第十章 能量法

1、13 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法中國(guó)地質(zhì)大學(xué)工程學(xué)院力學(xué)課部23 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法第十章 能量法10.1 概述10.2 應(yīng)變能.余能10.3 卡氏定理10.4 用能量法解超靜定問(wèn)題*10.5 虛位移原理及單位力法33 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法10.1 概述能量原理能量原理：固體力學(xué)中運(yùn)用功與能有關(guān)的基本原理統(tǒng)稱為能量原理。能量原理是在總體上從功與能的角度考察變形體系統(tǒng)的受力、應(yīng)力與變形的原理與方法，是進(jìn)一步學(xué)習(xí)固體力學(xué)的基礎(chǔ)，也是當(dāng)今應(yīng)用甚

2、廣的有限元法求解力學(xué)問(wèn)題的重要基礎(chǔ)。 前面解決了強(qiáng)度問(wèn)題（簡(jiǎn)單變形組合變形） 剛度問(wèn)題怎么辦？1、能否避免組合變形的微分方程？2、能否只求出若干控制點(diǎn)的變形，避免求整個(gè)變形曲線 用揭示本質(zhì)法尋根 能量法43 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法1. 能量法：能量法：利用功和能的概念及能量守恒定律，求解可變形固體的位移、變形和內(nèi)力等的方法。2. 能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：能量法的應(yīng)用范圍十分廣泛：（1）線彈性體；非線性彈性體（2）靜定問(wèn)題；超靜定問(wèn)題（3）是有限單元法的重要基礎(chǔ)o 優(yōu)點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：o 1. 不管中間過(guò)程，只算最終狀態(tài)o 2. 能量是標(biāo)量，容易計(jì)算

3、53 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法10.2 應(yīng)變能.余能一、條件一、條件大前提：1、小變形小變形； 2、服從胡克定律線彈性體線彈性體的響應(yīng)（內(nèi)力、應(yīng)力和變形）為外載的線性函數(shù)小前提：緩慢加載緩慢加載變力做功，功只轉(zhuǎn)成變形位能（不轉(zhuǎn)成動(dòng)能、熱能）63 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法基于能量守恒原理，外力功在數(shù)值上等于存儲(chǔ)在彈性體內(nèi)的變形能。 即 U=W2. 桿件的變形能 例如，圖示懸臂梁，在自由端受到集中力P作用。外力功：PW21UUU變形能：或QMUUU在數(shù)值上，U=W73 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課

4、件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法外力功的表達(dá)式外力功的表達(dá)式思考：外力功在P-曲線上的幾何意義?線彈性小變形下的外力功PPdW2100PdW載荷-位移(P-D)曲線靜加載下的外力功83 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法內(nèi)力功（變形能）的表達(dá)式內(nèi)力功（變形能）的表達(dá)式應(yīng)力-應(yīng)變(-)曲線線彈性材料的彈性比能21u彈性材料的彈性比能0du93 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法直桿的軸向拉伸與壓縮直桿的軸向拉伸與壓縮 *以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*長(zhǎng)為L(zhǎng)的線彈性直桿，其截面抗拉壓剛度為EA 。當(dāng)軸

5、力N=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為EALN2222lLEAlN21EALNALEANANVU2)(21212LLdxxlLEAEAdxxNU22)(22)(LNEAdxxNU2)(2EALNUN22niiiiiAELNU122U=W=當(dāng)軸力N=N(x)時(shí)，桿的變形能為103 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法圓軸扭轉(zhuǎn)圓軸扭轉(zhuǎn)*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且桿件為等截面圓桿（實(shí)心、空心、薄壁）*長(zhǎng)為L(zhǎng)的等截面圓桿，其截面扭轉(zhuǎn)剛度為GIp 。當(dāng)扭矩MT=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為pTGILM2222LGIpTM21pTApTAGILMdAIMGLLdAGU2)(

6、2212222LLppTdxdxdGIGIdxxMU2222)(LpTMGIdxxMUT2)(2pTMGILMUT22nipiiiTiIGLMU122U=W=當(dāng)扭矩MT=MT(x)時(shí)，桿的變形能為113 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法平面彎曲直梁平面彎曲直梁*以上分析，桿件均為線性彈性材料制成*而且只考慮了彎曲正應(yīng)力產(chǎn)生的變形能*長(zhǎng)為L(zhǎng)的等直桿，橫截面彎曲剛度為EI 。當(dāng)彎矩M=常數(shù)時(shí)，桿的變形能為EILM222)(2yEIL M21ALdAEU221 LLdxyEIEIdxxMU2222)(LMEIdxxMU2)(2EILMUM22niLiiiii

7、IEdxMU122U=W=當(dāng)彎矩M=M(x)時(shí)，桿的變形能為AdAyIMEL22)(2EILM22123 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法比較基本變形桿件的變形能計(jì)算公式比較基本變形桿件的變形能計(jì)算公式變形能=內(nèi)力功=(內(nèi)力2)桿件長(zhǎng)度2(桿件剛度) lP21TM21M21EALN22pTGILM22EILM22eWUVudVUVdVG221VdVE221VdVE221EALN22pTGILM22EILM22變形能=彈性比能桿件的體積133 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的變形能彎曲切應(yīng)力產(chǎn)生的

8、變形能2242yhIFSGALPbdyyhGILFLdAGUhhSAFS5348222/2/222222解：在梁的長(zhǎng)度方向上，F(xiàn)S=P；0 x4h，D10h，D 1；并知1、2兩桿的桿長(zhǎng)為l。試用余能定理計(jì)算各桿的內(nèi)力。 解：取D處的支反力X為多余未知力?；眷o定系統(tǒng)如圖b。FBDCA132 (a)BA(b)DC132XF 由圖b的平衡得各桿軸力：XFXFFFNNN321 cos2493 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法余能密度為：1010021cos2) 1(1ddd111nnnNnccAXFKnKAFKvv103) 1(1d3nncAXKnvXFX

9、FFFNNN321 cos2BA(b)DC132XF 503 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法注意到D處的變形相容條件 D=0 及余能定理 D=Vc / X解得nNNnNFFFFFX/1221/123coscos2coscos21總余能為11332211coscos22) 1(nnnccccAXAXFKnlAVvVvVvV這種以力為基本未知量，把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問(wèn)題的方法稱為這種以力為基本未知量，把它的求解當(dāng)作關(guān)鍵性問(wèn)題的方法稱為513 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例 試用卡氏第二定理求圖a所示剛架的支反

10、力。已知兩桿的彎曲剛度均為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)剛架變形的影響。 解：取B處的支反力X為多余未知力?；眷o定系統(tǒng)如圖(b)。BD段xXxMXxxM)()(各段彎矩及其對(duì)X的偏導(dǎo)如下eMa=5mq=10kN/ma2a2CDBA=50kN m(a)DqAa2Ca2BMeyxX(b)DC段xXxMMXxxMe)()(523 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法注意到B處的變形相容條件 wB=0 及卡氏第二定理xXxMxMEIXVwlBd)()(1解得kN56.164333212aqMaXe進(jìn)一步對(duì)圖b列平衡方程，可得A處的支反力mkN2 .92)(kN56.16

11、)(kN50MFFAAyAxCA段aXyMyqMXayMe)(2)(2DqAa2Ca2BMeyxX(b)533 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例 圖a所示兩端固定半圓環(huán)在對(duì)稱截面處受集中力F作用。環(huán)軸線的半徑為R，彎曲剛度為EI，不計(jì)剪力和軸力對(duì)圓環(huán)變形的影響。試用卡氏第二定理求對(duì)稱截面上的內(nèi)力。 FR(a)543 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法解：基本靜定系統(tǒng)如圖b。 切口處相應(yīng)的多余未知力分別用X1、 X2和X3表示。與X1、 X2和X3對(duì)應(yīng)的廣義位移分別為兩切開(kāi)截面的相對(duì)分開(kāi)量、相對(duì)轉(zhuǎn)角和相對(duì)錯(cuò)動(dòng)量。

12、值均為0。F22FX11X2X3XX3X2（b）結(jié)合卡氏第二定理得補(bǔ)充方程（取1/4圓環(huán)）：) 3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii553 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法)3 , 2 , 1(0)d()()(1220iRXMMEIXVii其中：1)()cos1 ()()cos1 (sin2)(2121XMRXMXRXRFM解得：FRXFX8) 3(2842221563 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于

13、梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功或內(nèi)力虛功，這便是虛功原理虛功原理。 eiWW eiWU 外力虛功=內(nèi)力虛功外力虛功=虛應(yīng)變能*10.5 虛位移原理及單位力法P(實(shí)際載荷實(shí)際載荷)(單位載荷單位載荷)xdx內(nèi)力：變形：MMFNT S l變形：000S0 MMFNT0000 l內(nèi)力：1、虛功原理、虛功原理573 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法內(nèi)力：變形：MMFNT S l變形：000S0 MMFNT0000 l內(nèi)力： N lSF TM M)()d( )()(0000MdMFdlNddWTSi0000d dMMdFldNdUTSi1eW內(nèi)力虛元功虛應(yīng)變?cè)?/p>

14、能外力虛功583 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法在外力作用下處于平衡的梁，任意給它一個(gè)虛位移，則外力在虛位移上所作的外力虛功等于梁的內(nèi)力在虛變形上所作的虛變形功或內(nèi)力虛功，這便是虛功原理。 llTllMddMQdlNd00001虛功原理的適用范圍如何？虛功原理的適用范圍如何？EIdxMdGIdxMdGAdxkQdEAdxNldpT00000000 , , , 線彈性、小變形條件下llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000即線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）593 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第

15、十章第十章 能量法能量法llpTTllEIdxMMGIdxMMGAdxkQQEAdxNN0000線彈性、小變形條件下的莫爾定理（莫爾積分）其中最常用于計(jì)算梁的變形的莫爾積分lEIdxMM0對(duì)于一段同材料等截面（等剛度）梁，則ldxMMEI01下面介紹一種由圖形互乘代替積分的方法603 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法2、圖乘法、圖乘法設(shè)M0(x)=ax+b（一段斜線），積分項(xiàng))( 0CxM即當(dāng)M0圖中為一段斜線時(shí)，莫爾積分項(xiàng)等于M圖的面積與M0圖中與M圖形心坐標(biāo)對(duì)應(yīng)的函數(shù)值。提問(wèn)：當(dāng)M圖中為一段斜線時(shí)，上述結(jié)論應(yīng)該怎樣？dxMMl00dxbaxMl0)

16、(dxMbdxMxall00 )(baxC613 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法常見(jiàn)圖形的形心和面積直角三角形二次拋物線二次拋物線面積1=bh/2面積2=2bh/3面積3=bh/312)832()32()42()3(2hbbbbhbbbhbb/3h3b/8b頂點(diǎn)hb/4b頂點(diǎn)h623 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 圖示梁，求中點(diǎn)C的撓度。)(3845 4858232242EIqllqllEIyC利用彎矩圖的對(duì)稱性可簡(jiǎn)化計(jì)算。解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).ldxMMEI01)( 0CxM633

17、 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 圖示梁，求載荷作用點(diǎn)的撓度。)(72912 923292321923292322113EIPllPlllPllEIyp解：畫出彎矩圖M(圖b)和M0(圖c).ldxMMEI01)( 0CxM643 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法3、力法正則方程、力法正則方程 例題 懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。問(wèn)題為三次超靜定。除掉A 端固支，得到包含未知反力的靜定結(jié)構(gòu)，稱為靜定基。利用疊加原理，分別畫出外載荷（圖b)；支反力X1和X2（圖b和圖c)單獨(dú)作用圖。0232231EIL

18、XEILXyyqAA02221EILXEILXqAA式中， 分別表示外載荷在靜定基中X1和X2方向上產(chǎn)生的位移。PAPAy,653 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法按照歸一化要求，改寫002222112212211111XXXXPP式中， 為Xi 方向上的總位移；i 為外載荷(P)在靜定基中在Xi 方向上的位移；Pi 為未知反力Xj =1在靜定基中作用在Xi 方向上的位移；ij上式稱為力法正則方程， 稱為柔度系數(shù)。ij663 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法ljiijlipPidxMMEIdxMMEI00011利用莫爾積分，正則方程中的柔度系數(shù)寫為提問(wèn) ：對(duì)二次靜不定問(wèn)題要作幾個(gè)彎矩圖，用莫爾圖乘法，要作幾次圖乘？三次靜不定問(wèn)題呢? 提問(wèn) ：運(yùn)用前面的知識(shí)，證明柔度系數(shù)具有對(duì)稱性 ij= ji673 May 2022材料力學(xué)教學(xué)課件材料力學(xué)教學(xué)課件第十章第十章 能量法能量法例題 懸臂梁AB如圖所示，A、B端固支。求支反力。解：畫靜定基（圖a)，分別畫彎矩圖b-d；EIPlllPlEIP485)65)(2221(131EIPllPlEIP8)1)(2221(122EIllllEI3)32)(2(1311EIllEI)1)(1(122EIlllEI2)