弧長與扇形面積公式

1、 在田徑二百米跑比賽中，每位運動員的起跑位在田徑二百米跑比賽中，每位運動員的起跑位置相同嗎？每位運動員彎路的展直長度相同嗎？置相同嗎？每位運動員彎路的展直長度相同嗎？一、一、 情境引入情境引入 導入新課導入新課 觀察：觀察：制造彎形管道時，經常要先按中制造彎形管道時，經常要先按中心線計算心線計算“展直長度展直長度”(圖中虛線的長度圖中虛線的長度)，再下料，這就涉及到計算再下料，這就涉及到計算弧長弧長的問題的問題（1）半徑為R的圓,周長是多少？C=2R （3）1圓心角所對弧長是多少？ （2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的弧？180RnlnABO若設O半徑為R， n的圓心角所對的弧長為 ，

2、則 l1803602RRl360(4)n圓心角所對弧長是多少？n180R1.已知弧所對的圓心角為900，半徑是4，則弧長為_ 2. 已知一條弧的半徑為9，弧長為8 ，那么這條弧所對的圓心角為_。3. 鐘表的軸心到分針針端的長為5cm,那么經過40分鐘,分針針端轉過的弧長是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm3502160B小結： 弧長公式涉及三個量 弧長 ,圓心角的度數 ,弧所在的半徑，知道其中兩個量，就可以求第三個量。 應用：制造彎形管道時，要先按中心線計算“展直長度”，再下料，試計算圖所示管道的展直長度L(單位：mm，精確到1mm)解：由弧長公式，可得弧AB

3、的長L （mm） 1570500180900100因此所要求的展直長度 L （mm） 297015707002答：管道的展直長度為2970mm 1.已知弧所對的圓心角為90，半徑是4，則弧長為_.2. 已知一條弧的半徑為9，弧長為8 ，那么這條弧所對的圓心角為_.3. 鐘表的軸心到分針針端的長為5cm,那么經過40分鐘,分針針端轉過的弧長是( ) A. B. C. D. cm310cm320cm325cm3502160B【跟蹤訓練】 如下圖，由組成圓心角的兩條半徑和圓心角所對的弧圍成的圖形是扇形。半徑半徑圓心角圓心角弧ABOBA扇形那么： 在半徑為R 的圓中,n的圓心角所對的扇形面積的計算公式

4、為360Rn2扇扇形形S2R3602R36036022RnRn360(1) 如果圓的半徑為R，則圓的面積為多少？ (2)圓的面積可以看成多少度圓心角扇形的面積？(3) l的圓心角對應的扇形面積為多少 ？(4) n的圓心角對應的扇形面積為 多少？3602RnS扇形180RnlABOO比較扇形面積與弧長公式, 用弧長表示扇形面積:lRS21扇形想一想：扇形的面積公式與什么 公式類似？20 cm 23 cm 43 2240 cm 小結： 扇形面積公式涉及三個量 扇形面積 ,圓心角的度數 ,弧所在的半徑，知道其中兩個量，就可以求第三個量。 1：如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑0.6m，其中水面

5、高0.3m，求截面上有水部分的面積。（精確0.01m）。0BACD解：如圖，連接OA，OB，OD=OC-DC=0.3OC=0.6，DC=0.3OD=DC又AD DCAD上線段OC的垂直平分線AC=AO=OC從而AOD=60， AOB=120有水部分的面積為：S= S扇OAB- SOAB =3 . 036 . 02112. 00.22m2ODAB 216 . 03061202 =連接AC過點O作弦AB的垂線，垂足為D，交弧AB于點C，分析：有水部分的面積為： S= S扇OAB- SOAB拓展與應用變式：1.如圖、水平放置的圓柱形排水管道的截面半徑是0.6m，其中水面高0.9m，求截面上有水部分的

6、面積。(結果保留兩位小數 )0ABDCE分析：有水部分的面積 = S扇+ SOAB解: 連接OA,OB過點O作弦AB的垂線,垂足為點E,交劣弧AB于點D,交優(yōu)弧ACB于點C ， 連接ADCD=1.2,EC=0.9,DE=CD-CE=1.2-0.9=0.3OE=OD-ED=0.6-0.3=0.3ED=0EABODAB是OD的垂直平分線OA=AD=ODAOD=60, AOB=120有水部分的面積 = S扇+ SOABOEAB216 . 03602402 =3 . 036 . 02124. 0 0.91 m2優(yōu)弧ACB所對圓心角為2401.學會幾何建模，既把實際問題轉化為幾何問題2.轉化思想3.S弓

7、=S扇S S弓=S扇+S0BA0圓心角是1的扇形面積是多少？圓心角為n的扇形面積是多少?圓心角是1的扇形面積是圓面積的 3601圓心角是n的扇形面積是圓面積的 360n 如果用字母 S 表示扇形的面積，n表示圓心角的度數，R 表示圓半徑，那么扇形面積的計算公式是：S扇形 S圓360n360n R2（1）當已知弧長L和半徑R，求扇形面積時，應選用（2）當已知半徑和圓心角的度數，求扇形面積時，應選用LRS21扇形3602RnS扇形扇形所對的弧長扇形的面積是180RnLLRRRnRnS2121803602扇形五、小結提高 1. 一個概念：扇形 三個公式：弧長公式 扇形面積 兩種變形：弧長公式、扇形面

8、積公式的變形；一種轉化：把陰影部分的面積轉化為扇形面積和三角形面積的和或差.180Rnl S扇形3602RnS扇形.lR21 2.思考：如何求下列兩個圖中陰影部分的面積？OBA（1）ABO（2） 圖(1)的陰影面積扇形OAB的面積+ OAB的面積 圖(2)的陰影面積扇形OAB的面積- OAB的面積2.一塊等邊三角形的木板,邊長為1,現將木板沿水平線翻滾(如圖),那么B點從開始至B2結束所走過的路徑長度_.BB1B2FB1BBBBF B234l3.3.（衡陽（衡陽中考）如圖，在中考）如圖，在 中，中， 分別以分別以ACAC、BCBC為直徑畫半圓，則為直徑畫半圓，則圖中陰影部分的面積為圖中陰影部分

9、的面積為 （結果保留（結果保留 ）CAB222211( AC)( BC)AC BC214 2522S42222222陰影9042CACBC ，RtABC【解析】答案:542 1 1、已知正三角形、已知正三角形ABCABC的邊長為的邊長為a，分，分別以別以A A、B B、C C為圓心，以為圓心，以 為半徑為半徑的圓相切于點的圓相切于點D D、 E E、F F，求圖中陰影求圖中陰影部分的面積部分的面積S.S.2a2.如圖，已知如圖，已知P、Q分別是半徑為分別是半徑為1的半圓的半圓圓周上的兩個三等分點，圓周上的兩個三等分點，AB是直徑，則是直徑，則陰影部分的面積等于陰影部分的面積等于 。1.1.A

10、A, , B B, , C C兩兩不相交兩兩不相交, ,且半徑且半徑都是都是1 1cmcm, ,則圖中的三個扇形的面積之則圖中的三個扇形的面積之和為多少和為多少? ?弧長的和為多少弧長的和為多少? ? （北京）（北京） 探究題：如圖，A、 B、 C、 D兩兩不相交，且半徑都是2cm，求圖中陰影部分的面積。 ABCD四個扇形的面積剛好構成一個完整的圓，所以陰影部分的面積為三個圓的面積，即12 2.（山東）如圖所示，分別以（山東）如圖所示，分別以n邊形的頂點為邊形的頂點為圓心，以單位圓心，以單位1為半徑畫圓，則圖中陰影部分的為半徑畫圓，則圖中陰影部分的面積之和為面積之和為 個平方單位個平方單位3.3.一塊等邊三角形的木板一塊等邊三角形的木板, ,邊長為邊長為1, 1,現將現將木板沿水平線翻滾木板沿水平線翻滾( (如圖如圖), ),那么那么B B點從開點從開始至始至B B2 2結束所走過的路徑長度結束所走過的路徑長度_._.( (湖北湖北) )BB1B2UFB1BAB CD EF B22.已知矩形已知矩形ABCD的長的長AB=4,寬寬AD=3,按如圖放置在直按如圖放置在直線線AP上上,然后不滑動地轉動然后不滑動地轉動,當它轉動一周時當它轉動一周時( A A/),