多元積分學(xué)總結(jié)及例題精講

1、整理課件1G.F.B.Riemann(1826-1866)只有在微積分發(fā)明只有在微積分發(fā)明之后，物理學(xué)才之后，物理學(xué)才成為一門(mén)科學(xué)成為一門(mén)科學(xué). .只只有在認(rèn)識(shí)到自然有在認(rèn)識(shí)到自然現(xiàn)象是連續(xù)的之現(xiàn)象是連續(xù)的之后，構(gòu)造抽象模后，構(gòu)造抽象模型的努力型的努力 才取才取得了成功。得了成功。 -黎曼黎曼整理課件2多元函數(shù)積分學(xué)多元函數(shù)積分學(xué)整理課件3定積分定積分(Definite Integral)Integral)二重積分二重積分(Double Integral)Integral)三重積分三重積分(Triple Integral)Integral)性質(zhì)性質(zhì)直角坐標(biāo)直角坐標(biāo)極坐標(biāo)極坐標(biāo)曲線(xiàn)坐標(biāo)曲線(xiàn)坐標(biāo)直

2、角坐標(biāo)直角坐標(biāo)柱面坐標(biāo)柱面坐標(biāo)球面坐標(biāo)球面坐標(biāo)曲面坐標(biāo)曲面坐標(biāo)應(yīng)應(yīng)用用二重積分的換元法二重積分的換元法(Change of Variable in Double Integral)(Change of Variable in Double Integral).dudv)v,u(J)v,u(y),v,u(x fdxdy)y, x( fDD:T)3(; 0)v,u()y, x()v,u(JD)2(D)v,u(y),v,u(x)1(DxoyDuov)v,u(yy),v,u(xx:TDxoy)y, x( fDD 是一對(duì)一的，則有是一對(duì)一的，則有變換變換上雅可比式上雅可比式在在；上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)上具

3、有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)在在且滿(mǎn)足且滿(mǎn)足，平面上的平面上的變?yōu)樽優(yōu)槠矫嫔系拈]區(qū)域平面上的閉區(qū)域?qū)⑦B續(xù)，變換連續(xù)，變換上上平面上的閉區(qū)域平面上的閉區(qū)域在在設(shè)設(shè)定理定理整理課件6三重積分的換元法三重積分的換元法(Change of Variable in Triple Integral)(Change of Variable in Triple Integral)，且且滿(mǎn)滿(mǎn)足足上上的的閉閉區(qū)區(qū)域域變變?yōu)闉樯仙系牡拈]閉區(qū)區(qū)域域?qū)⑸仙线B連續(xù)續(xù)，變變換換在在有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)定定理理 xyzouvwo),w,v,u(zz),w,v,u(yy),w,v,u(xx:T)z,y,x(f續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)；上上

4、具具有有一一階階連連在在 D)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x)1(;0)w,v,u()z,y,x()w,v,u(J)2( 上上雅雅可可比比式式在在.dudvdw|J|)w,v,u(z),w,v,u(y),w,v,u(x(fdxdydz)z,y,x(f:T)3( 是是一一對(duì)對(duì)一一的的，則則有有變變換換整理課件8容易驗(yàn)證，容易驗(yàn)證， 柱坐標(biāo)柱坐標(biāo)(Cylindrical Coordinate)變換的變換的Jacobi行列式為行列式為球坐標(biāo)球坐標(biāo)(Spherical Coordinate)變換的變換的Jacobi行列式為行列式為, r1000cosrsin0sinrcos)z,

5、r ()z, y, x(J sin2),() z , y, x(J 0sincoscossinsincossinsinsinsincoscoscossin 整理課件9 廣義球坐標(biāo)變換的廣義球坐標(biāo)變換的Jacobi行列式為行列式為 cossinax sinsinby coscz其中其中 0 0 20),()z,y,x(J ,sinabc2 整理課件10 D; 0dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f則則若若 DD1dxdy)y, x( f2dxdy)y, x( f),y, x( f)y, x( f則則若若,0 xDDyD1 軸軸對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，關(guān)關(guān)于于設(shè)設(shè)積積分分區(qū)區(qū)域域二重積分的

6、對(duì)稱(chēng)性二重積分的對(duì)稱(chēng)性整理課件11使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)軸的對(duì)稱(chēng)性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于二個(gè)、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于二個(gè) 積分變量的奇偶性積分變量的奇偶性. .三重積分的對(duì)稱(chēng)性三重積分的對(duì)稱(chēng)性,0zxoy1 并并記記平平面面對(duì)對(duì)稱(chēng)稱(chēng)，關(guān)關(guān)于于設(shè)設(shè)積積分分區(qū)區(qū)域域 ; 0dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f則則若若.dv)z, y, x( f2dv)z, y, x( f),z, y, x( f)z, y, x( f1 則則若若使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：使用對(duì)稱(chēng)性時(shí)應(yīng)注意：、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)

7、面的對(duì)稱(chēng)性；、積分區(qū)域關(guān)于坐標(biāo)面的對(duì)稱(chēng)性；、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè)、被積函數(shù)在積分區(qū)域上的關(guān)于三個(gè) 坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸( (三個(gè)變量三個(gè)變量) )的奇偶性的奇偶性. .整理課件14二重積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系二重積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系（Green公式）公式）)()(的的正正向向沿沿LQdyPdxdxdyyPxQLD 三重積分與曲面積分的聯(lián)系三重積分與曲面積分的聯(lián)系(Gauss公式公式) RdxdyQdzdxPdydzdv)zRyQxP(整理課件15曲面積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系曲面積分與曲線(xiàn)積分的聯(lián)系(Stokes(Stokes公式）公式） dxdyyPxQdzdxxRzPdydzzQyR)()()(

8、RdzQdyPdx整理課件16與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件在單連通開(kāi)區(qū)域在單連通開(kāi)區(qū)域D上上),(),(yxQyxP具有具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù), ,則以下四個(gè)命題成立則以下四個(gè)命題成立. . LQdyPdxD與與路路徑徑無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)內(nèi)內(nèi)在在)1( CDCQdyPdx閉閉曲曲線(xiàn)線(xiàn), 0)2(QdyPdxduyxUD 使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在),()3(xQyPD ,)4(內(nèi)內(nèi)在在等等價(jià)價(jià)命命題題整理課件17空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題空間曲線(xiàn)積分與路徑無(wú)關(guān)的四個(gè)等價(jià)命題條條件件.),(),(),(列列四四個(gè)個(gè)條條件件等等價(jià)價(jià)有有連連續(xù)續(xù)的的偏偏導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，

9、則則下下上上若若在在空空間間單單連連通通區(qū)區(qū)域域zyxRzyxQzyxPV等等價(jià)價(jià)命命題題.,)4(;),()3(0)2()1(yPxQzPxRzQyRVRdzQdypdxdUzyxUVVLRdzQdyPdxRdzQdyPdxVLL 內(nèi)內(nèi)在在使使內(nèi)存在內(nèi)存在在在；閉曲線(xiàn)閉曲線(xiàn)與路徑無(wú)關(guān)；與路徑無(wú)關(guān)；內(nèi)內(nèi)在在整理課件18一一. 計(jì)算題計(jì)算題重積分計(jì)算的關(guān)鍵重積分計(jì)算的關(guān)鍵: :1. 1. 選擇合適的坐標(biāo)系選擇合適的坐標(biāo)系2.2.確定合適的積分次序以及積分限確定合適的積分次序以及積分限（綜合考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)）（綜合考慮積分區(qū)域和被積函數(shù)）整理課件20例例 1 222222yR0 xR2Ry2

10、R0y0 xydxedyedxedye計(jì)算計(jì)算:解解考慮用極坐標(biāo)變換考慮用極坐標(biāo)變換先弄清直角坐標(biāo)系下的積分區(qū)域先弄清直角坐標(biāo)系下的積分區(qū)域 D D，整理課件210.20.40.60.811.21.40.511.521D2DR，很明顯很明顯21DDD 由此由此, ,可以可以畫(huà)出直角系畫(huà)出直角系下的積分區(qū)下的積分區(qū)域的圖形，域的圖形，2Ry0, yx0)y, x(D1 Ry2R,yRx0)y, x(D222 0.20.40.60.811.21.40.511.52rD整理課件22 xy22D)yx(dxdyeI r2Drrdrde R0r2/4/rdred2R0r)e21(42 )e1(82R 整

11、理課件23例例2 2整理課件24整理課件25.xyz3)zyx(3222所所圍圍立立體體的的體體積積求求 例例3 3解解 cossincossin3r23 cossin2sin2320 整理課件26 2 2 23 2o 整理課件27由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性 14dVV 2020cossin2sin230232sin drrdd32 整理課件28例例4 計(jì)算計(jì)算 v2,dv)zyxcos()zyx(.10 , 10 , 10),(zyxzxyxzyxV整理課件29解解 曲面坐標(biāo)變換的目的曲面坐標(biāo)變換的目的, (1), (1)使積分區(qū)域變使積分區(qū)域變 得盡量簡(jiǎn)單得盡量簡(jiǎn)單, (2), (2)簡(jiǎn)化被積函數(shù)及

12、計(jì)算。簡(jiǎn)化被積函數(shù)及計(jì)算。引入坐標(biāo)變換：引入坐標(biāo)變換：zyxw,zxvyxu )z, y, x()w, v,u( 111101011 3 dxdydz)zyxcos()zyx(I2v v2dudvdw)w,v,u()z,y,x(wcosw整理課件30dw31wcoswdvdu1021010 dwwcosw31102 102wsin61 1sin61 整理課件310.511.520.20.40.60.811.2z例例5 5 設(shè)心臟線(xiàn)的方程為設(shè)心臟線(xiàn)的方程為),cos1(ar , 0a,0 求它與極軸圍成的平面求它與極軸圍成的平面圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積圖形繞極軸所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解解若視極軸為

13、若視極軸為 z z 軸，則軸，則極坐標(biāo)極坐標(biāo) 恰好是球坐標(biāo)恰好是球坐標(biāo), r的的,:范范圍圍對(duì)對(duì)于于旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)體體應(yīng)應(yīng)為為而而球球坐坐標(biāo)標(biāo) .20 于是體積于是體積整理課件32 dvV )cos1(a02020dsindd 033dsin)cos1(3a2 0434)cos1(3a23a83 整理課件33例例6 6 11)(2222zyxzyxLdsyxL是是其其中中計(jì)計(jì)算算曲曲線(xiàn)線(xiàn)積積分分解解由對(duì)稱(chēng)性由對(duì)稱(chēng)性 LLdszydsyxI)x(31)z(31222 LLds31ds31 Lds32 964 整理課件34例例7.)0()0(22)()()(22222222222所所圍圍球球面面部部分分

14、總總在在左左邊邊軸軸正正向向往往下下看看，曲曲線(xiàn)線(xiàn)從從的的方方向向運(yùn)運(yùn)動(dòng)動(dòng)時(shí)時(shí)，的的方方向向規(guī)規(guī)定定位位沿沿，的的交交線(xiàn)線(xiàn)與與柱柱面面球球面面是是，其其中中求求LzLLzabaxyxbxzyxLdzxydyzxdxzyL 整理課件35.)0(2222部部分分的的上上側(cè)側(cè)所所圍圍球球面面為為曲曲線(xiàn)線(xiàn)取取 zbxzyxL解解 dsyxxzzydxdyyxdzdxxzdydzzyIstokes)cos)(cos)(cos)(2)()()(2 公公式式，有有由由整理課件36,cos,cos,cosbzbybbxn 的的單單位位法法向向量量于是于是 dsyxbzxzbyzybbxI)()()(2 dsy

15、z)(2 zds2 cos2dxdyz bdxdy2 axyxdxdyb2222ba22 整理課件37例例8).x(f, 1)x(flim), 0(Cf, 0zdxdyedzdx)x(xyfdydz)x(xfS0 x0 x1Sx2求求且且其其中中，都都有有，曲曲面面內(nèi)內(nèi)任任意意光光滑滑的的有有向向封封閉閉設(shè)設(shè)對(duì)對(duì)半半空空間間 解解有有，設(shè)設(shè)它它的的表表面面為為，光光滑滑的的有有界界閉閉區(qū)區(qū)域域內(nèi)內(nèi)任任意意公公式式，對(duì)對(duì)半半空空間間由由題題設(shè)設(shè)及及S0 xGauss Sx2zdxdyedzdx)x(xyfdydz)x(xf0 dxdydze)x(xf)x( xf)x( f x2連續(xù)性連續(xù)性的任意

16、性及被積函數(shù)的的任意性及被積函數(shù)的由由 整理課件38)0 x(0e)x(xf)x( xf)x( fx2 01)()11()( 2 xexxfxxfxCee)x( fxx2 , 1)x( flim0 x 又又, 1C, 故故.xee)x( fxx2 所所以以，整理課件39二二. 證明題證明題:,1|,)(證證明明確確定定由由區(qū)區(qū)域域?yàn)闉檫B連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù)設(shè)設(shè) xyDuf例例1dxxxfdxxxfdxdyfIxDyx)(arccos4()()(211022)1 分析分析: :要證明的等式右端是定積分要證明的等式右端是定積分, ,且且被積函數(shù)中有被積函數(shù)中有 項(xiàng)項(xiàng), ,故需將故需將 看看成一整體成一整

17、體. .)(xfyx22 xy )(22,22) 1 , 1(D12D11證明證明: : 采用極坐標(biāo)采用極坐標(biāo). 1r,DDD,DD121111 分分界界線(xiàn)線(xiàn)為為在在第第一一象象限限的的部部分分為為設(shè)設(shè)將式中將式中r r的換成的換成x,x,即得證即得證. . 1D22dxdy)yx( f4I由對(duì)稱(chēng)性知由對(duì)稱(chēng)性知dxdy)yx( fdxdy)yx( f 41211D22D22 4r1arccos211040d)r (rfdrdr)r (rfd 4 2110dr)r (rf)r1arccos4(dr)r (rf整理課件42例例2 2 dxdyexfyxyfxf1)()(22,1 , 0)(證明證明

18、上可積上可積在在設(shè)設(shè)證證)0(1! 212之之間間于于介介于于xxxexex )y( f)( f1)y(f)(f xex 1x1x)y(f)(f2222)y( f)( f1(yyxdxdyxdxdye 1x1x2222)y( f)x( fyydxdydxdy整理課件43.Ryx:D)ba(R21dxdy)y()x()y(b)x(a) t (222D2 其其中中為為連連續(xù)續(xù)正正值值函函數(shù)數(shù)，證證明明設(shè)設(shè)證明：證明：由積分區(qū)域由積分區(qū)域D關(guān)于關(guān)于y=x對(duì)稱(chēng)，所以對(duì)稱(chēng)，所以， DDdxdy)y()x()y(dxdy)y()x()x(從而從而 Ddxdy)y()x()y(b)x(a例例3 3dxdy)

19、y()x()y()x()ba(D )ba(R212 整理課件44.)()(1)(:, 0)()(2,abdxxfdxxfxfCxfbababa 證證明明且且設(shè)設(shè)例例4 4解解：dxxfdxxfIbaba )(1)(dyyfdxxfbaba )(1)(dxdy)y( f1)x( fbyabxa 整理課件45 DdxdyxfyfyfxfI)()()()(21 Ddxdy2212)(ab 整理課件46例例4 4 . 1dyedxe:,1 , 0C)x( f10)y(f10)x(f 證明證明設(shè)設(shè)dyedxeyfxf 10)(10)(:證證 1y01x0)()(dxdyeyfxf 1y01x0)()()

20、()()(21dxdyeexfyfyfxf1221 Ddxdy整理課件47例例5 5 ).0t ( ,dxxt)x(ft2dxxt)x( f:,1 , 0C)x( f1022221022 證明證明設(shè)設(shè):證證dxxt)x(fxtdx102221022 210222221022dxxt1xt)x( fdxxt)x( f dxxt)x(ft1arctant110222 dxxt)x(ft210222 例例 6,)x( f單單調(diào)調(diào)減減少少且且恒恒大大于于零零在在上上連連續(xù)續(xù)設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù) 1010210102dx)x( fdx)x(fdx)x(xfdx)x(xf證證明明：分析：分析： 102101010

21、2dx)x(xfdx)x(fdx)x(xfdx)x(f只只要要證證明明 1021010102dy)y(yfdx)x( fdy)y(yfdx)x(f即即證證0dxdy)y( f)x( fy)y( f )x( f I1010 即即證證dxdy)x( f)y( fx)x( f )y( f I1010 同同理理dxdy)y( f)x( fxy)y( f )x( fI21010 于于是是0)y(f)x(f)xy(0f)x(f 可可保保證證的的單單調(diào)調(diào)性性及及由由則本題得證則本題得證.例例7:, 1yxD22試試證證明明不不等等式式為為設(shè)設(shè) .52dxdy)yx(sin16561D322 證明證明drrs

22、inr2dxdy)yx(sinI103D322 drrrr)(2103!39 ，而而 16561dr)!3rr(r21093 52drr2104.52dxdy)yx(sin16561D322 故故例例 81yx:D,)0 , 0(f2dxdyyxyfyxfxlim)y, x(f222D220 求求證證零零，數(shù)數(shù)，且且在在邊邊界界上上取取值值為為在在單單位位圓圓上上有有連連續(xù)續(xù)偏偏導(dǎo)導(dǎo)設(shè)設(shè)證證由積分中值定理有由積分中值定理有)0 , 0(f2 r)sinr ,cosr ( fryfsinrxfcosryfyxfx rdrr)sinr ,cosr (rfrddxdyyxyfyxfx2012D22

23、20d)sin,cos( f-0）（)sin,cos( flim2-dxdyyxyfyxfxlim0D220 整理課件52例例 9.D)y, x(f,:D,dxdy)y, x(ft21limtyx222D0t上上連連續(xù)續(xù)在在求求 證證由積分中值定理有由積分中值定理有)D(A),(fdxdy)y, x(fD 2t),(f ),(flimdxdy)y, x(ft21lim0tD0t 則則)0 , 0(f 整理課件53設(shè)設(shè))(xf在在1 , 0上連續(xù)上連續(xù), ,試證試證: : 310101)(61)()()( dxxfdxdydzzfyfxfxyx . .例例1010證證 tdxxftF0)()(設(shè)

24、設(shè), 0)0(F 于于是是dyxFyFyfxfdxIx)()()()(101 1110 xxdyxFyfxfdyyFyfxfdx)()()()()()(101101221dxyFxFxfdxyFxfxx| )()()(| )()(整理課件54 1022dx)x(F)1(F)x(F)x( f)x(F)1(F21)x( f 1022dx)1(F)x(F)x( f)x(F)x( f21)1(F)x( f21 102dx)1(F)x(F2)x( f 102)1(F)x(Fd)1(F)x(F21103|)1(F)x(F61 310dx)x( f61 整理課件55例例1111 tt2) t (D22) t

25、 (D22) t (222dx)x( fd)yx( f) t (G,d)yx( fdv)zyx( f) t (F.tyx| )y, x() t (Dtzyx| )z, y, x() t (2222222 其其中中連連續(xù)續(xù)且且大大于于零零，設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù))x( f.), 0() t (F)1(內(nèi)的單調(diào)性?xún)?nèi)的單調(diào)性在區(qū)間在區(qū)間討論討論).t (G2) t (F,0t)2( 時(shí)時(shí)證證明明當(dāng)當(dāng)整理課件56 ttrdrtfdrrtrtfttftF022022)()()()(2)( , 0)x( F), 0( 上上所所以以在在.), 0() t (F內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在故故 2002002220)(si

26、n)()(ttrdrrfddrrrfddtF,)()(202022 ttrdrrfdrrrf解解)1(整理課件57證證)2(,)()()(0202 ttdrrfrdrrftG ),t (G2) t (F0t 時(shí)時(shí)要要證證明明因因, 0) t (G2) t (F,0t 時(shí)時(shí)只只需需證證明明.0rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( ft022t02t022 即即,rdr)r ( fdr)r ( fdrr )r ( f) t (g2t02t02t022 令令, 0dr)rt)(r ( f)t ( f) t ( gt0222 則則.), 0) t (g內(nèi)單調(diào)增加內(nèi)單調(diào)增加在在故故整理課件

27、58, 0)0( g又又, 0) t (g,0t 時(shí)時(shí)故故當(dāng)當(dāng)).t (G2) t (F0t 時(shí)，時(shí)，因此，當(dāng)因此，當(dāng),0t) t (g處連續(xù)處連續(xù)在在因?yàn)橐驗(yàn)?).0(g) t (g,0t 有有時(shí)時(shí)所以當(dāng)所以當(dāng)整理課件59.144B|dxdy)y,x(f|,B|yxf|,1y,x0:D)y,x(f12D224 證證明明且且的的邊邊界界為為零零在在平平面面區(qū)區(qū)域域設(shè)設(shè)四四次次可可微微函函數(shù)數(shù)例例證證, )y1(y)x1(xy)g(x, 令令由題設(shè)條件可得由題設(shè)條件可得),1y0(, 0)y, 0( f)y, 1( f 故有故有),1y0(, 0|yf|yf0 x1x ),1y0(, 0|yf|

28、yf0 x221x22 整理課件60 1010231023dy)dxxgyxf|gyxf( 101023dy)dxxgyxf( 101022221022dy)dxxgyf|xgyf( D1010224224dx)y, x(gyxfdydxdy)y, x(gyxfI 10102222dy)dxxgyf( D2222dxdyxgyf（分部積分）（分部積分）（分部積分）（分部積分）整理課件61, )y1(y2xg22 又又由分部積分法得由分部積分法得 102210dxdyyf) )y1(y2(I 10101y0ydxdyyf)y21(|yf)y1(y2 1010dxdyyf)y21(2 1010dx

29、)dy)y, x( f(4 Ddxdy)y, x( f4整理課件62故故 D224D|dxdy)y1)(x1(xyyxf|41|dxdy)y, x( f| D224dxdy| )y1)(x1(xy|yxf|41 Ddxdy)y1)(x1(xyB41 102dx)x1(x4B.144B 整理課件6321,dy)xy(u)y(u1)x(u, 1 , 0)x(u.131x 試試證證且且連連續(xù)續(xù)在在設(shè)設(shè)例例證證 10dx)x(ua 令令 101dx)x(u )(1a dyyyux dyyyuxx)x(u )(d1 110 則則令令, xyt 100ydt)(t (udy)y(u1a 10y0dt) t (udy)y(u1 102y0|)dt) t (u(211 2a21 整理課