第三章 靜力學(xué)平衡問(wèn)題

1、1第三章第三章力系的平衡條件與力系的平衡條件與平衡方程平衡方程2（1）力系的平衡條件。）力系的平衡條件。（2）求剛體系統(tǒng)平衡時(shí)的約束力或平衡時(shí)的位置。）求剛體系統(tǒng)平衡時(shí)的約束力或平衡時(shí)的位置。（3）帶有摩擦的平衡問(wèn)題。）帶有摩擦的平衡問(wèn)題。本章內(nèi)容是靜力學(xué)部分的核心，包括：本章內(nèi)容是靜力學(xué)部分的核心，包括：關(guān)于關(guān)于“”的概念的概念（1）物體或物體系統(tǒng)的平衡）物體或物體系統(tǒng)的平衡相對(duì)于慣性參考相對(duì)于慣性參考 空間靜止或勻速直線平移。空間靜止或勻速直線平移。（2）平衡力系）平衡力系即零力系，力系的主矢和主矩即零力系，力系的主矢和主矩均為零。均為零。33.1 3.1 力系的平衡方程力系的平衡方程一、

2、力系平衡的充要條件：一、力系平衡的充要條件：niiiniiOOniiRFrFMMFF1110)()(,0如果是如果是空間問(wèn)題，空間問(wèn)題，展開(kāi)式為：展開(kāi)式為：niiOzniiOyniiOxniizniiyniixFMFMFMFFF1111110)(,0)(,0)(0,0,0以上以上6 6式稱為式稱為空間任意力系的平衡方程空間任意力系的平衡方程，有，有6 6個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的平衡方程，可求得平衡方程，可求得6 6個(gè)未知量。個(gè)未知量。4特殊的空間力系及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)：特殊的空間力系及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)：（1 1）空間匯交力系）空間匯交力系 0)(iOFM各力交于各力交于O點(diǎn)點(diǎn)平衡方程僅有平衡方程僅有0

3、iRFF即即0, 0, 0iziyixFFF（2 2）空間力偶系）空間力偶系iFO3F2F1FiMO3M2M1M0iRFF平衡方程僅有平衡方程僅有0iOMM即即0, 0, 0iziyixMMM5（3 3）空間平行力系）空間平行力系 xyz設(shè)各力平行于設(shè)各力平行于z 軸，則有軸，則有0, 0, 0iziyixMFF平衡方程僅有平衡方程僅有0, 0, 0iyixizMMF（4 4）其他）其他例如：空間各力與某軸例如：空間各力與某軸 l 相交相交l各力對(duì)各力對(duì) l 軸之矩恒為零軸之矩恒為零iFO3F2F1F6如果是如果是平面問(wèn)題平面問(wèn)題（設(shè)為（設(shè)為xy平面），則平面），則平面任意力系平面任意力系獨(dú)立

4、獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)為平衡方程個(gè)數(shù)為？ 0,0,0 xyOFFMF上式稱為平衡方程上式稱為平衡方程一矩式一矩式，二矩式二矩式和和三矩式三矩式分別為：分別為： 0000 xyABFFMFMF或 000ABCMFMFMF條件是：條件是：A A、B B 兩點(diǎn)的連線不兩點(diǎn)的連線不能與能與x x 軸（或軸（或y y 軸）垂直軸）垂直條件是：條件是：A A、B B、C C三點(diǎn)不能共線三點(diǎn)不能共線重點(diǎn)重點(diǎn)3 個(gè)個(gè)7上述三組方程，每組中獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)均為上述三組方程，每組中獨(dú)立的平衡方程的個(gè)數(shù)均為3，若找到第四個(gè)方程，則必是前若找到第四個(gè)方程，則必是前3個(gè)方程的線性組合，個(gè)方程的線性組合，并且不是獨(dú)立的。并

5、且不是獨(dú)立的。因此，對(duì)于因此，對(duì)于，求解，求解3個(gè)未個(gè)未知量；當(dāng)未知量超過(guò)知量；當(dāng)未知量超過(guò)3個(gè)時(shí)，就屬于靜不定問(wèn)題。個(gè)時(shí)，就屬于靜不定問(wèn)題。例如：例如：1F2F1F2F8（1）平面匯交力系：）平面匯交力系：設(shè)匯交點(diǎn)為設(shè)匯交點(diǎn)為A0)(1niiBFM0)(1niiCFM或或(A、B、C三點(diǎn)不共線三點(diǎn)不共線)01niiM01niixF0)(1niiBFM或或（AB連線不連線不垂直于垂直于x軸）軸）（2）平面力偶系：）平面力偶系：（各力偶（各力偶Mi作用面相互平行即可）作用面相互平行即可）01niixF01niiyFAxyBC特殊的平面力系及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)：特殊的平面力系及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)：9（

6、3）平面平行力系：）平面平行力系：設(shè)各力與設(shè)各力與 y 軸平行軸平行01niiyF0)(1niiAFMOxyiFnF1F或或0)(1niiAFM0)(1niiBFM其中其中與各與各不平行。不平行。ABiFAB各種力系平衡方程的基本形式各種力系平衡方程的基本形式小結(jié)小結(jié)11補(bǔ)充：平行力系中心及分布載荷補(bǔ)充：平行力系中心及分布載荷1213141516小結(jié)小結(jié)（1 1）確定研究對(duì)象，取分離體作受力圖；）確定研究對(duì)象，取分離體作受力圖；（2 2）建立坐標(biāo)系，列出平衡方程（）建立坐標(biāo)系，列出平衡方程（選擇技巧選擇技巧）；）； a) a) 坐標(biāo)軸的建立盡量與較多的力平行或垂直坐標(biāo)軸的建立盡量與較多的力平行

7、或垂直 b) b) 力矩中心應(yīng)盡量選在多個(gè)未知力的匯交點(diǎn)力矩中心應(yīng)盡量選在多個(gè)未知力的匯交點(diǎn)（3 3）解方程，求出未知量）解方程，求出未知量 。二、力系平衡問(wèn)題的解決方法二、力系平衡問(wèn)題的解決方法18解：取梁解：取梁AB為分離體，畫(huà)受力圖。為分離體，畫(huà)受力圖。由由0)(1niiAFM三、例題解析例題解析alFrrQQABABFQr2列出該梁的平衡方程。列出該梁的平衡方程。lFNBcosFaQr20選矩心為選矩心為A點(diǎn)：點(diǎn)：AyFAxFNBFcos2lQrFa (方向如圖方向如圖)（平面任意力系，只有（平面任意力系，只有3個(gè)獨(dú)立方程）個(gè)獨(dú)立方程）NBF已知支架受力如圖，其中已知支架受力如圖，其中

8、求求A、B處的約束力。處的約束力。QQ例例 題題 119若取矩心為若取矩心為B點(diǎn)，則有：點(diǎn)，則有：0)(1niiBFM02)(QralFlFAy該式不再獨(dú)立，可作為校核。該式不再獨(dú)立，可作為校核。BNABFQr2AyFAxFAxFtg2lQrFa ()AyFlQralF2)()01niixF0sin NBAxFF由由由由01niiyF0cosFFFNBAy20求一端固支、一端自由的梁求一端固支、一端自由的梁(懸臂懸臂梁梁)固支端的約束力。固支端的約束力。解：取解：取AB為分離體，畫(huà)出受力圖。為分離體，畫(huà)出受力圖。AMAyFAxFQ由由01niixFAxF0由由01niiyFAyFQ0由由0)(

9、1niiAFM02lQMA均布載荷均布載荷（同向平行力系）合力為（同向平行力系）合力為QAyFQql()AMQl21221ql()ABBlqA例例 題題 221例例 題題 3起重機(jī)的配重問(wèn)題起重機(jī)的配重問(wèn)題已知軌距已知軌距b3m，機(jī)重，機(jī)重G500kN，e 1.5m,最大起重量最大起重量P250kN，l =10m, a =6m。求起。求起重機(jī)滿載與空載時(shí)均不重機(jī)滿載與空載時(shí)均不翻倒的配重翻倒的配重Q值。值。ABblaeQGP22解解: (1)滿載情況滿載情況P =250kN;取起重機(jī)為分離體畫(huà)受力圖，取起重機(jī)為分離體畫(huà)受力圖，0)(1niiBFM0)(PlGebNbaQA滿載不翻倒限制條件滿載

10、不翻倒限制條件0AN0bPlGebaQ)(ANG則則QbaGePl=361kNABblaeANBNPQ平面平行力系平面平行力系, 2個(gè)獨(dú)立方程，個(gè)獨(dú)立方程，以以B點(diǎn)為矩心：點(diǎn)為矩心： 23(2)空載情況：空載情況：P =00)(1niiAFM0)(ebGbNQaB0BN空載不翻倒限制條件空載不翻倒限制條件BNbQaebG)(0QaebG)( =375kN Q361kN375kNGABblaeANBNQ以以A點(diǎn)為矩心：點(diǎn)為矩心：24例例 題題 4ACDxyzEB4m2m2m解：解：1.以板為對(duì)象畫(huà)出受力圖以板為對(duì)象畫(huà)出受力圖ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP均質(zhì)長(zhǎng)方

11、形薄板，重量均質(zhì)長(zhǎng)方形薄板，重量P=200N，角，角A由光滑球鉸鏈固由光滑球鉸鏈固定，角定，角B處嵌入固定的光滑水平滑槽內(nèi)，滑槽約束了處嵌入固定的光滑水平滑槽內(nèi)，滑槽約束了角角B在在x,z方向的運(yùn)動(dòng)，方向的運(yùn)動(dòng)，EC為鋼索，將板支持在水平位為鋼索，將板支持在水平位置上，試求板在置上，試求板在A，B處的約束力及鋼索的拉力。處的約束力及鋼索的拉力。252.列出板的平衡方程列出板的平衡方程解法一解法一空間任意力系，空間任意力系，6個(gè)獨(dú)立方程。個(gè)獨(dú)立方程。ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF0izM04 BxF0BxFTTTTFFFF630204164cos1

12、TTTTFFFF662042sin20iyM0212TFPNPFFTT610063662(拉力拉力)260ixM04242BzTFPF042200610066BzF0ixF016421TBxAxFFFNFAx10020261006300iyF02041TAyFFNFAy20020461006300izF02BzTAzFFPFNFPFTAz10066610020066ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF27ACDxyzEB4m2m2mTFBxFBzFAyFAzFAxFP 2TF1TF解法二解法二分別取分別取AC，BC，AB，l1，l2，z 為矩軸：為矩軸

13、：l1l20iACM0BzF0iBCM024PFAzNPFAz10020iABM0222TFPNPFT610066(拉力拉力)10ilM 0220441TAxFFNFFTAx1002026300izM0BxF04BxF20ilM 024AyAxFFNFFAxAy2002283.2 3.2 剛體系的平衡剛體系的平衡 由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)稱為剛體系。在處理平由若干個(gè)剛體組成的系統(tǒng)稱為剛體系。在處理平衡問(wèn)題時(shí)有可能出現(xiàn)約束力的個(gè)數(shù)多于平衡方程的個(gè)衡問(wèn)題時(shí)有可能出現(xiàn)約束力的個(gè)數(shù)多于平衡方程的個(gè)數(shù)的情況，即出現(xiàn)數(shù)的情況，即出現(xiàn)“靜不定靜不定”。 我們可以合理地將系統(tǒng)分解為若干個(gè)分系統(tǒng)。如我們可以合理地

14、將系統(tǒng)分解為若干個(gè)分系統(tǒng)。如果對(duì)于這些分系統(tǒng)，問(wèn)題是靜定的，那么系統(tǒng)的果對(duì)于這些分系統(tǒng)，問(wèn)題是靜定的，那么系統(tǒng)的“靜不定靜不定”問(wèn)題將迎刃而解。需要注意的是，在分解問(wèn)題將迎刃而解。需要注意的是，在分解分系統(tǒng)時(shí)不要忘記分系統(tǒng)時(shí)不要忘記子系統(tǒng)間的約束力子系統(tǒng)間的約束力。 此類問(wèn)題如何解決？此類問(wèn)題如何解決？請(qǐng)同學(xué)們看教材請(qǐng)同學(xué)們看教材P54例例3-8 、P55例例3-929例例 圖示兩根梁由鉸圖示兩根梁由鉸 B 連接，它們置于連接，它們置于O，A，C三個(gè)支承上，三個(gè)支承上，梁上有一集度為梁上有一集度為 q 的均布載荷，一集中力的均布載荷，一集中力 F 和一力偶矩和一力偶矩 M，求各個(gè)支承處的約束力

15、。求各個(gè)支承處的約束力。OABCDFqMaaaa 約束類型，固定鉸支座的約束反約束類型，固定鉸支座的約束反力可以分解到兩坐標(biāo)軸方向，活力可以分解到兩坐標(biāo)軸方向，活動(dòng)鉸支座各有一個(gè)約束力動(dòng)鉸支座各有一個(gè)約束力OABCDFqMyOXFOYFAYFCYF先將系統(tǒng)解除約束，以先將系統(tǒng)解除約束，以O(shè)為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系為原點(diǎn)建立坐標(biāo)系主動(dòng)力：主動(dòng)力： 分布載荷、集中力分布載荷、集中力 F、主動(dòng)力矩主動(dòng)力矩 M約束反力：約束反力：x30平面任意力系靜力平衡方程只有平面任意力系靜力平衡方程只有3個(gè)，只能求解個(gè)，只能求解3個(gè)未個(gè)未知量，因此，無(wú)法直接求得知量，因此，無(wú)法直接求得4個(gè)約束反力個(gè)約束反力。OABCDF

16、qMyOXFOYFAYFCYFx 我們可以將鉸我們可以將鉸B 解除，先分析解除，先分析BD 梁，當(dāng)然，解除梁，當(dāng)然，解除B后，兩根梁在后，兩根梁在B點(diǎn)存在作用與反作用力，同樣可分解點(diǎn)存在作用與反作用力，同樣可分解到水平和垂直方向，主動(dòng)力到水平和垂直方向，主動(dòng)力F視為作用在銷釘上。視為作用在銷釘上。整體上看是屬于整體上看是屬于靜不定問(wèn)題靜不定問(wèn)題31aaBDMqaCYFBXFBYF02aqaMaFCY2qaaMFCY再回到原系統(tǒng)，可建立再回到原系統(tǒng)，可建立3個(gè)平衡個(gè)平衡方程解得：方程解得：aMqaFF,aMqaFF,FOYAYOX22520OABCDqMaaaa對(duì)于對(duì)于BD梁，梁，由對(duì)由對(duì)B點(diǎn)合

17、力矩為零，點(diǎn)合力矩為零，建建立靜力平衡方程立靜力平衡方程O(píng)ABCDFqMyOXFOYFAYFCYF 0BmxF321.求解思路求解思路（1）根據(jù)所求的未知約束力，先對(duì)所涉及的剛體）根據(jù)所求的未知約束力，先對(duì)所涉及的剛體進(jìn)行受力分析，找出其中的已知主動(dòng)力、未知約束進(jìn)行受力分析，找出其中的已知主動(dòng)力、未知約束力（要求的和不必求的）。分析未知力個(gè)數(shù)及獨(dú)立力（要求的和不必求的）。分析未知力個(gè)數(shù)及獨(dú)立平衡方程個(gè)數(shù)。平衡方程個(gè)數(shù)。（2）若缺少方程，再對(duì)未知約束力涉及的其他剛體）若缺少方程，再對(duì)未知約束力涉及的其他剛體（或剛體系）取分離體，引入新的未知力并分析增（或剛體系）取分離體，引入新的未知力并分析增加

18、的平衡方程個(gè)數(shù)。直到未知力個(gè)數(shù)與平衡方程個(gè)加的平衡方程個(gè)數(shù)。直到未知力個(gè)數(shù)與平衡方程個(gè)數(shù)相等。數(shù)相等。（3）對(duì)涉及的各分離體列出適當(dāng)?shù)钠胶夥匠蹋ㄗ⒁猓?duì)涉及的各分離體列出適當(dāng)?shù)钠胶夥匠蹋ㄗ⒁飧鞣匠痰莫?dú)立性），求出全部待求未知力。各方程的獨(dú)立性），求出全部待求未知力。332.關(guān)于獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)關(guān)于獨(dú)立的平衡方程個(gè)數(shù)注意：剛體系統(tǒng)中如果每個(gè)剛體的平衡方程注意：剛體系統(tǒng)中如果每個(gè)剛體的平衡方程全部成立，則整體的平衡方程為恒等式，不全部成立，則整體的平衡方程為恒等式，不再提供獨(dú)立的方程。再提供獨(dú)立的方程。3.注意利用矩形式的平衡方程，可通過(guò)選擇適注意利用矩形式的平衡方程，可通過(guò)選擇適當(dāng)?shù)木匦氖沟梅?/p>

19、程中盡量少出現(xiàn)未知力。當(dāng)?shù)木匦氖沟梅匠讨斜M量少出現(xiàn)未知力。求解所用到的全部方程必須是相互獨(dú)立的。求解所用到的全部方程必須是相互獨(dú)立的。341、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸面、定義：相接觸物體，產(chǎn)生相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)時(shí)，其接觸面 產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。產(chǎn)生阻止物體運(yùn)動(dòng)的力叫滑動(dòng)摩擦力。 （ 就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束反力）就是接觸面對(duì)物體作用的切向約束反力） 2、狀態(tài)：、狀態(tài)： 靜止：靜止： 臨界：（將滑未滑）臨界：（將滑未滑） 滑動(dòng)：滑動(dòng)：PF )(不固定值FPmaxsNFfFNFfF一、靜滑動(dòng)摩擦力一、靜滑動(dòng)摩擦力所以增大摩擦力的途徑為：加大正壓力所以增大摩擦力的途

20、徑為：加大正壓力 , 加大摩擦系數(shù)加大摩擦系數(shù)（fs 靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)）靜滑動(dòng)摩擦系數(shù)）（f 動(dòng)摩擦系數(shù)）動(dòng)摩擦系數(shù)）3-3 3-3 考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題考慮摩擦?xí)r的平衡問(wèn)題353、 特征：特征： 大小：大?。海ㄆ胶夥秶M足（平衡范圍）滿足靜摩擦力特征：方向：與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反靜摩擦力特征：方向：與物體相對(duì)滑動(dòng)趨勢(shì)方向相反 定律：定律：（ fs 只與材料和表面情況有只與材料和表面情況有 關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）二、動(dòng)滑動(dòng)摩擦力：（與靜滑動(dòng)摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動(dòng)）二、動(dòng)滑動(dòng)摩擦力：（與靜滑動(dòng)摩擦力不同的是產(chǎn)生了滑動(dòng)） 大小：大?。?（無(wú)平衡范圍）（無(wú)平衡范圍

21、）動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反動(dòng)摩擦力特征：方向：與物體運(yùn)動(dòng)方向相反 定律：定律： （f 只與材料和表面情況有只與材料和表面情況有 關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）關(guān)，與接觸面積大小無(wú)關(guān)。）max0FF 0XmaxsNFfFNFfFNFfF36maxFm三、摩擦角三、摩擦角(教材教材P62)定義：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值定義：當(dāng)摩擦力達(dá)到最大值 時(shí)其時(shí)其全反力全反力 與法線的夾角與法線的夾角 叫做叫做摩擦角摩擦角。maxtgsNmsNNFf FfFF 計(jì)算：計(jì)算：37四、自鎖四、自鎖 定義：當(dāng)物體所受主動(dòng)力的合力的作用線位于摩擦角的定義：當(dāng)物體所受主動(dòng)力的合力的作用線位于摩擦角的范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)論主動(dòng)力有多大，物體也保持平衡，這種現(xiàn)象范圍內(nèi)時(shí)，無(wú)論主動(dòng)力有多大，物體也保持平衡，這種現(xiàn)象稱為自鎖。即物體僅靠全反力，就能自己把自己卡緊，不會(huì)稱為自鎖。即物體僅靠全反力，就能自己把自己卡緊，不會(huì)松開(kāi)（無(wú)論外力多大）。松開(kāi)（無(wú)論外力多大）。 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，永遠(yuǎn)平衡