金融工程(第三章)

1、第三章第三章 期權(quán)期權(quán)一、期權(quán)的定義與種類 1、期權(quán)的概念 所謂期權(quán)（Option），是指賦予其購買者在規(guī)定期限內(nèi)按雙方約定的價格（簡稱執(zhí)行價格，Exercise Price或Striking Price）購買或出售一定數(shù)量某種資產(chǎn)（稱為標的資產(chǎn)，Underlying Assets）的權(quán)利的合約。根據(jù)期權(quán)購買者的權(quán)利不同、執(zhí)行時限不同和標的資產(chǎn)不同，期權(quán)又有多種不同的分類。 2、期權(quán)的分類 按期權(quán)買者的權(quán)利劃分 看漲期權(quán)(Call Option)：如果賦予期權(quán)買者未來按約定價格購買標的資產(chǎn)的權(quán)利，就是看漲期權(quán)。 看跌期權(quán)(Put Option)：如果賦予期權(quán)買者未來按約定價格出售標的資產(chǎn)的權(quán)利

2、，就是看跌期權(quán)。 例：投資者購買一個100股MS股票的看漲期權(quán)。期權(quán)費用$5/股，執(zhí)行價格$100，股票現(xiàn)價$98。假定期權(quán)到期日MS股票$115/股，則執(zhí)行期權(quán)的結(jié)果如下： 期權(quán)購買者損益： 100（$115 $100 $5） = $1000 期權(quán)出售者損益： 100（$100 $5 $115） = -$1000看漲期權(quán)損益-35-30-25-20-15-10-505101520253035708090100110120130現(xiàn)貨價格（$ ）損益（$ ）看漲期權(quán)購買者利潤（$ ）看漲期權(quán)出售者虧損（$ ） 例：投資者購買一個銷售100股Oracle公司股票的看跌期權(quán)，執(zhí)行價格為$70/股，股

3、票現(xiàn)價$65/股，期權(quán)費用為$10/股。假定到期日股票價格為$50/股，則執(zhí)行期權(quán)的結(jié)果如下： 期權(quán)購買者損益： 100（$70 $50 $10）=$1000 期權(quán)出售者損益： 100（$50 $10 $70）= $1000看跌期權(quán)損益-25-20-15-10-50510152025404550556065707580859095100現(xiàn)貨價格（$ ）損益（$ ）看跌期權(quán)購買者損益( $ )看跌期權(quán)出售者損益（$ ） 按執(zhí)行時限劃分：歐式期權(quán)、美式期權(quán)和百慕大期權(quán) 按標的資產(chǎn)劃分：股票期權(quán)、股價指數(shù)期權(quán)、金融期貨期權(quán)、利率期權(quán)、貨幣期權(quán)（外匯期權(quán)） 3、期權(quán)的多方與空方 多方權(quán)利：對于期權(quán)的多

4、方來說，在付出期權(quán)費后，期權(quán)合約賦予他的只有權(quán)利，而沒有任何義務(wù)。他可以在期權(quán)合約規(guī)定的時間內(nèi)行使其購買或出售標的資產(chǎn)的權(quán)利，也可以不行使這個權(quán)利。 空方義務(wù)：對期權(quán)的出售者來說，他只有履行合約的義務(wù)，而沒有任何權(quán)利。當期權(quán)買者按合約規(guī)定行使其買進或賣出標的資產(chǎn)的權(quán)利時，期權(quán)賣者必須依約相應地賣出或買進該標的資產(chǎn)。 期權(quán)多空雙方的權(quán)利義務(wù)交易進行之前交易進行之中交易完成之后期權(quán)多方既沒有權(quán)利也沒有義務(wù)必須承擔支付期權(quán)費用的義務(wù)以執(zhí)行價格買入、賣出標的資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)空方既沒有權(quán)利也沒有義務(wù)擁有收取期權(quán)費用的權(quán)利以執(zhí)行價格賣出、買入標的資產(chǎn)的義務(wù) 期權(quán)交易中的雙重買賣關(guān)系看漲期權(quán)看跌期權(quán)期權(quán)多方以

5、執(zhí)行價格買入標的資產(chǎn)的權(quán)利以執(zhí)行價格賣出標的資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)空方以執(zhí)行價格賣出標的資產(chǎn)的義務(wù)以執(zhí)行價格買入標的資產(chǎn)的義務(wù)上證上證50ETF期權(quán)合約期權(quán)合約合約標的上證50交易型開放式指數(shù)證券投資基金合約類型認購期權(quán)和認沽期權(quán)合約單位10000份合約到期月份當月、下月及隨后兩個季月行權(quán)價格5個（1個平值合約、2個虛值合約、2個實值合約）上證上證50ETF期權(quán)合約期權(quán)合約行權(quán)價格間距3元以下為0.05元，3元至5元為0.1元，5元至10元為0.25元，10元至20元為0.5元，20元至50元為1元，50元至100元為2.5元，100元以上為5元行權(quán)方式到期日行權(quán)（歐式）交割方式實物交割到期日到期月份

6、的第四個星期三（遇法定節(jié)假日順延）行權(quán)日同合約到期日，行權(quán)指令提交時間為9:15-9:25，9:30-11:30，13:00-15:30上證上證50ETF期權(quán)合約期權(quán)合約交收日行權(quán)日次一交易日交易時間上午9:15-9:25，9:30-11:30, 下午13:00-15:00最小報價單位0.0001元漲跌幅限制認購期權(quán)最大漲幅=max合約標的前收盤價*0.5%，min(2*合約標的前收盤價-行權(quán)價格)，合約標的前收盤價*10%認購期權(quán)最大跌幅=合約標的前收盤價*10%上證上證50ETF期權(quán)合約期權(quán)合約漲跌幅限制認沽期權(quán)最大漲幅=max行權(quán)價格*0.5%，min(2*合約行權(quán)價格-合約標的前收盤價

7、)，合約標的前收盤價*10%認沽期權(quán)最大跌幅=合約標的前收盤價*10%開倉保證金最低標準認購期權(quán)義務(wù)倉開倉保證金=合約前結(jié)算價+max(12%*合約標的前收盤價-認購期權(quán)虛值，7%*合約標的前收盤價)*合約單位認沽期權(quán)義務(wù)倉開倉保證金=min合約前結(jié)算價+max(12%*合約標的前收盤價-認沽期權(quán)虛值，7%*行權(quán)價格)，行權(quán)價格*合約單位上證上證50ETF期權(quán)合約期權(quán)合約維持保證金最低標準認購期權(quán)義務(wù)倉維持保證金=合約結(jié)算價+max(12%*合約標的收盤價-認購期權(quán)虛值，7%*合約標的收盤價)*合約單位認沽期權(quán)義務(wù)倉維持保證金=min合約結(jié)算價+max(12%*合約標的收盤價-認沽期權(quán)虛值，7

8、%*行權(quán)價格)，行權(quán)價格*合約單位 練習： 1、若前結(jié)算價為0.0878元，50ETF前收盤價為2.500元，當天賣出一張1月份到期的行權(quán)價為2.50元的認沽期權(quán)，試求開倉保證金和當日漲跌幅。 2、若前結(jié)算價為0.1326元，50ETF前收盤價為2.500元，當天賣出一張1月份到期的行權(quán)價為2.40元的認購期權(quán)，試求開倉保證金和當日漲跌幅。二、期權(quán)的回報與盈虧分布 1、看漲期權(quán)多頭的回報與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看漲期權(quán)多頭的回報與盈虧表達式 歐式看漲期權(quán)多頭回報 歐式看漲期權(quán)多頭盈虧 上式之所以直接相加減，其假設(shè)前提是無風險利率為0。除非特別說明，本章計算期權(quán)回報與盈虧，均假設(shè)無風險利

9、率為0。)0 ,max(XSTcXST)0 ,max( 2、看漲期權(quán)空頭的回報與盈虧分布 由于期權(quán)合約是零和博弈（ZeroSum Games），也就是說買者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是賣者的盈利，所以我們可以發(fā)現(xiàn)，看漲期權(quán)多頭和空頭的曲線是關(guān)于x軸對稱的。 2、看漲期權(quán)空頭的回報與盈虧分布 由于期權(quán)合約是零和游戲（ZeroSum Games），也就是說買者的盈利就是賣者的虧損，買者的虧損就是賣者的盈利，所以我們可以發(fā)現(xiàn)，看漲期權(quán)多頭和空頭的曲線是關(guān)于x軸對稱的。期權(quán)到期時的股價 歐式看漲期權(quán)空頭的回報與盈虧表達式 歐式看漲期權(quán)空頭回報 歐式看漲期權(quán)空頭盈虧)0 ,max(XST)0 ,

10、max(cXST 3、看跌期權(quán)多頭的回報與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看跌期權(quán)多頭的回報與盈虧表達式 歐式看跌期權(quán)多頭回報 歐式看跌期權(quán)多頭盈虧)0 ,max(TSX pSXT)0 ,max( 4、看跌期權(quán)空頭的回報與盈虧分布期權(quán)到期時的股價 歐式看跌期權(quán)空頭的回報與盈虧表達式 歐式看跌期權(quán)多頭回報 歐式看跌期權(quán)多頭盈虧max(,0)TXSmax(,0)TXSp 5、美式期權(quán)的回報與盈虧分布 由于美式期權(quán)多方隨時都可以行使權(quán)力，因此，我們有： 美式看漲期權(quán)的回報（多方） 美式看跌期權(quán)的回報（多方）)0 ,max(XS )0 ,max(SX 相應地，我們有： 美式看漲期權(quán)的盈虧（多方） 美式看

11、跌期權(quán)的盈虧（多方）cXS)0 ,max(pSX)0 ,max(三、期權(quán)價格的特性 1、內(nèi)在價值 期權(quán)價值（理論價格）的構(gòu)成：內(nèi)在價值+時間價值 期權(quán)的內(nèi)在價值（Intrinsic Value）是指多方行使期權(quán)時所獲回報最大貼現(xiàn)值與0之間的較大值。頭頭 寸寸期權(quán)回報期權(quán)回報內(nèi)在價值內(nèi)在價值看漲期權(quán)看漲期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益 看跌期權(quán)看跌期權(quán)歐式無收益有收益美式無收益有收益max(,0)TSXmax(,0)TSXmax(,0)TSXmax(,0)SXmax(,0)TXSmax(,0)TXSmax(,0)XSmax(,0)XSmax(,0)r T tSXemax(,0)r T tSD

12、Xemax(,0)r T tSXemax(,0)r T tXeSmax(,0)r T tXeSD()()max(,0)rtr T tSXeSDXemax(,0)XS()max(,(),0)rtXS XeSD 2、實值期權(quán)、平價期權(quán)與虛值期權(quán) 3、期權(quán)的時間價值 期權(quán)時間價值 = 期權(quán)價格 期權(quán)內(nèi)在價值 期權(quán)的時間價值是在期權(quán)尚未到期時，標的資產(chǎn)價格的波動為期權(quán)持有者帶來收益的可能性所隱含的價值。 期權(quán)的時間價值是基于期權(quán)多頭權(quán)利義務(wù)不對稱這一特性所導致的期權(quán)剩余有效期內(nèi)標的資產(chǎn)價格變化可能給期權(quán)多頭帶來的收益的一種反映。 期權(quán)時間價值影響因素： 標的資產(chǎn)價格發(fā)生有利波動的幅度越大，期權(quán)時間價值

13、越大。 期權(quán)剩余有效期越長，標的資產(chǎn)價格發(fā)生有利波動的概率越大，期權(quán)時間價值越大。 平價期權(quán)的時間價值最大。 4、期權(quán)價格的影響因素 (i) 標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格 標的資產(chǎn)的市場價格與期權(quán)的協(xié)議價格是影響期權(quán)價格最主要的因素。因為這兩個價格及其相互關(guān)系不僅決定著內(nèi)在價值，而且還進一步影響著時間價值。 由于看漲期權(quán)執(zhí)行時，其收益等于標的資產(chǎn)當時的市價與協(xié)議價格之差。因此，標的資產(chǎn)的價格越高、協(xié)議價格越低，看漲期權(quán)的價格也就越高。 對看跌期權(quán)而言，由于執(zhí)行時其收益等于協(xié)議價格與標的資產(chǎn)市價之差，因此，標的資產(chǎn)的價格越低、協(xié)議價格越高，看跌期權(quán)的價格也就越高。 (ii) 期權(quán)的有效期：

14、時間價值顯然會受到時間的影響。但是，對于歐式和美式期權(quán)，時間的影響有所不同：對于美式期權(quán)，有效期越長，期權(quán)價值越大，而歐式期權(quán)則不一定。 (iii) 標的資產(chǎn)價格的波動率：所謂波動率是指標的資產(chǎn)收益率的標準差，它反映了標的資產(chǎn)價格的波動狀況。標的資產(chǎn)價格的波動率越高，期權(quán)的時間價值就越大。 (iv) 無風險利率：影響期權(quán)價格的另一個重要因素是無風險利率，尤其是短期無風險利率。 (v) 標的資產(chǎn)的收益：按照美國市場慣例，標的資產(chǎn)分紅或者是獲得相應現(xiàn)金收益的時候，期權(quán)合約的協(xié)議價格并不進行相應的調(diào)整。這樣，標的資產(chǎn)進行分紅付息，將減少標的資產(chǎn)的價格，這些收益將歸標的資產(chǎn)的持有者所有，同時協(xié)議價格并

15、未進行相應調(diào)整。因此在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)產(chǎn)生的現(xiàn)金收益將使看漲期權(quán)價格下降，而使看跌期權(quán)價格上升。四、期權(quán)價格的上下限 1、不付紅利的歐式看漲期權(quán)價格的下限 考慮兩個組合 組合A：一份歐式看漲期權(quán)與Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 組合B：一單位標的資產(chǎn)。 在時刻T，組合A的價值為：max(ST，X)，組合B的價值為：ST。在不存在套利機會的情況下，有 c Xe r(T-t) S，即 cS Xe r(T-t)。由于c0， c max(S Xe r(T-t) ， 0) 2、有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限 只要將上述組合 A 的現(xiàn)金改為 ，其中 D 為期權(quán)有效期內(nèi)資產(chǎn)收益的現(xiàn)值，并經(jīng)過類似的推導，就

16、可得出有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格的下限為r T tDXemax,0r T tcSDXe 3、不付紅利的歐式看跌期權(quán)價格的下限 考慮兩個組合 組合C：一份歐式看跌期權(quán)加上一單位標的資產(chǎn)。 組合D： Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 在時刻T，組合C的價值為：max(ST，X)，組合D的價值為： X。在不存在套利機會的情況下，有 p S Xe r(T-t)，即p Xe r(T-t)S。由于p 0， p max(Xe r(T-t)S，0) 4、有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限 將上述組合 D 的現(xiàn)金改為 ，可得出有收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格的下限為：r T tXeDmax,0r T tpXeDS五、美式期權(quán)

17、的提前執(zhí)行 1、提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性 提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)是不明智的。 構(gòu)造組合 組合 A ：一份美式看漲期權(quán)加金額為 的現(xiàn)金。 組合 B ：一單位標的資產(chǎn)。r T tXe 不提前執(zhí)行： T 時刻組合 A 的價值為 ，而組合 B 的價值為 ，組合 A 在 T 時刻的價值一定大于等于組合 B。 若在 時刻提前執(zhí)行：組合 A 的價值 ，而組合 B 的價值為 。由于 ，故 。也就是說，若提前執(zhí)行美式期權(quán)的話，組合 A 的價值將小于組合B。 結(jié)論：提前執(zhí)行是不理智的。無收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)價格的價格下限為max,TSXTSr TSXXeS,0Trr TXeXmax,0r

18、T tCSXe 2、提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性 組合 A ：一份美式看跌期權(quán)加一單位標的資產(chǎn)。 組合 B ：金額為 的現(xiàn)金。 若不提前執(zhí)行，則到 T 時刻：組合 A 的價值為 ，組合 B 的價值為 X ，因此組合 A 的價值大于等于組合B。 若在 時刻提前執(zhí)行：組合 A 的價值為 X，組合 B 的價值為 ，因此組合 A 的價值高于組合 B。r T tXemax,TSXreTX 結(jié)論：是否提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)，主要取決于期權(quán)的實值額 、無風險利率水平等因素。一般來說，只有當 S 相對于 X 來說較低，或者 r 較高時，提前執(zhí)行無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)才可能是有利的。由于無收

19、益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)可能提前執(zhí)行，期權(quán)價格下限變?yōu)閄Smax,0PXS 3、提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看漲期權(quán)的合理性 我們假設(shè)在期權(quán)到期前，標的資產(chǎn)有n個除權(quán)日，t1，t2，tn為除權(quán)前的瞬時時刻，在這些時刻之后的收益分別為D1，D2，Dn，在這些時刻的標的資產(chǎn)價格分別為S1，S2，Sn。 在有收益情況下，只有在除權(quán)前的瞬時時刻提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)方有可能是最優(yōu)的。因此我們只需推導在每個除權(quán)日前提前執(zhí)行的可能性。 如果在 時刻提前執(zhí)行期權(quán)，則期權(quán)多方獲 的回報。若不提前執(zhí)行，則標的資產(chǎn)價格將由于除權(quán)降到 。由于在 之后的瞬間時刻美式期權(quán)的價值 滿足 因此如果 提前執(zhí)行是不明智的。ntnSXnnS

20、DntnCmax,0nr T tnnnnCcSDXe1nnr T tnnnr T tnSDXeSXDXe 如果 ，則在 提前執(zhí)行有可能是合理的。實際上，只有當 時刻標的資產(chǎn)價格足夠大時提前執(zhí)行美式看漲期權(quán)才是合理的。 類似地，對于任意除權(quán)日 ，在 時刻不能提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)條件是1nr T tnDXentntitit11iir ttiDXe 假設(shè)在期權(quán)有效期內(nèi)標的資產(chǎn)只在 支付股利，由于存在提前執(zhí)行更有利的可能性，有收益資產(chǎn)的美式看漲期權(quán)價格下限變?yōu)?,max(,0)rtr T tCSXeSDXe 4、提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)的合理性 由于提前執(zhí)行有收益資產(chǎn)的美式看跌期權(quán)意

21、味著自己放棄收益權(quán)，因此收益使美式看跌期權(quán)提前執(zhí)行的可能性變小，但還不能排除提前執(zhí)行的可能性。通過同樣的分析，我們可以得出美式看跌期權(quán)不能提前執(zhí)行的條件是 由于美式看跌期權(quán)有提前執(zhí)行的可能性，因此其下限為1()()1, 1iinr ttr T tinDXeDXemax(,0)rtPXS XeSD六、期權(quán)價格曲線 期權(quán)價格等于內(nèi)在價值加上時間價值 內(nèi)在價值主要取決于S和X，以及時間和利率、紅利等因素；時間價值則受到有效期、內(nèi)在價值、波動率、利率的影響。 期權(quán)價值都以內(nèi)在價值為下限，除了有收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)的價格上限為標的資產(chǎn)價格減收益現(xiàn)值外，其他看漲期權(quán)價格上限為標的資產(chǎn)價格。 歐式看跌期權(quán)價

22、格上限為協(xié)議價格的現(xiàn)值，美式看跌期權(quán)價格上限為協(xié)議價格。 有收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線只要從無收益資產(chǎn)的期權(quán)價格曲線稍作改動即可獲得。無收益資產(chǎn)歐式看漲期權(quán)價格曲線圖無收益資產(chǎn)歐式看跌期權(quán)價格曲線圖 無收益資產(chǎn)美式看跌期權(quán)價格曲線圖七、看漲看跌期權(quán)平價關(guān)系 1、無收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮以下兩個組合 組合A：一份歐式看漲期權(quán)與Xe r(T-t)的現(xiàn)金。 組合C：一份歐式看跌期權(quán)與一單位標的資產(chǎn)。 在T時刻，組合A與組合C的價值均為max(ST，X)。故在t時刻，兩者價值也應相等。因此， c + Xe r(T-t) = p +S 2、有收益資產(chǎn)的歐式期權(quán) 考慮如下兩個資產(chǎn)組合 組合A ：一份歐式看漲期權(quán)與D+Xe r（T-t)的現(xiàn)金。 組合C ：一份歐式看跌期權(quán)與一單位標的資產(chǎn)。 在期權(quán)到期日，兩個資產(chǎn)組合的價值相等，且為FV(D) max(ST， X)。由于不存在套利機會，所以，兩個組合的現(xiàn)值也應當相等，即 p S = c Xe r(T-t) D 3、無收益資產(chǎn)美式期權(quán) 一般來說，美式看漲與看跌期權(quán)之間不存在精確的平價關(guān)系。 由于Pp，從 ，我們可得 對于無收益資產(chǎn)看漲期權(quán)來說，由于c=C，因此SpXectTr)(