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，E是BC邊上的一點(diǎn)，且AE=DC+CE,求證：AF平分/DAE證明：連結(jié)EF并延長(zhǎng)，交AD的延長(zhǎng)線于G,則AFDGHAFCE,故CE=DG,EF=GF,于是AG=AD+DG=DC+CE=AE。又因EF=GF,故AF是等腰三角形的底邊上的中線，于是AF平分/DAE。4

7、.利用定理定理：到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個(gè)角的平分線上。例5.如圖，已知AABC的兩個(gè)外角/MAC、/NCA的平分線相交于點(diǎn)P,求證點(diǎn)P在/B的平分線上證明：過(guò)P作PDXAB,PEXAC,PFXBC,垂足分別是D、EMAC的平分線上，故PD=PEo/ACN的平分線上，故PE=PF,于是PD=PF,/B的平分線上。5.和平行線結(jié)合使用，容易得到相等的線段。CD基本圖形：上P是/CAB的平分線上一點(diǎn)，PD/AB,則有/1=/2=/3,所例6.如圖，AABC中，/B的平分線與/C外角的平分線交于1三、F,灌1因P在/又因P在以AD=DP。D,過(guò)D作BC的平行線交AB、AC于E、F,求證EF=

8、BE-CF。分析：由BD平分/ABC,ED/BC,不難得出BE=DE。要證EF=BE-CF,就轉(zhuǎn)化為要證EF=DE-CF。下面要證FD=FC,即要證/FCD=ZFDCo由CD平分/ACG,ED/BC,很容易得出/FCD=/FDC,從而問(wèn)題得證。6 .利用角平分線的對(duì)稱(chēng)性。例7.如圖，已知在AABC中，ABAC,AD是AABC的角平分線，P是AD上一點(diǎn)，求證AB-ACPB-PCAB上分析：證明不等關(guān)系，一般要把所證明的有關(guān)線段放在一個(gè)三角形內(nèi)。通過(guò)角平分線這一條件可以構(gòu)造全等三角形：在截取AC=AC,貝U有AACPAACP,AC=AC,PC=PC。在ABPC中，BC+CPPB,即AB-ACPB-

9、PC,從而得出AB-ACPB-PC7 .角平分線與垂直平分線綜合一例題8、如圖，在ABC中，AD平分/BAC,DGXBC,且平分BC于G,DELAB于E,DFXAC延長(zhǎng)線于F.國(guó)（1）求證：BE=CF.（2）如果AB=a,AC=b，求AE、BE的大/、（用含有a、b的式子表示）.證明：（1）連結(jié)BD、CD-DGXBC,且平分BC于G=BD=CD（此處提前用到了垂直平分線的性質(zhì),即垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端距離相等，可由證明門(mén)仃二D芯0得到）AD平分/BAC,DEXAB,DFXAC，口E二口甘DEB=DFC=W在r/aDeb和田上占。月e中BD=CDDE=DFu.DEB=RLlDFC(：HE):

10、.BE=CF(2)AD平分/BAC./LEAD=FAD乙4。=9?？?/&Z?+Z/O=9(T同理：_，.一一七二.ADEZADF即AD平分/且匚F1小一.AE=AF而AE=AB-BE=a-BE,AF=AC+CF=b+CFa-BE=b+CF又.一外二二cla-ha-h值+5：.BE=A,AE=a-BE=a-=2角平分線練習(xí)題1.如圖，在ABC中，/ACB=90,BE平分/ABQEDAB于D,如果AC=3那么A.2D.52.如圖，ABC的兩個(gè)外角的平分線相交于點(diǎn)P,則點(diǎn)P到ABC的三邊所在直線的距離的關(guān)系是A.均不相等B.均相等、C.其中有兩個(gè)相等D.無(wú)法確定AE+DE=()3.如圖，三表示三條

11、相互交叉的公路，現(xiàn)要建一個(gè)貨物中轉(zhuǎn)站，要求它到三條公路的距離相等,則可選擇的地址有（）A.一處B.二處C.三處D.四處4.在ABC內(nèi)部到三條邊的距離相等的點(diǎn)有個(gè).5.(2)OC=OD(3)OC=2PC(4)POMCPO如圖，OP平分/AOBPCXOA于C,PDLOB于D,下列結(jié)論：（1）PC=PD中，錯(cuò)誤的是.6.7.（第3題）（第5題）（第6題）如圖，已知/C=90,AD平分/BAC,BD=2CD,點(diǎn)D到AB的距離等于5cm,則BC的長(zhǎng)為cm.如圖，ABC中，AB=ACBDAC于D,CHAB于E,BQCE相交于O,AO的延長(zhǎng)線交BC于F,則圖中全等的直角三角形的對(duì)數(shù)為DB（第7題）（第BF8 .如圖，AE=ADy要使,請(qǐng)你增加一個(gè)條件是.（只需要填一個(gè)你認(rèn)為合適的條件）9